【基礎鞏固練】
1.(6分)(自然現(xiàn)象)(2023·武漢模擬)在地球上觀察發(fā)現(xiàn),行星并非總向一個方向移動,大多數(shù)時間它相對于太陽由西向東移動,但有時卻要停下來,然后向西移動一段時間,隨后又向東移動,這個現(xiàn)象叫作行星的逆行。觀察發(fā)現(xiàn)每次逆行都發(fā)生在火星相對地球距離最小的位置附近。假設火星與地球在同一平面內(nèi)朝同一方向繞太陽做勻速圓周運動,已知火星軌道半徑約為1.5 AU(太陽到地球的距離為
1 AU),則連續(xù)兩次觀察到火星逆行現(xiàn)象的時間間隔大約為( )
A.1年 B.2年 C.3年 D.4年
2.(6分)上世紀70年代,蘇聯(lián)在科拉半島與挪威的交界處進行了人類有史以來最大規(guī)模的地底挖掘計劃。當蘇聯(lián)人向地心挖掘深度為d時,井底一個質(zhì)量為m的小球與地球之間的萬有引力為F,已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零,質(zhì)量分布均勻的地球的半徑為R,質(zhì)量為M,引力常量為G,則F大小等于( )
A.GMm(R-d)2B.GMm(R-d)R3C.GMmR3R-dD.GMmR2
3.(6分)(2023·衡陽模擬)近日,某天文學家團隊利用空間望遠鏡,發(fā)現(xiàn)了4個迄今已知最古老的星系,其中一個星系形成于宇宙大爆炸后3.2億年,當時宇宙尚處于“嬰兒”階段。該星系內(nèi)每個星球貼近其表面運行的衛(wèi)星的周期用T表示,被環(huán)繞的星球的平均密度用ρ表示,若ρ與1T2的關系圖像為直線,斜率為k,則引力常量可表示為( )
A.3kπB.3kπC.3πkD.k3π
4.(6分)(多選)(2024·鄭州模擬)如圖所示為“天問一號”著陸火星前環(huán)繞火星運行的橢圓軌道,O點為火星所在位置,P點為近火點,Q點為遠火點,MN為軌道的對稱軸,已知OP=x、OQ=y,則“天問一號”( )
A.由P到N的時間小于由N到Q的時間
B.由P經(jīng)N到Q的時間小于由Q經(jīng)M到P的時間
C.在M、P兩點的速度大小相等
D.在P、Q兩點的速度大小之比為y∶x
5.(6分)(2023·宜春模擬)科幻電影中提到的“洛希極限”即當一個天體自身的引力與第二個天體造成的潮汐力相等時的距離。當兩個天體的距離少于洛希極限,天體就會傾向碎散,繼而成為第二個天體的環(huán)。1992年蘇梅克-列維9號彗星在經(jīng)過木星時分裂成碎片,最終于1994年落在木星上就是如此。已知行星與衛(wèi)星的洛希極限計算式為d=kR(ρ1ρ2)13,其中k為常數(shù),R為行星半徑,ρ1、ρ2分別為行星和衛(wèi)星密度。若已知行星半徑R,衛(wèi)星半徑為R27,且表面重力加速度之比為8∶1,則其“洛希極限”為( )
A.23kRB.32kRC.6kRD.16kR
【加固訓練】
(2023·成都模擬)中國空間站天和核心艙繞地球的運行可視為勻速圓周運動。已知其軌道距地面的高度為h,運行周期為T,地球半徑為R,引力常量為G,由此可得到地球的平均密度為( )
A.3πGT2 B.4πGT2C.3π(R+h)3GT2R3D.3π2(R-h)3GT2R3
6.(6分) (2022·山東等級考)“羲和號”是我國首顆太陽探測科學技術試驗衛(wèi)星。如圖所示,該衛(wèi)星圍繞地球的運動視為勻速圓周運動,軌道平面與赤道平面接近垂直。衛(wèi)星每天在相同時刻,沿相同方向經(jīng)過地球表面A點正上方,恰好繞地球運行n圈。已知地球半徑為地軸R,自轉(zhuǎn)周期為T,地球表面重力加速度為g,則“羲和號”衛(wèi)星軌道距地面高度為( )
A.(gR2T22n2π2)13-R B.(gR2T22n2π2)13
C.(gR2T24n2π2)13-RD.(gR2T24n2π2)13
