注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè).
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn)，且，則雙曲線(xiàn)的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根據(jù)直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系求出點(diǎn)到直線(xiàn)距離，結(jié)合點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離求出，最后求出離心率即可.
【詳解】根據(jù)題意得，圓心到的漸近線(xiàn)的距離為
設(shè)雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，則，
.
故選：D．
2. 正三棱臺(tái)的上、下底邊長(zhǎng)分別為6，18，該正三棱臺(tái)內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)切球（與上、下底面和三個(gè)側(cè)面都相切），則正三棱臺(tái)的高為（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】由截面圖結(jié)合等面積法和勾股定理列出關(guān)于r的等量關(guān)系求出r即可求解.
【詳解】由題可知上下底正三角形的高分別為，
由幾何體結(jié)構(gòu)特征結(jié)合題意可知內(nèi)切球與上、下底面切點(diǎn)為上下底的重心，
故如左圖所示作截面，得到右圖，設(shè)內(nèi)切球半徑為，
則有即，
所以正三棱臺(tái)的高為6.
故選：D.
3. 在四面體中，若，，，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作圖，由，得到分別為中點(diǎn)，利用空間向量的線(xiàn)性關(guān)系得到即可.
【詳解】如圖：

∵，，∴分別為中點(diǎn)，
∴
，
故選：B.
4. 拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為平面上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A. －5B. －3C. 3D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，利用韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.
【詳解】解：設(shè)，，
由題意，直線(xiàn)的斜率存在，
因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)為，所以不妨設(shè)直線(xiàn)的方程為，
由，可得，
所以，，，
所以，
故選：B.
5. 已知直線(xiàn)與直線(xiàn)，在上任取一點(diǎn)，在上任取一點(diǎn)，連接，取的靠近點(diǎn)三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)，則與之間的距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平行線(xiàn)的性質(zhì)和平行線(xiàn)之間的距離公式求解.
【詳解】如圖：

過(guò)作與點(diǎn)，交直線(xiàn)與點(diǎn)，則為所求直線(xiàn)與的距離.
因?yàn)椋?
所以.
故選：A
6. 已知直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F，且與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交于C點(diǎn)，若，則等于（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)交準(zhǔn)線(xiàn)于，過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)交準(zhǔn)線(xiàn)于，根據(jù)相似得到，再利用拋物線(xiàn)的性質(zhì)得到答案.
【詳解】如圖所示：
過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)交準(zhǔn)線(xiàn)于，過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)交準(zhǔn)線(xiàn)于，
則，，，故，即.
故選：B
7. 曲線(xiàn)與曲線(xiàn)有公切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分別求出兩曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性和最值，即可求得的取值范圍.
【詳解】?jī)蓚€(gè)函數(shù)求導(dǎo)分別為，
設(shè)，圖象上的切點(diǎn)分別為，，
則過(guò)這兩點(diǎn)處的切線(xiàn)方程分別為，，
則，，所以，
設(shè)，，，
令，所以，
所以在上單調(diào)遞增，且，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，利用公切線(xiàn)的定義得到，從而構(gòu)造函數(shù)即可得解.
8. 已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. ,B. ,C. ,D. ,
【答案】A
【解析】
【分析】先由導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)是增函數(shù)，再證明其為奇函數(shù)，然后由奇偶性與單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式，再分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值，得參數(shù)范圍．
【詳解】令，
則在R上恒成立，所以在R上為增函數(shù)，又，所以，
所以函數(shù)是R上的增函數(shù)，
又，都是R上的增函數(shù)，所以函數(shù)是R上的增函數(shù)，
，所以是奇函數(shù)，
因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ丛谏虾愠闪ⅲ?br>所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，則，
令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在,上單調(diào)遞減，
所以，故，
故選：A．
二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.
全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 若圓：與圓：的公共弦AB的長(zhǎng)為1，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A.
B. 直線(xiàn)AB的方程為
C. AB中點(diǎn)的軌跡方程為
D. 圓與圓公共部分的面積為
【答案】BC
【解析】
【分析】?jī)蓤A方程相減求出直線(xiàn)AB的方程，進(jìn)而根據(jù)弦長(zhǎng)求得，即可判斷AB選項(xiàng)；然后由圓的性質(zhì)可知直線(xiàn)垂直平分線(xiàn)段,進(jìn)而可得到直線(xiàn)的距離即為AB中點(diǎn)與點(diǎn)的距離，從而可求出AB中點(diǎn)的軌跡方程，因此可判斷C選項(xiàng)；對(duì)應(yīng)扇形的面積減去三角形的面積乘以2即可求出圓與圓公共部分的面積，即可判斷D選項(xiàng).
