一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知直線與平行，且過點，則（ ）
A．B．3C．D．2
2．若圓C的圓心為，且被y軸截得的弦長為8，則圓C的一般方程為（ ）
A．B．
C．D．
3．已知雙曲線以兩個坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過點和，則的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
4．已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，過焦點的直線與拋物線交于兩點，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
5．已知在四面體中，，，，，為BC的中點，若.則（ ）

A．B．C．D．3
6．如圖，在正方體中，M為線段的中點，N為線段上的動點，則直線與直線所成角的正弦值的最小值為（ ）

A．B．C．D．
7．將1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)隨機地排成一個數(shù)列、記第i項為，若，，，則這樣的數(shù)列共有（ ）
A．70個B．71個C．80個D．81個
8．已知的展開式第3項的系數(shù)是60，則展開式所有項系數(shù)和是（ ）
A．-1B．1C．64D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．已知橢圓的左、右焦點分別為，則（ ）
A．與有相同離心率的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程一定是
B．過的直線與橢圓交于兩點，則
C．設(shè)，點是橢圓上任意點，則有最大值無最小值
D．設(shè)圓，圓上任意點向橢圓引切線，則兩切線互相垂直
10．如圖，在平行六面體中，已知，，E為棱上一點，且，則（ ）
A．B．直線與所成角的余弦值為
C． 平面D．直線與平面所成角為
11．學(xué)校要安排一場文藝晚會的11個節(jié)目的演出順序，第1個節(jié)目和最后1個節(jié)目已確定，其余9個節(jié)目中有4個音樂節(jié)目，3個舞蹈節(jié)目，2個曲藝節(jié)目，則（ ）
A．若要求4個音樂節(jié)目排在一起，則有種不同的排法
B．若要求曲藝節(jié)目甲必須在曲藝節(jié)目乙的前邊，則有種不同的排法
C．若要求3個舞蹈節(jié)目不能排在一起，則有種不同的排法
D．若要求音樂節(jié)目、舞蹈節(jié)目、曲藝節(jié)目分別相鄰演出，則有種不同的排法
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．已知圓上兩點滿足，則的最小值為 ．
13．已知，其中若，則 .
14．若的展開式的二項式系數(shù)和為32，且的系數(shù)為80，則實數(shù)的值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.
15．（13分）已知圓C：，點，點．
(1)過點P作圓C的切線l，求出l的方程；
(2)設(shè)A為圓C上的動點，G為三角形APQ的重心，求動點G的軌跡方程．
16．（15分）雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左頂點為，右焦點為，動點在上，當(dāng)時，.
(1)求的離心率；
(2)若在第一象限，在軸的負半軸是否存在定點使得，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
17．（17分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為.過拋物線上一點作，垂足為點.已知是邊長為4的等邊三角形.
(1)求拋物線的方程；
(2)如圖，
拋物線上有兩點位于軸同側(cè)，且直線和直線的傾斜角互補.求證：直線恒過定點，并求出點的坐標(biāo).
18．（15分）如圖所示，在三棱柱中，，側(cè)面底面，，分別為棱和的中點.
(1)求證：平面；
(2)若，且平面平面，求二面角的余弦值大小.
19．（17分）三個女生和五個男生排成一排．
(1)如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？
(2)如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？
(3)如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？
(4)如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？
(5)如果男生甲、乙之間必須排兩個女生，可有多少種不同的排法？
參考答案
1．D
【分析】根據(jù)兩直線平行的條件求出，將代入直線求出即可.
【詳解】因為直線與直線平行，
所以，解得，
又直線過，則，解得，
經(jīng)驗證與不重合，所以.
故選：D.
2．C
【分析】運用弦長結(jié)合垂徑定理求出圓的半徑即可.
【詳解】如圖，過點 C 作CD⊥AB 于D，依題意， 因為故|CD|=3，
從而，圓的半徑為 故所求圓的方程為
即
故選：C
3．B
【分析】設(shè)曲線方程，帶入點坐標(biāo)得到等量關(guān)系，由漸近線方程的公式即可得到結(jié)論.
【詳解】設(shè)雙曲線：，點和在曲線上，
∴，兩式相減可得，即.
∴漸近線方程為：，
故選：B.
4．B
【分析】（方法一）首先求出拋物線的方程為，設(shè)直線的方程為：，與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出的值，再根據(jù)拋物線的定義知，，從而求出的最小值即可.
