一、單選題（本大題共8小題）
1．已知雙曲線的一條漸近線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
2．正三棱臺(tái)的上、下底邊長分別為6，18，該正三棱臺(tái)內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)切球（與上、下底面和三個(gè)側(cè)面都相切），則正三棱臺(tái)的高為（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．在四面體中，若，，，，，則（ ）
A．B．C．D．
4．拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為平面上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A．－5B．－3C．3D．5
5．已知直線與直線，在上任取一點(diǎn)，在上任取一點(diǎn)，連接，取的靠近點(diǎn)三等分點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，則與之間的距離為（ ）
A．B．C．D．
6．已知直線過拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于C點(diǎn)，若，則等于（ ）
A．2B．3C．D．
7．曲線與曲線有公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．,B．,C．,D．,
二、多選題（本大題共3小題）
9．若圓：與圓：的公共弦AB的長為1，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．
B．直線AB的方程為
C．AB中點(diǎn)的軌跡方程為
D．圓與圓公共部分的面積為
10．等腰直角三角形直角邊長為1 ，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周 ，則所形成的幾何體的表面積可以為（ ）
A．B．C．D．
11．已知函數(shù)是奇函數(shù)，對(duì)于任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知圓：和圓：，則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系為 ．
13．已知數(shù)列中，，則數(shù)列的前項(xiàng)和 ．
14．表面積為100π的球面上有四點(diǎn)S?A?B?C，△ABC是等邊三角形，球心O到平面ABC的距離為3，若面SAB⊥面ABC，則棱錐體積的最大值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，為數(shù)列前項(xiàng)的和，求.
16．已知圓A經(jīng)過兩點(diǎn)，，且圓心A在直線上.
(1)求圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求過點(diǎn)且與圓A相切的直線方程.
17．如圖，在三棱柱中，，，在底面的射影為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)求二面角的正弦值.
18．已知雙曲線：（，）的實(shí)軸長為2，點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程.
19．已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，且，求證：．
參考答案
1．【答案】D
【詳解】根據(jù)題意得，圓心到的漸近線的距離為
設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，則，
.
故選：D．
2．【答案】D
【詳解】由題可知上下底正三角形的高分別為，
由幾何體結(jié)構(gòu)特征結(jié)合題意可知內(nèi)切球與上、下底面切點(diǎn)為上下底的重心，
故如左圖所示作截面，得到右圖，設(shè)內(nèi)切球半徑為，
則有即，
所以正三棱臺(tái)的高為6.
故選：D.
3．【答案】B
【詳解】如圖：

∵，，∴分別為中點(diǎn)，
∴
，
故選：B.
4．【答案】B
【分析】
根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系，利用韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.
【詳解】
解：設(shè)，，
由題意，直線的斜率存在，
因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以不妨設(shè)直線的方程為，
由，可得，
所以，，，
所以，
故選：B.
5．【答案】A
【詳解】如圖：