【綜合應用練】
7.(6分)(自然現(xiàn)象) (2023·湖北選擇考) 2022年12月8日,地球恰好運行到火星和太陽之間,且三者幾乎排成一條直線,此現(xiàn)象被稱為“火星沖日”?；鹦呛偷厍驇缀踉谕黄矫鎯?nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運動,火星與地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑之比約為3∶2,如圖所示。根據(jù)以上信息可以得出( )
A.火星與地球繞太陽運動的周期之比約為27∶8
B.當火星與地球相距最遠時,兩者的相對速度最大
C.火星與地球表面的自由落體加速度大小之比約為9∶4
D.下一次“火星沖日”將出現(xiàn)在2023年12月8日之前
8.(6分)(2024·西安模擬)若航天員在地球表面用彈簧秤測量一個物體的重力,彈簧秤的示數(shù)為F1;航天員將同一個彈簧秤和物體帶上月球,在月球表面測量時彈簧秤的示數(shù)為F2。地球與月球均視為質(zhì)量分布均勻的球體,其半徑分別為R1、R2,P為距地球中心0.5R1的一點,Q為距月球中心0.5R2的一點,忽略地球和月球的自轉(zhuǎn),已知質(zhì)量均勻分布的球殼對球內(nèi)物體引力為0。下列說法正確的是( )
A.地球與月球表面的重力加速度之比為F2F1
B.地球與月球的質(zhì)量之比為F1R22F2R12
C.地球與月球的密度之比為F1R2F2R1
D.P點和Q點的重力加速度之比為F1R1F2R2
9.(6分)(科技前沿)(2023·保定模擬)“古有司南,今有北斗”,如圖甲所示的北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)入選“2022全球十大工程成就”。組成北斗系統(tǒng)的衛(wèi)星運行軌道半徑r越高,線速度v越小,衛(wèi)星運行狀態(tài)視為勻速圓周運動,其v2-r圖像如圖乙所示,圖中R為地球半徑,r0為北斗星座GEO衛(wèi)星的運行軌道半徑,圖中物理量單位均為國際單位,引力常量為G,忽略地球自轉(zhuǎn),則( )
A.地球的質(zhì)量為bGR
B.地球的密度為3b24πR2
C.GEO衛(wèi)星的加速度為bRr02
D.地球表面的重力加速度為bR
【加固訓練】
(多選)(2023·清遠模擬)如圖所示,天問一號探測器沿橢圓形的停泊軌道繞火星飛行,周期為T。已知火星的半徑為R,火星的第一宇宙速度為v1,引力常量為G,則( )
A.火星的質(zhì)量為v12GR
B.火星的密度為3v124πGR2
C.火星表面的重力加速度為(v1R)2
D.停泊軌道的半長軸為3v12T2R4π2
10. (6分)(2024·黃岡模擬)理論上已經(jīng)證明:質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的萬有引力為零?，F(xiàn)假設地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的實心球體,O為球心,以O為原點建立坐標軸Ox,如圖所示。一個質(zhì)量一定的小物體(假設它能夠在地球內(nèi)部移動)在x軸上各位置受到的引力大小用F表示,則選項所示的四個F隨x變化的關系圖中正確的是( )
【情境創(chuàng)新練】
11.(6分)太空電梯(圖甲)的原理并不復雜,與生活中的普通電梯十分相似,只需在地球同步軌道上建造一個空間站,并用某種足夠長也足夠結實的“繩索”將其與地面相連。在引力和向心加速度的相互作用下,繩索會繃緊,航天員、乘客以及貨物可以通過電梯轎廂一樣的升降艙沿繩索直入太空,這樣不需要依靠火箭、飛船這類復雜的航天工具。如乙圖所示,假設有一長度為r的太空電梯連接地球赤道上的固定基地與同步空間站a,a相對于地球靜止,衛(wèi)星b與同步空間站a的運行方向相同,此時二者距離最近,經(jīng)過時間t之后,a、b第一次相距最遠。已知地球半徑R,自轉(zhuǎn)周期T,下列說法正確的是( )