（方法二）首先求出，再利用基本不等式即可求解即可.
【詳解】（方法一）

因為拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，故，
所以拋物線的方程為，焦點坐標(biāo)為F1,0，
設(shè)直線的方程為：，不妨設(shè)，
聯(lián)立方程，整理得，則，
故，
又AF=x1+p2=x1+1，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為.
故選：B.
（方法二）由方法一可得，則，
因此
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
故的最小值為.
故選：B.
5．B
【分析】根據(jù)空間向量的基本定理與應(yīng)用即可求解.
【詳解】因為，為BC的中點，
所以，
又，則，，，
所以.
故選：B.
6．C
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，通過表示出點坐標(biāo)，利用數(shù)量積求出夾角余弦值的范圍，進而得出答案.
【詳解】以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長為2，
則，
，，
設(shè)得：，
所以，
，
由，
所以，當(dāng)時，等號成立，
則，即異面直線與MN所成角的正弦值的最小值為.
故選：C.
7．B
【分析】先分類，再分步，根據(jù)加法原理以及乘法原理、組合數(shù)即可求解.
【詳解】若，則這樣的數(shù)列有個；
若，則這樣的數(shù)列有個；
若，則這樣的數(shù)列有個，
所以滿足條件的數(shù)列共有個，
故選：B．
8．B
【分析】首先根據(jù)題意求出的值，然后在中令即可求解.
【詳解】由題意，注意到是正整數(shù)，所以解得，
則展開式所有項系數(shù)和是.
故選：B.
9．BD
【分析】由離心率的定義可得A正確；設(shè)過的直線方程為，Ax1,y1,Bx2,y2，聯(lián)立橢圓方程，得到韋達定理，結(jié)合兩點間距離公式化簡可得B正確；由橢圓的定義得到，進而可得C錯誤；設(shè)切線方程為，聯(lián)立橢圓方程，由判別式為零可得兩直線的斜率為，進而可得D正確；
【詳解】對于A，橢圓的離心率，若橢圓方程為：，則其離心率也為12，
但該方程不是的形式，故A錯誤；
對于B，設(shè)過的直線方程為，Ax1,y1,Bx2,y2，同時設(shè)
聯(lián)立，消去可得，，
，
，同理，
所以
，故B正確；
對于C，由橢圓的定義可得，
所以，
當(dāng)三點不共線時，，共線時，
所以有最大值，有最小值，故C錯誤；
對于D，設(shè)圓上任意點，
當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)斜率為，則切線方程為，
代入橢圓方程，
所以，
整理可得，
所以，
又，所以，
當(dāng)斜率不存在時，顯然垂直，故D正確；
故選：BD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題B、D的關(guān)鍵在于直曲聯(lián)立時化簡較為麻煩，計算量較大.
10．ABD
【分析】通過建立空間的一組基底，將相關(guān)直線的方向向量用基向量表示，利用向量數(shù)量積的運算律求模長判斷A項；利用空間向量的夾角公式計算判斷B項；利用向量的數(shù)量積是否為0判斷C項；通過求平面的法向量和空間向量的夾角判斷D項.
【詳解】不妨設(shè)則.
對于A，因,
故
，故，故A正確；
對于B，因，,則，
，
設(shè)直線與所成角為，則故B正確；
對于C，因
，
即與不垂直，故不與平面垂直，故C錯誤；
對于D，因，,
因，，
則有因平面，故平面，
即平面的法向量可取為，又，
設(shè)直線與平面所成角為，
因，，，
則，因，故，故D正確.
故選：ABD.
11．BC
【分析】對于排列問題，相鄰問題捆綁法，不相鄰問題插空法，定序問題倍縮法，逐項分析判斷即可.
