一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知直線，動直線，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A．不存在，使得的傾斜角為B．對任意的，與都不垂直
C．存在，使得與重合D．對任意的，與都有公共點
2．若點在圓：的外部，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
3．已知橢圓的左?右焦點分別為，過點作垂直于軸的直線交橢圓于兩點，的內(nèi)切圓圓心分別為，則的周長是（ ）
A．B．C．D．
4．已知曲線，過上任意一點向軸引垂線，垂足為，則線段的中點的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
5．已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（ ）
A．B．
C．D．
6．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為塹堵.已知在塹堵中，，，分別是所在棱的中點，則下列3個直觀圖中滿足的有（ ）

A．0個B．1個C．2個D．3個
7．武漢外校國慶節(jié)放7天假（10月1日至10月7日），馬老師、張老師、姚老師被安排到校值班，每人至少值班兩天，每天安排一人值班，同一人不連續(xù)值兩天班，則不同的值班方法共有（ ）種
A．114B．120C．126D．132
8．的展開式中，常數(shù)項為（ ）
A．B．C．120D．60
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．已知圓，則（ ）
A．圓與直線必有兩個交點
B．圓上存在4個點到直線的距離都等于1
C．若圓與圓恰有三條公切線，則
D．已知動點在直線上，過點向圓引兩條切線，，為切點，則的最小值為8
10．已知頂點為的拋物線為上位于焦點右側(cè)的一個動點，則（ ）
A．若，則
B．若滿足，則
C．若直線交于兩點，且，則
D．若直線交于點，則
11．在長方體中，分別是棱的中點，是的中點，直線與平面交于點，則（ ）
A．異面直線與所成角的余弦值是
B．點到平面的距離是
C．三棱錐的體積為
D．四面體外接球的表面積是
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．已知直線與雙曲線有且僅有一個公共點，則實數(shù)的取值為 ．
13．若空間向量，，，則 .
14．汽車制造的專業(yè)化流程是：設(shè)計效果圖→制作油泥模型→生產(chǎn)樣車→對樣車檢驗→投入生產(chǎn).已知A市、B市、C市分別有3個、10個、7個能設(shè)計效果圖的設(shè)計院，A市有2個能制作油泥模型的制作中心，B市有6個能生產(chǎn)樣車的生產(chǎn)車間，C市有1處能對樣車檢驗的檢驗中心，A市、B市、C市、D市、E市分別有8，8，6，3，2家能實際投入生產(chǎn)的生產(chǎn)廠家，從設(shè)計到實際生產(chǎn)，有 種選擇方法．
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.
15．（13分）已知直線及點.
(1)若與垂直的直線過點，求與的值；
(2)若點與點到直線的距離相等，求的斜截式方程.
16．（17分）已知雙曲線：的離心率為，且經(jīng)過點．
(1)求的方程；
(2)若上兩點，關(guān)于點對稱，求直線的方程；
(3)過的右焦點作兩條互相垂直的直線和，且和分別與的右支交于點，和點，，設(shè)的斜率為，求四邊形的面積（用表示）
17．（15分）如圖，在正方體中，，.
(1)當(dāng)取得最小值時，求與的值.
(2)設(shè)與平面所成的角為.
①若，求的值；
②證明：存在常數(shù)，使得為定值，并求該定值.
18．（15分）空間向量的叉乘是三維歐幾里得空間中定義的一種新運算，它可以用來描述空間向量之間的垂直關(guān)系.設(shè)空間向量，，則叉乘的運算公式為
(1)證明：.
(2)設(shè)，，是平面內(nèi)不共線的三個不同的點.
①證明：是平面的一個法向量.
②說明的幾何意義（即說明的長度與方向的幾何意義）.
19．（17分）試解答下列三個計數(shù)問題：
（1）小張要在3所大學(xué)中選擇2所，分別作為自己的第一志愿和第二志愿，共有多少種不同的選擇方式？
（2）在3名學(xué)生中選出2名，分別在某話劇表演中扮演A和兩個角色，共有多少種不同的選擇方式？
（3）學(xué)校要在3名教師中指派2人，分別取上海和浙江交流教學(xué)經(jīng)驗，共有多少種不同的指派方案？
它們的答案是否一致？這三個問題的本質(zhì)是什么？
數(shù)學(xué)參考答案：
1．D
【分析】通過斜率不存在即可得到傾斜角可以為，首先討論斜率是否存在，斜率存在的情況下兩直線的位置關(guān)系：斜率為乘積為得到垂直關(guān)系；斜率相等得到平行（重合），反之即不成立.
【詳解】當(dāng)時，動直線，此時傾斜角為，故A選項錯誤；
，當(dāng)時，顯然與都不垂直；當(dāng)時，，
當(dāng)時，，此時，即存在使得與垂直，故B選項錯誤；
，當(dāng)時，顯然與都不重合且有公共點；當(dāng)時，，
當(dāng)，即時，方程無解，即不存在，使得與平行，但有公共點；
故C選項錯誤，D選項正確；
故選：D.
2．D
【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系，以及圓的一般方程滿足的條件，即可求解.
【詳解】根據(jù)題意可得解得或.
故選：D
3．A
【分析】根據(jù)橢圓及的位置關(guān)系，利用等面積法可分別求得它們的內(nèi)切圓圓心位置及其半徑，分別計算出的各邊長度可得結(jié)果.
【詳解】如圖所示，
由橢圓，知，所以.
所以，所以過作垂直于軸的直線為，
代入中，解出.
由題知的內(nèi)切圓的半徑相等，且的內(nèi)切圓圓心的連線垂直于軸于點.
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，在中，由等面積法得，.
由橢圓的定義可知，，由，所以，
所以，解得，所以.
因為為的的角平分線，所以一定在上，即軸上，
令圓半徑為.
在中，由等面積法得，.
所以，解得，所以，
所以，
所以的周長是.
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于利用等面積法求得各內(nèi)切圓半徑，即可得出結(jié)果.
4．D
【分析】設(shè)，，，則，
然后利用，得到點，然后代入即可求解.
【詳解】設(shè)，，，則，
由題意可知，即，
將點代入，
得，即
故選：D.
5．D
【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.
【詳解】因為，，
所以，，
則向量在向量上的投影向量為：.
故選：D.
6．C
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明逐個判斷即可.
【詳解】在從左往右第一個圖中，因為，所以，
因為側(cè)棱垂直于底面，所以面，
如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，

