專題35 空間向量的概念與運(yùn)算5題型分類-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(cè)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．空間向量的有關(guān)概念
2.空間向量的有關(guān)定理
(1)共線向量定理：對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.
(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空間向量基本定理
如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底．
3．空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律
(1)數(shù)量積
非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
4.空間位置關(guān)系的向量表示
(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量．
(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a為平面α的法向量．
(3)空間位置關(guān)系的向量表示
常用結(jié)論
1．三點(diǎn)共線：在平面中A，B，C三點(diǎn)共線?eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)．
2．四點(diǎn)共面：在空間中P，A，B，C四點(diǎn)共面?eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間中任意一點(diǎn)．
一、單選題
1．（2024高二下·江蘇泰州·期中）若點(diǎn)，，在同一條直線上，則（）
A．21B．4C．4D．10
2．（2024高二上·山東菏澤·階段練習(xí)）對(duì)于空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，有如下關(guān)系：，則（）
A．四點(diǎn)必共面B．四點(diǎn)必共面
C．四點(diǎn)必共面D．五點(diǎn)必共面
3．（2024高二上·陜西商洛·階段練習(xí)）已知，則下列向量中與平行的是（）
A．B．C．D．
4．（2024高二上·北京西城·期中）兩個(gè)不同的平面和，平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量，則平面與平面（）
A．平行B．垂直C．相交D．不能確定
5．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）下面關(guān)于空間向量的說(shuō)法正確的是（）
A．若向量平行，則所在直線平行
B．若向量所在直線是異面直線，則不共面
C．若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則向量，不共面
D．若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則向量，，不共面
6．（2024高二上·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）下列命題中是假命題的是（）
A．任意向量與它的相反向量不相等
B．和平面向量類似，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小
C．如果，則
D．兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同
7．（2024高二上·浙江臺(tái)州·階段練習(xí)）已知平面的法向量為，，則直線和平面的位置關(guān)系是（）
A．B．C．與相交但不垂直D．
8．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿足，其中m＋n＝1，則（）
A．P∈ABB．P?AB
C．點(diǎn)P可能在直線AB上D．以上都不對(duì)
9．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知在空間單位正交基底下，是空間的一組單位正交基底，是空間的另一組基底.若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（）
A．B．C．D．
10．（2024高二上·新疆和田·期中）已知、分別為不重合的兩直線、的方向向量，、分別為不重合的兩平面、的法向量，則下列所有正確結(jié)論（）個(gè).
①；②；③；④.
A．B．C．D．
11．（2024·福建福州·三模）以下四組向量在同一平面的是（）
A．、、B．、、
C．、、D．、、
12．（2024高二上·云南昆明·期末）如圖，M在四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，且，設(shè)，，，則下列向量與相等的向量是（）
A．B．
C．D．
13．（2024高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模型，過(guò)點(diǎn)A作一個(gè)平面分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，若，則的值為（）
A．B．C．D．
14．（2024·江西·二模）在四棱錐中，棱長(zhǎng)為2的側(cè)棱垂直底面邊長(zhǎng)為2的正方形，為棱的中點(diǎn)，過(guò)直線的平面分別與側(cè)棱、相交于點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，截面的面積為（）
A．B．2C．D．3
二、多選題
15．（2024高二下·浙江·期中）空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則（）
A．
B．是等腰直角三角形
C．與平行的單位向量的坐標(biāo)為或
D．在方向上的投影向量的坐標(biāo)為
16．（2024·廣東佛山·二模）四面體中，，，，，，平面與平面的夾角為，則的值可能為（）
A．B．C．D．
三、填空題
17．（2024·上海金山·二模）已知向量，向量，則與的夾角的大小為 .
18．（2024高二上·北京西城·期中）已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則．
19．（2024高二上·山西·開(kāi)學(xué)考試）已知直線的方向向量是，平面的法向量是，與的位置關(guān)系為 .
20．（2024高二下·天津薊州·期中）已知點(diǎn)A（1，2，3），B（0，1，2），C（﹣1，0，λ），若A，B，C三點(diǎn)共線，則．
21．（2024高二上·湖南株洲·階段練習(xí)）已知向量，若，則．
22．（2024高二上·北京·期中）直線的方向向量為，直線的方向向量為，平面的法向量為，，，則、、的值依次為 .
23．（2024高二上·浙江臺(tái)州·階段練習(xí)）如圖，三棱錐中，平面ABC，，且，．若D是棱PC上的點(diǎn)，滿足，且，則．
24．（2024高二上·江西宜春·階段練習(xí)）如圖所示，在正方體中，E是棱DD1的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），點(diǎn)F在棱C1D1上，且，若∥平面，則 .
四、解答題
25．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，，分別是的中點(diǎn)，.證明：.
26．（2024高二下·江蘇·課后作業(yè)）在正方體中，分別是的中點(diǎn)，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求證：平面平面.
27．（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，正四棱的底面邊長(zhǎng)1，側(cè)棱長(zhǎng)4，中點(diǎn)為，中點(diǎn)為．求證：平面平面.