【詳解】對A：先將4個音樂節(jié)目全排列，有種排法；
再把音樂節(jié)目捆綁和舞蹈、曲藝看作6個節(jié)目，進行全排列，有種排法，
所以共有種排法，A錯誤；
對B：先從9個位置中選7個位置排好音樂和舞蹈節(jié)目，有種排法；
再排曲藝節(jié)目，只有一種排法，所以共有種排法，B正確；
對C：先排音樂和曲藝節(jié)目，有種排法；
再把3個舞蹈節(jié)目排在空位中，有種排法，所以共有種排法，C正確；
對D：先把它們各自排列并捆綁，各自有種排法，
再把它們看做三個元素進行全排列，有種排法，所以共有種排法，D錯誤．
故選：BC
12．5
【分析】設(shè)弦的中點為,由題意推出動點的軌跡是以原點為圓心，半徑為的圓，再將所求式理解為點Ax1,y1到直線的距離的5倍與點Bx2,y2到直線的距離的5倍的和，結(jié)合圖形，證明當(dāng)且與小圓相切時得到的的5倍即所求式的最小值.
【詳解】設(shè)弦的中點為，則
因點Ax1,y1,Bx2,y2在圓上，則，，
于是
，即動點的軌跡是以原點為圓心，半徑為的圓.
設(shè)，
則可將其理解為點Ax1,y1到直線的距離的5倍，
設(shè)，
可將其理解為點Bx2,y2到直線的距離的5倍,
故要求的最小值，可先求的最小值.
如圖，，且的距離為4，過點作，交小圓于點，
過點作小圓的切線，交大圓于點,分別交直線于點，
在小圓上任取點，過點作小圓的切線交大圓于點，
分別過點作于點，作于點
過點作的平行線與過點與垂直的直線交于點.
則,易得, ，
下面說明圖中的即的最小值，最小值為，
此時的最小值為5，即的最小值為5.
理由：因，而,
故，即為的最小值.
故答案為：5.
13．
【分析】根據(jù)題意，由空間向量的坐標(biāo)運算代入計算，即可求解.
【詳解】由題意可得，，
，
則.
故答案為：
14．-2
【分析】由二項式系數(shù)和先求，再利用通項得到的指數(shù)確定值，由的系數(shù)為，建立關(guān)于的方程求解可得.
【詳解】因為的展開式的二項式系數(shù)和為，
所以，解得.
所以二項式展開式的通項公式為，
由，解得，
所以的系數(shù)為，解得.
故答案為：.
15．(1)或；
(2)．
【分析】（1）分切線的斜率不存在和切線的斜率存在兩種情況求解即可；
（2）設(shè)，，結(jié)合重心的性質(zhì)可得，進而結(jié)合A為圓C上的動點求解即可.
【詳解】（1）由C：，
則圓心，半徑，
當(dāng)切線l的斜率不存在時，直線l的方程為，符合題意；
當(dāng)切線l的斜率存在時,則設(shè)切線l的方程為，即，
所以，解得，
此時切線l的方程為，即.
綜上所述，切線l的方程為或.
（2）設(shè)，，
因為，，G為三角形APQ的重心，
所以，即，
由A為圓C上的動點，得，
則，整理得，
即動點G的軌跡方程為．
16．(1)
(2)存在，且點
【分析】（1）求出，根據(jù)可得出關(guān)于、的齊次等式，即可解得雙曲線的離心率；
（2）假設(shè)在軸的負半軸上存在定點，使得，設(shè)點Px0,y0，由已知條件可得出，利用二倍角的正切公式化簡可得出的值，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）解：當(dāng)時，設(shè)點，則，可得，則，
又因為，由可得，
可得，解得，
此時，雙曲線的離心率為.
（2）解：由（1）可知，，則，，
所以，雙曲線的方程可化為，
設(shè)點，其中，，且，
若在軸的負半軸上存在定點，使得，
且，，
因為，則，
即，整理可得，
所以，，解得，
因此，在軸的負半軸上存在定點，使得.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題第（2）問的關(guān)鍵在于根據(jù)二倍角的正切公式得出關(guān)于的等式，利用恒成立思想得出關(guān)于的方程組求解.
17．(1)
(2)證明見解析，
【分析】（1）記準(zhǔn)線與軸交于點，在中，求出焦準(zhǔn)距，即可求解拋物線方程.
（2）設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，韋達定理，根據(jù)傾斜角互補即斜率之和為0，化簡求得，即可得解.
【詳解】（1）如圖，記準(zhǔn)線與軸交于點，在中，，
所以.
故拋物線.
（2）因為垂直于軸的直線與拋物線僅有一個公共點，所以必有斜率，
設(shè)，
由且，
因為位于軸同側(cè)，所以，則，
由得，所以，
又點F0,1，直線和的傾斜角互補，所以，
所以，所以，
即，解得，
所以直線恒過定點.
