第八章　§8.2　兩條直線的位置關(guān)系-【北師大版】2025年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（課件+講義+練習(xí)）-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).3.掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.
第一部分落實主干知識
第二部分探究核心題型
1.兩條直線的位置關(guān)系直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l(wèi)1與l3是同一條直線，l2與l4是同一條直線)的位置關(guān)系如下表：
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)
A1A2＋B1B2＝0
A1B2－A2B1≠0
2.三種距離公式(1)兩點(diǎn)間的距離公式①條件：點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2).②結(jié)論：|P1P2|＝ .③特例：點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)O(0,0)的距離|OP|＝ .
(2)點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝ .(3)兩條平行直線間的距離兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝ .
六種常用對稱關(guān)系(1)點(diǎn)(x，y)關(guān)于原點(diǎn)(0,0)的對稱點(diǎn)為(－x，－y).(2)點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為(x，－y)，關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為(－x，y).(3)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對稱點(diǎn)為(－y，－x).(4)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對稱點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對稱點(diǎn)為(x,2b－y).
(5)點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對稱點(diǎn)為(2a－x,2b－y).(6)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＋y＝k的對稱點(diǎn)為(k－y，k－x)，關(guān)于直線x－y＝k的對稱點(diǎn)為(k＋y，x－k).
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.(　　)(2)若兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(　　)(3)直線外一點(diǎn)與直線上點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離.(　　)(4)若點(diǎn)A，B關(guān)于直線l：y＝kx＋b(k≠0)對稱，則直線AB的斜率等于，且線段AB的中點(diǎn)在直線l上.(　　)
2.若直線2x＋my＋1＝0與直線3x＋6y－1＝0平行，則m等于A.4　　　B.－4　　　C.1　　　D.－1
因為直線2x＋my＋1＝0與直線3x＋6y－1＝0平行，
3.兩平行直線x－2y＋1＝0與直線2x－4y－3＝0的距離為
4.直線x－2y－3＝0關(guān)于定點(diǎn)M(－2,1)對稱的直線方程是______________.
在直線上取點(diǎn)P(3,0)，點(diǎn)P關(guān)于M(－2,1)的對稱點(diǎn)為P′(－7,2)，過點(diǎn)P′與原直線平行的直線方程為x－2y＋11＝0，即為對稱后的直線方程.
例1　(1)(2023·桂林模擬)已知直線l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，則實數(shù)a的值是A.0或－1 B.－1或1C.－1 D.1
題型一　兩條直線的平行與垂直
由題意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝－1，經(jīng)驗證，符合題意.
(2)(2024·青島模擬)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上.這條直線被稱為歐拉線.已知△ABC的頂點(diǎn)A(－3,0)，B(3,0)，C(3,3)，若直線l：ax＋(a2－3)y－9＝0與△ABC的歐拉線平行，則實數(shù)a的值為A.－2 B.－1C.－1或3 D.3
由△ABC的頂點(diǎn)A(－3,0)，B(3,0)，C(3,3)知，
又三角形為直角三角形，
因為ax＋(a2－3)y－9＝0與x＋2y－3＝0平行，
判斷兩條直線位置關(guān)系的注意點(diǎn)(1)斜率不存在的特殊情況.(2)可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)(2023·襄陽模擬)設(shè)a，b，c分別為△ABC中角A，B，C所對邊的邊長，則直線xsin A＋ay＋c＝0與bx－ysin B＋sin C＝0的位置關(guān)系是A.相交但不垂直 B.垂直C.平行 D.重合
(2)已知兩直線l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，則m＝________；若l1∥l2，則m＝____.
因為l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，所以，若l1⊥l2，則m(m－1)－6＝0，解得m＝3或m＝－2，
例2　(1)經(jīng)過兩直線l1：2x－y＋3＝0與l2：x＋2y－1＝0的交點(diǎn)，且平行于直線3x＋2y＋7＝0的直線方程是A.2x－3y＋5＝0 B.2x＋3y－1＝0C.3x＋2y－2＝0 D.3x＋2y＋1＝0
題型二　兩直線的交點(diǎn)與距離問題
所以直線l1與l2的交點(diǎn)為(－1,1)，設(shè)與直線3x＋2y＋7＝0平行的直線為3x＋2y＋m＝0(m≠7)，所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1，所以所求直線方程為3x＋2y＋1＝0.方法二　設(shè)所求直線方程為2x－y＋3＋λ(x＋2y－1)＝0，即(λ＋2)x＋(2λ－1)y＋3－λ＝0，
又該直線與3x＋2y＋7＝0平行，故(λ＋2)·2－3·(2λ－1)＝0，
直線系方程過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，λ∈R，但不包括直線l2.典例　過兩直線l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點(diǎn)和原點(diǎn)的直線方程為A.3x－19y＝0 B.19x－3y＝0C.19x＋3y＝0 D.3x＋19y＝0
設(shè)過兩直線交點(diǎn)的直線系方程為x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，
(2)(2023·上饒統(tǒng)考)正方形ABCD的兩個頂點(diǎn)A，B在直線x＋y－4＝0上，另兩個頂點(diǎn)C，D分別在直線2x－y－1＝0，4x＋y－23＝0上，那么正方形ABCD的邊長為____________.