因為分別是所在棱的中點，所以
所以，，故，
即得證，在從左往右第二個圖中，我們建立同樣的空間直角坐標(biāo)系，

此時，所以，，
故，所以，
在從左往右第三個圖中，我們建立同樣的空間直角坐標(biāo)系，

此時，
故，，即，所以不垂直，
則3個直觀圖中滿足的有個，故C正確.
故選：C
7．A
【分析】依據(jù)值班3天的為分類標(biāo)準(zhǔn)，逐類解決即可.
【詳解】因為有三位老師值班7天，且每人至少值班兩天，每天安排一人值班，同一人不連續(xù)值兩天班，
所以必有一人值班3天，另兩人各值班2天.
第一類：值班3天在、、、、、時，共有種不同的值班方法；
第二類：值班3天在、時，共有種不同的值班方法；
第三類：值班3天在時，共有種不同的值班方法；
第四類：值班3天在時，共有種不同的值班方法；
綜上可知三位老師在國慶節(jié)7天假期共有種不同的值班方法.
故選：A
8．D
【分析】由二項式展開式通項公式可得答案.
【詳解】的展開式中的第項為：.
令，則常數(shù)項為.
故選：D
9．ACD
【分析】根據(jù)直線切過定點且該定點在圓內(nèi)可判斷A；求出圓的圓心到直線的距離可判斷B；將圓化成標(biāo)準(zhǔn)形式，轉(zhuǎn)化為兩圓外切可判斷C；由，且當(dāng)最小時最小時可判斷D.
【詳解】對于A，將直線整理得，
由，解得，所以直線過定點，
因為，所以該定點在圓內(nèi)，則圓與直線必有兩個交點，故A正確；