【詳解】?jī)蓤A方程相減可得直線(xiàn)AB的方程為，即，
因?yàn)閳A的圓心為，半徑為1，且公共弦AB的長(zhǎng)為1，則到直線(xiàn)的距離為，所以，解得，
所以直線(xiàn)AB的方程為，故A錯(cuò)誤，B正確；
由圓的性質(zhì)可知直線(xiàn)垂直平分線(xiàn)段,所以到直線(xiàn)的距離即為AB中點(diǎn)與點(diǎn)的距離，設(shè)AB中點(diǎn)坐標(biāo)為，因此，即，故C正確；
因?yàn)?，所以，即圓中弧所對(duì)的圓心角為，所以扇形的面積為，三角形的面積為，所以圓與圓公共部分的面積為，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
【點(diǎn)睛】圓的弦長(zhǎng)的常用求法：
（1）幾何法：求圓的半徑為r，弦心距為d，弦長(zhǎng)為l，則；
（2）代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式：.
10. 等腰直角三角形直角邊長(zhǎng)為1 ，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周 ，則所形成的幾何體的表面積可以為（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】
分2種情況，一種是繞直角邊，一種是繞斜邊，分別求形成幾何體的表面積.
【詳解】如果是繞直角邊旋轉(zhuǎn)，形成圓錐，圓錐底面半徑為1，高為1，母線(xiàn)就是直角三角形的斜邊，
所以所形成的幾何體的表面積是.
如果繞斜邊旋轉(zhuǎn)，形成是上下兩個(gè)圓錐，圓錐的半徑是直角三角形斜邊的高，兩個(gè)圓錐的母線(xiàn)都是直角三角形的直角邊，母線(xiàn)長(zhǎng)是1，
所以寫(xiě)成的幾何體的表面積.
綜上可知形成幾何體表面積是或.
故選：AB
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)體的表面積，意在考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.
11. 已知函數(shù)是奇函數(shù)，對(duì)于任意的滿(mǎn)足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中，結(jié)合奇偶性的定義判斷奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在的單調(diào)性，然后利用函數(shù)的單調(diào)性判斷出各選項(xiàng)的正誤.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，
因?yàn)閷?duì)于任意的滿(mǎn)足
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又函數(shù)是奇函數(shù)，
所以，所以在上為偶函數(shù)，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，則，即，即，
化簡(jiǎn)得，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
同理可知，即，即，
化簡(jiǎn)得，B選項(xiàng)正確；
，且即，即，
化簡(jiǎn)得，C選項(xiàng)正確，
，且即，即，
化簡(jiǎn)得，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選：BC.
【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)不等式是否成立，解題時(shí)要根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造合適的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求解，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于難題.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知圓：和圓：，則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系為_(kāi)_____．
【答案】?jī)?nèi)含
【解析】
【分析】根據(jù)圓心距和兩圓半徑的關(guān)系即可判斷兩圓的位置關(guān)系.
【詳解】因?yàn)閳A：，圓：，
所以圓心距，
而兩圓半徑之差，故兩個(gè)圓內(nèi)含．
故答案為：內(nèi)含
13. 已知數(shù)列中，，則數(shù)列的前項(xiàng)和_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解.
【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和
=
=,
故答案為：.
14. 表面積為100π的球面上有四點(diǎn)S?A?B?C，△ABC是等邊三角形，球心O到平面ABC的距離為3，若面SAB⊥面ABC，則棱錐體積的最大值為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出球半徑及球心到平面的距離，進(jìn)而求出外接圓半徑，利用面面垂直結(jié)合球的截面小圓性質(zhì)，求出的外接圓半徑，確定點(diǎn)S到平面的最大距離即可作答.
