一、數(shù)與形的基本概念
1．?dāng)?shù)：數(shù)學(xué)中用于計(jì)量、比較和表示大小的抽象概念，如自然數(shù)、小數(shù)、有理數(shù)等。
2．形：通過(guò)現(xiàn)實(shí)世界表現(xiàn)出來(lái)的形象，用于描述現(xiàn)實(shí)事物的形狀、大小和位置等屬性，如幾何圖形、坐標(biāo)軸等。
二、數(shù)與形的結(jié)合
1．?dāng)?shù)形結(jié)合：將數(shù)與形相結(jié)合，通過(guò)直觀的圖形來(lái)展示數(shù)量之間的關(guān)系，或通過(guò)數(shù)量的計(jì)算來(lái)揭示圖形的性質(zhì)。
2．意義：數(shù)形結(jié)合有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力，使抽象的數(shù)學(xué)概念變得直觀易懂。
三、數(shù)與形的規(guī)律與公式
1．連續(xù)奇數(shù)相加的和：
規(guī)律：從1開(kāi)始的n個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加的和等于n的平方。公式：1+3+5+...+(2n-1)=n2
2．連續(xù)偶數(shù)相加的和：
規(guī)律：從2開(kāi)始的n個(gè)連續(xù)偶數(shù)相加的和等于n乘以(n+1)。
公式：2+4+6+...+2n=n×(n+1)
四、數(shù)與形的應(yīng)用
1．統(tǒng)計(jì)圖：
折線統(tǒng)計(jì)圖：直觀顯示數(shù)量的增減變化，還可清晰看出各個(gè)數(shù)量的多少。
扇形統(tǒng)計(jì)圖：直觀顯示部分和總量的關(guān)系。
2．解決實(shí)際問(wèn)題：
利用數(shù)形結(jié)合的方法解決植樹(shù)問(wèn)題、分?jǐn)?shù)乘法問(wèn)題等實(shí)際問(wèn)題。
通過(guò)畫(huà)圖來(lái)幫助理解復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，如連續(xù)奇數(shù)相加、連續(xù)偶數(shù)相加等。
【典例1】把棱長(zhǎng)為2cm的小正方體擺放在地面上。
（1）如果按圖1方式擺放50個(gè)這樣的小正方體，有幾個(gè)面露在外面？露在外面的面積是多少平方厘米？
（2）如果按圖2方式擺放49個(gè)這樣的小正方體，有幾個(gè)面露在外面？露在外面的面積是多少平方厘米？
【分析】（1）按照?qǐng)D1的方式擺放，就是2個(gè)正方體放在一起擺放，一層一層的往上疊加。一層是前后各有2個(gè)，就是4個(gè)，上面是2個(gè)，左右各1個(gè)，就是2個(gè)。二層是前后各2×4＝8個(gè)，上面是2個(gè)，左右各2個(gè)就是2×2＝4個(gè)。第三層是前后共3×4＝12個(gè)，上面是2個(gè)，左右共3×2＝6個(gè)。也就是每增加一層前后就多4個(gè)，左右就多2個(gè)，上面的不變。根據(jù)這樣的規(guī)律，每2個(gè)為一組，50個(gè)正方體就有25層小正方體，就有25層4個(gè)的前后小正方形，25層2個(gè)的左右小正方形，再加上2個(gè)上面的小正方形。就有152個(gè)面露在外面，一個(gè)正方體的一個(gè)正方形面的面積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)。即152個(gè)小正方形的面積＝152×每個(gè)正方形的面積。
（2）按照?qǐng)D2的方式擺放，一層只有1個(gè)正方體，是5個(gè)面露在外面。二層是每邊放2個(gè)，一共4個(gè)，上面是2×2＝4個(gè)，前后左右4個(gè)面，每個(gè)面是2個(gè)。第三層每邊是3個(gè)，一共9個(gè)，上面是3×3＝9個(gè)，前后左右4個(gè)面，每個(gè)面是3個(gè)。根據(jù)以上的規(guī)律，49個(gè)小正方體就是每邊7個(gè)，上面是7×7＝49個(gè)，前后左右每一面是7個(gè)，一共有28個(gè)面，合在一起就是77個(gè)面。即77個(gè)小正方形的面積＝77×每個(gè)正方形的面積。
【詳解】（1）50÷2＝25（組）
2＋25×4＋25×2
＝2＋100＋50
＝152（個(gè)）
152×2×2＝608（平方厘米）
答：有152個(gè)面露在外面，露在外面的面積是608cm2。
（2）49＝7×7
7×7＋4×7
＝49＋28
＝77（個(gè)）
2×2×77＝308（平方厘米）
答：有77個(gè)面露在外面，露在外面的面積是308平方厘米。
【典例2】找規(guī)律畫(huà)一畫(huà)，算一算。
1 1＋3 1＋3＋5 1＋3＋5＋（ ） 1＋3＋5＋（ ）＋（ ）
1×1 2×2 3×3 （ ）×（ ） （ ）×（ ）
根據(jù)規(guī)律計(jì)算：
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15
【分析】看圖并結(jié)合算式，第一個(gè)圖有（1×1）個(gè)小圓，第二個(gè)圖有（2×2）個(gè)小圓，第三個(gè)圖有（3×3）個(gè)小圓。對(duì)應(yīng)的加法算式是連續(xù)奇數(shù)的和，幾乘幾對(duì)應(yīng)的算式就有幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加。“1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15”是8個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加，那么它的和與“8×8”相等。
【詳解】
1 1＋3 1＋3＋5 1＋3＋5＋7 1＋3＋5＋7＋9
1×1 2×2 3×3 4×4 5×5
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15
＝8×8
＝64
【典例3】填數(shù)游戲：在4×4的方格中，按1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1的順序依次填入左右或上下相鄰的十六個(gè)格子內(nèi)（不能斜向填入另一格），每個(gè)格子只能填一個(gè)數(shù)字。圖（1）是按要求填寫(xiě)的（圖中箭頭表示填寫(xiě)順序），請(qǐng)你完成另外四個(gè)圖。
【分析】根據(jù)數(shù)字的排列順序填數(shù)，和1相鄰的數(shù)是2，和3相鄰的數(shù)是2、4，和5相鄰的數(shù)是4、6，據(jù)此進(jìn)行填數(shù)即可。
【詳解】圖中的線表示填寫(xiě)順序。（答案不唯一）
【典例4】觀察下圖，想一想。
（1）依次排下去，第7幅圖有多少個(gè)棋子？第15幅圖呢？
（2）第n幅圖有多少個(gè)棋子？
【分析】觀察棋子的數(shù)目與圖的序數(shù)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)：第1幅圖：1＝12個(gè)棋子；第2幅圖：1＋3＝4＝22個(gè)棋子；第3幅圖：1＋3＋5＝9＝32個(gè)棋子；第4幅圖：1＋3＋5＋7＝16＝42個(gè)棋子，……，據(jù)此總結(jié)出一般規(guī)律，解答即可。
【詳解】第1幅圖：1＝12個(gè)棋子
第2幅圖：1＋3＝4＝22個(gè)棋子
第3幅圖：1＋3＋5＝9＝32個(gè)棋子
第4幅圖：1＋3＋5＋7＝16＝42個(gè)棋子
……
所以第7幅圖有72＝49個(gè)棋子
第15幅圖有152＝225個(gè)棋子
第n幅圖：（n2）個(gè)棋子
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)與形，解答本題的關(guān)鍵是找到棋子的數(shù)目與圖的序數(shù)之間的關(guān)系。
【典例5】擺一擺，找規(guī)律。
（1）依次擺下去，第6個(gè)圖形是什么圖形？
（2）擺第7個(gè)圖形需要用多少根小棒？
