中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題08全等三角形中的角平分線模型(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【模型證明】
【題型演練】
一、單選題
1．已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE=BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足，下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF其中正確的是（）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
2．如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點(diǎn)E、F分別是AB、AD上任意的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且AE=DF，連接BF與DE相交于點(diǎn)G，連接CG與BD相交于點(diǎn)H．給出如下幾個(gè)結(jié)論：①△AED≌△DFB；②S四邊形BCDG=；③若AF=2DF，則BG=6GF；④CG與BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小為定值．
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）
A．4B．3C．2D．1
3．如圖，中，，的角平分線、相交于點(diǎn)，過作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④四邊形，其中正確的個(gè)數(shù)是（）
A．4B．3C．2D．1
二、填空題
4．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，則AD的長(zhǎng)是________．
5．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝50，∠CAP＝______．
6．如圖所示，的外角的平分線CP與的平分線相交于點(diǎn)P，若，則_______．
三、解答題
7．如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接CF，交AD于點(diǎn)G，連接BG．
（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
（2）判斷BEG的形狀，并說明理由．
8．已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求證：點(diǎn)D在線段AC的垂直平分線上．
9．如圖所示，在四邊形中，平分，求證：．
10．已知：如圖，AC∥BD，AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，點(diǎn)E在CD上．用等式表示線段AB、AC、BD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
11．在中，BE，CD為的角平分線，BE，CD交于點(diǎn)F．
（1）求證：；
（2）已知．
①如圖1，若，，求CE的長(zhǎng)；
②如圖2，若，求的大小．
12．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長(zhǎng)線上．求證：BE＝CD．
13．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，交BC于點(diǎn)D，過D作DE⊥BA于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，且BD＝DF．
（1）求證：AC＝AE；
（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求線段BE的長(zhǎng)．
14．（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點(diǎn)D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．
（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點(diǎn)，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．
15．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC．
求證：BC=AB+CD．

16．如圖，ABC的外角∠DAC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求證：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的長(zhǎng)．
17．如圖，的外角的平分線與內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)．
18．四邊形中，，連接．
（1）如圖1，若平分，求證：．
（2）如圖2，若，，求證：．
（3）如圖3，在（2）的條件下，作于點(diǎn)，連接，若，，求的長(zhǎng)度．
19．在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，點(diǎn)E是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，則∠ABC的度數(shù)為．
（2）如圖2，AC＞AB，點(diǎn)P在線段AD延長(zhǎng)線上，比較AC+BP與AB+CP之間的大小關(guān)系，并證明．
（3）連接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且滿足AB+AC＝EC，請(qǐng)求出∠ACB的度數(shù)（要求：畫圖，寫思路，求出度數(shù)）．
20．如圖，已知在四邊形ABCD中，BD是的平分線，．2 求證：．
21．閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問題:
如圖一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與DC數(shù)量關(guān)系.小明發(fā)現(xiàn)可以用下面方法解決問題:作DE⊥BC交BC于點(diǎn)E：
(1)根據(jù)閱讀材料可得AD與DC的數(shù)量關(guān)系為__________.
(2)如圖二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與DC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.
(3)如圖三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與BD、BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

特點(diǎn)
CＣ
O
BＢ
AAA
Ｎ
Ｍ
利用角平分線圖形的對(duì)稱性，在角的兩邊構(gòu)造對(duì)稱全等三角形，可以得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。利用對(duì)稱性把一些線段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧。
結(jié)論
三邊對(duì)應(yīng)相等的三角戲是全等三角形Ｃ
Ｏ
Ｂ
（SSS）、全等三角形對(duì)應(yīng)角相等
解決方案
角平分線+垂直兩邊型
角平分線性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)作角兩邊垂直段構(gòu)成的兩個(gè)RT三角形全等．
【證明】
∵ OC為∠AOB的角平分線，
D為OC上一點(diǎn)DE⊥OA，DF⊥OB
∴
∴DE=DF
角平分線+垂直角平分線型
構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可以得到兩個(gè)全等的直角三角形，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。這個(gè)模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系了起來。
角平分線+平行線
如圖，P 是∠MON 的平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn) P 作 PQ∥ON，交 OM 于點(diǎn) Q。
結(jié)論：△POQ 是等腰三角形。
【證明】
∵PQ∥ON
∴∠PON=∠OPQ
又∵OP 是∠MON 的平分線
∴∠POQ=∠PON
∴∠POQ=∠OPQ
∴△POQ是等腰三角形
專題08 全等三角形中的角平分線模型
【模型展示】
【模型證明】
【題型演練】
一、單選題
1．已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE=BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足，下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF其中正確的是（）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
【答案】D
【分析】易證，可得，AD=EC可得①②正確；再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得，即③正確，根據(jù)③可判斷④正確；
【詳解】∵ BD為∠ABC的角平分線，
∴ ∠ABD=∠CBD，
∴在△ABD和△EBD中，BD=BC，∠ABD=∠CDB，BE=BA，
∴△(SAS)，故①正確；
∵ BD平分∠ABC，BD=BC，BE=BA，
∴ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE=∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，
故②正確；
∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，
∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，
∴∠DCE=∠DAE，
∴△ACE是等腰三角形，
∴AE=EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=EC，
∴AD=AE=EC，
故③正確；
作EG⊥BC，垂足為G，如圖所示：
∵ E是BD上的點(diǎn)，∴EF=EG，
在△BEG和△BEF中
∴ △BEG≌△BEF，
∴BG=BF，
在△CEG和△AFE中
∴△CEG≌△AFE，
∴ AF=CG，
∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，
故④正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中熟練求證三角形全等和熟練運(yùn)用全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；
2．如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點(diǎn)E、F分別是AB、AD上任意的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且AE=DF，連接BF與DE相交于點(diǎn)G，連接CG與BD相交于點(diǎn)H．給出如下幾個(gè)結(jié)論：①△AED≌△DFB；②S四邊形BCDG=；③若AF=2DF，則BG=6GF；④CG與BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小為定值．
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【詳解】試題分析：①∵ABCD為菱形，∴AB=AD，∵AB=BD，∴△ABD為等邊三角形，∴∠A=∠BDF=60°，又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB，故本選項(xiàng)正確；
②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180°，∴點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓，∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，∴∠BGC=∠DGC=60°，過點(diǎn)C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如圖1），則△CBM≌△CDN（AAS），∴S四邊形BCDG=S四邊形CMGN，S四邊形CMGN=2S△CMG，∵∠CGM=60°，∴GM=CG，CM=CG，∴S四邊形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
③過點(diǎn)F作FP∥AE于P點(diǎn)（如圖2），∵AF=2FD，∴FP：AE=DF：DA=1：3，∵AE=DF，AB=AD，∴BE=2AE，∴FP：BE=FP：AE=1：6，∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴FG：BG=FP：BE=1：6，即BG=6GF，故本選項(xiàng)正確；
④當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD中點(diǎn)時(shí)（如圖3），由（1）知，△ABD，△BDC為等邊三角形，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD中點(diǎn)，∴∠BDE=∠DBG=30°，∴DG=BG，在△GDC與△BGC中，∵DG=BG，CG=CG，CD=CB，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG=∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，為定值，故本選項(xiàng)正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有①③⑤，共3個(gè)，故選B．
考點(diǎn)：四邊形綜合題．
3．如圖，中，，的角平分線、相交于點(diǎn)，過作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④四邊形，其中正確的個(gè)數(shù)是（）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理逐一分析判斷即可．
【詳解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°
∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD=，∠ABE=
∴∠BAD+∠ABE=
∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正確；
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°
∴∠APB=∠FPB
又∵∠ABP=∠FBP
BP=BP
∴△ABP≌△FBP（ASA）
∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正確；
在△APH與△FPD中
∵∠APH=∠FPD=90°
∠PAH=∠BAP=∠BFP
PA=PF
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴AH=FD，
又∵AB=FB
∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正確；
連接HD，ED，
∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP
∴，，PH=PD，
∵∠HPD=90°，
∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD
∴HD∥EP，
∴
∵