對于B，圓的圓心到直線的距離為，
所以過圓心且與直線平行的直線與圓相交有兩個點到直線的距離為1，
與直線平行且與圓相切，并且與直線在圓心同側(cè)的直線到的距離為1，
所以只有三個點滿足題意，故B錯誤；
對于C，將圓化成標(biāo)準(zhǔn)形式為，
因為兩圓有三條公切線，所以兩圓外切，所以，
解得，故C正確；
對于D，連接，，，

因為，為切點，所以，，
所以，且當(dāng)最小時，最小，
所以當(dāng)與直線垂直時，，
又因為半徑為2，所以，，
又，，所以垂直平分，所以，
所以，故D正確.
故選：ACD.
10．AD
【分析】對于A，利用點在拋物線上結(jié)合兩點斜率公式消元，再利用基本不等式計算即可；對于B，利用銳角三角函數(shù)結(jié)合點坐標(biāo)計算即可；對于C，設(shè)坐標(biāo)及直線方程，聯(lián)立拋物線求出關(guān)系式即可；對于D，設(shè)坐標(biāo)及直線方程，聯(lián)立拋物線結(jié)合韋達(dá)定理及二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可.
【詳解】對于A，當(dāng)，時，，
則，
又，所以，A正確；

對于B，，
又，所以，B錯誤；

對于C，設(shè)，則，
設(shè)，聯(lián)立，得，
同理可得，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，，
而當(dāng)時，，
而為上位于焦點右側(cè)的一個動點，即，矛盾，故C錯誤；

對于D，設(shè)，
聯(lián)立得，，，
，
又，所以，D正確.

故選：AD
11．ACD
【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出與利用夾角的余弦公式計算后可判斷A的正誤，利用向量法可求點到平面的距離后可判斷B的正誤，求出的坐標(biāo)后可計算三棱錐的體積，從而可判斷C的正誤，求出球心的坐標(biāo)后可求外接球的半徑，計算表面積后可判斷D的正誤.
【詳解】
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，
故，
故，
故異面直線所成角的余弦值為，故A正確；
因為，設(shè)平面的法向量為，
則由可得，取，
而，故點到平面的距離是，故B錯誤；
又，設(shè)，
則
因為共線，所以，故，即，
故，且在軸上，故，故C正確；
設(shè)四面體外接球的球心為，則，
即；
；
，
整理得到：，故，故外接球半徑為，
故外接球的表面積為，故D正確.
故選：ACD.
【點睛】思路點睛：空間幾何體的外接球的計算問題，首先確定球心的位置，如果球心的位置不易求得，則可以通過空間向量的方法求出球心坐標(biāo)，從而解決與球有關(guān)的計算問題.
12．
【分析】聯(lián)立直線與雙曲線的方程組，通過消元，利用方程解的個數(shù)，求出的值即可
【詳解】因為雙曲線的方程為，所以漸近線方程為；
由，消去整理得．
當(dāng)即時，此時直線與雙曲線的漸近線平行，
此時直線與雙曲線相交于一點，符合題意；
當(dāng)即時，由，無實數(shù)解，
綜上所述：符合題意的取值為，
故答案為：.
13．
【分析】根據(jù)向量垂直列方程，結(jié)合對數(shù)運算求得.
【詳解】依題意得，
解得.
故答案為：
14．6480
【分析】利用分步計數(shù)原理可求得總的方法數(shù).
【詳解】共分五步：第一步，設(shè)計效果圖，共計種方法；
第二步，制作油泥模型，有2種方法；第三步，生產(chǎn)樣車，有6種方法；
第四步，對樣車檢驗，有1種方法；第五步，投入生產(chǎn)，共計種方法．
所以從設(shè)計到實際生產(chǎn)有種選擇方法．
15．(1)，
(2)或
【分析】（1）由垂直關(guān)系及點在線上列出等式求解即可；
（2）由點到線的距離公式列出等式，求解即可.
【詳解】（1）因為直線過點，
所以，解得，
因為與垂直，
所以.
（2）因為點與點到直線的距離相等，
由點到直線的距離公式得.
解得，
當(dāng)時，的斜截式方程為，
當(dāng)時，的斜截式方程為.
16．(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率和所經(jīng)過的點求得雙曲線的方程.
（2）利用點差法求得正確答案.
（3）設(shè)直線，其中，根據(jù)題中條件確定，再將的方程與聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，用表示，的長，再利用
【詳解】（1）依題意，雙曲線：的離心率為，且經(jīng)過點，
所以，解得，
所以雙曲線的方程為.
（2）依題意，上兩點，關(guān)于點對稱，
由，兩式相減并化簡得，
所以直線的方程為.
由消去得，，
因此直線必與雙曲線有兩個交點，所以直線的方程為.
（3）根據(jù)題意，直線的斜率都存在且不為，雙曲線的右焦點為，
設(shè)直線，其中，
因為均與的右支有兩個交點，所以，所以，
將的方程與聯(lián)立，可得.
設(shè)，則，
所以
，
同理，
所以,.

