第八章　§8.3　圓的方程-【北師大版】2025年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（課件+講義+練習(xí)）-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

1.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題.
第一部分落實主干知識
第二部分探究核心題型
1.圓的定義和圓的方程
2.點與圓的位置關(guān)系平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|>r?M在，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|0.(　　)
2.以原點為圓心，2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是A.x2＋y2＝2B.x2＋y2＝4C.(x－2)2＋(y－2)2＝8D.x2＋y2＝
3.若曲線C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圓，則實數(shù)a的取值范圍為A.(－2,0)B.(－∞，－2)∪(0，＋∞)C.[－2,0]D.(－∞，－2]∪[0，＋∞)
由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0，得(x＋a)2＋(y－2a)2＝5a2＋10a，由該曲線表示圓，可知5a2＋10a>0，解得a>0或a0)，
∴⊙M的方程為x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.方法三　設(shè)A(3,0)，B(0,1)，⊙M的半徑為r，
∴M(1，－1)，∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
求圓的方程的常用方法(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程.(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值；②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)(2024·鄭州模擬)已知點A(－2,1)，B(－1,0)，C(2,3)，M(a,2)四點共圓，則a＝________.
設(shè)過A，B，C的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，
所以過A，B，C的圓的方程為x2＋y2－4y－1＝0.又因為點M在此圓上，所以a2＋4－8－1＝0，解得a2＝5，
(2)若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點，且圓心在直線y＝－2x＋3上運動，當(dāng)半徑最小時，圓的方程為____________________.
命題點1　直接法例2　已知A(－2,0)，B(2,0)，動點M滿足|MA|＝2|MB|，則點M的軌跡方程是____________________.
題型二　與圓有關(guān)的軌跡問題
因為|MA|＝2|MB|，
整理可得，3x2＋3y2－20x＋12＝0，
命題點2　定義法例3　(2023·茂名模擬)已知圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，點M是圓上的動點，AM與圓相切，且|AM|＝2，則點A的軌跡方程是A.y2＝4xB.x2＋y2－2x－2y－3＝0C.x2＋y2－2y－3＝0D.y2＝－4x
因為圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圓心C(1,1)，半徑r＝1，因為點M是圓上的動點，所以|MC|＝1，又AM與圓相切，且|AM|＝2，
設(shè)A(x，y)，則(x－1)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2－2x－2y－3＝0，所以點A的軌跡方程為x2＋y2－2x－2y－3＝0.
命題點3　相關(guān)點法例4　已知O為坐標(biāo)原點，點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以O(shè)M，ON為鄰邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡.
設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，∵四邊形MONP為平行四邊形，
即(x，y)＝(－3,4)＋(x0，y0)，
又N(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上，
求與圓有關(guān)的軌跡問題的常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程.(3)相關(guān)點代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式.
跟蹤訓(xùn)練2　已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0).求：(1)直角頂點C的軌跡方程；
方法一　設(shè)C(x，y)，因為A，B，C三點不共線，所以y≠0.因為AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，
化簡得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
方法二　設(shè)AB的中點為D，由中點坐標(biāo)公式得D(1,0)，
由圓的定義知，動點C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點).所以直角頂點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程.
設(shè)M(x，y)，C(x0，y0)，因為B(3,0)，且M是線段BC的中點，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0).因此動點M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
命題點1　利用幾何性質(zhì)求最值例5　(2024·泉州模擬)已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
題型三　與圓有關(guān)的最值問題
則圓心(2,0)到直線y＝kx的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值.
(2)y－x的最小值；
設(shè)y－x＝b，則y＝x＋b，當(dāng)且僅當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切于第四象限時，截距b取最小值，
(3)x2＋y2的最大值和最小值.
x2＋y2是圓上點與原點的距離的平方，設(shè)圓與x軸相交于點B和C′(點B在點C′左側(cè))，
圓的參數(shù)方程圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的參數(shù)方程為其中θ為參數(shù).典例　利用圓的參數(shù)方程解決例5(2)(3).
x2＋y2－4x＋1＝0可化為(x－2)2＋y2＝3，
∵cs θ∈[－1,1]，
命題點2　利用函數(shù)求最值例6　(2023·湘潭質(zhì)檢)設(shè)點P(x，y)是圓x2＋(y－3)2＝1上的動點，定點A(2,0)，B(－2,0).則的最大值為______.