A.太空電梯各點均處于完全失重狀態(tài)
B.衛(wèi)星b的周期為2Tt2t-T
C.太空電梯停在距地球表面高度為2R的站點時,該站點處的重力加速度g=4π2T2(r29R2-3R)
D.太空電梯上各點線速度與該點離地球球心的距離成反比
解析版
1.(6分)(自然現(xiàn)象)(2023·武漢模擬)在地球上觀察發(fā)現(xiàn),行星并非總向一個方向移動,大多數(shù)時間它相對于太陽由西向東移動,但有時卻要停下來,然后向西移動一段時間,隨后又向東移動,這個現(xiàn)象叫作行星的逆行。觀察發(fā)現(xiàn)每次逆行都發(fā)生在火星相對地球距離最小的位置附近。假設火星與地球在同一平面內(nèi)朝同一方向繞太陽做勻速圓周運動,已知火星軌道半徑約為1.5 AU(太陽到地球的距離為
1 AU),則連續(xù)兩次觀察到火星逆行現(xiàn)象的時間間隔大約為( )
A.1年 B.2年 C.3年 D.4年
【解析】選B。根據(jù)開普勒第三定律r火3T火2=r地3T地2,解得T火=278年,設連續(xù)兩次觀察到火星逆行現(xiàn)象的時間間隔大約為t,則根據(jù)行星追趕一周可知(2πT地-2πT火)t=2π,解得t≈2年,故選B。
2.(6分)上世紀70年代,蘇聯(lián)在科拉半島與挪威的交界處進行了人類有史以來最大規(guī)模的地底挖掘計劃。當蘇聯(lián)人向地心挖掘深度為d時,井底一個質(zhì)量為m的小球與地球之間的萬有引力為F,已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零,質(zhì)量分布均勻的地球的半徑為R,質(zhì)量為M,引力常量為G,則F大小等于( )
A.GMm(R-d)2B.GMm(R-d)R3C.GMmR3R-dD.GMmR2
【解題指南】將地球分為半徑為(R-d)的球和厚度為d的球殼兩部分,球殼對小球的引力為零,根據(jù)質(zhì)量的關系解得井底一個質(zhì)量為m的小球與地球之間的萬有引力。
【解析】選B。將地球分為半徑為(R-d)的球和厚度為d的球殼兩部分,球殼對小球的引力為零,則F等于半徑為(R-d)的球?qū)π∏虻囊?即F=Gm1m(R-d)2;設半徑為(R-d)球的質(zhì)量為m1,由密度公式得M=ρV=ρ43πR3,所以m1M=(R-d)3R3,解得,F的大小為F=GMm(R-d)R3,B正確,A、C、D錯誤。
3.(6分)(2023·衡陽模擬)近日,某天文學家團隊利用空間望遠鏡,發(fā)現(xiàn)了4個迄今已知最古老的星系,其中一個星系形成于宇宙大爆炸后3.2億年,當時宇宙尚處于“嬰兒”階段。該星系內(nèi)每個星球貼近其表面運行的衛(wèi)星的周期用T表示,被環(huán)繞的星球的平均密度用ρ表示,若ρ與1T2的關系圖像為直線,斜率為k,則引力常量可表示為( )
A.3kπB.3kπC.3πkD.k3π
【解析】選C。設被環(huán)繞的星球的半徑為R,則該星球的體積V=43πR3,設該星球的質(zhì)量為M,衛(wèi)星的質(zhì)量為m,由GMmR2=m4π2T2R,ρ=MV,可得ρ=3πGT2;所以k=3πG,解得G=3πk,故選C。
4.(6分)(多選)(2024·鄭州模擬)如圖所示為“天問一號”著陸火星前環(huán)繞火星運行的橢圓軌道,O點為火星所在位置,P點為近火點,Q點為遠火點,MN為軌道的對稱軸,已知OP=x、OQ=y,則“天問一號”( )
A.由P到N的時間小于由N到Q的時間
B.由P經(jīng)N到Q的時間小于由Q經(jīng)M到P的時間
C.在M、P兩點的速度大小相等
