重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回.
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 給出下列關(guān)系，其中正確的個(gè)數(shù)為（）
①；②；③；④，
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】常見集合的元素特征，判斷元素與集合的關(guān)系.
【詳解】：全體實(shí)數(shù)，①正確；：整數(shù)，②正確；：正整數(shù)，③錯(cuò)誤；：有理數(shù)，④錯(cuò)誤.
故選：B.
2. 已知集合，，則下列結(jié)論中正確的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】試題分析：由得，故，選項(xiàng)為C.
考點(diǎn)：集合間的關(guān)系.
3. 已知全集，集合，，則（）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】先解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求解.
【詳解】解：，，
，
或，
故選：C.
4. “”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】解出絕對(duì)值不等式，根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋曰颍?br>易得“”是“或”的充分不必要條件，
故選：A.
5. 設(shè)命題：，使得，則為（）
A. ，都有B. ，都有
C. ，使得D. ，使得
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件由含有一個(gè)量詞的命題的否定方法直接寫出p的否定判斷作答.
【詳解】命題：，使得，
則其否定為：，都有.
故選：A
6. 已知，則以下錯(cuò)誤的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由不等式的性質(zhì)結(jié)合特殊值排除法逐項(xiàng)分析即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?
對(duì)于A，，,,
綜上可得，故A正確；
對(duì)于B，，故B正確；
對(duì)于C，，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；
故選：D.
7. 如圖，在一個(gè)圓心為，半徑為的半圓形鋼板上截取一塊矩形材料，使矩形的一邊落在半圓的直徑上，則這個(gè)矩形的面積最大時(shí)，的大小是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)且為銳角，用所設(shè)參數(shù)表示出矩形面積，結(jié)合倍角正弦公式及正弦型函數(shù)性質(zhì)求最大面積.
【詳解】設(shè)且為銳角，面積最大的矩形必內(nèi)接于半圓，
且兩邊長(zhǎng)分別為，．
這個(gè)矩形面積為．
所以當(dāng)（為銳角），即時(shí)矩形的面積取得最大值．
故選：B
8. 若對(duì)于任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析運(yùn)算即可得解.
【詳解】由題意，對(duì)于都有成立，
∴，解得：，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.
9. 我們知道，如果集合，那么的子集的補(bǔ)集為且，類似地，對(duì)于集合我們把集合且，叫作集合和的差集，記作，例如：，則有，下列解答正確的是（）

A. 已知，則
B. 已知或，則或x≥4
C. 如果，那么
D. 已知全集、集合、集合關(guān)系如上圖中所示，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】依題意根據(jù)的定義可知，可先求出，再求出其以為全集的補(bǔ)集，結(jié)合具體選項(xiàng)中集合的關(guān)系逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)論.
【詳解】根據(jù)差集定義即為且，
由，可得，所以A錯(cuò)誤；
由定義可得即為且，
由或，可知或x≥4，即B正確；
若，那么對(duì)于任意，都滿足，所以且，因此，所以C正確；
易知且在圖中表示的區(qū)域可表示為，也即，可得，所以D正確.
故選：BCD
10. 下列函數(shù)中，最小值是4的有（）.
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用基本不等式求最值判斷ACD，取，可判斷B.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，滿足題意；
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，不滿足題意；
對(duì)于C選項(xiàng)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，又，所以等號(hào)不成立，
即的最小值不是，不滿足題意；
對(duì)于D選項(xiàng)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值是4，滿足題意.
故選：AD.
11. 定義在內(nèi)的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，，對(duì)，，使得，則實(shí)數(shù)的取值可能為（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由題意整理函數(shù)解析式，根據(jù)其單調(diào)性求得值域，利用分情況討論的思想，結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的值域之間的包含關(guān)系，建立不等式以及研究端點(diǎn)值，可得答案.
【詳解】由，即，則，
由，則，
當(dāng)時(shí)，，易知在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
由，則在上單調(diào)遞增，
由，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
則，，即，
由題意可得，則，解得；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
則，，即，
由題意可得，則，解得；
綜上所述，，顯然.
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知函數(shù)則__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用分段函數(shù)的解析式求出，所以.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，則，所以，
故答案為：.
13. 設(shè)集合，，其中、、、、是五個(gè)不同的正整數(shù)，且，已知，，中所有元素之和是246，請(qǐng)寫出所有滿足條件的集合A：__________________.
【答案】或
【解析】
【分析】由題意可得，所以，分類討論當(dāng) 和時(shí)情況，即可得出結(jié)果.
【詳解】由題意，得，所以 .