（3）擺第n個(gè)圖形需要用多少根小棒？
【分析】第1個(gè)圖形是1個(gè)三角形，用3根小棒擺成的；
第2個(gè)圖形是一個(gè)由2個(gè)三角形組成的平行四邊形，用5根小棒擺成的；
第3個(gè)圖形是一個(gè)由3個(gè)三角形組成的梯形，用7根小棒擺成的；
第4個(gè)圖形是一個(gè)由4個(gè)三角形組成的平行四邊形，用9根小棒擺成的；
依次擺下去：
第5個(gè)圖形是一個(gè)由5個(gè)三角形組成的梯形，用11根小棒擺成的；
第6圖形是一個(gè)由6個(gè)三角形組成的平行四邊形，用13根小棒擺成的；
第7個(gè)圖形是一個(gè)由7個(gè)三角形組成的梯形，用15根小棒擺成的；
…
通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，從第2個(gè)圖開(kāi)始，第偶數(shù)個(gè)圖形是平行四邊形，第奇數(shù)個(gè)圖形是梯形；小棒的根數(shù)則是每次比前一次增加2根。
【詳解】答：（1）第6個(gè)圖形是平行四邊形。
（2）1個(gè)三角形所需小棒的根數(shù)是3；
2個(gè)三角形所需小棒的根數(shù)是3＋2；
3個(gè)三角形所需小棒的根數(shù)是3＋2×2：
…
n個(gè)三角形所需小棒的根數(shù)是3＋2×（n－1）＝2n＋1，
當(dāng)n＝7時(shí)，2n＋1＝2×7＋1＝15（根）
擺第7個(gè)圖形需要 15根小棒。
（3）由（2）可知，擺成第n個(gè)圖形需要用（2n＋1）根小棒。
【典例6】仔細(xì)觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？把你的發(fā)現(xiàn)填在下表中。
【分析】觀察可知，頂點(diǎn)個(gè)數(shù)＝正方形個(gè)數(shù)×3＋1，正方形個(gè)數(shù)＝（頂點(diǎn)個(gè)數(shù)－1）÷3，據(jù)此分析。
【詳解】將正方形個(gè)數(shù)看作n，頂點(diǎn)個(gè)數(shù)＝3n＋1
3n＋1
＝3×4＋1
＝12＋1
＝13（個(gè)）
（601－1）÷3
＝600÷3
＝200（個(gè)）
【典例7】請(qǐng)你根據(jù)下面圖形與數(shù)的規(guī)律完成下列各題：
（1）接著畫(huà)一畫(huà)，填一填。
（2）如果不畫(huà)，這樣排列下去，第10個(gè)圖的數(shù)是（ ），第n個(gè)圖的數(shù)是（ ）（用含n的式子表示）。
37．（1）15；21；28；（2）55；
【分析】（1）通過(guò)觀察，第1個(gè)圖中有1個(gè)點(diǎn)，第2個(gè)圖中有（1＋2）個(gè)點(diǎn)，第3個(gè)圖中有（1＋2＋3）個(gè)點(diǎn)，第4個(gè)圖中有（1＋2＋3＋4）個(gè)點(diǎn)，第幾個(gè)圖形的點(diǎn)數(shù)和等于前一個(gè)圖形的點(diǎn)數(shù)和加幾。
（2）通過(guò)（1）類(lèi)推，第n個(gè)圖中有（1＋2＋3＋…＋n）個(gè)點(diǎn)，然后通過(guò)首尾相加進(jìn)行化簡(jiǎn)即可。
【詳解】（1）第5個(gè)圖形：10＋5＝15（個(gè)）
第6個(gè)圖形：15＋6＝21（個(gè)）
第7個(gè)圖形：21＋7＝28（個(gè)）
（2）第n個(gè)圖的數(shù)：
1＋2＋3＋…＋n
＝（1＋n）×n÷2
＝（n＋n2）÷2
＝
當(dāng)n＝10時(shí)，
＝
＝
＝
＝55
第10個(gè)圖的數(shù)是55；第n個(gè)圖的數(shù)是。
【典例8】用小棒擺六邊形，按照下圖所示的規(guī)律擺。
（1）擺4個(gè)六邊形，需要幾根小棒？擺n個(gè)呢？請(qǐng)寫(xiě)出思考過(guò)程。
（2）按這個(gè)規(guī)律擺80個(gè)六邊形，需要幾根小棒？
【分析】（1）由圖可得：擺1個(gè)六邊形需要6根小棒，擺2個(gè)六邊形需要11根小棒，擺3個(gè)六邊形需要16根小棒，由此可得：每多擺一個(gè)六邊形，就會(huì)增加5根小棒，由此根據(jù)規(guī)律解答即可；
（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律，將數(shù)據(jù)代入求出答案即可。
【詳解】（1）觀察圖形可知，擺1個(gè)六邊形需要6根小棒，
擺2個(gè)六邊形需要11根小棒，可以寫(xiě)作：11＝6＋5＝6＋5×1；
擺3個(gè)六邊形需要16根小棒，可以寫(xiě)成：16＝6＋5＋5＝6＋5×2；
擺4個(gè)六邊形需要小棒的根數(shù)，可以寫(xiě)成：6＋5＋5＋5＝6＋5×3；
6＋5×3
＝6＋15
＝21（根）
……
擺n個(gè)六邊形需要小棒的根數(shù)，可以寫(xiě)成：6＋5＋5＋……＋5＝6＋5×（n－1）；
6＋5×（n－1）
＝6＋5n－5
＝5n＋1
答：擺4個(gè)六邊形，需要21根小棒。擺n個(gè)六邊形，需要（5n＋1）根小棒。
（2）當(dāng)n＝80時(shí)，代入得：
5n＋1
＝5×80＋1
＝400＋1
＝401（根）
答：擺80個(gè)六邊形，需要401根小棒。
一、解答題
1．探索與發(fā)現(xiàn)。
數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中最重要的、最基本的思想方法之一。計(jì)算2＋4＋6＋8＋10＋12…這樣的算式有簡(jiǎn)便方法嗎？聰聰遇到這個(gè)問(wèn)題時(shí)，他想到用“數(shù)形結(jié)合”的方法來(lái)探索，于是他用小圓片擺圖研究（如圖）。
(1)觀察表格，請(qǐng)把下面等式補(bǔ)充完整。
2＝1×2
2＋4＝2×3
2＋4＋6＝3×4
2＋4＋6＋8＝( )×( )
(2)若按此規(guī)律繼續(xù)擺，則序號(hào)為( )的圖形共有132個(gè)小圓片，序號(hào)為n的圖形，共有( )個(gè)小圓片。
2．“轉(zhuǎn)化”是解決問(wèn)題的常用策略之一，有時(shí)畫(huà)圖可以幫助我們找到轉(zhuǎn)化的方法，例如借助如圖，計(jì)算。
3．八百多年前，意大利數(shù)學(xué)家萊昂納多?斐波那契提出了“斐波拉契數(shù)列”，生活中又稱“兔子數(shù)列”。意思是：假設(shè)有一對(duì)剛出生的兔子，它們?cè)诘谝粋€(gè)月長(zhǎng)大成年，并在之后的每個(gè)月都生出一對(duì)幼崽，而這些幼崽在長(zhǎng)大后，也都會(huì)以同樣的周期繼續(xù)繁殖（如圖所示），按照這種規(guī)律依此類(lèi)推，在之后的每個(gè)月中各有多少對(duì)兔子呢？其結(jié)果就會(huì)形成這樣一組數(shù)1、1、2、3、5、8、13、21、34…此時(shí)我們便會(huì)看到從這組數(shù)的第三項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和，這便是神奇的“斐波拉契數(shù)列”，又因?yàn)閺牡谌?xiàng)起，前一項(xiàng)除以后一項(xiàng)所得商都接近0.618，所以稱“黃金分割數(shù)列”。
（1）根據(jù)這組數(shù)的規(guī)律填一填：1、1、2、3、5、8、13、21、34、（ ）、（ ）、…
（2）這組數(shù)的第100個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由。

4．有三堆圍棋子，每堆有60枚，第一堆黑子與第二堆的白子同樣多，第三堆有10枚白子。這三堆棋子中，白子比黑子少多少枚？
5．觀察下面圖形的規(guī)律，并畫(huà)一畫(huà)，填一填。
總結(jié)規(guī)律：由此可以得出第六個(gè)圖形一共由（ ）個(gè)小三角形組成。
6．如下圖在一些大小相等的正方形內(nèi)分別排列著一些同樣大小的圓。
（1）請(qǐng)觀察上圖并填寫(xiě)下表。
