第十章　§10.3　隨機(jī)事件與概率-【北師大版】2025年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（課件+講義+練習(xí)）-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.2.理解事件間的關(guān)系與運(yùn)算.3.掌握古典概型及其計(jì)算公式，能計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率.
第一部分落實(shí)主干知識(shí)
第二部分探究核心題型
1.樣本空間和隨機(jī)事件(1)樣本點(diǎn)和有限樣本空間
2.兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算
A∩B＝?，A∪B＝Ω
3.古典概型的特征(1)有限性：試驗(yàn)E的樣本空間Ω的樣本點(diǎn)總數(shù) ，即樣本空間Ω為有限樣本空間；(2)等可能性：每次試驗(yàn)中，樣本空間Ω的各個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性 .4.古典概型的概率公式
對(duì)古典概型來(lái)說(shuō)，如果樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)總數(shù)為n，隨機(jī)事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為m，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)＝＝ .
5.概率的性質(zhì)(1)對(duì)任意的事件A，都有P(A)≥0；(2)如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝；(3)如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝_________；(4)設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有P(A∪B)＝_______________________.
6.頻率與概率(1)頻率的穩(wěn)定性在相同條件下，大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率通常會(huì)在附近擺動(dòng)，即隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有 .(2)頻率穩(wěn)定性的作用可以用頻率估計(jì)概率P(A).
1.當(dāng)隨機(jī)事件A，B互斥時(shí)，不一定對(duì)立；當(dāng)隨機(jī)事件A，B對(duì)立時(shí)，一定互斥，即兩事件互斥是對(duì)立的必要不充分條件.2.若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.(　　)(2)兩個(gè)事件的和事件發(fā)生是指這兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生.(　　)(3)從－3，－2，－1，0，1，2中任取一個(gè)數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同.(　　)(4)若A∪B是必然事件，則A與B是對(duì)立事件.(　　)
2.一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，與事件“至多有一次中靶”互斥的事件是A.至少有一次中靶B.兩次都中靶C.只有一次中靶D.兩次都不中靶
射擊兩次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或兩次都不中靶”，與該事件不能同時(shí)發(fā)生的是“兩次都中靶”.
3.從某班學(xué)生中任意找出一人，如果該同學(xué)的身高小于160 cm的概率為0.2，該同學(xué)的身高在[160,175](單位：cm)內(nèi)的概率為0.5，那么該同學(xué)的身高超過(guò)175 cm的概率為A.0.2　　　B.0.3　　　C.0.7　　　D.0.8
由題意知該同學(xué)的身高小于160 cm的概率、該同學(xué)的身高在[160,175](單位：cm)內(nèi)的概率和該同學(xué)的身高超過(guò)175 cm的概率和為1，故所求概率為1－0.2－0.5＝0.3.
4.(2022·全國(guó)乙卷)從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為_(kāi)____.
命題點(diǎn)1　隨機(jī)事件間關(guān)系的判斷例1　(1)(多選)(2023·大連模擬)有甲、乙兩種報(bào)紙供市民訂閱，記事件E為“只訂甲報(bào)紙”，事件F為“至少訂一種報(bào)紙”，事件G為“至多訂一種報(bào)紙”，事件I為“一種報(bào)紙也不訂”，下列命題正確的是A.E與G是互斥事件B.F與I互為對(duì)立事件C.F與G不是互斥事件D.G與I是互斥事件
題型一　隨機(jī)事件的關(guān)系
對(duì)于A，E與G有可能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，F(xiàn)與I不可能同時(shí)發(fā)生，且發(fā)生的概率之和為1，所以F與I互為對(duì)立事件，故B正確；對(duì)于C，F(xiàn)與G可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故C正確；對(duì)于D，G與I可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故D錯(cuò)誤.