由于中有 9 ，因此 A 中有 3 ，此時(shí)集合有共同元素1，
若，則，于是；
此時(shí)且，無正整數(shù)解；
若，集合有共同元素1和9，則，
所以，且，而，
所以，
當(dāng) 時(shí)，；
當(dāng) 時(shí)，；
因此滿足條件的共有2個(gè)，分別為.
故答案為: 或
14. 已知，，則的最小值是______.當(dāng)取最小值時(shí)，恒成立，則的取值范圍是_______.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】由可得，然后利用基本不等式可得的最小值及此時(shí)的關(guān)系，然后可解出的取值范圍.
【詳解】因
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，
當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)取得最大值4
所以由恒成立可得，解得
故答案為：1；
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知全集，集合，，求：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件，利用集合交集運(yùn)算，即可求出結(jié)果；
（2）先求出全集，利用集合并集的運(yùn)算，得到，再利用集合補(bǔ)集的運(yùn)算，即可求解；
（3）用集合補(bǔ)集的運(yùn)算得到，再利用集合交集的運(yùn)算，即可求解.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以.
【小問2詳解】
因?yàn)?，又?br>所以.
【小問3詳解】
因?yàn)?，?br>所以，又，得到.
16. 為持續(xù)推進(jìn)“改善農(nóng)村人居環(huán)境，建設(shè)宜居美麗鄉(xiāng)村”，某村委計(jì)劃在該村廣場(chǎng)旁一矩形空地進(jìn)行綠化.如圖所示，兩塊完全相同的長(zhǎng)方形種植綠草坪，草坪周圍（斜線部分）均擺滿寬度相同的花，已知兩塊綠草坪的面積均為400平方米.
（1）若矩形草坪的長(zhǎng)比寬至少多9米，求草坪寬的最大值；
（2）若草坪四周及中間的花壇寬度均為2米，求整個(gè)綠化面積的最小值.
【答案】（1）米
（2）平方米
【解析】
【分析】（1）設(shè)草坪的寬為米，長(zhǎng)為米，得到，列出不等式，求得的范圍，進(jìn)而求得寬的最大值；
（2）根據(jù)題意，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【小問1詳解】
解：設(shè)草坪的寬為米，長(zhǎng)為米，由面積均為400平方米，可得，
因?yàn)榫匦尾萜旱拈L(zhǎng)比寬至少大9米，所以，
可得，解得，
又因?yàn)?，所以，所以寬的最大值為?
【小問2詳解】
解：記整個(gè)的綠化面積為平方米，
由題意可得
（平方米）
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即米時(shí)，等號(hào)成立，
所以整個(gè)綠化面積的最小值為平方米.
17. 已知，．
（1）求證：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）用單調(diào)性的定義證明即可.
（2）由在區(qū)間上的單調(diào)性易得值域.
【小問1詳解】
令，則
，
又，，，即，
所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).
【小問2詳解】
由（1）知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，又，
所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?
18 已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)，時(shí)，解關(guān)于的不等式；
（3）當(dāng)，時(shí)，若點(diǎn)，均為函數(shù)與函數(shù)圖象的公共點(diǎn)，且，求證：.
【答案】（1）；
（2）；
（3）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）把代入，利用不等式恒成立分離參數(shù)，再利用單調(diào)性求出函數(shù)最值即可.
（2）把代入，借助一元二次不等式分段求解即得.
（3）由建立方程，作差變形，結(jié)合基本不等式及一元二次不等式求解證得.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，，
對(duì)任意，關(guān)于的不等式恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
即當(dāng)時(shí)，的最大值為0，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，不等式，即，
當(dāng)時(shí)，成立，則，
當(dāng)時(shí)，得，即解，解得；
當(dāng)且時(shí)，得，解得，
所以不等式的解集為.
【小問3詳解】
由，得，
即，
由點(diǎn)，均為函數(shù)y=fx與函數(shù)y=gx圖象的公共點(diǎn)，
得，
，
兩式相減得，
由，得，
則，
令，則，
整理得，解得，
所以.
19. 對(duì)于二次函數(shù)，若，使得成立，則稱為二次函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).
（1）求二次函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；
（2）若二次函數(shù)有兩個(gè)不相等的不動(dòng)點(diǎn)，且，求的最小值.
【答案】（1）不動(dòng)點(diǎn)為和；
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意得到，解該一元二次方程即可得解；
（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得到，且，化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【小問1詳解】
令，可得，
可得，解得，
所以二次函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)為和.
【小問2詳解】
二次函數(shù)有兩個(gè)不相等的不動(dòng)點(diǎn)，且，
則方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，
即方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，
所以，且，
因?yàn)椋?，解得，可得?br>所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為.

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