（2）你能試著表示出第n個(gè)正方形中圓的個(gè)數(shù)嗎？用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算出第18個(gè)圖形中有多少個(gè)圓。
7．有一列數(shù)是2，9，8，2，6，2…從第3個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都是它前面的兩個(gè)數(shù)乘積的個(gè)位數(shù)字。這一列數(shù)的第2023個(gè)數(shù)是多少？
8．學(xué)校一年一度的藝術(shù)節(jié)即將開(kāi)幕，五（2）班的節(jié)目是一個(gè)團(tuán)體操表演。在排練時(shí)，同學(xué)們排成了下面的隊(duì)形。廖老師覺(jué)得陣容不夠大，所以她決定再增加一些人參加團(tuán)體操表演，但是要保持隊(duì)伍形狀不變，至少應(yīng)該增加多少人？
9．元旦聯(lián)歡晚會(huì)上，大家圍坐在一起，一張桌子可以圍坐6個(gè)人，兩張桌子拼起來(lái)可以圍坐10個(gè)人，如下圖所示。
（1）每多一張桌子，可多坐（ ）人，按此規(guī)律，n張桌子可坐（ ）人。
（2）五（1）班有54人，至少需要多少?gòu)堊雷樱?br>10．古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派經(jīng)常把數(shù)與形聯(lián)系在一起，下圖是用形來(lái)表示數(shù)，請(qǐng)你認(rèn)真觀察：第1幅圖的點(diǎn)數(shù)為1，第2幅圖的點(diǎn)數(shù)為5，第3幅圖的點(diǎn)數(shù)為9。
(1)按這個(gè)規(guī)律排下去，第5幅圖的點(diǎn)數(shù)是( )。
(2)第20幅圖的點(diǎn)數(shù)是( )。
(3)第幅圖的點(diǎn)數(shù)是( )。
11．各代表一個(gè)數(shù)字，下面每個(gè)圖案都是由中的兩個(gè)圖形（可以是相同的）構(gòu)成的。觀察各圖形與它下面的數(shù)之間的關(guān)系，請(qǐng)你寫(xiě)出最后面圖形下面的“？”表示什么。
12．觀察下圖，按要求完成下列各題。
(1)這4個(gè)圖形中分別有多少個(gè)三角形？請(qǐng)依次寫(xiě)出。
(2)按照這種規(guī)律畫(huà)下去，第6個(gè)圖形中有多少個(gè)三角形呢？第9個(gè)圖形中有多少個(gè)三角形呢？
(3)仔細(xì)觀察圖形，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？請(qǐng)推測(cè)第n個(gè)圖形中有多少個(gè)三角形。
(4)根據(jù)上面的規(guī)律，請(qǐng)計(jì)算下圖中一共有多少個(gè)三角形。
13．一張長(zhǎng)方形桌子可坐6人，按下列方式將桌子拼在一起。
（1）3張桌子拼在一起可坐（ ）人，5張桌子拼在一起可坐（ ）人。
（2）依據(jù)上面桌子的拼擺規(guī)律，如果是n張桌子拼在一起，那么可以坐多少人？
14．用相同的邊長(zhǎng)是1厘米的小正方形按照下圖的方法拼大正方形，請(qǐng)完成填空。
(1)小正方形的個(gè)數(shù)分別是( )、( )、( )…
(2)大正方形的周長(zhǎng)分別是( )厘米、( )厘米、( )厘米…
(3)根據(jù)圖形排列規(guī)律，第5個(gè)圖形中的小正方形有( )個(gè)，這個(gè)圖形的周長(zhǎng)是( )厘米；第9個(gè)圖形中的小正方形有( )個(gè)，這個(gè)圖形的周長(zhǎng)是( )厘米。
15．為慶祝國(guó)慶，某學(xué)校舉行用火柴棒擺“金魚(yú)”比賽，如下圖所示。
(1)按照上面的規(guī)律，擺6條“金魚(yú)”需要( )根火柴棒，擺n條“金魚(yú)”需要( )根火柴棒。
(2)如果要擺4組“金魚(yú)”，每組擺8條，按照上面的擺法，需要準(zhǔn)備( )根火柴棒。
(3)準(zhǔn)備88根火柴棒最多能擺( )條這樣的“金魚(yú)”。
16．“黑洞”是宇宙空間中一種神秘的天體，能把接近它的物質(zhì)吸引進(jìn)去。在數(shù)學(xué)中也有神秘的黑洞現(xiàn)象。四位數(shù)的黑洞是6174，即：任意一個(gè)四位數(shù)，把各個(gè)數(shù)位上的數(shù)按從大到小排列，組成一個(gè)新數(shù)，再按從小到大排列組成另一個(gè)新數(shù)，這兩個(gè)數(shù)相減，得到的差再按上面的步驟做，若干次后，得到的差始終是6174，6174就是四位數(shù)的黑洞。舉例說(shuō)明，例如3214：
4321－1234＝3087
8730－378＝8352
8532－2358＝6174
7641－1467＝6174
7641－1467＝6174
按此繼續(xù)思考，你能找出三位數(shù)的黑洞嗎？任選一個(gè)三位數(shù)試試吧。
17．閱讀理解。
六（1）班50人，一次數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)評(píng)成績(jī)按從高到低排列，前30名的平均分比后20名的平均分多12分。李敏把前30名的平均分加上后20名的平均分再除以2，這樣得到的結(jié)果與全班實(shí)際的平均成績(jī)相差多少分？
笑笑說(shuō)：假設(shè)前30名的平均分為90分，后20名的平均分就是78分。
則全班實(shí)際的平均成績(jī)?yōu)椋?0×30＋78×20）÷50＝85.2（分）；
（1）（填一填）李敏算的平均分為：（ ）。相差：（ ）。
奇思說(shuō)：我來(lái)畫(huà)圖分析，看圖就能直接求出相差多少分。先畫(huà)一個(gè)長(zhǎng)方形表示前30人的總分，長(zhǎng)為平均分，寬為人數(shù)，再畫(huà)第二個(gè)長(zhǎng)方形表示后20人的總分，兩部分的長(zhǎng)差為12。
（2）想一想：從“移多補(bǔ)少”去想，李敏是（ ）（填“多算”或“少算”）了6×10＝60（分），所以李敏得到的結(jié)果與全班實(shí)際的平均成績(jī)相差60÷（ ）＝（ ）（分）。
（3）答一答：什么情況下李敏的算法是對(duì)的？
18．觀察思考并計(jì)算。
(1)觀察下面每個(gè)圖形中小正方形的排列規(guī)律，并填空。
( ) ( )
(2)根據(jù)上面的規(guī)律用簡(jiǎn)便方法計(jì)算。
( )×( )＝( )。
19．笑笑借助圖（圖1）計(jì)算2.8×1.7，你能看明白嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中填一填。

由上題的思路，圖2研究的是（ ）×（ ）。
結(jié)合下邊的圖（圖3），請(qǐng)你寫(xiě)出下面算式的結(jié)果。
（a＋b）×（a＋b）＝
20．有2000個(gè)數(shù)，按照下列的方法排列成五列。
請(qǐng)問(wèn)2000應(yīng)寫(xiě)在第幾列？
21．每2人之間握一次手，用畫(huà)圖和列表的方法發(fā)現(xiàn)握手次數(shù)的規(guī)律。
（1）將表格中的示意圖和握手次數(shù)填寫(xiě)完整。
（2）若有n人相互握手，握手的次數(shù)是（ ）次，當(dāng)n＝10時(shí)，握手次數(shù)是（ ）次。
22．把一張紙剪成6塊，從中取幾塊，將每一塊又剪成6塊，再任取幾塊，又將每一塊剪成6塊……如此剪下去，經(jīng)過(guò)有限次后，能否恰好剪成2009塊？說(shuō)明理由。
23．如圖，正方形被分成了7個(gè)小長(zhǎng)方形，任選幾個(gè)小長(zhǎng)方形，將每個(gè)小長(zhǎng)方形再分成7個(gè)小長(zhǎng)方形。我們稱這樣的操作為一次操作，能否經(jīng)過(guò)有限次操作。將正方形恰好分成2010個(gè)小長(zhǎng)方形？如果能，請(qǐng)寫(xiě)出一種操作方法；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。
24．把編號(hào)1~13的13張卡片按編號(hào)從小到大的順序疊成一摞，然后按如下步驟進(jìn)行操作：
