一、單選題（共8小題，每題5分，共40分）
1.已知集合，，則（ ）
A.B.C.D.
2.如圖，梯形ABCD的腰CD的中點(diǎn)為E，且，記，，則（ ）
A.B.C.D.
3.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（ ）
A.1B.4C.8D.25
4.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，且存在這樣的，使不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A.B.C.或D.或
5.若A為函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，，則的最小值為（ ）
A.B.C.D.2
6.鼎湖峰，矗立于浙江省縉云縣仙都風(fēng)景名勝區(qū)，狀如春筍拔地而起，其峰頂鑲嵌著一汪小湖.某校開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，有建模課題組的學(xué)生選擇測(cè)量鼎湖峰的高度，為此，他們?cè)O(shè)計(jì)了測(cè)量方案.如圖，在山腳測(cè)得山頂?shù)醚鼋菫?，沿傾斜角為的斜坡向上走了90米到達(dá)點(diǎn)（，，，在同一個(gè)平面內(nèi)），在處測(cè)得山頂P得仰角為60°，則鼎湖峰的山高PQ為（ ）米.

A.B.C.D.
7.已知函數(shù)，數(shù)列滿足，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
8.閱讀材料：數(shù)軸上，方程可以表示數(shù)軸上的點(diǎn)，平面直角坐標(biāo)系中，方程（、不同時(shí)為0）可以表示坐標(biāo)平面內(nèi)的直線，空間直角坐標(biāo)系中，方程（、、不同時(shí)為0）可以表示坐標(biāo)空間內(nèi)的平面.過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程可表示為.閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A.B.C.D.
二、多選題（共3小題，每題6分，全部選對(duì)得6分，共18分。部分選對(duì)得部分分，錯(cuò)選得0分）
9.下列有關(guān)復(fù)數(shù)的說法正確的是（ ）
A.若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則
B.若，則點(diǎn)的集合所構(gòu)成的圖形的面積為
C.若是復(fù)數(shù)，則一定有
D.若，，則
10.如圖，在平行六面體中，已知，，為棱上一點(diǎn)，且，則（ ）
A.B.直線與所成角的余弦值為
C.平面D.直線與平面所成角為
11.（多選）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中點(diǎn)，分別為的圖象上的一個(gè)最低點(diǎn)和一個(gè)最高點(diǎn)，則（ ）
A.
B.圖象的對(duì)稱軸為直線
C.函數(shù)在上單調(diào)遞增
D.將的圖象向右平移個(gè)單位，再將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，即可得到的圖象
三、填空題（共3小題，每題5分，共15分）
12.在長(zhǎng)方體中，若，，則直線到平面的距離是________.
13.已知平面向量，，，，則的最小值為________.
14.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，則的取值范圍為________.
四、解答題（共5小題，15題13分，16、17題15分，18、19題17分，共77分）
15.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，.已知.
（1）求；
（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng).
16.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.數(shù)列是首項(xiàng)為，公差不為零的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且恒成立，求的取值范圍.
17.已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若，，求的取值范圍.
18.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，，分別為，的中點(diǎn)在五棱錐中，為棱上一點(diǎn)，平面與棱，分別交于點(diǎn)，.
（1）求證：；
（2）若底面，且，直線與平面所成角為.
（i）確定點(diǎn)的位置，并說明理由；
（ii）求線段的長(zhǎng).
19.定義：任取數(shù)列中相鄰的兩項(xiàng)，若這兩項(xiàng)之差的絕對(duì)值為3，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)3”.已知項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列的所有項(xiàng)的和為，且數(shù)列具有“性質(zhì)3”.
（1）若，且，，寫出所有可能的的值；
（2）若，，證明：“”是“”的充要條件；
（3）若，，，證明：或，
期中考試數(shù)學(xué)參考答案：
4.C 【詳解】由題設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，要使不等式有解，則，所以或.故選：C
5.【詳解】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，且也單調(diào)遞增，若，則，顯然不符合題意；設(shè)，則函數(shù)在點(diǎn)A處的切線的斜率為，所以取得最小值，令，則，令，則且，令，則，顯然在上單調(diào)遞增，又，，所以存在使得，即，所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增，所以在處取得極小值即最小值，
又，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，當(dāng)時(shí)，所以，所以恒成立，
即恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，此時(shí)，所以取得最小值為.故選：B.
6.B 【詳解】由題知，，，則，，又，所以，所以，，在中，，根據(jù)正弦定理有，且，則，在中，.所以山高為米.故選：B.
7.A 【詳解】數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，可知當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞增，即或，解得；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增恒成立，且，即；解得，所以若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則，故選：A.
8.A 【詳解】因?yàn)槠矫娴姆匠虨?，所以平面的法向量可取，平面的法向量為，平面的法向量為，設(shè)兩平面的交線的方向向量為，由，令，則，所以兩平面的交線的方向向量為，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.故選：A.