28．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，，，平面，，.

(1)求二面角的余弦值；
(2)在線段AB（含端點(diǎn)）上，是否存在一點(diǎn)P，使得平面.若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
29．（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，且，，且，且，平面ABCD，.若M為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：平面CDE；
30．（2024高二上·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)求證：平面
31．（2024高二下·江蘇·課后作業(yè)）已知棱長(zhǎng)為1的正方體在空間直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，分別為棱的中點(diǎn)，求證：.
32．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，平面平面，四邊形為正方形，是直角三角形，且，，，分別是線段，，的中點(diǎn)，求證：平面平面．
33．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在幾何體ABCDE中，ABC，BCD，CDE均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．求證：A，B，D，E四點(diǎn)共面；
34．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，直三棱柱中，，，，D為BC的中點(diǎn)，E為上的點(diǎn)，且．求證：平面；
35．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，直三棱柱的側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，．證明：平面；
36．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在正方體中，如圖、分別是，的中點(diǎn)．求證：平面平面；
37．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，正三棱柱中，分別是棱上的點(diǎn)，.

證明：平面平面.
38．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，D為棱上的動(dòng)點(diǎn)..證明：；
39．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，點(diǎn)E在棱PD上，且.證明：平面平面ACE；
40．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，D為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)E．證明：.
41．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在底面是矩形的四棱錐中，平面，，，是PD的中點(diǎn).
求證：平面平面.
42．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，棱臺(tái)中，，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，連接，BD，.證明：.
43．（2024·云南曲靖·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)面是等邊三角形，.
(1)求證：平面平面；
(2)設(shè)為側(cè)棱上一點(diǎn)，四邊形是過(guò)兩點(diǎn)的截面，且平面，是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.
44．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）斜三棱柱的各棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)在下底面的投影為的中點(diǎn).在棱（含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)使？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
45．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）斜三棱柱的各棱長(zhǎng)都為2，，點(diǎn)在下底面ABC的投影為AB的中點(diǎn)O．在棱（含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)D使？若存在，求出BD的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
46．（2024·河北保定·一模）如圖，平行六面體的所有棱長(zhǎng)均為，底面為正方形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)．
(1)若為中點(diǎn)，求證：；
(2)若平面，求線段長(zhǎng)度的最小值．
47．（2024高二上·北京海淀·期中）已知三棱錐（如圖1）的平面展開(kāi)圖（如圖2）中，四邊形為邊長(zhǎng)為的正方形，和均為正三角形.在三棱錐中：
(1)求點(diǎn)到平面的距離；
(2)若點(diǎn)在棱上，滿足，點(diǎn)在棱上，且，求的取值范圍.
48．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，.求證：PB平面AEC；
49．（2024高二上·山東聊城·階段練習(xí)）如圖，正方形與梯形所在平面互相垂直，已知，，．

(1)求證：平面．
(2)線段上是否存在點(diǎn)M，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
50．（2024高二·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．證明：

