一、單選題（共8小題，每題5分，共40分）
1.已知集合，，則（ ）
A.B.C.D.
2.如圖，梯形ABCD的腰CD的中點為E，且，記，，則（ ）
A.B.C.D.
3.設(shè)等比數(shù)列的前項和為，，，則（ ）
A.1B.4C.8D.25
4.若兩個正實數(shù)，滿足，且存在這樣的，使不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A.B.C.或D.或
5.若A為函數(shù)圖象上的一點，，則的最小值為（ ）
A.B.C.D.2
6.鼎湖峰，矗立于浙江省縉云縣仙都風景名勝區(qū)，狀如春筍拔地而起，其峰頂鑲嵌著一汪小湖.某校開展數(shù)學建模活動，有建模課題組的學生選擇測量鼎湖峰的高度，為此，他們設(shè)計了測量方案.如圖，在山腳測得山頂?shù)醚鼋菫椋貎A斜角為的斜坡向上走了90米到達點（，，，在同一個平面內(nèi)），在處測得山頂P得仰角為60°，則鼎湖峰的山高PQ為（ ）米.

A.B.C.D.
7.已知函數(shù)，數(shù)列滿足，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
8.閱讀材料：數(shù)軸上，方程可以表示數(shù)軸上的點，平面直角坐標系中，方程（、不同時為0）可以表示坐標平面內(nèi)的直線，空間直角坐標系中，方程（、、不同時為0）可以表示坐標空間內(nèi)的平面.過點且一個法向量為的平面的方程可表示為.閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A.B.C.D.
二、多選題（共3小題，每題6分，全部選對得6分，共18分。部分選對得部分分，錯選得0分）
9.下列有關(guān)復數(shù)的說法正確的是（ ）
A.若是關(guān)于的方程的一個根，則
B.若，則點的集合所構(gòu)成的圖形的面積為
C.若是復數(shù)，則一定有
D.若，，則
10.如圖，在平行六面體中，已知，，為棱上一點，且，則（ ）
A.B.直線與所成角的余弦值為
C.平面D.直線與平面所成角為
11.（多選）已知函數(shù)的導函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中點，分別為的圖象上的一個最低點和一個最高點，則（ ）
A.
B.圖象的對稱軸為直線
C.函數(shù)在上單調(diào)遞增
D.將的圖象向右平移個單位，再將縱坐標伸長為原來的2倍，即可得到的圖象
三、填空題（共3小題，每題5分，共15分）
12.在長方體中，若，，則直線到平面的距離是________.
13.已知平面向量，，，，則的最小值為________.
14.已知函數(shù)有兩個零點，，則的取值范圍為________.
四、解答題（共5小題，15題13分，16、17題15分，18、19題17分，共77分）
15.在中，角，，所對的邊分別為，，.已知.
（1）求；
（2）若，且的面積為，求的周長.
16.設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，.數(shù)列是首項為，公差不為零的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列和的通項公式；
（2）若，數(shù)列的前項和為，且恒成立，求的取值范圍.
17.已知函數(shù)，.
（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若，，求的取值范圍.
18.如圖，正方形的邊長為2，，分別為，的中點在五棱錐中，為棱上一點，平面與棱，分別交于點，.
（1）求證：；
（2）若底面，且，直線與平面所成角為.
（i）確定點的位置，并說明理由；
（ii）求線段的長.
19.定義：任取數(shù)列中相鄰的兩項，若這兩項之差的絕對值為3，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)3”.已知項數(shù)為的數(shù)列的所有項的和為，且數(shù)列具有“性質(zhì)3”.
（1）若，且，，寫出所有可能的的值；
（2）若，，證明：“”是“”的充要條件；
（3）若，，，證明：或，
期中考試數(shù)學參考答案：
4.C 【詳解】由題設(shè)，則，當且僅當，即時等號成立，要使不等式有解，則，所以或.故選：C
5.【詳解】因為，所以在上單調(diào)遞增，且也單調(diào)遞增，若，則，顯然不符合題意；設(shè)，則函數(shù)在點A處的切線的斜率為，所以取得最小值，令，則，令，則且，令，則，顯然在上單調(diào)遞增，又，，所以存在使得，即，所以當時，此時單調(diào)遞減，當時，此時單調(diào)遞增，所以在處取得極小值即最小值，
又，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，當時，所以，所以恒成立，
即恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，此時，所以取得最小值為.故選：B.
6.B 【詳解】由題知，，，則，，又，所以，所以，，在中，，根據(jù)正弦定理有，且，則，在中，.所以山高為米.故選：B.
7.A 【詳解】數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，可知當，時，單調(diào)遞增，即或，解得；當時，單調(diào)遞增恒成立，且，即；解得，所以若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則，故選：A.
8.A 【詳解】因為平面的方程為，所以平面的法向量可取，平面的法向量為，平面的法向量為，設(shè)兩平面的交線的方向向量為，由，令，則，所以兩平面的交線的方向向量為，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.故選：A.