第一步：把這摞卡片按從上到下的順序分成上（A）、中（B）、下（C）三摞，其中A摞4張，B摞4張，C摞5張；
第二步：把C摞最上面一張卡片拿出來(lái)，放在桌子上；然后把B摞最上面一張卡片拿出來(lái)，放在拿出來(lái)的第一張卡片上；接著把A摞最上面一張卡片拿出來(lái)，放在拿出來(lái)的第二張卡片上；……如此按C、B、A的順序輪流拿卡片，直到將13張卡片重新疊成一摞。
完成以上兩步是一次操作，第1次操作過(guò)程如下圖：
（1）第1次操作后，從上往下數(shù)第6張卡片上的編號(hào)是__________。（直接寫(xiě)出答案）
（2）第2次操作后，從上往下數(shù)第6張卡片上的編號(hào)是__________。（直接寫(xiě)出答案）
（3）第365次操作后，從上往下數(shù)第6張卡片上的編號(hào)是多少？（寫(xiě)出詳細(xì)過(guò)程）
25．現(xiàn)有a（a＞50）根長(zhǎng)度相同的小棒，按圖1擺放恰好可以擺成（2m＋1）個(gè)三角形，按圖2擺放恰好可以擺成2n個(gè)小正方形。
（1）求a的最小值；
圖1 圖2
（2）若這a根小棒還可以按圖3恰好擺成p個(gè)五邊形，且a＜200，求a的最大值。
26．餐館內(nèi)有一種長(zhǎng)方形桌子，每張桌子周?chē)?把椅子，如果客人多，就按如圖所示的方式拼桌。
現(xiàn)有14位客人要坐在一起，一共需要拼幾張桌子？（可以選擇畫(huà)一畫(huà)或算一算等方法）
27．如圖，在一個(gè)5×5的方格圖中，按圖中規(guī)律在每個(gè)格內(nèi)都填有一個(gè)數(shù)：同一行中右格中的數(shù)與緊鄰左格中的數(shù)的差是固定的數(shù)，同一列中上格中的數(shù)與緊鄰下格中的數(shù)的差也是固定的數(shù)。根據(jù)圖中已填好的數(shù)，則第3行第4列應(yīng)該填入的數(shù)是多少？

28．將1~5填入第一行的五個(gè)○中，將相鄰兩個(gè)○中的數(shù)之和填入上一行的○中，如此下去直到第五行，如圖1，要使第五行○中的數(shù)最大，那么第一行中的數(shù)應(yīng)以怎樣的順序填寫(xiě)？最大值是多少？（在圖2中填寫(xiě)，并說(shuō)明填寫(xiě)的理由。）
29．現(xiàn)有a（a＞50）根長(zhǎng)度相同的小棒，按圖1擺放恰好可以擺成2m個(gè)三角形，按圖2擺放恰好可以擺成2n個(gè)小正方形。
（1）求a的最小值；
（2）若這a根小棒還可以按圖3恰好擺成p個(gè)五邊形，且a＜200，求a的最大值。
30．用小棒搭房子。
（1）搭1間房子要（ ）根小棒，搭2間房子要（ ）根小棒，搭3間房子要（ ）根小棒。
（2）搭10間房子要（ ）根小棒，搭n間房子要（ ）根小棒。
（3）如果有65根小棒可以搭多少間房子？
參考答案
1．(1) 4 5
(2) 11 n（n＋1）
【分析】序號(hào)1：2，1個(gè)偶數(shù)；
序號(hào)2：2＋4，2個(gè)偶數(shù)；
序號(hào)3：2＋4＋6，3個(gè)偶數(shù)；
……
序號(hào)幾就是幾個(gè)連續(xù)偶數(shù)相加。
2＝1×2，
2＋4＝2×3
2＋4＋6＝3×4
……
結(jié)果＝序號(hào)幾就用幾×（幾＋1）。
因此，此題是求連續(xù)偶數(shù)的和，其得數(shù)是偶數(shù)的個(gè)數(shù)（即序號(hào)）與偶數(shù)個(gè)數(shù)加1的積，據(jù)此解答。
【詳解】（1）2＝1×2
2＋4＝2×3
2＋4＋6＝3×4
2＋4＋6＋8＝4×5
（2）132＝11×12
若按此規(guī)律繼續(xù)擺，則序號(hào)為11的圖形共有132個(gè)小圓片，序號(hào)為n的圖形，共有n（n＋1）個(gè)小圓片。
2．
【分析】由圖可知，把正方形看成一個(gè)邊長(zhǎng)是1的正方形，那么先平均分成兩份，那么另外一份占，再把第一份平均分成兩份，其中一份占，再把分為兩份，其中一份是，依次類(lèi)推，可分到份，所以最終可得到：，即1－＝。
【詳解】
＝1－
＝
3．（1）55；89；
（2）100÷3＝33（組）……1（個(gè)）
這組數(shù)是按奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)……每3個(gè)數(shù)為一組，第100個(gè)數(shù)剛好是一組中的第一個(gè)數(shù)，所以是奇數(shù)。
【分析】（1）根據(jù)題意可知，從這組數(shù)據(jù)的第三項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和，所以用前兩項(xiàng)相加即可求出后一項(xiàng)；
（2）根據(jù)題意可知，這組數(shù)據(jù)是按照奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)……的規(guī)律排列的，找出幾個(gè)數(shù)為一組，求第100個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，用100除以幾，如果沒(méi)有余數(shù)，則第100個(gè)數(shù)是一組規(guī)律中的最后一個(gè)數(shù)，如果有余數(shù)，則看其排在一組規(guī)律中的第幾個(gè)數(shù)，再看看相應(yīng)位置是奇數(shù)還是偶數(shù)；據(jù)此解答。
【詳解】（1）21＋34＝55
34＋55＝89
根據(jù)這組數(shù)的規(guī)律填一填：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89…
（2）100÷3＝33（組）……1（個(gè)）
答：這組數(shù)是按奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)……每3個(gè)數(shù)為一組，第100個(gè)數(shù)剛好是一組中的第一個(gè)數(shù)，所以是奇數(shù)。
4．40枚
【分析】由題可得：第一堆黑子＋第一堆白子＝60枚，第二堆黑子＋第二堆白子＝60枚，因?yàn)榈谝欢押谧优c第二堆的白子同樣多，所以第二堆的白子＋第一堆白子＝60枚，第一堆黑子＋第二堆黑子＝60枚，因此可知第一二堆的黑子數(shù)量和等于第一二堆的的白子數(shù)量和。在第三堆中可求出白子比黑子少多少枚，就是這三堆棋子中白子比黑子少多少枚。第三堆有10枚白子，即黑子有：60－10＝50（枚），最后用黑子數(shù)減去白子數(shù)，即可求出白子比黑子少多少枚，據(jù)此解答。
【詳解】60－10＝50（枚）
50－10＝40（枚）
答：這三堆棋子中，白子比黑子少40枚。
5．作圖如下；21
【分析】觀察可知，第一個(gè)圖形小三角形個(gè)數(shù)是（1＋2＋3），第二個(gè)圖形小三角形個(gè)數(shù)是（2＋3＋4），第三個(gè)圖形小三角形個(gè)數(shù)是（3＋4＋5），由此可知，每個(gè)圖形都有3行，第幾個(gè)圖形最上邊1行就有幾個(gè)小三角形，下邊依次多1個(gè)小三角形，因此第六個(gè)圖形應(yīng)該是（6＋7＋8）個(gè)小三角形，據(jù)此畫(huà)圖并填空。
【詳解】
6＋7＋8＝21（個(gè)）
由此可以得出第六個(gè)圖形一共由21個(gè)小三角形組成。
6．（1）1；4；9；16；25；36
（2）n2；324個(gè)
【分析】（1）通過(guò)觀察圖，可以發(fā)現(xiàn)圓的個(gè)數(shù)依次增加。得出規(guī)律如下
圖（1）中圓的個(gè)數(shù)：1＝1×1＝12；
圖（2）中圓的個(gè)數(shù)：4＝2×2＝22；
圖（3）中圓的個(gè)數(shù)：9＝3×3＝32；
……
圖（n）中圓的個(gè)數(shù)：n×n＝n2。
因此可得：
圖（4）中圓的個(gè)數(shù)：42＝16；
圖（5）中圓的個(gè)數(shù)：52＝25；
圖（6）中圓的個(gè)數(shù)：62＝36；