D.在P、Q兩點的速度大小之比為y∶x
【解析】選A、D。由開普勒第二定律可知,“天問一號”離火星越近的位置速度越大,越遠的位置速度越小,因此由P到N的時間小于由N到Q的時間,A正確;由對稱性可知,由P經(jīng)N到Q的時間等于由Q經(jīng)M到P的時間,B錯誤;P點為近火點,M點到火星的距離大于P點到火星的距離,“天問一號”離火星越近的位置速度越大,因此在M、P兩點的速度大小不相等,C錯誤;由開普勒第二定律可得12vPxΔt=12vQyΔt
整理解得vP∶vQ=y∶x,D正確。
5.(6分)(2023·宜春模擬)科幻電影中提到的“洛希極限”即當一個天體自身的引力與第二個天體造成的潮汐力相等時的距離。當兩個天體的距離少于洛希極限,天體就會傾向碎散,繼而成為第二個天體的環(huán)。1992年蘇梅克-列維9號彗星在經(jīng)過木星時分裂成碎片,最終于1994年落在木星上就是如此。已知行星與衛(wèi)星的洛希極限計算式為d=kR(ρ1ρ2)13,其中k為常數(shù),R為行星半徑,ρ1、ρ2分別為行星和衛(wèi)星密度。若已知行星半徑R,衛(wèi)星半徑為R27,且表面重力加速度之比為8∶1,則其“洛希極限”為( )
A.23kRB.32kRC.6kRD.16kR
【解析】選A。利用星球表面處物體的重力等于萬有引力GMmR2=mg得,M=gR2G,星球的密度為ρ=MV=3g4GRπ,則ρ1ρ2=827,則其“洛希極限”為d=kR(ρ1ρ2)13=23kR,故選A。
【加固訓練】
(2023·成都模擬)中國空間站天和核心艙繞地球的運行可視為勻速圓周運動。已知其軌道距地面的高度為h,運行周期為T,地球半徑為R,引力常量為G,由此可得到地球的平均密度為( )
A.3πGT2 B.4πGT2C.3π(R+h)3GT2R3D.3π2(R-h)3GT2R3
【解析】選C。中國空間站天和核心艙繞地球運行時,由萬有引力提供向心力GMm(R+?)2=m(2πT)2(R+h),可求得地球的質(zhì)量M=4π2(R+?)3GT2,地球可近似看作球體,根據(jù)密度的定義式得ρ=MV=4π2(R+?)3GT24πR33=3π(R+?)3GT2R3,故選C。
6.(6分) (2022·山東等級考)“羲和號”是我國首顆太陽探測科學技術試驗衛(wèi)星。如圖所示,該衛(wèi)星圍繞地球的運動視為勻速圓周運動,軌道平面與赤道平面接近垂直。衛(wèi)星每天在相同時刻,沿相同方向經(jīng)過地球表面A點正上方,恰好繞地球運行n圈。已知地球半徑為地軸R,自轉(zhuǎn)周期為T,地球表面重力加速度為g,則“羲和號”衛(wèi)星軌道距地面高度為( )
A.(gR2T22n2π2)13-R B.(gR2T22n2π2)13
C.(gR2T24n2π2)13-RD.(gR2T24n2π2)13
【解析】選C。地球表面的重力加速度為g,根據(jù)牛頓第二定律得GMmR2=mg,解得GM=gR2,根據(jù)題意可知,衛(wèi)星的運行周期為T'=Tn,根據(jù)牛頓第二定律,萬有引力提供衛(wèi)星運動的向心力,則有GMm(R+?)2=m4π2T'2(R+h),聯(lián)立解得h=3gR2T24n2π2-R,故選C。
【綜合應用練】
7.(6分)(自然現(xiàn)象) (2023·湖北選擇考) 2022年12月8日,地球恰好運行到火星和太陽之間,且三者幾乎排成一條直線,此現(xiàn)象被稱為“火星沖日”?；鹦呛偷厍驇缀踉谕黄矫鎯?nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運動,火星與地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑之比約為3∶2,如圖所示。根據(jù)以上信息可以得出( )
A.火星與地球繞太陽運動的周期之比約為27∶8
