一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知復(fù)數(shù) 滿足 ( 為虛數(shù)單位)，則（ ）
A. 4B. 4C. 6D. 6
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?br>所以，即，
所以,
故選：C
2. 已知一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為、，它的母線長(zhǎng)為，則這個(gè)圓臺(tái)的體積為 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】取圓臺(tái)的軸截面，則四邊形為等腰梯形，
過(guò)點(diǎn)、在平面內(nèi)分別作，，垂足分別為、，
如下圖所示：
在梯形內(nèi)，，，，則，
故四邊形為矩形，所以，，，
在、中，，，，
所以，，所以，，
所以，，
因此，該圓臺(tái)的體積為.
故選：D.
3. 已知向量 與向量 夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)取值范圍是（ ）
A. B. 且
C. D. 且
【答案】B
【解析】若，的夾角為鈍角，
則，且與不共線，
即，且，
解得且．
故選：B．
4. 已知等差數(shù)列前 項(xiàng)和為 Sn，若 ，則使 的最小的的值為（ ）
A. 17B. 18C. 19D. 20
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，數(shù)列為等差數(shù)列，且，，
則有，且，即，，
則，，
故滿足的最小值為19，
故選：C
5. 已知、，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)?、，則，
由題意可得，解得，
所以，，故.
故選：D.
6. 若兩個(gè)等差數(shù)列的前 項(xiàng)和分別為 ，滿足 ，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由題意得，
所以當(dāng)時(shí)，
因此．
故選：A
7. 已知是銳角三角形，角、、 所對(duì)的邊分別為、、，為的面積，，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>由三角形的面積公式和余弦定理可得，
整理可得，
因?yàn)?，則，可得，所以，，
因?yàn)闉殇J角三角形，則，即，解得，
所以，，則，
所以，.
故選：B.
8. 在直三棱柱中，底面滿足，，若三棱柱的體積為，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如下圖所示：
圓柱的底面圓直徑為，母線長(zhǎng)為，則的中點(diǎn)到圓柱底面圓上每點(diǎn)的距離都相等，則為圓柱的外接球球心.
本題中，將直三棱柱放在圓柱中，如下圖所示：
設(shè)，因?yàn)椋瑒t，
則的外接圓直徑為，，
設(shè)，則，可得，
，
令，其中，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，，即，
故該三棱柱外接球的表面積，
故選：A.
二、選擇題: 本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分.
9. 若是空間的一個(gè)基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個(gè)基底的有（ ）
A. 、、B. 、、
C. 、、D. 、、
【答案】BC
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椋?br>所以，、、共面，A不滿足要求；
對(duì)于B選項(xiàng)，假設(shè)、、共面，
則存在、，使得，
因?yàn)槭强臻g的一個(gè)基底，由空間向量基本定理可得，該方程組無(wú)解，
故假設(shè)不成立，所以，、、能構(gòu)成空間一個(gè)基底，B滿足條件；
對(duì)于C選項(xiàng)，假設(shè)、、共面，則存在、，使得，
可得，則、、共面，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，
所以，、、能構(gòu)成空間一個(gè)基底，C滿足條件；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋?，、、共面，D不滿足條件.
故選：BC.
10. 已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.
B. 函數(shù) 在 上的值域?yàn)?
C. 函數(shù)是奇函數(shù)
D. 函數(shù)的圖象可由 上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 倍，再向右平移 得到
【答案】ACD
【解析】A．由圖可得，，，解得，
又函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，
因?yàn)椋?，解得，故?br>故A正確；
B．當(dāng)時(shí)，，
所以，所以，故B錯(cuò)誤；
C．是奇函數(shù)，故C正確；
D． 上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 倍，得到的圖像，再向右平移 得到的圖象，故D正確，
故選：ACD．
11. 已知數(shù)列的前 項(xiàng)和為 ，且 ，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. B. 是等比數(shù)列
C. 是遞增數(shù)列D. 是等比數(shù)列
【答案】ABC
【解析】對(duì)于A，由得，，
故，所以．A正確；
對(duì)于B，將與整體相減得，，
所以，又，即，
所以．即，且，
因此是等比數(shù)列，B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以?br>由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，數(shù)列是遞增數(shù)列，故C正確；
對(duì)于D，．
所以，顯然不是常數(shù)，所以不是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC．
三、填空題: 本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 若，則 _____.
