1．若直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2．向量在向量上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
3．已知兩直線，若，則與間的距離為（ ）
A．B．C．D．
4．點關于直線對稱的點的坐標為（ ）
A．B．
C．D．
5．設，直線，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
6．“”是“方程表示橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
7．已知分別為橢圓的兩個焦點，是橢圓上的點，，且，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
8．已知圓，設其與軸?軸正半軸分別交于，兩點.已知另一圓的半徑為，且與圓相外切，則的最大值為（ ）
A．20B．C．10D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知橢圓，下列結論正確的是（ ）
A．橢圓的長軸長是
B．橢圓的短半軸長是4
C．經(jīng)過橢圓焦點的最短弦長是
D．橢圓的焦點坐標分別是
10．已知圓，直線，則（ ）
A．直線恒過定點
B．直線l與圓C有兩個交點
C．當時，圓C上恰有四個點到直線的距離等于1
D．圓C與圓恰有三條公切線
11．如圖所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，點為側棱上的動點，為線段中點.則下列說法正確的是（ ）
A．存在點，使得平面
B．周長的最小值為
C．三棱錐的外接球的體積為
D．平面與平面的夾角正弦值的最小值為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知點，若直線與線段相交，則直線l的傾斜角的取值范圍是 ．
13．已知向量，且向量的夾角為銳角則的取值范圍是 ．
14．已知橢圓的左、右焦點分別為，，以線段為直徑的圓與C在第一、第三象限分別交于點A，B，若，則C的離心率的最大值是 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知點是橢圓上的一點，和是焦點，焦距為，且．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若，求的面積．
16．已知圓是的外接圓，圓心為，頂點，，且______.
在下列所給的三個條件中，任選一個補充在題中的橫線上，并完成解答.
①頂點；②；③.
(1)求圓的標準方程；
(2)若點為直線：上一動點，過點作圓的切線，切點為，求的最小值.
17．如圖所示，在三棱柱中，，側面底面，，分別為棱和的中點.
(1)求證：平面；
(2)若，且平面平面，求二面角的余弦值大小.
18．如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成角為，四邊形是梯形，．

(1)證明：平面平面；
(2)若點T是的中點，點M是的中點，求點P到平面的距離．
(3)點是線段CD上的動點，上是否存在一點M，使平面，若存在，求出M點坐標，若不存在，請說明理由．
19．已知橢圓的右焦點為，點在上，且軸，過點且與橢圓有且只有一個公共點的直線與軸交于點．
(1)求橢圓的方程；
(2)點是橢圓C上異于的一點，且三角形的面積為，求直線的方程；
(3)過點的直線交橢圓于，兩點（在的左側），若為線段的中點，直線交直線于點，為線段的中點，求線段的最大值．
答案
1．【正確答案】D
【詳解】由直線的一個方向向量為，得直線的斜率為1，
所以直線的傾斜角為.
故選：D
2．【正確答案】A
【詳解】由題意，，，
則向量在向量上的投影向量為．
故選：A．
3．【正確答案】D
【詳解】已知兩直線，
若，則，解得，
則直線，
則與間的距離為.
故選：D.
4．【正確答案】B
【詳解】設的對稱點坐標為，
則對稱點與已知點連線的中點為，
由題意可得，解得．
所以對稱點坐標為．
答案：B
5．【正確答案】A
【詳解】因為直線，
當時，，此時，即可以推出，
當時，，解得或，
又時，，此時，所以推不出，
所以“”是“”的充分不必要條件，
故選：A.
6．【正確答案】B
【詳解】若方程表示橢圓，
則有，即且，
故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件．
故選：B．
7．【正確答案】C
【詳解】由橢圓定義得：，又因為，
所以解得：，
再由于，，結合勾股定理可得：
，解得，所以橢圓的離心率為，
故選：C.
8．【正確答案】A
【分析】分析可知，，點的軌跡方程為，整理可得，利用基本不等式運算求解.
【詳解】對于圓，整理可得：，
可知圓心為，半徑為，
令，則，解得或，即；
令，則，解得或，即；
因為與相外切，則，
可知點的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，

