【模型證明】
【題型演練】
一、單選題
1．已知：如圖，BD為△ABC的角平分線(xiàn)，且BD=BC，E為BD延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，BE=BA，過(guò)E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足，下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF其中正確的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
2．如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點(diǎn)E、F分別是AB、AD上任意的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且AE=DF，連接BF與DE相交于點(diǎn)G，連接CG與BD相交于點(diǎn)H．給出如下幾個(gè)結(jié)論：①△AED≌△DFB；②S四邊形BCDG=；③若AF=2DF，則BG=6GF；④CG與BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小為定值．
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．如圖，中，，的角平分線(xiàn)、相交于點(diǎn)，過(guò)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④四邊形，其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空題
4．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，則AD的長(zhǎng)是________．
5．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線(xiàn)CP與內(nèi)角∠ABC的平分線(xiàn)BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝50，∠CAP＝______．
6．如圖所示，的外角的平分線(xiàn)CP與的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)P，若，則_______．
三、解答題
7．如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接CF，交AD于點(diǎn)G，連接BG．
（1）線(xiàn)段BE與線(xiàn)段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；
（2）判斷BEG的形狀，并說(shuō)明理由．
8．已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求證：點(diǎn)D在線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)上．
9．如圖所示，在四邊形中，平分，求證：．
10．已知：如圖，AC∥BD，AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，點(diǎn)E在CD上．用等式表示線(xiàn)段AB、AC、BD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
11．在中，BE，CD為的角平分線(xiàn)，BE，CD交于點(diǎn)F．
（1）求證：；
（2）已知．
①如圖1，若，，求CE的長(zhǎng)；
②如圖2，若，求的大?。?br>12．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上．求證：BE＝CD．
13．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線(xiàn)，交BC于點(diǎn)D，過(guò)D作DE⊥BA于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，且BD＝DF．
（1）求證：AC＝AE；
（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求線(xiàn)段BE的長(zhǎng)．
14．（1）如圖1，射線(xiàn)OP平分∠MON，在射線(xiàn)OM，ON上分別截取線(xiàn)段OA，OB，使OA＝OB，在射線(xiàn)OP上任取一點(diǎn)D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．
（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點(diǎn)，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．
15．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC．
求證：BC=AB+CD．

16．如圖，ABC的外角∠DAC的平分線(xiàn)交BC邊的垂直平分線(xiàn)于P點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求證：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的長(zhǎng)．
17．如圖，的外角的平分線(xiàn)與內(nèi)角的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)．
18．四邊形中，，連接．
（1）如圖1，若平分，求證：．
（2）如圖2，若，，求證：．
（3）如圖3，在（2）的條件下，作于點(diǎn)，連接，若，，求的長(zhǎng)度．
19．在△ABC中，AD為△ABC的角平分線(xiàn)，點(diǎn)E是直線(xiàn)BC上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，連接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，則∠ABC的度數(shù)為 ．
（2）如圖2，AC＞AB，點(diǎn)P在線(xiàn)段AD延長(zhǎng)線(xiàn)上，比較AC+BP與AB+CP之間的大小關(guān)系，并證明．
（3）連接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且滿(mǎn)足AB+AC＝EC，請(qǐng)求出∠ACB的度數(shù)（要求：畫(huà)圖，寫(xiě)思路，求出度數(shù)）．
20．如圖，已知在四邊形ABCD中，BD是的平分線(xiàn)，．2 求證：．
21．閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題:
如圖一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線(xiàn)段AD與DC數(shù)量關(guān)系.小明發(fā)現(xiàn)可以用下面方法解決問(wèn)題:作DE⊥BC交BC于點(diǎn)E：
(1)根據(jù)閱讀材料可得AD與DC的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________.
(2)如圖二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線(xiàn)段AD與DC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.
(3)如圖三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線(xiàn)段AD與BD、BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

特點(diǎn)
CＣ
O
BＢ
AAA
Ｎ
Ｍ
利用角平分線(xiàn)圖形的對(duì)稱(chēng)性，在角的兩邊構(gòu)造對(duì)稱(chēng)全等三角形，可以得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。利用對(duì)稱(chēng)性把一些線(xiàn)段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧。
結(jié)論
三邊對(duì)應(yīng)相等的三角戲是全等三角形Ｃ
Ｏ
Ｂ
（SSS）、全等三角形對(duì)應(yīng)角相等
解決方案
角平分線(xiàn)+垂直兩邊型
角平分線(xiàn)性質(zhì)定理：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)作角兩邊垂直段構(gòu)成的兩個(gè)RT三角形全等．
【證明】
∵ OC為∠AOB的角平分線(xiàn)，
D為OC上一點(diǎn)DE⊥OA，DF⊥OB
∴
∴DE=DF
角平分線(xiàn)+垂直角平分線(xiàn)型
構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的“三線(xiàn)合一”，也可以得到兩個(gè)全等的直角三角形，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。這個(gè)模型巧妙地把角平分線(xiàn)和三線(xiàn)合一聯(lián)系了起來(lái)。
角平分線(xiàn)+平行線(xiàn)
如圖，P 是∠MON 的平分線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作 PQ∥ON，交 OM 于點(diǎn) Q。
結(jié)論：△POQ 是等腰三角形。
【證明】
∵PQ∥ON
∴∠PON=∠OPQ
又∵OP 是∠MON 的平分線(xiàn)
∴∠POQ=∠PON
∴∠POQ=∠OPQ
∴△POQ是等腰三角形

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