B.當火星與地球相距最遠時,兩者的相對速度最大
C.火星與地球表面的自由落體加速度大小之比約為9∶4
D.下一次“火星沖日”將出現(xiàn)在2023年12月8日之前
【解題指南】解答本題應注意以下兩點:
(1)根據(jù)開普勒第三定律求解火星與地球繞太陽運動的周期之比;
(2)從上一次行星沖日到下一次行星沖日,地球比火星多轉(zhuǎn)一圈的時間。
【解析】選B?；鹦呛偷厍蚓@太陽運動,由于火星與地球的軌道半徑之比約為3∶2,根據(jù)開普勒第三定律有r火3r地3=T火2T地2,可得T火T地=r火3r地3=3322,故A錯誤;火星和地球繞太陽做勻速圓周運動,速度大小均不變,當火星與地球相距最遠時,由于兩者的速度方向相反,故此時兩者相對速度最大,故B正確;在星球表面根據(jù)萬有引力定律有GMmr2=mg,由于不知道火星和地球的質(zhì)量比,故無法得出火星和地球表面的自由落體加速度大小之比,故C錯誤;火星和地球繞太陽做勻速圓周運動,有ω火=2πT火,ω地=2πT地,要發(fā)生下一次“火星沖日”則有(2πT地-2πT火)t=2π,得t=T火T地T火-T地>T地,可知下一次“火星沖日”將出現(xiàn)在2023年12月8日之后,故D錯誤。
8.(6分)(2024·西安模擬)若航天員在地球表面用彈簧秤測量一個物體的重力,彈簧秤的示數(shù)為F1;航天員將同一個彈簧秤和物體帶上月球,在月球表面測量時彈簧秤的示數(shù)為F2。地球與月球均視為質(zhì)量分布均勻的球體,其半徑分別為R1、R2,P為距地球中心0.5R1的一點,Q為距月球中心0.5R2的一點,忽略地球和月球的自轉(zhuǎn),已知質(zhì)量均勻分布的球殼對球內(nèi)物體引力為0。下列說法正確的是( )
A.地球與月球表面的重力加速度之比為F2F1
B.地球與月球的質(zhì)量之比為F1R22F2R12
C.地球與月球的密度之比為F1R2F2R1
D.P點和Q點的重力加速度之比為F1R1F2R2
【解析】選C。地球表面的重力加速度為g1=F1m
月球表面的重力加速度為g2=F2m,則地球與月球表面的重力加速度之比為g1g2=F1F2
故A錯誤;由萬有引力等于重力得GMmR2=mg
所以地球與月球的質(zhì)量之比為M1M2=g1R12g2R22=F1R12F2R22
故B錯誤;由ρ=MV,V=43πR3
可得地球與月球的密度之比為ρ1ρ2=F1R2F2R1
故C正確;P點的重力加速度等于地球表面重力加速度的一半,Q點的重力加速度等于月球表面重力加速度的一半,所以P點和Q點的重力加速度之比為gPgQ=F1F2
故D錯誤。
9.(6分)(科技前沿)(2023·保定模擬)“古有司南,今有北斗”,如圖甲所示的北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)入選“2022全球十大工程成就”。組成北斗系統(tǒng)的衛(wèi)星運行軌道半徑r越高,線速度v越小,衛(wèi)星運行狀態(tài)視為勻速圓周運動,其v2-r圖像如圖乙所示,圖中R為地球半徑,r0為北斗星座GEO衛(wèi)星的運行軌道半徑,圖中物理量單位均為國際單位,引力常量為G,忽略地球自轉(zhuǎn),則( )
A.地球的質(zhì)量為bGR
B.地球的密度為3b24πR2
C.GEO衛(wèi)星的加速度為bRr02
D.地球表面的重力加速度為bR
【解析】選C。根據(jù)GMmR2=mb2R,得地球的質(zhì)量M=bRG,A錯誤;地球的密度ρ=MV=3b4GπR2,B錯誤;根據(jù)GMmr02=ma,GM=bR,聯(lián)立解得GEO衛(wèi)星的加速度a=bRr02,C正確;根據(jù)GMmR2=mg,解得g=bR,D錯誤。
【加固訓練】
(多選)(2023·清遠模擬)如圖所示,天問一號探測器沿橢圓形的停泊軌道繞火星飛行,周期為T。已知火星的半徑為R,火星的第一宇宙速度為v1,引力常量為G,則( )
