平行線中點(diǎn)模型與雨傘模型）
目 錄
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc156575233" 題型01 一線三等角模型（含一線三垂直模型）
\l "_Tc156575234" 題型02 手拉手模型
\l "_Tc156575235" 題型03 倍長(zhǎng)中線模型
\l "_Tc156575236" 題型04 平行線中點(diǎn)模型與雨傘模型
\l "_Tc156575237" 題型05 截長(zhǎng)補(bǔ)短模型
\l "_Tc156575238" 題型06 婆羅摩笈多模型
\l "_Tc156575239" 題型07 半角模型
題型01 一線三等角模型（含一線三垂直模型）
【一線三垂直模型介紹】只要出現(xiàn)等腰直角三角形，可以過(guò)直角點(diǎn)作一條直線，然后過(guò)45°頂點(diǎn)作直線的垂線，構(gòu)造三垂直，所得兩個(gè)直角三角形全等.根據(jù)全等三角形倒邊，得到線段之間的數(shù)量關(guān)系.
【一線三等角模型介紹】三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線，這個(gè)角可以是直角，也可以是銳角或鈍角.
一線三等角類型：
（同側(cè)）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD
（異側(cè)）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD
1．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）小西在物理課上學(xué)習(xí)了發(fā)聲物體的振動(dòng)實(shí)驗(yàn)后，對(duì)其作了進(jìn)一步的探究：在一個(gè)支架的橫桿點(diǎn)O處用一根細(xì)繩懸掛一個(gè)小球A，小球A可以自由擺動(dòng)，如圖，OA表示小球靜止時(shí)的位置．當(dāng)小明用發(fā)聲物體靠近小球時(shí)，小球從OA擺到OB位置，此時(shí)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D，當(dāng)小球擺到OC位置時(shí)，OB與OC恰好垂直（圖中的A、B、O、C在同一平面上），過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OA于點(diǎn)E，測(cè)得BD=8cm，OA=17cm．求AE的長(zhǎng)．