(1)平面；
(2)平面⊥平面．
51．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在蘇州博物館有一類典型建筑八角亭，既美觀又利于采光，其中一角如圖所示，為多面體，，，，底面，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形且平行于底面，，，的中點(diǎn)分別為，，，．證明：//平面；

52．（2024高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)

(1)證明：平面.
(2)在直線上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，請(qǐng)指出的位置；若不存在.請(qǐng)說(shuō)明理由.
53．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在四棱錐中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD為梯形．，，且，，．若M是棱PA的中點(diǎn)，則對(duì)于棱BC上是否存在一點(diǎn)F，使得MF與PC平行．

54．（2024高二上·山西大同·期中）如圖，在直三棱柱中，，垂足為，為線段上的一點(diǎn).

(1)若為線段的中點(diǎn)，證明：平面；
(2)若平面平面，求的值.
55．（2024高二下·江蘇·課后作業(yè)）如圖，四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，求證：.
56．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在平行六面體中，，．
(1)求證：、、三點(diǎn)共線；
(2)若點(diǎn)是平行四邊形的中心，求證：、、三點(diǎn)共線．
57．（2024高二上·湖北宜昌·期中）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn).

(1)求證：
(2)求三棱錐的體積.
58．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖四棱錐，且，平面平面，且是以為直角的等腰直角三角形，其中為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.求證：四點(diǎn)共面.
59．（2024高二上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)P，Q，R分別在棱，，上，且.
（1）求點(diǎn)D到平面的距離；
（2）若平面與線段的交點(diǎn)為N，求的值.
60．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，用向量法證明：
(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
(2)平面EFGH．
61．（2024·四川瀘州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形為正方形，若平面平面，，，.
(1)求二面角A－CF－D的余弦值；
(2)判斷點(diǎn)D與平面CEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.
62．（2024·河南鄭州·一模）如圖，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高均為2，，分別為，的中點(diǎn)．
(1)若點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且，判斷點(diǎn)是否在平面內(nèi)，并證明你的結(jié)論；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
63．（2024·江蘇·三模）如圖，三棱錐P－ABC的底面為等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝2．D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，PD⊥平面ABC，點(diǎn)M在線段PE上．
(1)再?gòu)臈l件①、②、③、④四個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使得平面MBD⊥平面PBC，并給予證明；
(2)在（1）的條件下，求直線BP與平面MBD所成的角的正弦值．
條件①：；
條件②：∠PED＝60°；
條件③：PM＝3ME：
條件④：PE＝3ME．
名稱
定義
空間向量
在空間中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
長(zhǎng)度相等而方向相反的向量
共線向量(或平行向量)
表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一個(gè)平面的向量
向量表示
坐標(biāo)表示
數(shù)量積
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共線
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))
夾角余弦值
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)
cs〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))·\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3)))
位置關(guān)系
向量表示
直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2
l1∥l2
n1∥n2?n1＝λn2(λ∈R)
l1⊥l2
n1⊥n2?n1·n2＝0
直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m，l?α
l∥α
n⊥m?n·m＝0
l⊥α
n∥m?n＝λm(λ∈R)
平面α，β的法向量分別為n，m
α∥β
n∥m?n＝λm(λ∈R)
α⊥β
n⊥m?n·m＝0
（一）
用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)
(1)要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．
(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義．
(3)在立體幾何中，三角形法則、平行四邊形法則仍然成立．
題型1：空間向量的線性運(yùn)算
1-1．（福建省福州十五中、格致鼓山中學(xué)、教院二附中、福州銅盤中學(xué)、福州十中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則（）
A．B．
C．D．
1-2．（2024·福建福州·三模）在三棱錐P-ABC中，點(diǎn)O為△ABC的重心，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為側(cè)棱PA，PB，PC的中點(diǎn)，若，，，則=（）
A．B．C．D．
1-3．（上海市南洋模范中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖所示，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，則（）