9.ABD【詳解】A，由題意，整理得，所以，解得，故，正確；B，記，則，所以，圓的面積為，圓的面積為，所以點的集合所構(gòu)成的圖形的面積為，正確.C，當，則，而，顯然不成立，錯誤；D，令，，則，故，又，，則，所以，正確.故選：ABD
10.ABD 【詳解】不妨設(shè)，，，則，.對于A，因，故，故，故A正確；對于B，因，，則，，設(shè)直線與所成角為，則，故B正確；對于C，因，，，即與不垂直，故不與平面垂直，故C錯誤；對于D，因，，，因，，則有，，因，，平面，故平面，即平面的法向量可取為，又，設(shè)直線與平面所成角為，因，，，則，因，故，故D正確.故選：ABD.
11.BCD 【詳解】，由圖象知，則，由五點對應法，，所以，，由于，所以，故，故A錯誤；由，得，，即圖象的對稱軸為直，，故B正確；，當，則，此時為增函數(shù)，故C正確；將的圖象向右平移個單位長度，得，再將所有點的縱坐標伸長為原來的2倍，得到，此時可以得到的圖象，故D正確.故選：BCD.
12./6.72 【詳解】易知，又面，面，所以面，則直線到平面的距離，與點到平面的距離相等，
過作于，因為面，面，所以，又，，面，所以面，又，，則，在中，，得到，所以直線到平面的距離為，故答案為：.
13.4 【詳解】因為，，，則，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為16，即的最小值為4.故答案為：4.
14. 【詳解】易知函數(shù)的定義域為，令，得到，令，，圖象如圖所示，因為函數(shù)有兩個零點，，由圖易知，，，且，得到，所以，令，則，又易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即的取值范圍為，故答案為：.
15.（1）；（2）.
【詳解】（1）由題得，…………2分
因為，，…5分
故，故，所以.…………6分
（2）由（1）得，故由和得，…………9分
所以，故，…………12分
所以的周長為.…………13分
16.（1），；（2）.
【詳解】（1），
當時，，兩式相減化簡可得：，
即數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列，…………2分
又，，解得，…………3分
即，…………4分
設(shè)數(shù)列的公差為，，…………5分
，，成等比數(shù)列，，
解得或（舍去），…………7分
即，
數(shù)列和的通項公式為，.…………8分
（2）由（1）得，…………9分
，，…………11分
兩式相減得：
，…………13分
即有恒成立，恒成立，可得，即的范圍是.…………15分
17.（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；極大值為－1，無極小值；（2）
【詳解】（1）當時，，，…………1分
令，則，故在上單調(diào)遞減，而，因此0是在上的唯一零點，即0是在上的唯一零點，當變化時，，的變化情況如下表：
…………5分
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；…………6分
所以的極大值為，無極小值；…………7分
（2）由題意知，即，即，…………8分
設(shè)，則，…………10分
令，解得，…………11分
當，，單調(diào)遞增，
當，，單調(diào)遞減，…………13分
所以，所以.
所以的取值范圍為.…………15分
18.（1）證明見解析（2）（i）為中點；理由見解析（ii）2.
【詳解】（1）在正方形中，，又平面，平面，
所以平面，又平面，平面平面，
則；…………5分
（2）（i）當為中點時，有直線與平面所成角為，
證明如下：由平面，可得，，
建立空間直角坐標系，如圖所示：
則，，，，
又為中點，則，，，，…………7分
設(shè)平面的一個法向量為，
則有，即，令，則，
則平面的一個法向量為，…………9分
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
故當為中點時，直線與平面所成角的大小為.…………11分
（ii）設(shè)點的坐標為，
因為點在棱上，所以可設(shè)，
即，所以，，，…………13分
因為是平面的法向量，
所以，即，解得，…………15分
故，則，
所以.…………17分
19.（1）6；0；12（2）證明見解析（3）證明見解析
【詳解】（1）依題意可知有如下三種情況：
若：0，3，0，3，此時，
若：0，－3，0，3，此時，
若：0，3，6，3，此時.…………12分
（2）證明：
必要性：因為，
故數(shù)列為等差數(shù)列，
所以，公差為－3，
所以，必要性成立；…………6分
充分性：由于，
累加可得，，即，
因為，故上述不等式的每個等號都取到，
所以，，所以，，充分性成立；9分
綜上所述，“”是“，”的充要條件；
（3）證明：
令，依題意，，
因為，
所以
，…………12分
因為，所以為偶數(shù)，
所以為偶數(shù)；
所以要使，必須使為偶數(shù)，即4整除，
亦即或，…………14分
當時，
比如，，，
或，，時，有，；
當時，
比如，，，，
或，，，，有，；
當或時，不能被4整除，.…………17分
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
A
C
B
B
A
A
ABD
ABD
題號
11
答案
BCD
0
＋
0
－
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減

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