則點的軌跡方程為，
可得，
則，當且僅當時，等號成立，
所以的最大值為20.
故選A.
【關鍵點撥】根據(jù)題意分析可知點的軌跡方程為，且，進而利用基本不等式即可得結果.
9．【正確答案】AC
【詳解】因為橢圓方程為，所以，，則，
所以橢圓的長軸長為，短軸長為，
經(jīng)過橢圓焦點的最短弦長為，焦點坐標為，，
所以A正確，B錯誤，C正確，D錯誤.
故選：AC.
10．【正確答案】ABD
【詳解】對于A，直線的方程為，由，得，直線過定點，A正確；
對于B，，即定點在圓內(nèi)，則直線與圓相交且有兩個交點，B正確；
對于C，當時，直線，圓心到直線的距離為，
而圓半徑為2，因此只有2個點到直線的距離等于1，C錯誤；
對于D，圓的方程化為，
其圓心為，半徑為3，兩圓圓心距為，
兩圓外切，因此它們有三條公切線，D正確.
故選ABD.
11．【正確答案】ACD
【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可判斷A；如圖，確定三點共線時取得最小值，進而判斷B；如圖，確定球心和半徑即可判斷C；利用空間向量法求解面面角即可判斷D.
【詳解】A：由題意知，，又平面，
所以平面，由平面，得；
當為的中點時，又四邊形為正方形，為的中點，
所以，由平面，所以平面，故A正確；
B：將平面和平面沿鋪成一個平面，如圖，連接，交于，
此時三點共線，取得最小值，即的周長取得最小值，
又，
所以的周長的最小值為，故B錯誤；
C：易知中，，取的中點，過作平面，如圖
，
則三棱錐的外接球的球心必在上，且，
所以球的半徑為，其體積為，故C正確；
D：易知兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標系，
則，設，
所以，
易知為平面的一個法向量，設平面的一個法向量為，
則，令，得，所以，
所以，
當且僅當時等號成立，設平面與平面所成角為，
則，所以，故D正確.
故選：ACD
方法點睛：解決與球相關的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：
（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；
（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關系），達到空間問題平面化的目的；
（3）求半徑下結論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關于球的半徑的方程，并求解.
12．【正確答案】
【詳解】直線過定點，
則，，
如圖，要使直線與線段相交，
則直線l的的斜率應滿足，
所以直線l的傾斜角的取值范圍是.
故答案為:.
13．【正確答案】
【詳解】若，則，
當時，則，解得，此時，方向相同，
故的夾角為銳角時，且，
故
14．【正確答案】
【詳解】連接，設，
因為點在第一象限，所以，
由對稱性可知，
因為，所以，即，
由橢圓定義可得，
由圓的性質(zhì)得⊥，由勾股定理得，
所以，即，
因為，
設，，則，
由對勾函數(shù)性質(zhì)，單調(diào)遞增，
所以，即，
當時，解得，即，解得
當時，解得，即，解得，
綜上，所以C的離心率的最大值為.
故
15．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：由，得，
又，即，
所以，
所以橢圓的標準方程為；
（2）解：由，
得，
又由，
得，
可得：，即，
則的面積.
16．【正確答案】(1);
(2)3
【詳解】（1）若選①：設圓的標準方程為，圓心為，半徑為，
因為圓過點，，所以圓心在直線上，即；
因為圓過點，，所以圓心在直線上，即，
所以圓的圓心為，半徑，
所以圓的標準方程為；
若選②：因為，所以是直角三角形，
所以的外接圓圓心為斜邊的中點，
設圓的標準方程為，圓心為，半徑為，
由題知，圓心為，半徑，
所以圓的標準方程為；
若選③：因為，所以圓心為邊的中點，為圓的直徑，
設圓的標準方程為，圓心為，半徑為，
由題知，圓心為，半徑，
所以圓的標準方程為；
（2）依題意,，
圓心到直線：的距離為，
又因為，所以，即，
所以的最小值為3.
17．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）
如圖，取的中點，連接，，
在中，因是的中點，故，且.
在三棱柱中，且，
又為棱的中點，故得，且，
故得， 則有，
又因為平面，平面，
所以平面.
（2）
由題意，三棱柱中所有棱長都相等，則與都是等邊三角形，
如圖，取上的四等分點，滿足,
取的中點,連接,
則,易知,且，故可得，
則有，故有則四點共面.
因平面平面，平面平面，
且平面平面可得平面，又.
故可建立以為原點，，，所在直線分別為，，軸的空間直角坐標系.
不妨取，則，由可解得
則有，，，
則,
設平面法向量為，
則，
取，可得，，
故為平面的一個法向量，
因平面，故為底面的一個法向量，
則，
設二面角的平面角為，由圖知二面角為銳二面角，
故二面角的余弦值為.
18．【正確答案】(1)證明過程見解析
(2)
(3)
【詳解】（1）由平面，平面，平面，
得，， 與底面所成角為 ．
所以三角形 為等腰直角三角形， ．
又由四邊形是直角梯形，，可知，
所以為等腰直角三角形，而，故．
在直角梯形中，過C作，垂足為E，則四邊形為正方形，
可知 ．
所以 ，在等腰直角三角形 中，．
則有，所以．
又因為，，平面 ，平面．
所以平面．因為平面 ，所以平面平面．
（2）以A為坐標原點，分別以所在的直線為 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

則A0,0,0，P0,0,1，B1,0,0，，C1,1,0．
因為T是 的中點，點M是 的中點，所以，．
設平面 的法向量為，，，
則 ，得 ，
取 ，則 ，得平面的一個法向量為，
而,所以點P到平面的距離為．
（3）設，注意到A0,0,0，
所以，
所以，
設，注意到P0,0,1，
所以，
因為A0,0,0，B1,0,0，所以，
若平面，
則當且僅當，即當且僅當，
此時，
綜上所述，當且僅當重合，此時存在，使平面.
19．【正確答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）由題意知點在上，且軸，設橢圓焦距為，
則，
將代入中，得，
則，結合，
從而，，
橢圓C方程為；
（2）由題意知過點且與橢圓有且只有一個公共點的直線的斜率不為，
故設，與橢圓聯(lián)立，
得，由橢圓與直線只有一個交點，
令，即①，
又過，則②，
聯(lián)立①②可得，則，即得點為．
設原點O0,0，由，，
故，
從而到的距離為到距離的倍，即在關于對稱的直線上，
又在橢圓上，從而，關于對稱，
故直線方程為
（3）設，，，則，
則①，
又由，
可得②，
結合①②可得，，
又，F(xiàn)1,0，，，
則直線的方程為，
軸，直線與交于，
則，故，
故軸，從而，當位于橢圓左頂點時取等號,
故線段的最大值為.

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