9.ABD【詳解】A，由題意，整理得，所以，解得，故，正確；B，記，則，所以，圓的面積為，圓的面積為，所以點(diǎn)的集合所構(gòu)成的圖形的面積為，正確.C，當(dāng)，則，而，顯然不成立，錯(cuò)誤；D，令，，則，故，又，，則，所以，正確.故選：ABD
10.ABD 【詳解】不妨設(shè)，，，則，.對(duì)于A，因，故，故，故A正確；對(duì)于B，因，，則，，設(shè)直線與所成角為，則，故B正確；對(duì)于C，因，，，即與不垂直，故不與平面垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因，，，因，，則有，，因，，平面，故平面，即平面的法向量可取為，又，設(shè)直線與平面所成角為，因，，，則，因，故，故D正確.故選：ABD.
11.BCD 【詳解】，由圖象知，則，由五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法，，所以，，由于，所以，故，故A錯(cuò)誤；由，得，，即圖象的對(duì)稱軸為直，，故B正確；，當(dāng)，則，此時(shí)為增函數(shù)，故C正確；將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，再將所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，得到，此時(shí)可以得到的圖象，故D正確.故選：BCD.
12./6.72 【詳解】易知，又面，面，所以面，則直線到平面的距離，與點(diǎn)到平面的距離相等，
過作于，因?yàn)槊?，面，所以，又，，面，所以面，又，，則，在中，，得到，所以直線到平面的距離為，故答案為：.
13.4 【詳解】因?yàn)?，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為16，即的最小值為4.故答案為：4.
14. 【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，令，得到，令，，圖象如圖所示，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，由圖易知，，，且，得到，所以，令，則，又易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即的取值范圍為，故答案為：.
15.（1）；（2）.
【詳解】（1）由題得，…………2分
因?yàn)?，，?分
故，故，所以.…………6分
（2）由（1）得，故由和得，…………9分
所以，故，…………12分
所以的周長(zhǎng)為.…………13分
16.（1），；（2）.
【詳解】（1），
當(dāng)時(shí)，，兩式相減化簡(jiǎn)可得：，
即數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列，…………2分
又，，解得，…………3分
即，…………4分
設(shè)數(shù)列的公差為，，…………5分
，，成等比數(shù)列，，
解得或（舍去），…………7分
即，
數(shù)列和的通項(xiàng)公式為，.…………8分
（2）由（1）得，…………9分
，，…………11分
兩式相減得：
，…………13分
即有恒成立，恒成立，可得，即的范圍是.…………15分
17.（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；極大值為－1，無極小值；（2）
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，…………1分
令，則，故在上單調(diào)遞減，而，因此0是在上的唯一零點(diǎn)，即0是在上的唯一零點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：
…………5分
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；…………6分
所以的極大值為，無極小值；…………7分
（2）由題意知，即，即，…………8分
設(shè)，則，…………10分
令，解得，…………11分
當(dāng)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)，，單調(diào)遞減，…………13分
所以，所以.
所以的取值范圍為.…………15分
18.（1）證明見解析（2）（i）為中點(diǎn)；理由見解析（ii）2.
【詳解】（1）在正方形中，，又平面，平面，
所以平面，又平面，平面平面，
則；…………5分
（2）（i）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，有直線與平面所成角為，
證明如下：由平面，可得，，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則，，，，
又為中點(diǎn)，則，，，，…………7分
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則有，即，令，則，
則平面的一個(gè)法向量為，…………9分
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
故當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成角的大小為.…………11分
（ii）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，所以可設(shè)，
即，所以，，，…………13分
因?yàn)槭瞧矫娴姆ㄏ蛄浚?br>所以，即，解得，…………15分
故，則，
所以.…………17分
19.（1）6；0；12（2）證明見解析（3）證明見解析
【詳解】（1）依題意可知有如下三種情況：
若：0，3，0，3，此時(shí)，
若：0，－3，0，3，此時(shí)，
若：0，3，6，3，此時(shí).…………12分
（2）證明：
必要性：因?yàn)椋?br>故數(shù)列為等差數(shù)列，
所以，公差為－3，
所以，必要性成立；…………6分
充分性：由于，
累加可得，，即，
因?yàn)?，故上述不等式的每個(gè)等號(hào)都取到，
所以，，所以，，充分性成立；9分
綜上所述，“”是“，”的充要條件；
（3）證明：
令，依題意，，
因?yàn)椋?br>所以
，…………12分
因?yàn)?，所以為偶?shù)，
所以為偶數(shù)；
所以要使，必須使為偶數(shù)，即4整除，
亦即或，…………14分
當(dāng)時(shí)，
比如，，，
或，，時(shí)，有，；
當(dāng)時(shí)，
比如，，，，
或，，，，有，；
當(dāng)或時(shí)，不能被4整除，.…………17分
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
A
C
B
B
A
A
ABD
ABD
題號(hào)
11
答案
BCD
0
＋
0
－
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減

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