TOC \ "1-4" \h \u \l "_Tc9903" 5-7 向量法求空間角 PAGEREF _Tc9903 \h 1
\l "_Tc28094" 一、主干知識 PAGEREF _Tc28094 \h 1
\l "_Tc31273" 考點1：異面直線所成的角 PAGEREF _Tc31273 \h 1
\l "_Tc29522" 考點2：直線與平面所成的角 PAGEREF _Tc29522 \h 2
\l "_Tc8968" 考點3：平面與平面的夾角 PAGEREF _Tc8968 \h 2
\l "_Tc7942" 【常用結(jié)論總結(jié)】 PAGEREF _Tc7942 \h 2
\l "_Tc13207" 二、分類題型 PAGEREF _Tc13207 \h 4
\l "_Tc7797" 題型一 異面直線所成的角 PAGEREF _Tc7797 \h 4
\l "_Tc23962" 題型二 直線與平面所成的角 PAGEREF _Tc23962 \h 5
\l "_Tc29848" 題型三 平面與平面的夾角 PAGEREF _Tc29848 \h 6
\l "_Tc30537" 三、分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固 PAGEREF _Tc30537 \h 7
一、主干知識
考點1：異面直線所成的角
若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cs θ＝|cs〈u，v〉|＝eq \f(|u·v|,|u||v|).
考點2：直線與平面所成的角
如圖，直線AB與平面α相交于點B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝|cs〈u，n〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq \f(|u·n|,|u||n|).
考點3：平面與平面的夾角
如圖，平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．
若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補角．設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cs θ＝|cs〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|).
【常用結(jié)論總結(jié)】
1．線面角θ的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對值，即sin θ＝|cs〈a，n〉|，不要誤記為cs θ＝|cs〈a，n〉|.
2．二面角的范圍是[0，π]，兩個平面夾角的范圍是.
二、分類題型
題型一 異面直線所成的角
（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測）直三棱柱如圖所示，為棱的中點，三棱柱的各頂點在同一球面上，且球的表面積為，則異面直線和所成的角的余弦值為（ ）

A．B．C．D．
（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中?？寄M預(yù)測）如圖，四棱錐中，底面為正方形，是正三角形，，平面平面，則與所成角的余弦值為（ ）

A．B．C．D．
（2023·河南洛陽·洛寧縣第一高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，且各棱長均相等，E是PB的中點，則異面直線AE與PC所成角的余弦值為（ ）

A．B．C．D．
用向量法求異面直線所成的角的一般步驟
(1)建立空間直角坐標(biāo)系；
(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；
(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；
(4)注意兩異面直線所成角的范圍是，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值．
（2023·江西南昌·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長均相等，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）

A．B．C．D．
（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）“曲池”是《九章算術(shù)》記載的一種幾何體，該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，面ABCD，，底面扇環(huán)所對的圓心角為，的長度是長度的2倍，，則異面直線與所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點，為的中點，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，為下底面圓周上一點，滿足，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
題型二 直線與平面所成的角
（2023春·江西宜春·高二上高中學(xué)校考期中）在正方體中，如圖、分別是，的中點．

(1)求證：平面平面；
(2)求直線與所成角的正弦值．
（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，，點M在棱PD上，且，．

(1)求證：CD⊥平面PAD；
(2)求BM與平面所成角的余弦值．
（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱柱中，平面平面，是的中點，且.

(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)求平面與平面所成角的余弦值.
（2023·吉林長春·長春吉大附中實驗學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，三棱臺，，，平面平面，， ，與相交于點，，且∥平面．

(1)求三棱錐的體積；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
利用空間向量求線面角的解題步驟
如圖，在四面體中，.

(1)若到平面的距離為3，求三棱錐的高；
(2)求與平面所成角的大小.
（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，底面為直角梯形，，，，.

(1)求證：平面平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
（2023·福建莆田·?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱錐中，，，，.

(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的余弦值．
如圖，正方體中，分別為棱的中點.

(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示，在直四棱柱ABCD-中，底面ABCD為菱形，，，E為線段上一點.
(1)求證：；
(2)若平面與平面ABCD的夾角的余弦值為，求直線BE與平面所成角的正弦值.
題型三 平面與平面的夾角
（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；
(2)求二面角的大?。?br>（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在如圖所示的空間幾何體中，與均是等邊三角形，直線平面，直線平面，.