設(shè)直線CD的方程為x＋y＋m＝0，
解得m＝－8或m＝－32，
利用距離公式應(yīng)注意的點(diǎn)(1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|.(2)兩條平行線間的距離公式要把兩條直線方程中x，y的系數(shù)化為相等.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)若點(diǎn)(m，n)在直線l：3x＋4y－13＝0上，則(m－1)2＋n2的最小值為A.3　　　B.4　　　C.2　　　D.6
由(m－1)2＋n2的幾何意義為點(diǎn)(m，n)到點(diǎn)(1,0)距離的平方，得其最小值為點(diǎn)(1,0)到直線l：3x＋4y－13＝0的距離的平方，
(2)已知兩條平行直線分別過點(diǎn)A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自繞點(diǎn)A，B旋轉(zhuǎn)，平行線之間的距離的最大值為________，此時兩平行直線方程分別為_____________________________.
3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0
兩條平行直線分別過點(diǎn)A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自繞點(diǎn)A，B旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AB與兩平行直線垂直時，兩平行線之間的距離最大，
故這兩條平行直線的斜率為－3，則兩平行直線方程分別為y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
命題點(diǎn)1　點(diǎn)(或直線)關(guān)于點(diǎn)對稱例3　直線3x－2y＝0關(guān)于點(diǎn) 對稱的直線方程為A.2x－3y＝0 B.3x－2y－2＝0C.x－y＝0 D.2x－3y－2＝0
所以所求直線方程為3x－2y－2＝0.
方法二　在直線3x－2y＝0上任取兩點(diǎn)O(0,0)，M(2,3)，
命題點(diǎn)2　點(diǎn)關(guān)于直線對稱
設(shè)點(diǎn)A(1,1)關(guān)于直線x＋y＋1＝0的對稱點(diǎn)為A′(x0，y0)，
所以對稱點(diǎn)為A′(－2，－2)，
命題點(diǎn)3　直線關(guān)于直線的對稱問題例5　兩直線方程為l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，則l1關(guān)于l2對稱的直線方程為A.3x－2y－4＝0 B.2x＋3y－6＝0C.2x－3y－4＝0 D.3x－2y－6＝0
設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)M(x，y)，M關(guān)于直線x－y－2＝0的對稱點(diǎn)為M′(x1，y1)，
∵點(diǎn)M′在直線3x－2y－6＝0上，∴將①式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，化簡得2x－3y－4＝0，即為l1關(guān)于l2對稱的直線方程.
對稱問題的求解策略(1)解決對稱問題的思路是利用待定系數(shù)法將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求解.(2)中心對稱問題可以利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解題，兩點(diǎn)軸對稱問題可以利用垂直和中點(diǎn)兩個條件列方程組解題.
跟蹤訓(xùn)練3　已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2).求：(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；
(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l對稱的直線m′的方程；
在直線m上取一點(diǎn)，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)M′必在直線m′上.設(shè)對稱點(diǎn)為M′(a，b)，
設(shè)直線m與直線l的交點(diǎn)為N，
又m′經(jīng)過點(diǎn)N(4,3)，所以直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.
(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A的對稱直線l′的方程.
方法一　在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點(diǎn)，如P(1,1)，Q(4,3)，則P，Q關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對稱點(diǎn)P′，Q′均在直線l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，所以l′的方程為2x－3y－9＝0.方法二　因為l∥l′，所以設(shè)l′的方程為2x－3y＋C＝0(C≠1).
因為點(diǎn)A(－1，－2)到兩直線l，l′的距離相等，所以由點(diǎn)到直線的距離公式，
所以l′的方程為2x－3y－9＝0.
一、單項選擇題1.已知直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(2，a－1)，B(a,4)，且與直線l2：2x＋y－3＝0平行，則a等于A.－2　　　B.2　　　C.－1　　　D.1
2.若直線ax－4y＋2＝0與直線2x＋5y＋c＝0垂直，垂足為(1，b)，則a＋b＋c等于A.－6　　　B.4　　　C.－10　　　D.－4
因為ax－4y＋2＝0與直線2x＋5y＋c＝0垂直，故2a－20＝0，解得a＝10，因為垂足為(1，b)，
3.四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)是A(3,0)，B(0,4)，C(4,7)，D(11,6)，則四邊形ABCD為A.矩形 B.菱形C.等腰梯形 D.直角梯形
∵kBC＝kAD，kAB≠kCD，∴BC∥AD，AB與CD不平行，∴四邊形ABCD為梯形，又∵kAD·kAB＝－1，∴AD⊥AB，∴四邊形ABCD為直角梯形.