（2）由（1）可得，第n個(gè)正方形中圓的個(gè)數(shù)是n2，通過(guò)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算出第18個(gè)圖形中有182個(gè)圓，據(jù)此解答。
【詳解】（1）填表如下：
（2）n×n＝n2
182＝18×18＝324（個(gè)）
答：第n個(gè)正方形中圓的個(gè)數(shù)是n2，第18個(gè)圖形中有324個(gè)圓。
7．2
【分析】通過(guò)列舉2，9，8，2，6，2，2，4，8，2，6，2，2，4…可以發(fā)現(xiàn)，從第三個(gè)數(shù)8開(kāi)始每6個(gè)數(shù)一組重復(fù)出現(xiàn)，用2023先減去不參加重復(fù)出現(xiàn)的2個(gè)數(shù)字，然后除以6可得有多少組，如果整除了那么就是這一組的最后一個(gè)數(shù)，如果有余數(shù)，那么余數(shù)是幾，就是下一組的第幾個(gè)；據(jù)此可解此題。
【詳解】（2023－2）÷6
＝2021÷6
＝336……5
說(shuō)明第2023個(gè)就是第337組中的第5個(gè)，所以是2。
答：這一列數(shù)的第2023個(gè)數(shù)是2。
【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是通過(guò)列舉找出這一列數(shù)的規(guī)律，從而進(jìn)行解答。
8．9人
【分析】觀察隊(duì)形可知，原來(lái)的隊(duì)形第一排有1人，第二排有2人，……，總?cè)藬?shù)是1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝4×4＝16（人），要保持隊(duì)形不變，人數(shù)增加最少，第五排應(yīng)有5人，總?cè)藬?shù)可以變成1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝5×5＝25（人），增加人數(shù)就是25－16＝9（人）。
【詳解】1＋2＋3＋4＋3＋2＋1
＝4×4
＝16（人）
1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1
＝5×5
＝25（人）
25－16＝9（人）
答：至少應(yīng)該增加9人。
9．（1）4；4n＋2
（2）13張
【分析】（1）先觀察圖形，找出桌子數(shù)量和能坐人數(shù)之間的規(guī)律。通過(guò)對(duì)比一張桌子、兩張桌子能坐的人數(shù)，來(lái)確定每多一張桌子多坐的人數(shù)。
一張桌子可以圍坐：4×1＋2＝4＋2＝6（人）
兩張桌子拼起來(lái)可以圍坐：4×2＋2＝8＋2＝10（人）
三張桌子拼起來(lái)可以圍坐：4×3＋2＝12＋2＝14（人）
四張桌子拼起來(lái)可以圍坐：4×4＋2＝16＋2＝18（人）
……
n張桌子拼起來(lái)可以圍坐：4×n＋2＝（4n＋2）人
一張桌子可以圍坐6個(gè)人，兩張桌子拼起來(lái)可以圍坐10個(gè)人，10－6＝4（人），所以每多一張桌子，可多坐 4 人。
（2）五（1）班有54人，設(shè)至少需要x張桌子，由（1）可得4x＋2＝54，解出方程，即可求出五（1）班有54人，至少需要多少?gòu)堊雷印?br>【詳解】（1）由分析可得：每多一張桌子，可多坐4人，按此規(guī)律，n張桌子可坐（4n＋2）人。
（2）解：設(shè)至少需要x張桌子。
4x＋2＝54
4x＝54－2
4x＝52
x＝52÷4
x＝13
答：五（1）班有54人，至少需要13張桌子。
10．(1)17
(2)77
(3)4n－3
【分析】（1）（2）（3）通過(guò)觀察圖，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：
第1幅圖的點(diǎn)數(shù)為1＋0×4＝1＋0＝1
第2幅圖的點(diǎn)數(shù)為1＋1×4＝1＋4＝5
第3幅圖的點(diǎn)數(shù)為1＋2×4＝1＋8＝9
第4幅圖的點(diǎn)數(shù)為1＋3×4＝1＋12＝13
……
第n幅圖的點(diǎn)數(shù)為：1＋（n－1）×4＝1＋4n－4＝4n－3
通過(guò)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，算出第5幅圖和第20幅圖的點(diǎn)數(shù)是多少，據(jù)此解答。
【詳解】（1）4×5－3＝20－3＝17（個(gè)）
按這個(gè)規(guī)律排下去，第5幅圖的點(diǎn)數(shù)是17。
（2）4×20－3＝80－3＝77（個(gè)）
第20幅圖的點(diǎn)數(shù)是77。
（3）由分析得：第幅圖的點(diǎn)數(shù)是4n－3。
11．31
【分析】
由可知三角形表示2，圓表示3，正方形表示1。又由這些圖案下面的數(shù)字可以發(fā)現(xiàn)圖案里面的圖形表示前面的數(shù)字，圖案外面的圖形表示后面的數(shù)字。根據(jù)發(fā)現(xiàn)的關(guān)系可知圖案中，里面是圓，表示前面的數(shù)字是3，外面是正方形表示后面的數(shù)字是1；據(jù)此解答。
【詳解】
通過(guò)分析可知，三角形表示2，圓表示3，正方形表示1， 圖案里面的圖形表示前面的數(shù)字，圖案外面的圖形表示后面的數(shù)字，所以表示31。
【點(diǎn)睛】解決此類(lèi)問(wèn)題可以先從組合圖案中找到與圖形相對(duì)應(yīng)的數(shù)字，再根據(jù)圖案的組合規(guī)律推算出對(duì)應(yīng)的數(shù)字的排列順序。
12．（1）1個(gè)；3個(gè)；6個(gè)；10個(gè)；
（2）21個(gè)；45個(gè)；
（3）見(jiàn)詳解；（1＋2＋3＋4＋…＋n）個(gè)；
（4）55個(gè)
【分析】從圖中可知：
（1）有1個(gè)三角形；
有2個(gè)小三角形和1個(gè)大三角形，一共是2＋1＝3（個(gè)）三角形；
有3個(gè)小三角形，相鄰2個(gè)小三角形組成2個(gè)三角形，有1個(gè)大三角形，共有3＋2＋1＝6（個(gè)）三角形；
有4個(gè)小三角形，相鄰2個(gè)小三角形組成3個(gè)三角形，相鄰3個(gè)小三角形組成2個(gè)三角形，有1個(gè)大三角形，共有4＋3＋2＋1＝10（個(gè)）三角形；
（2）按照這種規(guī)律畫(huà)下去，
第6個(gè)圖形：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（個(gè)）
第9個(gè)圖形：9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45（個(gè)）
（3）由此得出規(guī)律：若圖形中的單個(gè)小三角形個(gè)數(shù)為n，則圖形中三角形的總個(gè)數(shù)就是（1＋2＋3＋4＋…＋n）個(gè)。
（4）數(shù)出單個(gè)小三角形的個(gè)數(shù)，再按規(guī)律計(jì)算即可。
【詳解】（1）1個(gè)
2＋1＝3（個(gè)）
3＋2＋1＝6（個(gè)）
4＋3＋2＋1＝10（個(gè)）
答：第1個(gè)圖形有1個(gè)三角形；第2個(gè)圖形有3個(gè)三角形；第3個(gè)圖形有6個(gè)三角形；第4個(gè)圖形有10個(gè)三角形。
（2）第6個(gè)圖形：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（個(gè)）
第9個(gè)圖形：9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45（個(gè)）
答：第6個(gè)圖形有21個(gè)三角形；第9個(gè)圖形有45個(gè)三角形；
（3）答：我發(fā)現(xiàn)圖中有幾個(gè)小三角形就從1開(kāi)始依次加到n。若圖形中的單個(gè)小三角形個(gè)數(shù)為n，則圖形中三角形的總個(gè)數(shù)就是（1＋2＋3＋4＋…＋n）個(gè)。
（4）10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（個(gè)）