【詳解】依題意，球的半徑，令正的中心為，則，且平面，
外接圓半徑，連接并延長(zhǎng)交于D，則D為的中點(diǎn)，且，
顯然，而平面平面，平面平面，有平面，
令的外接圓圓心為，則平面，有，
又平面ABCD，平面ABCD，所以，
由,所以平面，所以，
而平面平面，平面平面，平面，則平面，
即有，因此四邊形為平行四邊形，則，，
的外接圓半徑，的外接圓上點(diǎn)到直線(xiàn)距離最大值為，
而點(diǎn)在平面上的射影在直線(xiàn)上，于是點(diǎn)到平面距離的最大值，
又正的面積，
所以棱錐的體積最大值.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，為數(shù)列前項(xiàng)的和，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意設(shè)出等差數(shù)列的公差，化簡(jiǎn)題目中的等式，可得答案；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求和即可.
【小問(wèn)1詳解】
由題意設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由題意，解得，所以.
【小問(wèn)2詳解】
，
所以數(shù)列的前50項(xiàng)和，
所以.
16. 已知圓A經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，且圓心A在直線(xiàn)上.
（1）求圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求過(guò)點(diǎn)且與圓A相切的直線(xiàn)方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件求得圓心和半徑，從而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）判斷直線(xiàn)符合題意，當(dāng)切線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)出切線(xiàn)的方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式來(lái)求得正確答案.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)圓心為，半徑為r，由，
得，得，
點(diǎn)A的坐標(biāo)為，圓半徑，
圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
【小問(wèn)2詳解】
畫(huà)出圓的圖象如下圖所示，
由圖可知，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，
當(dāng)過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線(xiàn)斜率存在時(shí)，
設(shè)切線(xiàn)方程為，
到直線(xiàn)的距離，解得，
所以切線(xiàn)方程為.
綜上所述，切線(xiàn)方程為或.
17. 如圖，在三棱柱中，，，在底面的射影為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）設(shè)為的中點(diǎn)，由線(xiàn)面垂直得到，由三線(xiàn)合一得到，從而得到線(xiàn)面垂直，證明出四邊形為平行四邊形，得到，證明出結(jié)論；
（2）作出輔助線(xiàn)，證明出為二面角的平面角，結(jié)合（1）得到，求出各邊長(zhǎng)，利用余弦定理求出的余弦值，進(jìn)而得到線(xiàn)面角的正弦值.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)為的中點(diǎn)，由題意得平面，
∵平面，
，
，為的中點(diǎn)，
，
∵，平面，
故平面，
由，分別為，的中點(diǎn)，得且，
從而，
四邊形平行四邊形，
故，
又平面，
平面；
【小問(wèn)2詳解】
作，且，連結(jié)，
由，，得，
由，，得≌，由，得，
因此為二面角的平面角，
由（1）得平面，平面，
所以，
由，，，得，
故，
由余弦定理得，，
所以.
18. 已知雙曲線(xiàn)：（，）的實(shí)軸長(zhǎng)為2，點(diǎn)到雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的距離為.
（1）求雙曲線(xiàn)的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于、兩點(diǎn)，設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程.
【答案】（1）
（2），其中或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)實(shí)軸長(zhǎng)得，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離結(jié)合求解即可；
（2）設(shè)，，，聯(lián)立直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的方程，消去y，得，且，得且，由韋達(dá)定理，得，從而得，聯(lián)立消去k，得，再根據(jù)的范圍得出的范圍，即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
雙曲線(xiàn)實(shí)軸長(zhǎng)為，由已知，，則，
因?yàn)殡p曲線(xiàn)：（，）的一條漸近線(xiàn)為，
點(diǎn)到雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的距離為，所以，
所以，所以，所以雙曲線(xiàn)的方程是；
【小問(wèn)2詳解】
易知直線(xiàn)的斜率存在設(shè)為，設(shè)、、，
聯(lián)立直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)E的方程，得，消去y，得．
由且，得且．
由韋達(dá)定理，得．
所以，．
由消去k，得．
由且，得或．
所以，點(diǎn)M的軌跡方程為，其中或．
19. 已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若，且，求證：．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，分和，討論求解；
（2）由， 得到，令，利用導(dǎo)數(shù)法得到時(shí)， 或證明
【小問(wèn)1詳解】
解：，
當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，由，得；由，得．
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
【小問(wèn)2詳解】
證明：由，得，
即，，
令，則．
∵，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，，∴或，
①若，顯然
②若，要證，只需證，
即證，若能證，則原命題得證，
令，，
，
∵，∴，，∴，
∴在單調(diào)遞增，∴，
∴，原命題得證．
綜上所述，．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：當(dāng)時(shí)，關(guān)鍵是將證，轉(zhuǎn)化為證，然后令，，利用導(dǎo)數(shù)而得解.

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