第七章　§7.1　基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積-【北師大版】2025年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（課件+講義+練習(xí)）-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).2.知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.3.能用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形的直觀圖.
第一部分落實(shí)主干知識(shí)
第二部分探究核心題型
1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征
(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
2.直觀圖(1)畫(huà)法：常用 .(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面 .②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的 .
3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式
4.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積
1.與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論(1)一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.(2)底面面積及高都相等的兩個(gè)同類(lèi)幾何體的體積相等(祖暅原理).
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)菱形的直觀圖仍是菱形.(　　)(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(　　)(3)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱.(　　)(4)錐體的體積等于底面積與高之積.(　　)
2.如圖，一個(gè)三棱柱形容器中盛有水，則盛水部分的幾何體是A.四棱臺(tái)B.四棱錐C.四棱柱D.三棱柱
由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，盛水部分的幾何體是四棱柱.
3.(必修第二冊(cè)P111T1改編)下列說(shuō)法正確的是A.相等的角在直觀圖中仍然相等B.相等的線段在直觀圖中仍然相等C.正方形的直觀圖是正方形D.若兩條線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行
由直觀圖的畫(huà)法規(guī)則知，角度、長(zhǎng)度都有可能改變，而線段的平行關(guān)系不變，正方形的直觀圖是平行四邊形.
4.若一個(gè)圓錐的底面半徑和高都是1，則它的母線長(zhǎng)等于_____，它的體積等于_____.
命題點(diǎn)1　結(jié)構(gòu)特征例1　(多選)下列說(shuō)法正確的是A.底面是菱形，且有一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直的棱柱是正四棱柱B.有兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)C.如果一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，那么這個(gè)棱錐可能為六棱錐D.如果一個(gè)棱柱的所有面都是長(zhǎng)方形，那么這個(gè)棱柱是長(zhǎng)方體
若底面是菱形，且有一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直，則該四棱柱底面為正方形，且側(cè)棱垂直于底面，所以該四棱柱為正四棱柱，故A正確；棱臺(tái)是由棱錐被平行于棱錐底面的平面所截而得的，而有兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體有可能不是棱臺(tái)，因?yàn)樗膫?cè)棱延長(zhǎng)后不一定交于一點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)棱錐的各個(gè)側(cè)面的共頂點(diǎn)的角之和是360°時(shí)，各側(cè)面構(gòu)成平面圖形，故這個(gè)棱錐不可能為六棱錐，故C錯(cuò)誤；若每個(gè)側(cè)面都是長(zhǎng)方形，則說(shuō)明側(cè)棱與底面垂直，又底面也是長(zhǎng)方形，符合長(zhǎng)方體的定義，故D正確.
命題點(diǎn)2　直觀圖例2　如圖，△A′O′B′是水平放置的△AOB的直觀圖，但部分圖象被茶漬覆蓋，已知O′為坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A′，B′均在坐標(biāo)軸上，且△AOB的面積為12，則O′B′的長(zhǎng)度為
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
方法一　如圖，畫(huà)出△AOB的原圖，為直角三角形，且OA＝O′A′＝6，
命題點(diǎn)3　展開(kāi)圖例3　如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為1 cm，高為5 cm，一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)為
如圖，把側(cè)面展開(kāi)2周可得對(duì)角線最短，
(1)辨別空間幾何體的兩種方法①定義法：緊扣定義進(jìn)行判定；②反例法：要說(shuō)明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只需舉出一個(gè)反例即可.(2)在斜二測(cè)畫(huà)法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段：平行于x軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度減半.(3)在解決空間折線(段)最短問(wèn)題時(shí)一般考慮其展開(kāi)圖，采用化曲為直的策略，將空間問(wèn)題平面化.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形由斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖A′B′C′D′是邊長(zhǎng)為2的菱形，且O′D′＝2，則原平面圖形的周長(zhǎng)為
根據(jù)題意，把直觀圖還原成原平面圖形，如圖所示，
(2)(多選)下面關(guān)于空間幾何體的敘述正確的是A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形C.長(zhǎng)方體是直平行六面體D.存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體
當(dāng)頂點(diǎn)在底面的投影是正多邊形的中心時(shí)才是正棱錐，故A不正確；當(dāng)平面與圓柱的母線平行或垂直時(shí)，截得的截面才為圓或矩形，否則為橢圓或橢圓的一部分，故B不正確；長(zhǎng)方體是直平行六面體，故C正確；如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的三棱錐C1－ABC，四個(gè)面都是直角三角形，故D正確.