答：圖中一共有55個(gè)三角形。
13．（1）10；14
（2）（2n＋4）人
【分析】1張長(zhǎng)方形桌子可坐6人，6＝2×1＋4；2張桌子拼在一起可坐8人，8＝2×2＋4；依此類(lèi)推，每多一張桌子可多坐2人，所以n張桌子拼在一起可坐（2n＋4）人。據(jù)此解答即可。
【詳解】（1）2×3＋4
＝6＋4
＝10（人）
2×5＋4
＝10＋4
＝14（人）
則3張桌子拼在一起可坐10人，5張桌子拼在一起可坐14人。
（2）n×2＋4＝（2n＋4）人
答：如果是n張桌子拼在一起，那么可以坐（2n＋4）人。
14．(1) 1 4 9
(2) 4 8 12
(3) 25 20 81 36
【分析】（1）根據(jù)題中圖形排列規(guī)律：
第1個(gè)圖形是1行1列，有小正方形：1×1＝1（個(gè)）；
第2個(gè)圖形是2行2列，有小正方形：2×2＝4（個(gè)）；
第3個(gè)圖形是3行3列，有小正方形：3×3＝9（個(gè)）；
則第n個(gè)圖形是n行n列，有小正方形：n×n＝n2（個(gè)）。
（2）通過(guò)觀察可知：
第1個(gè)圖形邊長(zhǎng)為1厘米，周長(zhǎng)：1×4＝4（厘米）；
第2個(gè)圖形邊長(zhǎng)為2厘米，周長(zhǎng)：2×4＝8（厘米）；
第3個(gè)圖形邊長(zhǎng)為3厘米，周長(zhǎng)：3×4＝12（厘米）；
則第n個(gè)圖形邊長(zhǎng)為n厘米，周長(zhǎng)：n×4＝4n（厘米）。
（3）通過(guò)（1）（2）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，即可解答。
【詳解】（1）由分析可得：小正方形的個(gè)數(shù)分別是1、4、9…
（2）由分析可得：大正方形的周長(zhǎng)分別是4厘米、8厘米、12厘米…
（3）由分析（1）（2）可得：
5×5＝25（個(gè)）
4×5＝20（厘米）
9×9＝81（個(gè)）
4×9＝36（厘米）
即第5個(gè)圖形中的小正方形有25個(gè)，這個(gè)圖形的周長(zhǎng)是20厘米；第9個(gè)圖形中的小正方形有81個(gè)，這個(gè)圖形的周長(zhǎng)是36厘米。
15．(1) 38 6n＋2
(2)200
(3)14
【分析】（1）根據(jù)題意分析可得：擺1條金魚(yú)需8根火柴棒，此后，每條金魚(yú)都比前一條金魚(yú)多用6根，故按照上面的規(guī)律，擺n條“金魚(yú)”需用火柴棒的根數(shù)為8＋（n－1）×6根；據(jù)此解答。
（2）根據(jù)（1）求出8條金魚(yú)需要多少根火柴棒，即一組需要多少根火柴棒，進(jìn)而求出4組需要的火柴棒。
（3）我們需要用88根火柴棒減去2根火柴棒，因?yàn)榈谝粭l金魚(yú)用的是8根火榮棒。其余都是用的6根。所以減去第一條多的2根，再除以6，就可以得到88根火柴最多可以擺多少這樣的金魚(yú)。當(dāng)剩下不足6根火柴棒是不能組成一條“金魚(yú)”。
【詳解】（1）8＋（6－1）×6
＝8＋5×6
＝8＋30
＝38（根）
8＋（n－1）×6
＝8＋（6n－6）
＝8＋6n－6
＝（6n＋2）根
按照上面的規(guī)律，擺6條“金魚(yú)”需要38根火柴棒，擺n條“金魚(yú)”需要（6n＋2）根火柴棒。
（2）當(dāng)n＝8時(shí)，
6n＋2
＝6×8＋2
＝48＋2
＝50（根）
50×4＝200（根）
如果要擺4組“金魚(yú)”，每組擺8條，按照上面的擺法，需要準(zhǔn)備200根火柴棒。
（3）（88－2）÷6
＝86÷6
≈14（條）
準(zhǔn)備88根火柴棒最多能擺14條這樣的“金魚(yú)”。
16．495
【分析】任意寫(xiě)一個(gè)三位數(shù)，把各個(gè)數(shù)位上的數(shù)按從大到小排列，組成一個(gè)新數(shù)，再按從小到大排列組成另一個(gè)新數(shù)，這兩個(gè)數(shù)相減，得到的差再按上面的步驟做，若干次后，得到的差是幾，三位數(shù)的黑洞就是幾。
【詳解】例如：576
765－567＝198
981－189＝792
792－279＝513
531－153＝378
873－378＝495
954－459＝495
954－459＝495
答：三位數(shù)的黑洞是495。
17．（1）84分；1.2分
（2）少算；50；1.2
（3）只有當(dāng)前30名和后20名的平均分相等時(shí)，李敏的算法才是正確的。
【分析】（1）平均數(shù)等于總數(shù)除以個(gè)數(shù)。對(duì)于這道題，要通過(guò)計(jì)算前30名和后20名的總分來(lái)求出全班的實(shí)際平均分，再與李敏的計(jì)算方法進(jìn)行對(duì)比。然后根據(jù)笑笑的賦值法求出李敏計(jì)算的平均分以及差值；
（2）根據(jù)奇思的數(shù)形結(jié)合可知，李敏少算了60分用少算的分?jǐn)?shù)除以全班人數(shù)，即是少算的平均分；
（3）只有當(dāng)前30名和后20名的平均分相等時(shí)，李敏的算法才是正確的。
【詳解】（1）（90＋78）÷2
＝168÷2
＝84（分）
85.2－84＝1.2（分）
所以李敏算的平均分為84分；與實(shí)際平均分相差1.2分。
（2）從“移多補(bǔ)少”去想，李敏是少算6×10＝60（分），所以李敏得到的結(jié)果與全班實(shí)際的平均成績(jī)相差60÷50＝1.2（分）。
（3）只有當(dāng)前30名和后20名的平均分相等時(shí)，李敏的算法才是正確的。
18．(1) 4 5
(2) 10 11 110
【分析】（1）通過(guò)觀察圖形中小正方形的排列規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了連續(xù)偶數(shù)相加的求和規(guī)律。
4
5
發(fā)現(xiàn)了連續(xù)偶數(shù)相加的求和規(guī)律：從2開(kāi)始的連續(xù)n個(gè)偶數(shù)相加，其和為n×（n＋1）
（2）在中，一共有10個(gè)偶數(shù)相加，然后運(yùn)用發(fā)現(xiàn)的這個(gè)規(guī)律來(lái)計(jì)算即可。
【詳解】（1）4，5
（2）
＝10×（10＋1）
＝10×11
＝110
19．見(jiàn)詳解
【分析】從圖1看出兩個(gè)數(shù)相乘可以借助長(zhǎng)方形面積的計(jì)算方法，把每個(gè)乘數(shù)拆成兩個(gè)數(shù)的和相當(dāng)于把長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別拆成兩段，然后把長(zhǎng)方形分割成四個(gè)小長(zhǎng)方形，分別求出每個(gè)長(zhǎng)方形面積＝長(zhǎng)×寬，再相加即可。
【詳解】
1＋0.25＝1.25；1＋0.2＝1.2
（1＋0.25）×（1＋0.2）＝1×1＋1×0.2＋0.25×1＋0.25×0.2＝1＋0.2＋0.25＋0.05＝1.5
由上題的思路，圖2研究的是1.25×1.2
（a＋b）×（a＋b）
＝a×a＋a×b＋ a×b＋b×b
＝a2＋2ab＋b2
20．第三列
【分析】觀察圖形可知：除去第一行，其它各行的排列都是有規(guī)律的，也就是八個(gè)數(shù)字一組，每四個(gè)數(shù)字為一行，前四個(gè)數(shù)字分別占居一二三四列的位置，后四個(gè)數(shù)字分別占居二三四五列。所以本題需要用有余數(shù)除法來(lái)解決，先計(jì)算2000－5＝1995，再用1995除以8，看余數(shù)是多少即可判斷出2000應(yīng)寫(xiě)在哪一列。
【詳解】
＝1995÷8
＝249……3
2000應(yīng)寫(xiě)在第三列。
答：2000應(yīng)寫(xiě)在第三列。
【點(diǎn)睛】先找出這個(gè)數(shù)陣周期性的規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律求解。
21．（1）見(jiàn)詳解
（2）n（n－1）÷2；45
