子數(shù)列問題包括數(shù)列中的奇偶項(xiàng)、公共數(shù)列以及分段數(shù)列，是近幾年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，一般方法是構(gòu)造新數(shù)列，利用新數(shù)列的特征(等差、等比或其他特征)求解原數(shù)列.
例1　(2023·南通模擬)在數(shù)列{an}中，an＝(1)求a1，a2，a3；
所以a1＝2×1－1＝1，a2＝22＝4，a3＝2×3－1＝5.
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
所以a1，a3，a5，…是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，a2，a4，a6，…是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列.
所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－2＋an)＋(a2＋a4＋…＋an－3＋an－1)
所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－3＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an－2＋an)
解答與奇偶項(xiàng)有關(guān)的求和問題的關(guān)鍵(1)弄清n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)弄清n為奇數(shù)時(shí)數(shù)列前n項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù).
跟蹤訓(xùn)練1　(2021·新高考全國(guó)Ⅰ)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝(1)記bn＝a2n，寫出b1，b2，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
所以b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5.因?yàn)閎n＝a2n，所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3，所以數(shù)列{bn}是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，bn＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N*.
(2)求{an}的前20項(xiàng)和.
a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1，即a2k＝a2k－1＋1，①a2k＋1＝a2k＋2，②a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1，③所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3，所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列；②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3，又a2＝2，所以數(shù)列{an}的偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列.
所以數(shù)列{an}的前20項(xiàng)和S20＝(a1＋a3＋a5＋…＋a19)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a20)
例2　數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式分別為an＝4n－1，bn＝3n＋2，它們的公共項(xiàng)由小到大排列組成數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式.
方法一　設(shè)ak＝bm＝cp，則4k－1＝3m＋2，
因?yàn)?,4互質(zhì)，所以m＋1必為4的倍數(shù)，即m＝4p－1，所以cp＝bm＝3(4p－1)＋2＝12p－1，即數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn＝12n－1.
方法二　由觀察可知，兩個(gè)數(shù)列的第一個(gè)公共項(xiàng)為11，所以c1＝11.設(shè)ak＝bm＝cp，則4k－1＝3m＋2，
ak＋3＝4(k＋3)－1＝4k＋11＝3m＋14＝3(m＋4)＋2是數(shù)列{bn}中的項(xiàng).所以cp＋1＝ak＋3，則cp＋1－cp＝ak＋3－ak＝3×4＝12，所以數(shù)列{cn}是等差數(shù)列，其公差為12，首項(xiàng)為11，因此，數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn＝12n－1.
解決兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)問題時(shí)，有兩種方法：(1)不定方程法：列出兩個(gè)項(xiàng)相等的不定方程，利用數(shù)論中的整除知識(shí)，求出符合條件的項(xiàng)，并解出相應(yīng)的通項(xiàng)公式；(2)周期法：即尋找下一項(xiàng).通過觀察找到首項(xiàng)后，從首項(xiàng)開始向后，逐項(xiàng)判斷變化較大(如公差的絕對(duì)值大)的數(shù)列中的項(xiàng)是否為另一個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，并找到規(guī)律(周期)，分析相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，從而得到通項(xiàng)公式.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式分別為an＝4n－2(1≤n≤100，n∈N*)，bn＝6n－4(n∈N*)，由這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新的數(shù)列{cn}，則數(shù)列{cn}的各項(xiàng)之和為A.6 788 B.6 800 C.6 812 D.6 824
由題意可得a1＝b1＝2，等差數(shù)列{an}的公差為4，且a100＝398，等差數(shù)列{bn}的公差為6，且b100＝596，易知數(shù)列{cn}為等差數(shù)列，且公差為數(shù)列{an}和{bn}公差的最小公倍數(shù)，由于4和6的最小公倍數(shù)為12，所以等差數(shù)列{cn}的公差為12，則cn＝2＋12(n－1)＝12n－10，
解得n≤34，n∈N*，所以等差數(shù)列{cn}共有34項(xiàng)，
(2)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》載有一道數(shù)學(xué)問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩二，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”根據(jù)這一數(shù)學(xué)問題，所有被3除余2的自然數(shù)從小到大排列組成數(shù)列{an}，所有被5除余2的自然數(shù)從小到大排列組成數(shù)列{bn}，把{an}和{bn}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{cn}，則A.a3＋b5＝c3 B.b28＝c10C.a5b2>c8 D.c9－b9＝a26
根據(jù)題意，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，an＝2＋3(n－1)＝3n－1，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公差為5的等差數(shù)列，bn＝2＋5(n－1)＝5n－3，數(shù)列{an}與{bn}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{cn}，故數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為2，公差為15的等差數(shù)列，cn＝2＋15(n－1)＝15n－13.a3＋b5＝(3×3－1)＋(5×5－3)＝30，c3＝15×3－13＝32，a3＋b5≠c3，A錯(cuò)誤；
b28＝5×28－3＝137，c10＝15×10－13＝137，b28＝c10，B正確；a5＝3×5－1＝14，b2＝5×2－3＝7，c8＝15×8－13＝107，a5b2＝14×7＝981，滿足S3＝13， ＝3a6.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
方法一　因?yàn)閧an}是公比q>1的等比數(shù)列，
整理得3q2－10q＋3＝0，即(3q－1)(q－3)＝0，
又q>1，所以q＝3，
所以an＝a1qn－1＝3n－1.方法二　因?yàn)閧an}是公比q>1的等比數(shù)列，
所以an＝a1qn－1＝3n－1.