18．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取的中點，連接，，證明，由線線平行即可推得線面平行；
（2）取上的四等分點，滿足,取的中點,連接,通過證得推得四點共面，
由題設(shè)證明平面，從而完成建系，不妨取，求出相關(guān)點坐標(biāo)，計算兩平面的法向量坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式即可求得.
【詳解】（1）
如圖，取的中點，連接，，
在中，因是的中點，故，且.
在三棱柱中，且，
又為棱的中點，故得，且，
故得， 則有，
又因為平面，平面，
所以平面.
（2）
由題意，三棱柱中所有棱長都相等，則與都是等邊三角形，
如圖，取上的四等分點，滿足,
取的中點,連接,
則,易知,且，故可得，
則有，故有則四點共面.
因平面平面，平面平面，
且平面平面可得平面，又.
故可建立以為原點，，，所在直線分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系.
不妨取，則，由可解得
則有，，，
則,
設(shè)平面法向量為，
則，
取，可得，，
故為平面的一個法向量，
因平面，故為底面的一個法向量，
則，
設(shè)二面角的平面角為，由圖知二面角為銳二面角，
故二面角的余弦值為.
19．(1)4320
(2)14400
(3)14400
(4)36000
(5)1440
【分析】（1）利用捆綁法進行求解；
（2）插空法進行求解；
（3）方法一，先安排兩端的位置，剩余位置進行全排列，得到答案；
方法二，間接法進行求解，先安排三個女生和五個男生排成一排的總數(shù)，再減去不合要求的方法數(shù)；
方法三，先從中間六個位置挑選三個讓三個女生排入，再考慮其他位置，從而得到答案；
（4）分首位排了男生和首位排了女生兩種情況，分別求出方法數(shù)，相加后得到答案‘
（5）安排好男生甲、乙，再安排甲和乙之間的兩個女生，再把甲、乙及中間兩個女生看成一個整體捆綁在一起，和另外四人排成一隊，利用全排列知識求出答案.
【詳解】（1）（捆綁法）因為三個女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個整體，
這樣同五個男生合在一起共有六個元素，排成一排有種不同的排法，
對于其中的每一種排法，三個女生之間又有種不同的排法．
因此共有（種）不同的排法．
（2）（插空法）要保證女生全分開，可先把五個男生排好，
每兩個相鄰的男生之間留出一個空位，這樣共有四個空位，
加上兩邊男生外側(cè)的兩個位置，共有六個位置，再把三個女生插入這六個位置中，
只要保證每個位置至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都不相鄰，
由于五個男生排成一排有種不同排法，
對于其中任意一種排法，從上述六個位置中選出三個讓三個女生插入都有種排法，
因此共有（種）不同的排法．
（3）方法一（位置分析法），因為兩端都不能排女生，所以兩端只能挑選五個男生中的兩個，
有種不同的排法，對于其中的任意一種不同的排法，其余六個位置都有種不同的排法，
所以共有（種）不同的排法．
方法二（間接法），三個女生和五個男生排成一排共有種不同的排法，
從中扣除女生排在首位的種排法和女生排在末位的種排法，
但兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情況時被扣去一次，
在扣除女生排在末位的情況時又被扣去一次，所以還需加回來一次，
由于兩端都是女生有種不同的排法，
所以共有（種）不同的排法．
方法三（元素分析法），從中間六個位置挑選三個讓三個女生排入，有種不同的排法，
對于其中的任意一種排法，其余五個位置又都有種不同的排法，
所以共有（種）不同的排法．
（4）方法一（位置分析法），因為只要求兩端不都排女生，所以如果首位排了男生，
那么末位就不再受條件限制了，這樣可有種不同的排法；
如果首位排女生，有種排法，那么末位就只能排男生，這樣可有種不同的排法，
因此共有（種）不同的排法．
方法二（間接法），三個女生和五個男生排成一排共有種不同的排法，
從中扣除兩端都是女生的排法種，就得到兩端不都是女生的排法種數(shù)．
因此共有（種）不同的排法．
（5）男生甲、乙排好有種排法，從三個女生中選兩人排在甲、乙之間有種排法，
再把甲、乙及中間兩個女生看成一個整體捆綁在一起，和另外四人排成一隊有種排法，
所以共有（種）不同的排法．

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