(2)(多選)某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，設(shè)事件A＝“只有一次中靶”，B＝“兩次都中靶”，則下列結(jié)論正確的是A.A?BB.A∩B＝?C.A∪B＝“至少一次中靶”D.A與B互為對(duì)立事件
事件A＝“只有一次中靶”，B＝“兩次都中靶”，所以A，B是互斥事件但不是對(duì)立事件，所以A，D錯(cuò)誤，B正確；A∪B＝“至少一次中靶”，C正確.
命題點(diǎn)2　利用互斥、對(duì)立事件求概率例2　某商場(chǎng)的有獎(jiǎng)銷(xiāo)售活動(dòng)中，購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得.1 000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開(kāi)獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè).設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A，B，C，求：(1)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；
設(shè)“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”為事件M，則M＝A∪B∪C.∵A，B，C兩兩互斥，
(2)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率.
設(shè)“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”為事件N，則事件N與事件“1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)或中一等獎(jiǎng)”互為對(duì)立事件，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)]
命題點(diǎn)3　用頻率估計(jì)概率例3　(多選)某校為了解學(xué)校餐廳中午的用餐情況，分別統(tǒng)計(jì)了食用大米套餐和面食的人數(shù)，剩下的為食用米線、漢堡等其他食品(每人只選一種)，結(jié)果如表所示：
假設(shè)隨機(jī)抽取一位同學(xué)，記“中午吃大米套餐”為事件M，“吃面食”為事件N，“吃米線、漢堡等其他食品”為事件H，若用頻率估計(jì)事件發(fā)生的概率，則下列結(jié)論正確的是A.P(M)＝0.55 B.P(N)＝0.26C.P(H)＝0.19 D.P(N∪H)＝0.65
P(N∪H)表示事件N發(fā)生或事件H發(fā)生，且N與H互斥，故P(N∪H)＝P(N)＋P(H)＝0.26＋0.19＝0.45，故D錯(cuò)誤.
事件關(guān)系的運(yùn)算策略進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析.當(dāng)事件是由互斥事件組成時(shí)，運(yùn)用互斥事件的概率加法公式.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)從裝有10個(gè)紅球和10個(gè)白球的罐子里任取兩球，下列情況中互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件的是A.至少有一個(gè)紅球；至少有一個(gè)白球B.恰有一個(gè)紅球；都是白球C.至少有一個(gè)紅球；都是白球D.至多有一個(gè)紅球；都是紅球
對(duì)于A，“至少有一個(gè)紅球”可能為一個(gè)紅球、一個(gè)白球，“至少有一個(gè)白球”也可能為一個(gè)白球、一個(gè)紅球，故兩事件可能同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事件；對(duì)于B，“恰有一個(gè)紅球”，則另一個(gè)必是白球，與“都是白球”是互斥事件，而任取兩球還可能都是紅球，故兩事件不是對(duì)立事件；對(duì)于C，“至少有一個(gè)紅球”為都是紅球或一紅一白，與“都是白球”顯然是對(duì)立事件；對(duì)于D，“至多有一個(gè)紅球”為都是白球或一紅一白，與“都是紅球”是對(duì)立事件.
(2)某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，這四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的0.20,0.25,0.3,0.25，這四條流水線的合格率依次為0.95,0.96,0.97,0.98，現(xiàn)在從出廠產(chǎn)品中任取一件，則恰好抽到不合格產(chǎn)品的概率是________.
由題意可知，恰好抽到不合格產(chǎn)品的概率為P＝0.2×(1－0.95)＋0.25×(1－0.96)＋0.3×(1－0.97)＋0.25×(1－0.98)＝0.034.