A．B．
C．D．
1-4．（2024高二上·陜西西安·期末）如圖，在四面體中，是的重心，是上的一點(diǎn)，且，若，則為（）
A．B．
C．D．
（二）
應(yīng)用共線(面)向量定理、證明點(diǎn)共線(面)的方法比較
三點(diǎn)(P，A，B)共線
空間四點(diǎn)(M，P，A，B)共面
eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))
eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))
對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))
對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))
對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq \(OB,\s\up6(→))
對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OM,\s\up6(→))＋yeq \(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq \(OB,\s\up6(→))
題型2：空間向量基本定理及其應(yīng)用
2-1．（2024高二上·湖南郴州·階段練習(xí)）已知，，如果與為共線向量，則（）
A．B．C．D．
2-2．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若、、三點(diǎn)共線，則（）．
A．
B．
C．
D．
2-3．（湖南省岳陽(yáng)市平江縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題）已知A、B、C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外的任一點(diǎn)O，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A、B、C一定共面的是（）
A．B．
C．D．
2-4．（2024高二下·四川雅安·期末）向量，分別是直線，的方向向量，且，，若，則（）
A．，B．，
C．，D．，
2-5．（2024高二下·江蘇揚(yáng)州·期中）已知空間、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)為空間中任意一點(diǎn)，若，則（）
A．B．C．D．
2-6．（2024高二上·湖南郴州·階段練習(xí)）為空間任意一點(diǎn)，若，若、、、四點(diǎn)共面，則（）
A．B．C．D．
2-7．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，若三向量共面，則等于（）
A．B．9C．D．
2-8．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）在四面體OABC中，點(diǎn)M，N分別為OA、BC的中點(diǎn)，若，且G、M、N三點(diǎn)共線，則．
（三）
空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用
空間向量的數(shù)量積運(yùn)算有兩條途徑，一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計(jì)算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算．
題型3：空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用
3-1．【多選】（2024高二上·遼寧大連·期末）已知向量，，則下列正確的是（）
A．B．C．D．
3-2．（2024高二上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）已知是棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)切球的一條直徑，則．
3-3．（2024·上海松江·二模）已知空間向量，，，若，則．
3-4．（2024高二上·重慶萬(wàn)州·階段練習(xí)）已知空間向量，，則在方向上的投影向量為 .
3-5．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行六面體中，，，，，則線段的長(zhǎng)為 .

3-6．【多選】（2024高三上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在平行六面體中，其中以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且彼此夾角都是，下列說(shuō)法中不正確的是（）

A．
B．
C．向量與夾角是
D．向量與所成角的余弦值為
3-7．【多選】（2024高二上·浙江溫州·期末）已知空間向量，，下列說(shuō)法正確的是（）
A．若，則
B．若，則
C．若在上的投影向量為，則
D．若與夾角為銳角，則
3-8．【多選】（2024·安徽·一模）在平行六面體中，已知，，則（）
A．直線與所成的角為
B．線段的長(zhǎng)度為
C．直線與所成的角為
D．直線與平面所成角的正弦值為
（四）
向量法證明平行、垂直
(1)利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能利用垂直條件，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及到直線、平面的要素)．
(2)向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開(kāi)立體幾何的有關(guān)定理．
題型4：向量法證明平行
4-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn)，證明：平面.
4-2．（2024高二下·江蘇·課后作業(yè)）如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn)，求證：平面EFG∥平面PBC．
4-3．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點(diǎn)．求證：平面平面.
4-4．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點(diǎn). 求證：平面.

4-5．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，求證：．

題型5：向量法證明垂直
5-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，，，，.為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.
求證：平面平面.
5-2．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知在直三棱柱中，其中為的中點(diǎn)，點(diǎn)是上靠近的四等分點(diǎn)，與底面所成角的余弦值為．

求證：平面平面.
5-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知直三棱柱為的中點(diǎn)，為側(cè)棱上一點(diǎn)，且，三棱柱的體積為32．過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，求證：平面；
5-4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，分別是，的中點(diǎn)．求證：平面；
5-5．（2024高二上·山西太原·期中）如圖，在平行六面體中，.
(1)求的長(zhǎng)；
(2)求證：.

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