由于點P(x，y)是圓上的點，故其坐標(biāo)滿足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，
與圓有關(guān)的最值問題的求解方法(1)借助幾何性質(zhì)求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題.(2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值：列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法、基本不等式法等求最值.(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動點)且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：①“動化定”，把與圓上動點的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決.
跟蹤訓(xùn)練3　(1)設(shè)P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意一點，則(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是A.6　　　B.25　　　C.26　　D.36
(x－5)2＋(y＋4)2表示點P(x，y)到(5，－4)的距離的平方，∵P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意一點，∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值為圓心(2,0)到(5，－4)的距離與半徑之和的平方，
(2)已知x2＋y2＋x＋y＝0，求x＋y的取值范圍為________.
令x＋y＝t，即x＋y－t＝0，由題可知，直線和圓有公共點，
即|t＋1|≤1，解得－2≤t≤0，即x＋y的取值范圍為[－2,0].
2.(2023·寧德模擬)已知點M(3,1)在圓C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，則k的取值范圍為
∵圓C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，
若點M(3,1)在圓C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，
3.點M，N是圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同兩點，且點M，N關(guān)于直線l：x－y＋1＝0對稱，則該圓的半徑等于
因為點M，N在圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且點M，N關(guān)于直線l：x－y＋1＝0對稱，所以直線l：x－y＋1＝0經(jīng)過圓心，
4.已知圓C過點A(－2,0)，B(2,4)，當(dāng)圓心C到原點O的距離最小時，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為A.(x－1)2＋y2＝10B.x2＋(y＋1)2＝10C.(x－1)2＋(y－1)2＝10D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝10
由A(－2,0)，B(2,4)可得線段AB中點坐標(biāo)為(0,2)，
所以AB垂直平分線的方程為y＝－x＋2，所以圓心C在線段AB垂直平分線上，當(dāng)圓心C到原點O的距離最小時，則OC∥AB，所以直線OC的方程為y＝x，
又半徑r2＝AC2＝(－2－1)2＋(0－1)2＝10，故圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝10.
5.若點M(x，y)是圓C：(x－3)2＋(y－1)2＝9上的一點，則x2＋2x＋y2＋4y的最小值為A.8　　　B.3　　　C.－1　　　D.－3
x2＋2x＋y2＋4y＝(x＋1)2＋(y＋2)2－5，只需求圓C上的點到定點(－1，－2)的最小距離即可，
故原式的最小值為(d－r)2－5＝22－5＝－1.
6.自圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一點P引該圓的一條切線，切點為Q，PQ的長度等于點P到原點O的距離，則點P的軌跡方程為A.8x－6y－21＝0 B.8x＋6y－21＝0C.6x＋8y－21＝0 D.6x－8y－21＝0
由題意得，圓心C的坐標(biāo)為(3，－4)，半徑r＝2，如圖所示.設(shè)P(x，y)，由題意可知|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0.
二、多項選擇題7.圓M與y軸相切，且經(jīng)過A(1,0)，B(2,1)兩點，則圓M可能是A.(x－1)2＋(y－2)2＝4B.(x－5)2＋(y＋3)2＝25C.(x－1)2＋(y－1)2＝1D.(x－3)2＋(y＋1)2＝9
設(shè)圓M的圓心為M(a，b)，則半徑r＝|a|.又點A(1,0)，B(2,1)在圓上，所以有|MA|＝|MB|，
整理可得b2－2a＋1＝0.
所以圓心坐標(biāo)為(1,1)或(5，－3).當(dāng)圓心坐標(biāo)為(1,1)時，r＝1，圓M的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1；當(dāng)圓心坐標(biāo)為(5，－3)時，r＝5，圓M的方程為(x－5)2＋(y＋3)2＝25.綜上所述，圓M的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y＋3)2＝25.
8.(2024·宿遷模擬)已知圓C：(x－3k)2＋(y－4k＋1)2＝1＋25k2，則下列結(jié)論中正確的有A.圓C過定點B.點(0,0)在圓C外C.直線4x－3y－3＝0平分圓周D.存在實數(shù)k，使圓與x軸相切
對于選項A，由(x－3k)2＋(y－4k＋1)2＝1＋25k2，得到x2－6kx＋9k2＋y2－2(4k－1)y＋16k2－8k＋1＝1＋25k2，整理得x2＋y2＋2y－k(6x＋8y＋8)＝0，
又因為k∈R，當(dāng)k>0時，d

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