4.在平面直角坐標(biāo)系中，某菱形的一組對邊所在的直線方程分別為x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一組對邊所在的直線方程分別為3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，則|c1－c2|等于
因為菱形四條邊都相等，所以每條邊上的高也相等，且菱形對邊平行，
6.使三條直線4x＋y－4＝0，mx＋y＝0,2x－3my－4＝0不能圍成三角形的實數(shù)m的值最多有A.3個　　　B.4個　　　C.5個　　　D.6個
要使三條直線不能圍成三角形，存在兩條直線平行或三條直線交于一點(diǎn)，若4x＋y－4＝0，mx＋y＝0平行，
若mx＋y＝0，2x－3my－4＝0平行，
若4x＋y－4＝0，2x－3my－4＝0平行，
二、多項選擇題7.已知直線l過點(diǎn)P(1,2)，且點(diǎn)A(2,3)，B(4，－5)到直線l的距離相等，則l的方程可能是A.4x＋y－6＝0 B.x＋4y－6＝0C.3x＋2y－7＝0 D.2x＋3y－7＝0
由條件可知直線l平行于直線AB或過線段AB的中點(diǎn)，
所以直線l的方程是y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；當(dāng)直線l經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)(3，－1)時，
8.已知在以C(2,3)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形ABC中，頂點(diǎn)A，B都在直線x－y＝1上，下列判斷中正確的是A.斜邊AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(3,2)B.|AB|＝C.△ABC的面積等于4D.點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(4,1)
如圖，取AB的中點(diǎn)為P(x，y)，因為△ABC為以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，所以CP⊥AB，即CP垂直于直線x－y＝1，
則AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,2)，故A正確；
設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C1，則CC1的中點(diǎn)為點(diǎn)P，即xP＝＝3，所以＝4，所以＝－1，解得＝1，即點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(4,1)，故D正確.
三、填空題9.已知直線l1：2x＋y＋1＝0和直線l2：x＋ay＋3＝0，若l1⊥l2，則實數(shù)a的值為______；若l1∥l2，則l1與l2之間的距離為_____.
已知直線l1：2x＋y＋1＝0和直線l2：x＋ay＋3＝0，若l1⊥l2，則2＋a＝0，解得a＝－2；
此時直線l2：2x＋y＋6＝0，顯然兩直線不重合，
10.△ABC的頂點(diǎn)A(0，－2)，B(3,1)，C(－2,2).若AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為__________.
又AD⊥BC，∴kAD＝5，∴直線AD方程為y＝5x－2，即5x－y－2＝0，
11.(2023·菏澤模擬)點(diǎn)A(5,2)到直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距離的取值范圍是__________.
直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5可化為(x＋2y－1)m－x－y＋5＝0，
所以直線過定點(diǎn)P(9，－4)，
當(dāng)點(diǎn)A在直線上時，點(diǎn)A(5,2)到直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距離的最小值為0，
12.(2023·臨沂模擬)已知光線從點(diǎn)A(6,1)射出，到x軸上的點(diǎn)B后，被x軸反射到y(tǒng)軸上的點(diǎn)C，再被y軸反射，這時反射光線恰好經(jīng)過點(diǎn)D(4,4)，則CD所在直線的方程為_____________.
如圖，由題意知點(diǎn)B在原點(diǎn)O的右側(cè)，直線BC一定過點(diǎn)A(6,1)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′(6，－1)，且一定過點(diǎn)D(4,4)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)D′(－4,4)，
令x＝0，則y＝2，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，
四、解答題13.(1)已知點(diǎn)A(a,6)到直線3x－4y＝2的距離d＝4，求a的值；
(2)在直線x＋3y＝0上求一點(diǎn)P，使它到原點(diǎn)O的距離與到直線x＋3y－2＝0的距離相等.
設(shè)點(diǎn)P(－3b，b)，
14.已知△ABC的頂點(diǎn)A(5,1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，∠B的平分線BN所在直線方程為x－2y－5＝0.求：(1)頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；
設(shè)點(diǎn)B(x0，y0)，由AB中點(diǎn)在2x－y－5＝0上，
即2x0－y0－1＝0，又x0－2y0－5＝0，
(2)直線BC的方程.
設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x－2y－5＝0的對稱點(diǎn)為A′(x′，y′)，
即6x－17y－45＝0.
15.(2023·南通統(tǒng)考)如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°，且AB＝2，光線從AB邊上的中點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P(反射點(diǎn)分別為Q，R)，則光線經(jīng)過的路徑總長|PQ|＋|QR|＋|RP|＝______.
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，因為△ABC為等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°，且AB＝2，則lBC：x＋y－2＝0，點(diǎn)P(1,0)，所以點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為P1(－1,0)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線lBC：x＋y－2＝0的對稱點(diǎn)為P2(x0，y0)，
解得x0＝2，y0＝1，即P2(2,1)，
16.(2023·長春東北師大附中模擬)已知△ABC的頂點(diǎn)C(5,6)，邊BC上的中線AD所在直線方程為x＋4y－16＝0，邊AC上的高BE所在直線方程為5x＋2y－15＝0，則△ABC的面積為________.
依題意，AC⊥BE，設(shè)直線AC的方程為2x－5y＋m＝0，于是2×5－5×6＋m＝0，解得m＝20，即直線AC：2x－5y＋20＝0，

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