【點睛】方法點睛：
離心率與焦點求雙曲線方程：利用離心率的定義結(jié)合經(jīng)過特定點的條件，可以唯一確定雙曲線的方程.這種方法是求解雙曲線方程的基礎(chǔ)技巧.
點差法求直線方程：在涉及到對稱點問題時，點差法是一種簡單而有效的求解直線方程的方法，尤其適用于對稱性明顯的幾何問題.
利用根與系數(shù)關(guān)系求解交點：在小問3中，通過聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，可以簡化交點的求解過程，是一種有效的代數(shù)方法.
17．(1)
(2)①；②證明見解析，定值為2
【分析】（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，得到點的坐標(biāo)以及向量的坐標(biāo)，即可求出兩個向量夾角的余弦值；
（2）①根據(jù)直線與平面夾角的正弦值就是該直線方向向量與該平面法向量夾角的余弦值可得到結(jié)果；②根據(jù)①得到的值，化簡即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）解：以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則，，，，
∴，，
即，
∴，
當(dāng)時，取得最小值，
此時，
∵，
∴；
（2）①解：，
設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，
則即，
令，得，
∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴；
②證明：由①知，
則，，
∴，
∴存在常數(shù)，使得為定值，
且該定值為2.
18．(1)證明見解析
(2)①證明見解析；②答案見解析
【分析】（1）利用空間向量叉乘的坐標(biāo)表示直接計算即可得證；
（2）①利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示證得，，從而得證；②利用空間向量夾角與模的坐標(biāo)表示證得，結(jié)合①中結(jié)論即可得解.
【詳解】（1）因為，
所以
，
所以.
（2）①設(shè)，，
則，
所以，
，
所以，，
所以是平面的一個法向量；
②設(shè)，，
則，
所以
，
而，
，
所以，
又，
所以，
所以的幾何意義為等于以，為鄰邊所作的平行四邊形的面積，且的方向與平面垂直.
【點睛】思路點睛：關(guān)于新定義題的思路有：
（1）找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；
（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言；
（3）將已知條件代入新定義的要素中；
（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答.
19．答案見解析
【分析】利用排列與組合的知識計算即可.
【詳解】（1）先從3所大學(xué)中選擇2所有種選法，再依次作為一二志愿，共種安排，
所以小張有6種選擇方式；
（2）先從3名同學(xué)中選擇2名有種選法，再依次確定扮演A和B兩種角色，
共種安排，所以有6種選擇方式；
（3）先從3名教師中選擇2名有種選法，再依次確定去上海、浙江交流，
共種安排，所以有6種指派方案.
三個問題答案均為6種，本質(zhì)上都是“從3個不同對象中選出2個并排成先后順序，有多少種不同的排法”

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