A.火星的質(zhì)量為v12GR
B.火星的密度為3v124πGR2
C.火星表面的重力加速度為(v1R)2
D.停泊軌道的半長軸為3v12T2R4π2
【解析】選B、D。設火星的質(zhì)量為M,天問一號的質(zhì)量為m,當天問一號繞火星表面運行時,有GMmR2=mv12R,可得M=v12RG,A錯誤;又因為ρ=MV,V=4πR33,聯(lián)立解得火星的密度ρ=3v124πGR2,B正確;根據(jù)牛頓第二定律得mg=mv12R,解得火星表面的重力加速度g=v12R,C錯誤;設停泊軌道的半長軸為a,由開普勒第三定律有(aR)3=(TT')2,又因為T'=2πRv1,解得a=3v12T2R4π2,D正確。
10. (6分)(2024·黃岡模擬)理論上已經(jīng)證明:質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的萬有引力為零?，F(xiàn)假設地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的實心球體,O為球心,以O為原點建立坐標軸Ox,如圖所示。一個質(zhì)量一定的小物體(假設它能夠在地球內(nèi)部移動)在x軸上各位置受到的引力大小用F表示,則選項所示的四個F隨x變化的關系圖中正確的是( )
【解析】選A。因為質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的萬有引力為零,則在距離球心x處(x≤R)物體所受的引力為F=GM1mx2=G43πx3ρmx2=43Gπρmx∝x
當x>R時
F=GMmx2=G·43πR3ρ·mx2=4GπρmR33x2∝1x2
故選A。
【情境創(chuàng)新練】
11.(6分)太空電梯(圖甲)的原理并不復雜,與生活中的普通電梯十分相似,只需在地球同步軌道上建造一個空間站,并用某種足夠長也足夠結實的“繩索”將其與地面相連。在引力和向心加速度的相互作用下,繩索會繃緊,航天員、乘客以及貨物可以通過電梯轎廂一樣的升降艙沿繩索直入太空,這樣不需要依靠火箭、飛船這類復雜的航天工具。如乙圖所示,假設有一長度為r的太空電梯連接地球赤道上的固定基地與同步空間站a,a相對于地球靜止,衛(wèi)星b與同步空間站a的運行方向相同,此時二者距離最近,經(jīng)過時間t之后,a、b第一次相距最遠。已知地球半徑R,自轉(zhuǎn)周期T,下列說法正確的是( )
A.太空電梯各點均處于完全失重狀態(tài)
B.衛(wèi)星b的周期為2Tt2t-T
C.太空電梯停在距地球表面高度為2R的站點時,該站點處的重力加速度g=4π2T2(r29R2-3R)
D.太空電梯上各點線速度與該點離地球球心的距離成反比
【解析】選B。太空電梯各點隨地球一起做勻速圓周運動,只有位置到達同步衛(wèi)星的高度的點才處于完全失重狀態(tài),故A錯誤;同步衛(wèi)星的周期為Ta=T,當a、b第一次相距最遠時滿足2πtTa-2πtTb=π,解得Tb=2Tt2t-T,故B正確;太空電梯長度即為同步衛(wèi)星離地面的高度,根據(jù)萬有引力提供向心力GMm(R+r)2=m4π2T2(R+r),太空電梯停在距地球表面高度為2R的站點時,設太空電梯上貨物質(zhì)量為m,在距地面高2R的站點受到的萬有引力為F,則F=GMm(3R)2,貨物繞地球做勻速圓周運動,設太空電梯對貨物的支持力為FN,則F-FN=mω2·3R在電梯內(nèi)有FN=mg,ω=2πT,解得g=4π2T2[(r+R)39R2-3R],故C錯誤;太空電梯相對地球靜止,各點角速度相等,各點線速度v=ωR',與該點離地球球心距離成正比,故D錯誤。

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