(3)有一根高為3π，底面半徑為1的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長(zhǎng)度為_(kāi)_____.
命題點(diǎn)1　表面積例4　(1)(2023·深圳模擬)以邊長(zhǎng)為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于A.8π　　　B.4π　　　C.8　　　D.4
以邊長(zhǎng)為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體為圓柱，其底面半徑r＝2，高h(yuǎn)＝2，∴所得圓柱的側(cè)面積S＝2πrh＝2π×2×2＝8π.
(2)如圖所示，已知三棱臺(tái)ABC－A1B1C1的上、下底面都是等腰直角三角形，CC1⊥平面ABC，AC＝2，A1C1＝1，CC1＝1，則這個(gè)三棱臺(tái)的側(cè)面積為
因?yàn)镃C1⊥平面ABC，AC，CB?平面ABC，所以CC1⊥AC，CC1⊥CB，又AC＝2，A1C1＝1，CC1＝1，
命題點(diǎn)2　體積例5　(1)如圖為一個(gè)木楔子的直觀圖，其中四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥CD，EF＝4，則該木楔子的體積為
如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，
∴多面體的體積V＝V三棱錐E－ADG＋V三棱錐F－BCH＋V三棱柱AGD－BHC＝2V三棱錐E－ADG＋V三棱柱AGD－BHC
(2)(2023·新高考全國(guó)Ⅰ)在正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，則該棱臺(tái)的體積為_(kāi)______.
如圖，過(guò)A1作A1M⊥AC，垂足為M，易知A1M為四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1的高，
求空間幾何體的體積的常用方法
跟蹤訓(xùn)練2　(1)定義：通過(guò)24小時(shí)內(nèi)降水在平地上的積水厚度(mm)來(lái)判斷降雨程度；其中小雨(0 mm－10 mm)，中雨(10 mm－25 mm)，大雨(25 mm－50 mm)，暴雨(50 mm－100 mm)；小明用一個(gè)圓錐形容器(如圖)接了24小時(shí)的雨水，則這天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)A.小雨　　　B.中雨　　　C.大雨　　　D.暴雨
由題意可知，這天降雨屬于中雨.
(2)(多選)已知在正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，AA1＝2，則關(guān)于該正四棱臺(tái)，下列說(shuō)法正確的是
過(guò)點(diǎn)A1分別作底面ABCD，AB的垂線，垂足分別為M，N，如圖所示，
一、單項(xiàng)選擇題1.(2024·武漢模擬)下列說(shuō)法正確的是A.各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體B.球的直徑是連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過(guò)球心的線段C.以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐D.用一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和圓臺(tái)
雖然各側(cè)面都是正方形，但底面可能是菱形，所以該四棱柱不一定是正方體，故A錯(cuò)誤；球的直徑的定義即為“連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過(guò)球心的線段”，故B正確；以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐，以直角三角形的斜邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)共底面的圓錐組成的幾何體，故C錯(cuò)誤；用一個(gè)平行于底面的平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和圓臺(tái)，故D錯(cuò)誤.
2.如圖，圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓環(huán)，圖中線段AB＝8，C，O，D為線段AB的四等分點(diǎn)，則該圓臺(tái)的表面積為
設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為r，下底面半徑為R，
解得r＝1，R＝2，∴圓臺(tái)上、下底面面積分別為S1＝πr2＝π，S2＝πR2＝4π，
∴圓臺(tái)的表面積S＝S1＋S2＋S3＝11π.