2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖1，點(diǎn)A在直線DE上，且∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°，像這種一條直線上的三個(gè)頂點(diǎn)含有三個(gè)相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角“模型．
應(yīng)用：
(1)如圖2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直線ED經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)A作AD⊥ED于點(diǎn)D，過(guò)B作BE⊥ED于點(diǎn)E．求證：△BEC≌△CDA．
(2)如圖3，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，∠CAD=90°，AC=AD，
∠DBA=∠DAB，AB=23，求點(diǎn)C到AB邊的距離．
(3)如圖4，在?ABCD中，E為邊BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為邊AB上的一點(diǎn)．若
∠DEF=∠B，AB=10，BE=6，求 EFDE的值．
3．（2022·北京·?？家荒＃?duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M和點(diǎn)P，給出如下定義：將圖形M繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到圖形N，圖形N稱為圖形M關(guān)于點(diǎn)P的“垂直圖形”．例如，圖1中點(diǎn)D為點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)P的“垂直圖形”．
(1)點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的“垂直圖形”為點(diǎn)B．
①若點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)__________；
②若點(diǎn)B的坐標(biāo)為3,1，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)__________；
(2)E(-3,3)，F(xiàn)(-2,3)，G(a,0)，線段EF關(guān)于點(diǎn)G的“垂直圖形”記為E'F'，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E'，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F'．
①求點(diǎn)E'的坐標(biāo)（用含a的式子表示）；
②若⊙O的半徑為2，E'F'上任意一點(diǎn)都在⊙O內(nèi)部或圓上，直接寫(xiě)出滿足條件的EE'的長(zhǎng)度的最大值．
4．（2021·浙江嘉興·?？家荒＃╅喿x材料：我們知道：一條直線經(jīng)過(guò)等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，過(guò)另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別向該直線作垂線，即可得三垂直模型”如圖①：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，分別過(guò)A、B向經(jīng)過(guò)點(diǎn)C直線作垂線，垂足分別為D、E，我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：△ADC≌△CEB．
(1)探究問(wèn)題：如果AC≠BC，其他條件不變，如圖②，可得到結(jié)論；△ADC∽△CEB．請(qǐng)你說(shuō)明理由．
(2)學(xué)以致用：如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝12x與直線CD交于點(diǎn)M（2，1），且兩直線夾角為α，且tanα＝32，請(qǐng)你求出直線CD的解析式．
(3)拓展應(yīng)用：如圖④，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，點(diǎn)E為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，當(dāng)點(diǎn)P在矩形ABCD外部時(shí)，連接PC，PD．若△DPC為直角三角形時(shí)，請(qǐng)你探究并直接寫(xiě)出BE的長(zhǎng)．
5．（2022下·安徽淮北·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)與應(yīng)用．【學(xué)習(xí)】如圖1，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥AC于點(diǎn)C，DE⊥AC于點(diǎn)E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D；又∠ACB=∠AED=90°，可以通過(guò)推理得到△ABC≌△DAE．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“一線三等角”模型；
(1)【應(yīng)用】如圖2，點(diǎn)B，P，D都在直線l上，并且∠ABP=∠APC=∠PDC=α．若BP=x，AB=2，BD=5，用含x的式子表示CD的長(zhǎng)；
(2)【拓展】在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC上的點(diǎn)，連接AD，DE，∠B=∠ADE=∠C，AB=5，BC=6．若△CDE為直角三角形，求CD的長(zhǎng)；
(3)如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,4，點(diǎn)B為平面內(nèi)任一點(diǎn)．△AOB是以O(shè)A為斜邊的等腰直角三角形，試直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
6．（2021上·山東青島·九年級(jí)統(tǒng)考期中）【模型引入】
我們?cè)谌葘W(xué)習(xí)中所總結(jié)的“一線三等角、K型全等”這一基本圖形，可以使得我們?cè)谟^察新問(wèn)題的時(shí)候很迅速地聯(lián)想，從而借助已有經(jīng)驗(yàn)，迅速解決問(wèn)題．
【模型探究】
如圖，正方形ABCD中，E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE，交直線CB于點(diǎn)F．
（1）如圖1，若點(diǎn)F在線段BC上，寫(xiě)出EA與EF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；
（2）如圖2，若點(diǎn)F在線段CB的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BC，BE和BF的數(shù)量關(guān)系．
【模型應(yīng)用】
（3）如圖3，正方形ABCD中，AB＝4，E為CD上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE交BD于F，過(guò)F作FH⊥AE于F，過(guò)H作HG⊥BD于G．則下列結(jié)論：①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周長(zhǎng)為8．正確的結(jié)論有 個(gè)．
（4）如圖4，點(diǎn)E是正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE，交線段BC于點(diǎn)F，交線段AC于點(diǎn)M，連接AF交線段BD于點(diǎn)H．給出下列四個(gè)結(jié)論，①AE＝EF；②2DE＝CF；③S△AEM＝S△MCF；④BE＝DE+2BF；正確的結(jié)論有 個(gè)．
【模型變式】
（5）如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OBCD是正方形，且D（0，2），點(diǎn)E是線段OB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，M是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)（不包括點(diǎn)O、B），作MN⊥DM，垂足為M，交∠CBE的平分線與點(diǎn)N，求證：MD＝MN
（6）如圖6，在上一問(wèn)的條件下，連接DN交BC于點(diǎn)F，連接FM，則∠FMN和∠NMB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給出證明．
【拓展延伸】
（7）已知∠MON＝90°，點(diǎn)A是射線ON上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)B是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足OB＞OA．點(diǎn)C在線段OA的延長(zhǎng)線上，且AC＝OB．如圖7，在線段BO上截取BE，使BE＝OA，連接CE．若∠OBA+∠OCE＝β，當(dāng)點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，β的大小是否會(huì)發(fā)生變化？如果不變，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（8）如圖8，正方形ABCD中，AD＝6，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥ED，交AB于點(diǎn)F，連接DF，交AC于點(diǎn)G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，連接DM，交EF于點(diǎn)N，若點(diǎn)F是AB邊的中點(diǎn)，則△EDM的面積是 ．
7．（2022上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)長(zhǎng)春市第四十五中學(xué)?？计谥校┩ㄟ^(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：
[模型呈現(xiàn)]如圖1，∠BAD=90°，AB=AD，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．求證：BC=AE．
[模型應(yīng)用]如圖2，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積為_(kāi)_______________．
[深入探究]如圖3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點(diǎn)F，DE與直線AF交于點(diǎn)G．若BC=21，AF=12，則△ADG的面積為_(kāi)____________．
8．（2020上·河南安陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖①．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．則線段DE、BD與CE之間的數(shù)量關(guān)系是______；