例4　(1)(2023·湖北省十一校聯(lián)考)在“2,3,5,7,11,13,17,19”這8個(gè)素?cái)?shù)中，任取2個(gè)不同的數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之和仍為素?cái)?shù)的概率是
這8個(gè)素?cái)?shù)中，任取2個(gè)不同的數(shù)，有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)，(2,17)，(2,19)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(3,17)，(3,19)，(5,7)，(5,11)，(5,13)，(5,17)，(5,19)，(7,11)，(7,13)，(7,17)，(7,19)，(11,13)，(11,17)，(11,19)，(13,17)，(13,19)，(17,19)，共28個(gè)樣本點(diǎn)，這兩個(gè)數(shù)之和仍為素?cái)?shù)的樣本點(diǎn)有(2,3)，(2,5)，(2,11)，(2,17)，共4個(gè)，
(2)(2023·秦皇島模擬)某學(xué)校為了搞好課后服務(wù)工作，教務(wù)科組建了一批社團(tuán)，學(xué)生們都能自主選擇自己喜歡的社團(tuán).目前話劇社團(tuán)、書(shū)法社團(tuán)、攝影社團(tuán)、街舞社團(tuán)分別還可以再接收1名學(xué)生，恰好含甲、乙的4名同學(xué)前來(lái)教務(wù)科申請(qǐng)加入，按學(xué)校規(guī)定每人只能加入一個(gè)社團(tuán)，則甲進(jìn)街舞社團(tuán)，乙進(jìn)書(shū)法社團(tuán)或攝影社團(tuán)的概率為
利用公式法求解古典概型問(wèn)題的步驟
跟蹤訓(xùn)練2　(1)(2023·濟(jì)南模擬)從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)構(gòu)成三角形，則所得三角形是直角三角形的概率為
其中直角三角形，每邊對(duì)應(yīng)2個(gè)，如圖，例如Rt△BDE和Rt△ADE，共有2×6＝12(個(gè))，
(2)(2024·茂名模擬)從1,2,3,4,5中任選3個(gè)不同數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，則該三位數(shù)能被3整除的概率為
要使該三位數(shù)能被3整除，只需數(shù)字和能被3整除，
題型三　概率的綜合問(wèn)題
例5　某省高考目前實(shí)行“3＋1＋2”模式，其中“3”指的是語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)這3門(mén)必選科目，“1”指的是考生需要在物理、歷史這2門(mén)首選科目中選擇1門(mén)，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門(mén)再選科目中選擇2門(mén)，已知某大學(xué)醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)類(lèi)招生選科要求是首選科目為物理，再選科目為化學(xué)、生物至少1門(mén).(1)從所有選科組合中任意選取1個(gè)，求該選科組合符合該大學(xué)醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)類(lèi)招生選科要求的概率；
用a，b分別表示事件“選擇物理”“選擇歷史”，用c，d，e，f分別表示事件“選擇化學(xué)”“選擇生物”“選擇思想政治”“選擇地理”，則所有選科組合的樣本空間Ω＝{acd，ace，acf，ade，adf，aef，bcd，bce，bcf，bde，bdf，bef}，共含12個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)M＝“從所有選科組合中任意選取1個(gè)，該選科組合符合該大學(xué)醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)類(lèi)招生選科要求”，則M＝{acd，ace，acf，ade，adf}，共含5個(gè)樣本點(diǎn)，
(2)假設(shè)甲、乙、丙三人每人選擇任意1個(gè)選科組合是等可能的，且三人的選擇互不影響，求這三人中恰有兩人的選科組合符合該大學(xué)醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)類(lèi)招生選科要求的概率.
設(shè)“甲、乙、丙三人每人的選科組合符合該大學(xué)醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)類(lèi)招生選科要求”的事件分別是N1，N2，N3，由題意知事件N1，N2，N3相互獨(dú)立.
記N＝“甲、乙、丙三人中恰有兩人的選科組合符合該大學(xué)醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)類(lèi)招生選科要求”，
求解概率的綜合問(wèn)題時(shí)，一要注意概率模型的應(yīng)用，明確所求問(wèn)題所屬的事件類(lèi)型，二要根據(jù)公式準(zhǔn)確計(jì)算.
跟蹤訓(xùn)練3　為了備戰(zhàn)2024年法國(guó)巴黎奧運(yùn)會(huì)(第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì))，中國(guó)射擊隊(duì)的甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員展開(kāi)隊(duì)內(nèi)對(duì)抗賽.甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次，且兩人命中目標(biāo)與否互不影響.已知甲命中目標(biāo)的概率為，乙命中目標(biāo)的概率為 .(1)求甲沒(méi)有命中目標(biāo)的概率；
(2)在兩次射擊中，求恰好有一人命中目標(biāo)的概率.