3.如圖，在水平地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為12，底面圓的半徑等于4，一只小蟲(chóng)從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行一周后回到點(diǎn)P處，則小蟲(chóng)爬行的最短路程為
如圖，設(shè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為θ，則由題意可得2π×4＝12θ，
在△POP′中，OP＝OP′＝12，
4.如圖所示的幾何體是從棱長(zhǎng)為2的正方體中截去到正方體的某個(gè)頂點(diǎn)的距離均為2的幾何體后的剩余部分，則該幾何體的表面積為
A.24－3π B.24－πC.24＋π D.24＋5π
5.如圖，四邊形ABCD的斜二測(cè)畫(huà)法直觀圖為等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′＝4，C′D′＝2，則下列說(shuō)法正確的是
如圖，過(guò)點(diǎn)D′作DE⊥O′B′于點(diǎn)E，由等腰梯形A′B′C′D′可得，△A′D′E是等腰直角三角形，
過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，
6.(2023·寧德質(zhì)檢)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家很早就對(duì)空間幾何體進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，中國(guó)傳世數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》卷五“商功”主要講述了以立體問(wèn)題為主的各種形體體積的計(jì)算公式.例如在推導(dǎo)正四棱臺(tái)(古人稱(chēng)方臺(tái))體積公式時(shí)，將正四棱臺(tái)切割成九部分進(jìn)行求解.如圖(1)為俯視圖，圖(2)為立體切面圖.E對(duì)應(yīng)的是正四棱臺(tái)中間位置的長(zhǎng)方體；B，D，H，F(xiàn)對(duì)應(yīng)四個(gè)三
棱柱，A，C，I，G對(duì)應(yīng)四個(gè)四棱錐.若這四個(gè)三棱柱的體積之和為12，四個(gè)四棱錐的體積之和為4，則該正四棱臺(tái)的體積為A.24　　B.28　　C.32　　D.36
如圖，令四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，三棱柱的高為b，
因此b＝2a，于是長(zhǎng)方體的體積V＝b2h＝4a2h＝12，所以該正四棱臺(tái)的體積為12＋4＋12＝28.
二、多項(xiàng)選擇題7.(2023·邯鄲模擬)攢尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱(chēng)為撮尖，清代稱(chēng)攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見(jiàn)于亭閣式建筑、園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐.已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為θ，這個(gè)角接近30°，若取θ＝30°，側(cè)棱長(zhǎng)為米，則A.正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為6 米B.正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為3 米
如圖，在正四棱錐S－ABCD中，O為正方形ABCD的中心，H為AB的中點(diǎn)，則SH⊥AB，設(shè)底面邊長(zhǎng)為2a 米.因?yàn)椤蟂HO＝30°，
8.(2023·新高考全國(guó)Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB＝120°，PA＝2，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P－AC－O為45°，則
依題意，∠APB＝120°，PA＝2，
C項(xiàng)，取AC的中點(diǎn)D，連接OD，PD，如圖所示，則AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P－AC－O的平面角，則∠PDO＝45°，所以O(shè)P＝OD＝1，
三、填空題9.中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)習(xí)加工制作食品包裝盒.現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為6的正六邊形硬紙片，如圖所示，裁掉陰影部分，然后按虛線處折成高為的正六棱柱無(wú)蓋包裝盒，則此包裝盒的體積是______.
如圖，正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為120°，
可得正六棱柱底邊邊長(zhǎng)AB＝6－2×1＝4，
10.(2023·呂梁模擬)公園、旅游景點(diǎn)的護(hù)欄頂部常常用“半正多面體”裝飾(圖1).“半正多面體”是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，“半正多面體”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美.如圖2是一個(gè)棱數(shù)為24的“半正多面體”，其棱長(zhǎng)為，則該“半正多面體”的表面積為 __________，體積為_(kāi)____.
設(shè)該“半正多面體”的表面積為S，體積為V，則該“半正多面體”的表面由6個(gè)正方形和8個(gè)等邊三角形組成，
則該“半正多面體”可以看作是棱長(zhǎng)為2的正方體，在8個(gè)頂點(diǎn)處截去側(cè)棱長(zhǎng)為1的8個(gè)正三棱錐得到的，
11.某校高一年級(jí)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)客活動(dòng)，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1挖去正四棱臺(tái)ABCD－EFGH后所得的幾何體，其中AB＝BC＝2EF＝2BF＝6 cm，AA1＝4 cm，為增強(qiáng)其觀賞性和耐用性，現(xiàn)對(duì)該模型表面鍍上一層金屬膜，每平方厘米需要金屬2 mg，不考慮損耗，所需金屬膜的質(zhì)量為_(kāi)___________ mg.