過作與點(diǎn)，交直線與點(diǎn)，則為所求直線與的距離.
因?yàn)椋?
所以.
故選：A
6．【答案】B
【分析】過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，根據(jù)相似得到，再利用拋物線的性質(zhì)得到答案.
【詳解】如圖所示：
過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，
則，，，故，即.
故選：B
7．【答案】B
【分析】分別求出兩曲線的切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性和最值，即可求得的取值范圍.
【詳解】兩個(gè)函數(shù)求導(dǎo)分別為，
設(shè)，圖象上的切點(diǎn)分別為，，
則過這兩點(diǎn)處的切線方程分別為，，
則，，所以，
設(shè)，，，
令，所以，
所以在上單調(diào)遞增，且，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，.
故選B.
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題解決的關(guān)鍵是，利用公切線的定義得到，從而構(gòu)造函數(shù)即可得解.
8．【答案】A
【分析】先由導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)是增函數(shù)，再證明其為奇函數(shù)，然后由奇偶性與單調(diào)性化簡不等式，再分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值，得參數(shù)范圍．
【詳解】令，
則在R上恒成立，所以在R上為增函數(shù)，又，所以，
所以函數(shù)是R上的增函數(shù)，
又，都是R上的增函數(shù)，所以函數(shù)是R上的增函數(shù)，
，所以是奇函數(shù)，
因?yàn)樵谏虾愠闪?，即在上恒成立?br>所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，則，
令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在,上單調(diào)遞減，
所以，故，
故選：A．
9．【答案】BC
【分析】兩圓方程相減求出直線AB的方程，進(jìn)而根據(jù)弦長求得，即可判斷AB選項(xiàng)；然后由圓的性質(zhì)可知直線垂直平分線段,進(jìn)而可得到直線的距離即為AB中點(diǎn)與點(diǎn)的距離，從而可求出AB中點(diǎn)的軌跡方程，因此可判斷C選項(xiàng)；對(duì)應(yīng)扇形的面積減去三角形的面積乘以2即可求出圓與圓公共部分的面積，即可判斷D選項(xiàng).
【詳解】兩圓方程相減可得直線AB的方程為，即，
因?yàn)閳A的圓心為，半徑為1，且公共弦AB的長為1，則到直線的距離為，所以，解得，
所以直線AB的方程為，故A錯(cuò)誤，B正確；
由圓的性質(zhì)可知直線垂直平分線段,所以到直線的距離即為AB中點(diǎn)與點(diǎn)的距離，設(shè)AB中點(diǎn)坐標(biāo)為，因此，即，故C正確；
因?yàn)?，所以，即圓中弧所對(duì)的圓心角為，所以扇形的面積為，三角形的面積為，所以圓與圓公共部分的面積為，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
【點(diǎn)睛】圓的弦長的常用求法：
（1）幾何法：求圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則；
（2）代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式：.
10．【答案】AB
【詳解】
分2種情況，一種是繞直角邊，一種是繞斜邊，分別求形成幾何體的表面積.
【詳解】
如果是繞直角邊旋轉(zhuǎn)，形成圓錐，圓錐底面半徑為1，高為1，母線就是直角三角形的斜邊，
所以所形成的幾何體的表面積是.
如果繞斜邊旋轉(zhuǎn)，形成的是上下兩個(gè)圓錐，圓錐的半徑是直角三角形斜邊的高，兩個(gè)圓錐的母線都是直角三角形的直角邊，母線長是1，
所以寫成的幾何體的表面積.
綜上可知形成幾何體的表面積是或.
故選：AB
【點(diǎn)睛】
本題考查旋轉(zhuǎn)體的表面積，意在考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.
11．【答案】BC
【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中，結(jié)合奇偶性的定義判斷奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在的單調(diào)性，然后利用函數(shù)的單調(diào)性判斷出各選項(xiàng)的正誤.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，
因?yàn)閷?duì)于任意的滿足
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又函數(shù)是奇函數(shù)，
所以，所以在上為偶函數(shù)，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，則，即，即，
化簡得，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
同理可知，即，即，
化簡得，B選項(xiàng)正確；
，且即，即，
化簡得，C選項(xiàng)正確，
，且即，即，
化簡得，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選BC.
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)不等式是否成立，解題時(shí)要根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造合適的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于難題.
12．【答案】內(nèi)含
【詳解】因?yàn)閳A：，圓：，
所以圓心距，
而兩圓半徑之差，故兩個(gè)圓內(nèi)含．
故答案為：內(nèi)含
13．【答案】
【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和
=
=,
故答案為：.
14．【答案】
【詳解】依題意，球的半徑，令正的中心為，則，且平面，
外接圓半徑，連接并延長交于D，則D為的中點(diǎn)，且，
顯然，而平面平面，平面平面，有平面，
令的外接圓圓心為，則平面，有，
又平面ABCD，平面ABCD，所以，
由,所以平面，所以，
而平面平面，平面平面，平面，則平面，
即有，因此四邊形為平行四邊形，則，，
的外接圓半徑，的外接圓上點(diǎn)到直線距離最大值為，
而點(diǎn)在平面上的射影在直線上，于是點(diǎn)到平面距離的最大值，
又正的面積，
所以棱錐的體積最大值.
故答案為：
15．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由題意，解得，所以.
（2），
所以數(shù)列的前50項(xiàng)和，
所以.
16．【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）設(shè)圓心為，半徑為r，由，
得，得，
點(diǎn)A的坐標(biāo)為，圓半徑，
圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）畫出圓的圖象如下圖所示，
由圖可知，直線過點(diǎn)，且與圓相切，
當(dāng)過點(diǎn)與圓相切的直線斜率存在時(shí)，
設(shè)切線方程為，
到直線的距離，解得，
所以切線方程為.
綜上所述，切線方程為或.
17．【答案】(1)證明見詳解
(2)
【分析】（1）設(shè)為的中點(diǎn)，由線面垂直得到，由三線合一得到，從而得到線面垂直，證明出四邊形為平行四邊形，得到，證明出結(jié)論；
（2）作出輔助線，證明出為二面角的平面角，結(jié)合（1）得到，求出各邊長，利用余弦定理求出的余弦值，進(jìn)而得到線面角的正弦值.
【詳解】（1）設(shè)為的中點(diǎn)，由題意得平面，
平面，
，
，為的中點(diǎn)，
，
，平面，
故平面，
由，分別為，的中點(diǎn)，得且，
，，
四邊形為平行四邊形，
故，
又平面，
平面；
（2）作，且，連結(jié)，
，，為的中點(diǎn)，，
平面，平面，，
，，
由，，得≌，由，得，
為二面角的平面角，
由（1）得平面，平面，
，
由，，，得，
故，
由余弦定理得，
.
18．【答案】(1)
(2)，其中或
【詳解】（1）雙曲線的實(shí)軸長為，由已知，，則，
因?yàn)殡p曲線：（，）的一條漸近線為，
點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，所以，
所以，所以，所以雙曲線的方程是；
（2）易知直線的斜率存在設(shè)為，設(shè)、、，
聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程，得，消去y，得．
由且，得且．
由韋達(dá)定理，得．
所以，．
由消去k，得．
由且，得或．
所以，點(diǎn)M的軌跡方程為，其中或．
19．【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】
（1）求導(dǎo)，分和，討論求解；
（2）由， 得到，令，利用導(dǎo)數(shù)法得到時(shí)， 或證明.
(1)
解：，
當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，由，得；由，得．
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
(2)
證明：由，得，
即，，
令，則．
∵，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，，∴或，
①若，顯然
②若，要證，只需證，
即證，若能證，則原命題得證，
令，，
，
∵，∴，，∴，
∴在單調(diào)遞增，∴，
∴，原命題得證．
綜上所述，．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：當(dāng)時(shí)，關(guān)鍵是將證，轉(zhuǎn)化為證，然后令，，利用導(dǎo)數(shù)而得解.

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