由題意知事件A，B相互獨(dú)立，
一、單項(xiàng)選擇題1.從編號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)球中，任取2個(gè)球，則這2個(gè)球的編號(hào)之和為偶數(shù)的概率是
從編號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)球中，任取2個(gè)球，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6種情況，其中這2個(gè)球的編號(hào)之和為偶數(shù)的情況有(1,3)，(2,4)，共2種情況，
2.江南的周莊、同里、用直、西塘、烏鎮(zhèn)、南潯古鎮(zhèn)，并稱為“江南六大古鎮(zhèn)”，是中國(guó)江南水鄉(xiāng)風(fēng)貌最具代表的城鎮(zhèn)，它們以其深邃的歷史文化底蘊(yùn)、清麗婉約的水鄉(xiāng)古鎮(zhèn)風(fēng)貌、古樸的民俗風(fēng)情，在世界上獨(dú)樹(shù)一幟，馳名中外.這六大古鎮(zhèn)中，其中在蘇州的有3處.某家庭計(jì)劃今年暑假?gòu)倪@6個(gè)古鎮(zhèn)中挑選2個(gè)去旅游，則至少選一個(gè)蘇州古鎮(zhèn)的概率為
3.在拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的試驗(yàn)中，事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則在一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率為
擲一枚骰子的試驗(yàn)有6種等可能的結(jié)果，
4.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名參加演講比賽，設(shè)A＝“2名全是男生”，B＝“2名全是女生”，C＝“恰有一名男生”，D＝“至少有一名男生”，則下列關(guān)系不正確的是A.A?D B.B∩D＝?C.A∪C＝D D.A∪B＝B∪D
“至少有1名男生”包含“2名全是男生”“1名男生1名女生”2種情況，故A?D，A∪C＝D，故A，C正確；事件B與D是互斥事件，故B∩D＝?，故B正確，A∪B表示的是“2名全是男生或2名全是女生”，B∪D表示“2名全是女生或至少有一名男生”，故A∪B≠B∪D，故D錯(cuò)誤.
5.(2024·杭州模擬)四位爸爸A，B，C，D相約各帶一名自己的小孩進(jìn)行交際能力訓(xùn)練，其中每位爸爸都與一個(gè)別人家的小孩進(jìn)行交談，則A的小孩與D交談的概率是
方法二　設(shè)A，B，C，D四位爸爸的小孩分別是a，b，c，d，則交談組合有9種情況，分別為(Ab，Ba，Cd，Dc)，(Ab，Bd，Ca，Dc)，(Ab，Bc，Cd，Da)，(Ac，Ba，Cd，Db)，(Ac，Bd，Ca，Db)，(Ac，Bd，Cb，Da)，(Ad，Ba，Cb，Dc)，(Ad，Bc，Ca，Db)，(Ad，Bc，Cb，Da)，
A的小孩與D交談包含的不同組合有3種，分別為(Ab，Bc，Cd，Da)，(Ac，Bd，Cb，Da)，(Ad，Bc，Cb，Da)，
6.(2023·南通調(diào)研)將一個(gè)骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)能組成等差數(shù)列的概率為
根據(jù)題意，將一個(gè)骰子連續(xù)拋擲三次，每次都有6種情況，則共有63＝216(種)情況，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)能組成等差數(shù)列，分兩種情況討論：①若落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)不同，則為1,2,3或1,3,5或2,3,4或2,4,6或3,4,5或4,5,6，共有6種可能，
②若落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)全相同，有6種情況，
二、多項(xiàng)選擇題7.某飲料廠商開(kāi)發(fā)了一種新的飲料，為了促銷(xiāo)，每箱裝的6瓶飲料中有2瓶瓶蓋上分別印有“一等獎(jiǎng)”“二等獎(jiǎng)”，其余4瓶印有“謝謝惠顧”.甲從新開(kāi)的一箱中任選2瓶購(gòu)買(mǎi)，設(shè)事件A表示“甲沒(méi)有中獎(jiǎng)”，事件B表示“甲獲得一等獎(jiǎng)”，事件C表示“甲中獎(jiǎng)”，則A.事件A和事件B是對(duì)立事件B.事件A和事件C是對(duì)立事件C.P(B∪C)＝P(C)D.P(BC)＝P(C)
因?yàn)锳∪B表示“甲沒(méi)有中獎(jiǎng)或甲獲得一等獎(jiǎng)”，但甲可能獲得二等獎(jiǎng)，即事件A和事件B不是對(duì)立事件，故A錯(cuò)誤；事件A表示“甲沒(méi)有中獎(jiǎng)”，事件C表示“甲中獎(jiǎng)”，則事件A和事件C是互斥事件且和事件為必然事件，則事件A和事件C是對(duì)立事件，故B正確；又因?yàn)锽?C，所以P(B∪C)＝P(C)，故C正確；P(BC)＝P(B)，故D錯(cuò)誤.