(1)求證：平面平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．

(1)證明：；
(2)點F滿足，求二面角的正弦值．
（2007·四川·高考真題）如圖，平面平面，，直線AM與直線PC所成的角為，又．
(1)求證：；
(2)求二面角的大??；
(3)求多面體的體積．
利用空間向量求平面與平面夾角的解題步驟
（四川·高考真題）如圖，是直角梯形，，，，，又，，，直線與直線所成的角為．
(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的大??；
(3)求三棱錐的體積．
（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）直三棱柱中，，D為的中點，E為的中點，F(xiàn)為的中點．
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)求平面與平面夾角的余弦值．
（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點．

(1)證明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，F(xiàn)為棱CD的中點．
（I）求證：平面；
（II）求直線與平面所成角的正弦值．
（III）求二面角的正弦值．
（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）在四棱錐中，底面是正方形，若．
（1）證明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
三、分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固
1．（2023?北京）芻曹是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某屋頂可視為五面體，四邊形和是全等的等腰梯形，和是全等的等腰三角形．若，，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角的正切值均為．為這個模型的輪廓安裝燈帶（不計損耗），則所需燈帶的長度為
A．B．C．D．
2．（2023?乙卷）已知為等腰直角三角形，為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線與平面所成角的正切值為
A．B．C．D．
3．（2022?甲卷）在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則
A．
B．與平面所成的角為
C．
D．與平面所成的角為
4．（2022?浙江）如圖，已知正三棱柱，，，分別是棱，上的點．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則
A．B．C．D．
5．（多選）（2023?新高考Ⅱ）已知圓錐的頂點為，底面圓心為，為底面直徑，，，點在底面圓周上，且二面角為，則
A．該圓錐的體積為B．該圓錐的側(cè)面積為
C．D．的面積為
6．（2023?乙卷）已知點，，，均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則 ．
7．（2023?北京）如圖，四面體中，，，平面．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的大?。?br>8．（2023?上海）已知直四棱柱，，，，，．
（1）證明：直線平面；
（2）若該四棱柱的體積為36，求二面角的大?。?br>9．（2023?甲卷）如圖，在三棱柱中，平面，．
（1）證明：平面平面；
（2）設(shè)，，求四棱錐的高．
10．（2023?天津）在三棱臺中，若平面，，，，，分別為，中點．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求平面與平面所成角的余弦值；
（Ⅲ）求點到平面的距離．
11．（2023?甲卷）在三棱柱中，，底面，，到平面的距離為1．
（1）求證：；
（2）若直線與距離為2，求與平面所成角的正弦值．
12．（2023?乙卷）如圖，在三棱錐中，，，，，，，，的中點分別為，，，點在上，．
（1）證明：平面；
（2）證明：平面平面；
（3）求二面角的正弦值．
13．（2023?新高考Ⅰ）如圖，在正四棱柱中，，．點，，，分別在棱，，，上，，，．
（1）證明：；
（2）點在棱上，當(dāng)二面角為時，求．
14．（2023?新高考Ⅱ）如圖，三棱錐中，，，，為中點．
（1）證明；
（2）點滿足，求二面角的正弦值．
15．（2023?上海）已知三棱錐中，平面，，，，為中點，過點分別作平行于平面的直線交、于點，．
（1）求直線與平面所成角的大小；
（2）求直線到平面的距離．
16．（2022?浙江）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)，分別為，的中點．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
17．（2022?甲卷）在四棱錐中，底面，，，，．
（1）證明：；
（2）求與平面所成的角的正弦值．
18．（2022?新高考Ⅰ）如圖，直三棱柱的體積為4，△的面積為．
（1）求到平面的距離；
（2）設(shè)為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．
19．（2022?乙卷）如圖，四面體中，，，，為的中點．
（1）證明：平面平面；
（2）設(shè)，，點在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求與平面所成的角的正弦值．
20．（2022?新高考Ⅱ）如圖，是三棱錐的高，，，為的中點．
（1）證明：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
21．（2022?天津）直三棱柱中，，，，為中點，為中點，為中點．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面的正弦值；
（3）求平面與平面夾角的余弦值．
22．（2022?上海）如圖，圓柱下底面與上底面的圓心分別為、，為圓柱的母線，底面半徑長為1．
（1）若，為的中點，求直線與上底面所成角的大??；（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）
（2）若圓柱過的截面為正方形，求圓柱的體積與側(cè)面積．
23．（2021?新高考Ⅱ）在四棱錐中，底面是正方形，若，，．
（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．
24．（2021?新高考Ⅰ）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點．
（1）證明：；
（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積．
25．（2021?乙卷）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為中點，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
26．（2021?北京）如圖，在正方體，為的中點，交平面交于點．
（Ⅰ）求證：為的中點；
（Ⅱ）若點是棱上一點，且二面角的余弦值為，求的值．
27．（2021?浙江）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，，，分別為，的中點，，．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
28．（2021?天津）如圖，在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的正弦值．

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