【分析】本題考查了握手問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用，要注意去掉重復(fù)計(jì)算的情況，如果數(shù)量比較少我們可以用枚舉法解答，比如5個(gè)人握手求相互握手的次數(shù)；如果數(shù)量比較多，我們可以用公式 n（n－1）÷2解答。
【詳解】（1）如下表所示：
（2）若有n人相互握手，握手的次數(shù)是n（n－1）÷2次；
當(dāng)n＝10時(shí)，握手次數(shù)是：
10×（10－1）÷2
＝10×9÷2
＝90÷2
＝45（次）
【點(diǎn)睛】每2人之間握一次手，相當(dāng)于兩兩組合，根據(jù)握手問(wèn)題的公式n（n－1）÷2解答。
22．不能經(jīng)過(guò)有限次操作，將一張紙恰好剪成2009塊，因?yàn)?009被5除余4，余數(shù)不是1
【分析】根據(jù)題意可知，每次增加操作后，紙張的數(shù)量都增加了5的整數(shù)倍，紙張的數(shù)量為被5除余1的整數(shù)。據(jù)此判斷即可。
【詳解】2009÷5＝401……4
2009被5除余4，所以不能經(jīng)過(guò)有限次操作，將一張紙恰好剪成2009塊。
答：不能經(jīng)過(guò)有限次操作，將一張紙恰好剪成2009塊，因?yàn)?009被5除余4，余數(shù)不是1。
【點(diǎn)睛】本題考查了帶余除法的靈活應(yīng)用，明確紙張?jiān)黾拥囊?guī)律是解答本題的關(guān)鍵。
23．不能；理由見(jiàn)詳解
【分析】根據(jù)題意可知，每次增加操作后，長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)都增加了6的整數(shù)倍，長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)為被6除余1的整數(shù)。據(jù)此判斷即可。
【詳解】2010÷6＝335
2010恰好是6的整數(shù)倍，所以不能經(jīng)過(guò)有限次操作，將正方形恰好分成2010個(gè)小長(zhǎng)方形。
答：不能經(jīng)過(guò)有限次操作，將正方形恰好分成2010個(gè)小長(zhǎng)方形，因?yàn)?010恰好是6的整數(shù)倍。
24．（1）7；（2）11；（3）9
【分析】（1）第一次操作：
A段的書(shū)的編號(hào)（從上往下）分別是：1、2、3、4；
B段的書(shū)的編號(hào)（從上往下）分別是：5、6、7、8；
C段的書(shū)的編號(hào)（從上往下）分別是：9、10、11、12、13；
按照第二步的順序（從上往下）：13、4、8、12、3、7、11、2、6、10、1、5、9，第6張是7。
（2）第二次操作：
A段的書(shū)的編號(hào)（從上往下）分別是：13、4、8、12；
B段的書(shū)的編號(hào)（從上往下）分別是：3、7、11、2；
C段的書(shū)的編號(hào)（從上往下）分別是：6、10、1、5、9；
按照第二步的順序（從上往下）：9、12、2、5、8、11、1、4、7、10、13、3、6，第6張是11。
（3）根據(jù)（1）和（2），繼續(xù)往下，得出第三次操作的第6張是1，第四次操作的第6張是13，一直算到第7次后發(fā)現(xiàn)規(guī)律，列出如下的表格，得出是按照7、11、1、13、9、6這樣的順序循環(huán)排列的。
將6個(gè)數(shù)看成一組，365次里面有60組這樣循環(huán)，余5個(gè)數(shù)，則循環(huán)里面的第五個(gè)數(shù)就是第365次操作后從上往下數(shù)第6張卡片上的編號(hào)。
【詳解】（1）第1次操作后，從上往下數(shù)第6張卡片上的編號(hào)是7。
（2）第2次操作后，從上往下數(shù)第6張卡片上的編號(hào)是11。
（3）365÷6＝60（組）……5（個(gè)）
答：第365次操作后，從上往下數(shù)第6張卡片上的編號(hào)是9。
25．（1）67；
（2）147
【分析】（1）對(duì)圖1分析：
m＝0時(shí)，就是有1個(gè)三角形時(shí)，需要3根小棒；
m＝1時(shí)，就是有3個(gè)三角形時(shí)，需要7＝3＋4根小棒；
m＝2時(shí)，就是有5個(gè)三角形時(shí)，需要11＝3＋4×2根小棒；
……
需要小棒的數(shù)量＝3＋4m。
對(duì)圖2分析：
n＝1時(shí)，就是2個(gè)正方形時(shí)，需要7根小棒；
n＝2時(shí)，就是4個(gè)正方形時(shí)，需要12＝7＋5根小棒；
n＝3時(shí)，就是6個(gè)正方形時(shí)，需要17＝7＋5×2根小棒；
……
需要小棒的數(shù)量＝7＋5（n－1）＝5n＋2。
擺成兩種圖形小棒的數(shù)量是一樣的，則
a＝3＋4m＝5n＋2，a的值大于50，則m最小12，n最小是10，且m、n、a都是整數(shù)。當(dāng)m＝12時(shí)，n＝9.8不符合；m＝13時(shí)，n＝10.6不符合；m＝14時(shí)，n＝11.4不符合；m＝15時(shí)，n＝12.2不符合；m＝16時(shí)，n＝13符合。
（2）分析圖3：
p＝2時(shí)，就是有2個(gè)五邊形，需要小棒9根小棒；
p＝4時(shí)，就是有4個(gè)五邊形，需要小棒15＝3×4＋3根小棒；
p＝6時(shí)，就是有6個(gè)五邊形，需要小棒21＝3×6＋3根小棒；
……
需要小棒的根數(shù)＝3p＋3＝3（p＋1），即a的值是3的倍數(shù)，在滿足（1）的情況下，a的取值是：67、87、107、127、147、167、187。
其中187和167不是3的倍數(shù)，147是3的倍數(shù)，
【詳解】（1）擺成三角形需要小棒的數(shù)量：3＋4m。
擺成正方形需要小棒的數(shù)量：5n＋2。
3＋4m＝5n＋2
當(dāng)m＝16，n＝13時(shí)
3＋4×16
＝3＋64
＝67（根）
答：a的最小值67根。
（2）a＝3（p＋1）
a的取值是：67、87、107、127、147、167、187，
其中147符合條件。
答：a的最大值147根。
【點(diǎn)睛】認(rèn)真觀察圖形，找出圖形的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵。
26．6張
【分析】根據(jù)題意可知1張桌子4個(gè)人，2張桌子6個(gè)人，3張桌子8個(gè)人，可得到規(guī)律：每多1張桌子，會(huì)多2人，先用14－4求出第一張桌子坐滿后多的人數(shù)，再除以2即可求出需要多加多少?gòu)堊雷樱偌由?即為一共需要拼幾張桌子。據(jù)此解答即可。
【詳解】14－4＝10（人）
10÷2＝5（張）
5＋1＝6（張）
答：一共需要拼6張桌子。
27．154
【分析】根據(jù)題意可知，設(shè)第2行第1列為a，第3行第1列為2a，如下圖：
據(jù)此可知，①＝（a＋97），③＝（2a＋194），②＝（2a＋③），②＝（91＋①），把①＝（a＋97）和③＝（2a＋194）代入（91＋①）＝（2a＋③）中，然后求出a的值，據(jù)此再把a(bǔ)的值代入（2a＋194），求出③，然后根據(jù)④＝（194＋③），求出④。
【詳解】解：設(shè)第2行第1列為a，第3行第1列為2a。
[91＋（a＋97）]＝[2a＋（2a＋194）]
[91＋0.5a＋48.5]＝[2a＋a＋97]
[91＋0.5a＋48.5]×2＝[2a＋a＋97] ×2
91＋0.5a＋48.5＝2a＋a＋97
91＋0.5a＋48.5＝3a＋97
139.5＋0.5a＝3a＋97
139.5＋0.5a－0.5a＝3a＋97－0.5a
139.5＝2.5a＋97
139.5－97＝2.5a＋97－97
42.5＝2.5a
2.5a＝42.5
2.5a÷2.5＝42.5÷2.5
a＝17
當(dāng)a＝17時(shí)，
第3行第3列為：
×（2×17＋194）
＝×2×17＋×194
＝17＋97
＝114
第3行第4列為：
×（194＋114）
＝×308
＝154
答：第3行第4列應(yīng)該填入的數(shù)是154。