（2）如圖②，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問(wèn)：（1）中的結(jié)論是還否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）拓展與應(yīng)用：如圖③，D，E是D，A，E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D，A，E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE．若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀，并說(shuō)明理由．
9．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Ba,b是第二象限內(nèi)一點(diǎn)．
(1)若a、b滿足等式a+32+b-2=0，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)如圖1，在（1）的條件下，動(dòng)點(diǎn)C以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從O點(diǎn)出發(fā)，沿x軸的負(fù)半軸方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從O點(diǎn)出發(fā)，沿y軸的正半軸方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，△ABC是AB為斜邊的等腰直角三角形；
(3)如圖2，C、A分別是x軸負(fù)半軸和y軸上正半軸上一點(diǎn)，且△ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形，若E是線段OC上一點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)D，連接AE，當(dāng)AE=CE，∠OAE=45°，①求證：BE平分∠ABC； ②設(shè)BD的長(zhǎng)為a，△ADB的面積為S．請(qǐng)用含a的式子表示S．
10．（2022上·江蘇南京·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，在△ABC中，AB=AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，且DE=9cm，∠BDA=∠AEC=∠BAC．

(1)如圖①，若AB⊥AC，則BD與AE的數(shù)量關(guān)系為 ___________，CE與AD的數(shù)量關(guān)系為 ___________；
(2)如圖②，判斷并說(shuō)明線段BD，CE與DE的數(shù)量關(guān)系；
(3)如圖③，若只保持∠BDA=∠AEC，BD=EF=7cm，點(diǎn)A在線段DE上以2cm/s的速度由點(diǎn)D向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)C在線段EF上以xcm/s的速度由點(diǎn)E向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．是否存在x，使得△ABD與△EAC全等？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
題型02 手拉手模型
【模型介紹】?jī)蓚€(gè)頂角相等的等腰三角形共用頂角頂點(diǎn)，分別連接對(duì)應(yīng)的兩底角頂點(diǎn)，從而可以得到一個(gè)經(jīng)典的全等模型.因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，形象可以看作兩雙手，通常稱為“手拉手模型”.
文字說(shuō)明：1）點(diǎn)A 為共用頂角頂點(diǎn)，看作頭
2）線段AB、AC為等腰?ABC的兩腰，看作兩條手臂
線段AM、AN為等腰?AMN的兩腰，看作兩條手臂
3）點(diǎn)B與點(diǎn)M看作左手，線段BM看作左手拉左手
點(diǎn)C與點(diǎn)N看作右手，線段CN看作右手拉右手
解題步驟：①找共用頂點(diǎn)，確定“四只手”；
②連接對(duì)應(yīng)端點(diǎn)；
③SAS證明全等.
11．（2023·安徽黃山·?？家荒＃┮阎鰽BC和△ADE均為等腰直角三角形，△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周．

(1)如圖1，連接BD，CE，則BD與CE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)______；直線BD與CE所夾角的度數(shù)為_(kāi)______．
(2)當(dāng)△ADE旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置時(shí)，取BC，DE的中點(diǎn)M，N，連接MN，BD．試問(wèn)：MNBD的值是否隨△ADE的旋轉(zhuǎn)而變化？若不變，請(qǐng)求出該值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)M，N分別為BC，DE的中點(diǎn)，連接MN．若AB=310，AD=6，當(dāng)△ADE旋轉(zhuǎn)至B，D，E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出MN的值．
12．（2023下·江西撫州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)，連接PC，將線段PC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)α得到線段PD，連接AP、CD、BD．

(1)當(dāng)α=60°時(shí)，
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在△ABC的邊BC上時(shí)，線段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD，則AP與BD的數(shù)量關(guān)系是_______________；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部時(shí)，線段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD，①中AP與BD的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明結(jié)論，若不成立，說(shuō)明理由；
(2)當(dāng)α=90°時(shí)，
①如圖3，線段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD．試判斷AP與BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②若點(diǎn)A，C，P在一條直線上，且AC=3PC，線段PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，求BDAP的值．
13．（2023·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)研究小組以“手拉手圖形”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．

(1)操作判斷 已知點(diǎn)C為△ABC和△CDE的公共頂點(diǎn)，將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α0°

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