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn＝an＝3n－1，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn＝bn－1＋n＝3n－2＋n，所以T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n)＝(30＋32＋…＋32n－2)＋(30＋2＋32＋4＋…＋32n－2＋2n)＝2×(30＋32＋…＋32n－2)＋(2＋4＋…＋2n)
3.已知數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式分別為an＝3n＋6，bn＝2n＋7.將集合{x|x＝an，n∈N*}∪{x|x＝bn，n∈N*}中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列c1，c2，c3，…，cn，….(1)求三個(gè)最小的數(shù)，使它們既是數(shù)列{an}中的項(xiàng)，又是數(shù)列{bn}中的項(xiàng)；
將數(shù)列{an}和{bn}的公共項(xiàng)從小到大排列組成數(shù)列{dn}.設(shè)ak＝bm，則3k＋6＝2m＋7，
設(shè)k＝2n－1，則m＝3n－2，dn＝ak＝3(2n－1)＋6＝6n＋3.三個(gè)最小的數(shù)依次為9,15,21.
(2)數(shù)列c1，c2，c3，…，c40中有多少個(gè)不是數(shù)列{bn}中的項(xiàng)；
由數(shù)列c1，c2，c3，…，cn，…的構(gòu)成可知，dm＝6m＋3與dm＋1＝6m＋9均為數(shù)列{cn}中的項(xiàng)，在dm和dm＋1中還有以下項(xiàng)：6m＋5,6m＋6,6m＋7，又c1＝d1＝9，因此數(shù)列{cn}中的項(xiàng)從第1項(xiàng)起，連續(xù)的4項(xiàng)中只有第3項(xiàng)是數(shù)列{an}中的偶數(shù)項(xiàng)，不是數(shù)列{bn}中的項(xiàng)，所以數(shù)列c1，c2，c3，…，c40中有10個(gè)不是數(shù)列{bn}中的項(xiàng).
(3)求數(shù)列{cn}的前4n項(xiàng)和S4n.
由(2)可知，數(shù)列{cn}的前4n項(xiàng)中，由數(shù)列{bn}中的前3n項(xiàng)和數(shù)列{an}中的前n項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成，
4.韓信采用下述點(diǎn)兵方法：先令士兵從1～3報(bào)數(shù)，結(jié)果最后一個(gè)士兵報(bào)2；再令士兵從1～5報(bào)數(shù)，結(jié)果最后一個(gè)士兵報(bào)3；又令士兵從1～7報(bào)數(shù)，結(jié)果最后一個(gè)士兵報(bào)4；這樣，韓信很快就算出了自己部隊(duì)士兵的總?cè)藬?shù).已知士兵人數(shù)不超過500人，那么部隊(duì)最多有多少士兵？
根據(jù)士兵報(bào)數(shù)結(jié)果可得，士兵的總數(shù)是三個(gè)等差數(shù)列{3n＋2}，{5n＋3}，{7n＋4}的公共項(xiàng)所組成的數(shù)列中的項(xiàng).記an＝3n＋2，bn＝5n＋3，cn＝7n＋4，新數(shù)列記為{dn}.從小到大列舉數(shù)列{cn}中的項(xiàng)，并判斷是否為數(shù)列{an}與{bn}中的項(xiàng)，可得數(shù)列{dn}的首項(xiàng)為d1＝53，設(shè)ak＝bm＝cp＝dn，則3k＋2＝5m＋3＝7p＋4，
…；cp＋15＝7(p＋15)＋4＝7p＋4＋105＝5(m＋21)＋3＝3(k＋35)＋2是數(shù)列{an}和{bn}中的項(xiàng).所以dn＋1＝cp＋15，則dn＋1－dn＝105，所以數(shù)列{dn}的通項(xiàng)公式為dn＝105n－52.當(dāng)n＝5時(shí)，dn＝473500，所以最多有473個(gè)士兵.
當(dāng)an∈(0,3]時(shí)，則an＋1＝2an∈(0,6]，當(dāng)an∈(3,6]時(shí)，則an＋1＝an－3∈(0,3]，故an＋1∈(0,6]，所以當(dāng)0＜an≤6時(shí)，總有0＜an＋1≤6.
(2)若a＝5，求S2 024；
當(dāng)a1＝a＝5時(shí)，a2＝a1－3＝2，a3＝2a2＝4，a4＝a3－3＝1，a5＝2a4＝2，a6＝2a5＝4，a7＝a6－3＝1，所以數(shù)列{an}為5,2,4,1,2,4,1,2,4,1，…，所以從第2項(xiàng)起，{an}中的項(xiàng)以3為周期，其和為2＋4＋1＝7，所以S2 024＝5＋7×674＋2＝4 725.
由m∈N*，可得2m－1≥1，
故ak＝2k－1a且am＋1＝2ma.
故S4m＋2＝S4(m＋1)－a4m＋3－a4m＋4＝4(a1＋a2＋…＋am＋1)－(2m－1＋2m)a＝4(1＋2＋…＋2m)a－3×2m－1a＝4(2m＋1－1)a－3×2m－1a
6.(2022·天津模擬)已知在各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，數(shù)列{bn}中，b1＝lg2(a2＋1)，bn＋1＝4bn＋2n＋1，n∈N*.(1)求{an}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Sn；
設(shè)各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，∵a1＝1，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)求證：{bn＋2n}是等比數(shù)列，并求{bn}的通項(xiàng)公式；
在數(shù)列{bn}中，b1＝lg2(a2＋1)＝lg24＝2，∵bn＋1＝4bn＋2n＋1，n∈N*.∴bn＋1＋2n＋1＝4(bn＋2n)，b1＋2＝4.∴數(shù)列{bn＋2n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為4，∴bn＋2n＝4n，∴bn＝4n－2n.
②當(dāng)n＝2k－1，k∈N*時(shí)，

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