由題意，該幾何體側(cè)面4個(gè)面的面積和為4×4×6＝96(cm2)，底面積為6×6＝36(cm2)，正方形EFGH的面積為3×3＝9(cm2).考慮梯形ABFE，
12.(2024·溫州模擬)魔方，又叫魯比克方塊，最早是由匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院厄爾諾·魯比克教授于1974年發(fā)明的機(jī)械益智玩具.自1974年魔方問(wèn)世起，世界上陸續(xù)出現(xiàn)了各種各樣的魔方.魔方愛(ài)好者小明擁有一款“Zcube三面體曲面三階魔方”，它的直觀圖如圖所示，它由27個(gè)小塊構(gòu)成(其中，包含18個(gè)棱長(zhǎng)為2 cm的正方體小塊，9個(gè)底面半徑為2 cm，高為2 cm的個(gè)圓柱小塊)，則該魔方的表面積為_(kāi)_________ cm2；體積為_(kāi)_________ cm3(魔方中的空隙忽略不計(jì)).
魔方表面共有30個(gè)邊長(zhǎng)為2 cm的正方形，故面積為30×22＝120(cm2)，魔方表面共有6個(gè)半徑為2 cm的扇形，
故該魔方的表面積為120＋6π＋18π＝(120＋24π)cm2；
故魔方體積為(144＋18π)cm3.
四、解答題13.如圖，矩形O′A′B′C′是用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的水平放置的一個(gè)平面四邊形OABC的直觀圖，其中O′A′＝3，O′C′＝1.(1)求平面四邊形OABC的面積；
(2)若該四邊形OABC以O(shè)A為軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積和表面積.
平面四邊形OABC如圖所示，在Rt△ODC中，
所以O(shè)C＝3，所以AB＝3.如圖，分別過(guò)點(diǎn)B，C作OA及其延長(zhǎng)線的垂線，垂足為E，F(xiàn).
所以旋轉(zhuǎn)形成的幾何體為圓柱挖去一個(gè)同底的圓錐，再加上一個(gè)同底的圓錐構(gòu)成的組合體.則旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積即等于圓柱的體積，減去挖去的圓錐體積，加上組合的圓錐的體積，
旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的表面積即圓柱的側(cè)面積，加上兩個(gè)圓錐的側(cè)面積之和，
14.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD＝AB＝，平面ADP⊥平面PCD，PD⊥PC.
(1)求證：△ADP為直角三角形；
作AE⊥DC，E為垂足，在等腰梯形ABCD中，
∴AC2＋AD2＝DC2，
∴AC⊥AD.又PC⊥PD，平面ADP⊥平面PCD，平面ADP∩平面PCD＝PD，PC?平面PCD，∴PC⊥平面ADP，又AD?平面ADP，∴PC⊥AD，∵AC∩PC＝C，AC，PC?平面ACP，∴AD⊥平面ACP，∵AP?平面ACP，∴AD⊥AP，∴∠DAP＝90°，即△ADP為直角三角形.
(2)若PC＝AD＝1，求四棱錐P－ABCD的體積.
又PC⊥平面ADP，△ADP為直角三角形，PD⊥PC，
方法一　因?yàn)榧?、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，
可知甲、乙兩個(gè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之比是2∶1.不妨設(shè)兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為l＝3，甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，則由題意知，兩個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖剛好可以拼成一個(gè)周長(zhǎng)為6π的圓，所以2πr1＝4π，2πr2＝2π，得r1＝2，r2＝1.
方法二　設(shè)兩圓錐的母線長(zhǎng)為l，甲、乙兩圓錐的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角分別為n1，n2，
由題意知n1＋n2＝2π，
16.(多選)(2023·營(yíng)口模擬)如圖，四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，PA＝BC＝2BE＝2AB＝2，記四面體P－CDE，E－PBC，E－PAC的體積分別為V1，V2，V3，則下列說(shuō)法正確的是
B.V3＝2V2C.3V1＝2V2D.V1＋V2＝V3
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BE∥PA，則BE⊥平面ABCD，因?yàn)锽C?平面ABCD，所以BC⊥BE，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，則BC⊥AB，因?yàn)锳B∩BE＝B，AB，BE?平面ABEP，所以BC⊥平面ABEP，同理可證CD⊥平面PAD，
取PA的中點(diǎn)F，連接EF，DF，因?yàn)锽E∥PA，PA＝2BE，F(xiàn)為PA的中點(diǎn)，則AF∥BE且AF＝BE，所以四邊形ABEF為平行四邊形，所以EF∥AB，又因?yàn)锳B∥CD，則EF∥CD，
因?yàn)镋F?平面PCD，CD?平面PCD，所以EF∥平面PCD，所以點(diǎn)E，F(xiàn)到平面PCD的距離相等，
因?yàn)锽E∥PA，BE?平面PAC，PA?平面PAC，

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