8.小張上班從家到公司開(kāi)車(chē)有兩條線路，所需時(shí)間(單位：分鐘)隨交通堵塞狀況有所變化，其概率分布如表所示：則下列說(shuō)法正確的是A.任選一條線路，“所需時(shí)間小于50分鐘”與“所需時(shí)間為60分鐘”是對(duì)立事件B.線路一所需的平均時(shí)間比線路二少C.如果要求用不超過(guò)40分鐘的時(shí)間從家趕到公司，小張應(yīng)該走線路一D.若小張上、下班走不同線路，則所需時(shí)間之和大于100分鐘的概率為0.04
“所需時(shí)間小于50分鐘”與“所需時(shí)間為60分鐘”是互斥而不對(duì)立事件，所以A錯(cuò)誤；線路一所需的平均時(shí)間為30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39(分鐘)，線路二所需的平均時(shí)間為30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40(分鐘)，所以線路一所需的平均時(shí)間比線路二少，所以B正確；
線路一所需時(shí)間不超過(guò)40分鐘的概率為0.7，線路二所需時(shí)間不超過(guò)40分鐘的概率為0.8，小張應(yīng)該選線路二，所以C錯(cuò)誤；所需時(shí)間之和大于100分鐘，則線路一、線路二的時(shí)間可以為(50,60)，(60,50)和(60,60)三種情況，概率為0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，所以D正確.
三、填空題9.(2023·景德鎮(zhèn)質(zhì)檢)由于夏季炎熱，某小區(qū)用電量過(guò)大，據(jù)統(tǒng)計(jì)，一天停電的概率為0.3，現(xiàn)在用數(shù)據(jù)0,1,2表示當(dāng)天停電；用3,4,5,6,7,8,9表示當(dāng)天不停電，現(xiàn)以兩個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示連續(xù)兩天停電情況，經(jīng)隨機(jī)模擬得到以下30組數(shù)據(jù).28　21　79　14　56　74　06　89　53　9014　57　62　30　93　78　63　44　71　2867　03　53　82　47　23　10　94　02　43根據(jù)以上模擬數(shù)據(jù)估計(jì)連續(xù)兩天中恰好有一天停電的概率為_(kāi)______.
由題意可知連續(xù)兩天中恰有一天停電的情況有28,14,06,90,14,62,30,71,28,03,82,23，共12種，
10.(2023·益陽(yáng)質(zhì)檢)甲、乙兩人要在一排六個(gè)空座上就坐，求甲、乙中間有空位的概率為_(kāi)____.
11.通過(guò)手機(jī)驗(yàn)證碼注冊(cè)某APP時(shí)，收到的驗(yàn)證碼由四位數(shù)字隨機(jī)組成，如果某人收到的驗(yàn)證碼a1a2a3a4滿足a1

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