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)表中的規(guī)律，先找到規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律求解，注意方程思想的運(yùn)用。
28．第一行中的數(shù)排列可以是1、3、5、4、2，理由：盡可能使第一行中最大的數(shù)加的次數(shù)最多，才能使第五行的數(shù)最大；最大值是61
【分析】通過(guò)觀察可知，48＝20＋28＝8＋12＋12＋16＝3＋5＋5＋7＋5＋7＋7＋9＝1＋2＋2＋3＋2＋3＋3＋4＋2＋3＋3＋4＋3＋4＋4＋5，從第一行數(shù)到第五行的數(shù)，第一行的數(shù)從左往右，依次加了1次、4次、6次、4次、1次。為使第五行的數(shù)最大，加6次的數(shù)應(yīng)當(dāng)是5，加4次的數(shù)是3和4，加1次的數(shù)是1和2，據(jù)此用5×6＋3×4＋4×4＋1＋2即可求出最大值。
【詳解】根據(jù)分析可知，
最大值：5×6＋3×4＋4×4＋1＋2
＝30＋12＋16＋1＋2
＝61
第一行中的數(shù)排列可以為：，符合第五行結(jié)果為61的排列即可。
答：第一行中的數(shù)排列可以是1、3、5、4、2，理由是要盡可能使第一行中最大的數(shù)加的次數(shù)最多，才能使第五行的數(shù)最大，最大值是61。
29．（1）57；（2）177
【分析】（1）對(duì)圖1分析：
m＝1時(shí)，就是有2個(gè)三角形時(shí)，需要5＝1＋4根小棒；
m＝2時(shí)，就是有4個(gè)三角形時(shí)，需要9＝1＋4×2根小棒；
m＝3時(shí)，就是有6個(gè)三角形時(shí)，需要13＝1＋4×3根小棒；
……
需要小棒的數(shù)量＝1＋4m。
對(duì)圖2分析：
n＝1時(shí)，就是2個(gè)正方形時(shí)，需要7＝2＋5根小棒；
n＝2時(shí)，就是4個(gè)正方形時(shí)，需要12＝2＋5×2根小棒；
n＝3時(shí)，就是6個(gè)正方形時(shí)，需要17＝2＋5×3根小棒；
……
需要小棒的數(shù)量＝2＋5n。
擺成兩種圖形小棒的數(shù)量是一樣的，則
a＝1＋4m＝2＋5n，a的值大于50，則m最小13，n最小是10，且m、n、a都是整數(shù)。當(dāng)m＝13時(shí)，n＝10.2不符合；m＝14時(shí)，n＝11符合。
（2）分析圖3：
p＝2時(shí)，就是有2個(gè)五邊形，需要小棒9根小棒；
p＝4時(shí)，就是有4個(gè)五邊形，需要小棒15＝3×4＋3根小棒；
p＝6時(shí)，就是有6個(gè)五邊形，需要小棒21＝3×6＋3根小棒；
……
需要小棒的根數(shù)＝3p＋3＝3（p＋1），即a的值是3的倍數(shù)，在滿足（1）的情況下，a的取值是：57、77、97、117、137、157、177，
其中77、97、137、157不是3的倍數(shù)，57、117、177是3的倍數(shù)。
【詳解】（1）擺成三角形需要小棒的數(shù)量：1＋4m。
擺成正方形需要小棒的數(shù)量：2＋5n。
1＋4m＝5n＋2
4m＝5n＋1
m＝
當(dāng)m＝14，n＝11時(shí)，
1＋4×14
＝1＋56
＝57（根）
答：a的最小值57根。
（2）a＝3（p＋1）
a的取值是：57、77、97、117、137、157、177，
57、117、177是3的倍數(shù)，177最大。
答：a的最大值177根。
【點(diǎn)睛】認(rèn)真觀察圖形，找出圖形的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵。
30．（1）5；9；13
（2）41；（4n＋1）
（3）16間
【分析】（1）看圖數(shù)一數(shù)，即可確定搭1間、2間、三間房子需要的小棒根數(shù)；
（2）搭1間房子要5根小棒，5＝1×4＋1；搭2間房子要9根小棒，9＝2×4＋1；搭3間房子要13根小棒，13＝3×4＋1，即小棒根數(shù)＝房子數(shù)量×4＋1，據(jù)此分析；
（3）房子數(shù)量＝（小棒數(shù)量－1）÷4，據(jù)此列式解答。
【詳解】（1）搭1間房子要5根小棒，搭2間房子要9根小棒，搭3間房子要13根小棒。
（2）10×4＋1
＝40＋1
＝41（根）
n×4＋1＝（4n＋1）根
搭10間房子要41根小棒，搭n間房子要（4n＋1）根小棒。
（3）（65－1）÷4
＝64÷4
＝16（間）
答：如果有65根小棒可以搭16間房子。
正方形的個(gè)數(shù)
1
2
3
4
…
（ ）
頂點(diǎn)個(gè)數(shù)
4
7
10
（ ）
…
601
正方形的個(gè)數(shù)
1
2
3
4
…
200
頂點(diǎn)個(gè)數(shù)
4
7
10
13
…
601
序號(hào)
1
2
3
4
…
圖形
……
圖片個(gè)數(shù)
2
2＋4
2＋4＋6
2＋4＋6＋8
…
圖形編號(hào)
圖（1）
圖（2）
圖（3）
圖（4）
圖（5）
圖（6）
圓的個(gè)數(shù)
示意圖
人數(shù)
2
3
4
5
6
相互握手次數(shù)
1
3
6
圖形編號(hào)
圖（1）
圖（2）
圖（3）
圖（4）
圖（5）
圖（6）
圓的個(gè)數(shù)
1
4
9
16
25
36
示意圖
人數(shù)
2
3
4
5
6
相互握手次數(shù)
1
3
6
10
15
1次
2次
3次
4次
5次
6次
7次
…
7
11
1
13
9
6
7
…

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這是一份【解答題專項(xiàng)】第六單元 百分?jǐn)?shù)（一）（知識(shí)梳理+典例精講+專項(xiàng)訓(xùn)練）-2024-2025學(xué)年小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)（人教版，含答案），共28頁(yè)。試卷主要包含了百分?jǐn)?shù)的概念，百分?jǐn)?shù)的讀寫(xiě)方法，百分?jǐn)?shù)與小數(shù)，百分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用等內(nèi)容，歡迎下載使用。

【解答題專項(xiàng)】第五單元 確定起跑線（知識(shí)梳理+典例精講+專項(xiàng)訓(xùn)練）-2024-2025學(xué)年小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)（人教版，含答案）：

這是一份【解答題專項(xiàng)】第五單元 確定起跑線（知識(shí)梳理+典例精講+專項(xiàng)訓(xùn)練）-2024-2025學(xué)年小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)（人教版，含答案），共14頁(yè)。試卷主要包含了橢圓式田徑場(chǎng)跑道結(jié)構(gòu)，跑道長(zhǎng)度計(jì)算，確定起跑線位置等內(nèi)容，歡迎下載使用。

【解答題專項(xiàng)】第五單元 圓（知識(shí)梳理+典例精講+專項(xiàng)訓(xùn)練）-2024-2025學(xué)年小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)（人教版，含答案）：

這是一份【解答題專項(xiàng)】第五單元 圓（知識(shí)梳理+典例精講+專項(xiàng)訓(xùn)練）-2024-2025學(xué)年小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)（人教版，含答案），共29頁(yè)。試卷主要包含了圓的特征，圓的周長(zhǎng)，圓的面積s等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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