中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)復(fù)習(xí)專題30 中考命題核心元素全等三角形的基本模型的應(yīng)用（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

模型一平移模型
【模型解讀】有一組邊共線或部分重合，另兩組邊分別平行，常要在移動方向上加(減)公共線段，構(gòu)造線段相等，或利用平行線性質(zhì)找到對應(yīng)角相等．
基本圖形：
典例1（2022春?廣州期中）如圖，點A、D、B、E在一條直線上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF，求證：△ABC≌△DEF．
針對訓(xùn)練
1．（2021春?高州市校級月考）如圖，點A，B，C，D在一條直線上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．
（1）求證：∠E＝∠F．
（2）若EA＝CA，∠A＝40°，求∠D的度數(shù)．
2．（2022秋?武城縣月考）如圖，在四邊形ABCD中，E為AB的中點，DE∥BC，∠ADE＝∠ECB，
（1）求證：△AED≌△EBC；
（2）當AB＝6時，求CD的長．
模型二對稱模型
【模型解讀】所給圖形可沿某一直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，重合的頂點就是全等三角形的對應(yīng)頂點，解題時要注意其隱含條件，即公共邊或公共角相等．
基本圖形：

典例2 （2021秋?黃埔區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，
（1）求證：△ABC≌△ADC；
（2）測量OB與OD、∠BOA與∠DOA，你有何猜想？證明你的猜想．
（3）在“箏形”ABCD中，已知AC＝6，BD＝4，求“箏形”ABCD的面積．
針對訓(xùn)練
1．（2022秋?梁溪區(qū)校級期中）已知：如圖，AC、DB相交于點O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．
（1）求證：△ABO≌△DCO；
（2）若∠OBC＝34°，求∠OCB的度數(shù)．
模型三一線三垂直
【模型解讀】一線：經(jīng)過直角頂點的直線(BE)；三垂直：直角兩邊互相垂直(AC⊥CD)，分別過直角兩邊上的點向過直角頂點的直線作垂線(AB⊥BC，DE⊥CE)．利用“同角的余角相等”找等角(如∠1＝∠2)．
基本圖形：
典例3（2022秋?汝城縣期末）如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD邊上運動，且始終保持BE＝CF．連接AE、BF．
（1）求證：△ABE≌△BCF；
（2）求證：AE⊥BF；
（3）若AB＝10cm，紅螞蟻P以2.6厘米/秒的爬行速度從點B出發(fā)，黑螞蟻Q以3厘米/秒的爬行速度從點C同時出發(fā)，都逆時針沿正方形ABCD的邊爬行，求經(jīng)過多長時間，兩只螞蟻第一次在正方形ABCD的哪條邊上相遇？
針對訓(xùn)練
1．（2020?蘇州）問題1：如圖①，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一點，PA＝PD，∠APD＝90°．求證：AB+CD＝BC．
問題2：如圖②，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一點，PA＝PD，∠APD＝90°．求的值．
2．（2022?定遠縣模擬）如圖，已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D是BC的中點，點P是BC邊上的一個動點．
（1）如圖1，若點P與點D重合，連接AP，則AP與BC的位置關(guān)系是；
（2）如圖2，若點P在線段BD上，過點B作BE⊥AP于點E，過點C作CF⊥AP于點F，則CF，BE和EF這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系是；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若BE的延長線交直線AD于點M，求證：CP＝AM；
（4）如圖4，已知BC＝4，若點P從點B出發(fā)沿著BC向點C運動，過點B作BE⊥AP于點E，過點C作CF⊥AP于點F，設(shè)線段BE的長度為d1，線段CF的長度為d2，試求出點P在運動的過程中d1+d2的最大值．
模型四旋轉(zhuǎn)模型
【模型解讀】可看成將三角形繞著公共頂點旋轉(zhuǎn)一定角度，旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形之間存在兩種情況：
(1)無重疊：兩個三角形有公共頂點，無重疊部分一般有一對相等的角隱含在平行線、對頂角中．