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>則.
故答案為：.
13. 已知數(shù)列中， 且 ，則 _____
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
即，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以，
即，
所以，
故答案為：
14. 在平行六面體 中，,， ，，若，其中、、，給出下列四個(gè)結(jié)論:
①若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則；
②若點(diǎn)在平面內(nèi)，則；
③若，則三棱錐的體積為；
④若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則異面直線與垂直.
所有正確結(jié)論的序號(hào)是_____（把所有正確命題的序號(hào)都填在橫線上）.
【答案】①②④
【解析】對(duì)于①，由空間向量數(shù)量積的定義可得，
同理可得，，
若為的中點(diǎn)，則，
所以，
，
故，①對(duì)；
對(duì)于②，若點(diǎn)在平面內(nèi)，則存在實(shí)數(shù)、，使得，
所以，，
所以，，
又因?yàn)椋?br>則，，，
所以，，②對(duì)；
對(duì)于③，若，
則，
可得，
則、、共面，
又因?yàn)槠矫?，則平面，
所以，，
因?yàn)?，所以，?br>因?yàn)椋?，則平行四邊形為正方形，所以，，
因?yàn)?，、平面，所以，平面?br>因?yàn)椋?br>所以，，則，
設(shè)，則為的中點(diǎn)，所以，，
則，
所以，
，③錯(cuò)；
對(duì)于④，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則平面，
又因?yàn)槠矫妫?，④?duì).
故答案為：①②④.
四、解答題:本題共 5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
所以，解得，
所以；
（2）因?yàn)椋?br>所以，
所以
.
16. 記 內(nèi)角 的對(duì)邊分別為 ，且
（1）求角 的大??；
（2）若 為銳角三角形，，求 面積的取值范圍.
解：（1）由余弦定理可得,
再由正弦定理可得
即，
因?yàn)?，所以，所以，所?
（2）由題意，，
由正弦定理得，
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，
又，所以，
所以，從而，
所以 面積的取值范圍
17. 已知四棱錐中，平面，，，， ，點(diǎn)為上靠近的三等分點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成角的余弦值.
（1）證明：在線段上取點(diǎn)，使得，連接、，如下圖所示：
因?yàn)?，則且，
因?yàn)椋?，，則，所以，且，
所以，四邊形為平行四邊形，則，
因?yàn)槠矫?，平面，因此，平?
（2）解：因?yàn)槠矫?，?br>以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A0,0,0、、、，
設(shè)平面的法向量為m=x1,y1,z1，，，
則，取，則，
設(shè)平面的法向量為n=x2,y2,z2，，
則，取，則，
所以，.
由圖可知，平面與平面所成角為銳角，
因此，平面與平面所成角的余弦值為.
18. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，都有（為非零常數(shù)），則稱數(shù)列為“和等比數(shù)列”，其中為和公比. 若，且為“和等比數(shù)列”.
（1）求的值，并求出的和公比；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（3）在（2）的條件下，若不等式對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.
解：（1）因?yàn)椋?br>則，
所以，數(shù)列為等差數(shù)列，
則，
所以，，
根據(jù)題意可得，其中為非零常數(shù)，
即，
所以，，解得.
（2）由（1）可得，所以，，
則，
，
上式下式可得
，
因此，.
（3）由可得，
整理可得對(duì)任意的恒成立，
因?yàn)椋?br>則數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，
所以，，
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
19. 圖 1是直角梯形，，，四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，并且，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，如圖 2.
（1）求證：；
（2）若平面平面，在棱上找一點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為，并求的值；
（3）在（2）的前提下，求直線與平面所成角的正弦值.
（1）證明：取線段的中點(diǎn)，連接、，
翻折前，因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為 的菱形，并且，則，
所以，為等邊三角形，同理可知，也為等邊三角形，
翻折后，則、都是等邊三角形，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，，
因?yàn)椋?、平面，所以，平面?br>因?yàn)槠矫?，因此?
（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面?br>所以，平面，
又因?yàn)?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、，
設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，，，
則，取，可得，
設(shè)，其中，
則
所以，點(diǎn)到平面的距離為，
因?yàn)椋獾?，?
（3）解：由（1）得，
所以，，
所以，直線與平面所成角的正弦值為.

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