(2)有重疊：兩個三角形含有一部分公共角，運用角的和差得到等角．
典例4（2021秋?長豐縣月考）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE，BD與CE交于點O，BD與AC交于點F．
（1）求證：BD＝CE．
（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度數(shù)．
（3）若G為CE上一點，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求證：BD⊥AC．
針對訓(xùn)練
1．（2022春?駐馬店期末）如圖，在△ADC中，DB是高，點E是DB上一點，AB＝DB，EB＝CB，M，
N分別是AE，CD上的點，且AM＝DN．
（1）試說明：△ABE≌△DBC；
（2）探索BM和BN的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
2．（2021?南通一模）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是平面內(nèi)異于點A的任意一點，以線段AE為邊作正方形AEFG，連接EB，
GD．
（1）如圖1，求證EB＝GD；
（2）如圖2，若點E在線段DG上，AB＝5，AG＝3，求BE的長．
模塊二 2023中考押題預(yù)測
1．（2021秋?西山區(qū)期末）如圖，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求證：△ABC≌△DEF．
2．（2020秋?開福區(qū)月考）如圖，在△ABC中，點D是BC上一點，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，連接DE交AC于點F．
（1）若∠C＝40°，求∠B的度數(shù)；
（2）若AD平分∠BDE，求證：AE＝AC．
3．（2022秋?南昌期末）如圖，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，點E是BC的中點，DE⊥AB于點F，且AB＝DE．
（1）求證：△ACB≌△EBD；
（2）若DB＝12，求AC的長．
4．如圖（1）矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，BP＝1，∠MPN＝90°將∠MPN繞點P從PB處開始按順時針方向旋轉(zhuǎn)，PM交AB（或AD）于點E，PN交邊AD（或CD）于點F，當PN旋轉(zhuǎn)至PC處時，∠MPN的旋轉(zhuǎn)隨即停止
（1）特殊情形：如圖（2），發(fā)現(xiàn)當PM過點A時，PN也恰好過點D，此時，△ABP △PCD（填：“≌”或“～”）；
（2）類比探究：如圖（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；
（3）拓展延伸：設(shè)AE＝t，當△EPF面積為4.2時，直接寫出所對應(yīng)的t的值．
5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過C點任作一條直線PQ，過A作AM⊥PQ于M，過B作BN⊥PQ于N．
（1）如圖1，當直線MN在△ABC的外部時，MN，AM，BN有什么關(guān)系呢？為什么？
（2）如圖2，當直線MN經(jīng)過△ABC內(nèi)部時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請指出MN與AM，BN之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由
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6．（2021?泗洪縣三模）如圖，E、F是正方形ABCD的對角線AC上的兩點，BE∥DF．求證：AE＝CF．
7．（2021秋?遷安市期末）小明將兩個大小不同的含45°角的直角三角板如圖1所示放置在同一平面內(nèi)．從圖1中抽象出一個幾何圖形（如圖2），B、C、E三點在同一條直線上，連結(jié)DC．猜想線段CD與BE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明．
8．（2020?渝中區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于點D，E為線段CD上一點（不含端點），連接AE，設(shè)F為AE的中點，作CG⊥CF交直線AB于點G．
（1）猜想：線段AG、BC、EC之間有何等量關(guān)系？并加以證明；
（2）如果將題設(shè)中的條件“E為線段CD上一點（不含端點）”改變?yōu)椤癊為直線CD上任意一點”，試探究發(fā)現(xiàn)線段AG、BC、EC之間有怎樣的等量關(guān)系，請直接寫出你的結(jié)論，不用證明．
9．（2020秋?鹽都區(qū)期末）已知：如圖，AC與BD相交于點O，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分別為點C、D，且AC＝BD．求證：OA＝OB．
10．（2021?南通一模）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是平面內(nèi)異于點A的任意一點，以線段AE為邊作正方形AEFG，連接EB，GD．
（1）如圖1，求證EB＝GD；
（2）如圖2，若點E在線段DG上，AB＝5，AG＝3，求BE的長．
11．（2021春?沙坪壩區(qū)校級月考）△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，點D在直線BC上，過B作BA的垂線交AD的延長線于點E．
（1）如圖1，若∠ABC＝30°，tan∠EAB，BC，求AE的長；
（2）如圖2，點F是CA延長線上的一點，連接FE交BC于點M，若CF＝CB，且∠CAE＝∠FBA，求證AF＝2CM；
（3）如圖3，AC＝1，BC＝2，點M為AE的中點，連接BM，CM，當|BM﹣CM|最大時，直接寫出的值．

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