故④錯(cuò)誤，
∴正確的有①②③，
故答案為：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定兩個(gè)三角形全等．
二、填空題
4．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，則AD的長(zhǎng)是________．
【答案】5
【分析】過D作，，交延長(zhǎng)線于F，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角直角三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】過D作，，交延長(zhǎng)線于F，
∵AD平分，，，
∴，，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形和角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造全等三角形．
5．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝50，∠CAP＝______．
【答案】40°
【分析】過點(diǎn)P作PF⊥AB于F，PM⊥AC于M，PN⊥CD于N，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和內(nèi)角和定理，得到∠BAC度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得到答案．
【詳解】解：過點(diǎn)P作PF⊥AB于F，PM⊥AC于M，PN⊥CD于N，如圖：
設(shè)∠PCD=x，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x，PM=PN，
∴∠ACD=2x，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PM=PN，
∵∠BPC＝50°，
∴∠ABP=∠PBC=，
∴,
∴，
∴，
在Rt△APF和Rt△APM中，
∵PF=PM，AP為公共邊，
∴Rt△APF≌Rt△APM（HL），
∴∠FAP=∠CAP，
∴；
故答案為：40°；
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行解題，正確求出是關(guān)鍵．
6．如圖所示，的外角的平分線CP與的平分線相交于點(diǎn)P，若，則_______．
【答案】
【分析】如圖（見解析），設(shè)，從而可得，先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可求出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)平角的定義即可得．
【詳解】如圖，過點(diǎn)P分別作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，于點(diǎn)E，
設(shè)，則，
，
，
是的平分線，
，
，
是的平分線，，，
，
同理可得：，
，
在和中，，
，
，即，
又，
，
解得，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過作輔助線，利用角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
三、解答題
7．如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接CF，交AD于點(diǎn)G，連接BG．
（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
（2）判斷BEG的形狀，并說明理由．
【答案】（1）BE＝AD，見解析；（2）BEG是等腰直角三角形，見解析
【分析】（1）延長(zhǎng)BE、AC交于點(diǎn)H，先證明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再證明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，則BE＝AD；
（2）先證明CF垂直平分AB，則AG＝BG，再證明∠CAB＝∠CBA＝45°，則∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可證明△BEG是等腰直角三角形．
【詳解】證：（1）BE＝AD，理由如下：
如圖，延長(zhǎng)BE、AC交于點(diǎn)H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴BE＝HE＝BH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在△BCH和△ACD中，
，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
∴BE＝AD．
（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：
∵AC＝BC，AF＝BF，
∴CF⊥AB，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，
∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，
∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，
∵∠BEG＝90°，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴EG＝EB，
∴△BEG是等腰直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等，理解等腰直角三角形的基本性質(zhì)，并且掌握全等三角形中常見輔助線的作法是解題關(guān)鍵．
8．已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求證：點(diǎn)D在線段AC的垂直平分線上．
【答案】見解析
【分析】在BC上截取BE＝BA，連接DE，證明△ABD≌△BED，可得出∠C＝∠DEC，則DE＝DC，從而得出AD＝CD即可證明．
【詳解】證：如圖，在BC上截取BE＝BA，連接DE，
∵BD＝BD，∠ABD＝∠CBD，
∴△BAD≌△BED，
∴∠A＝∠DEB，AD＝DE，
∵∠A+∠C＝180°，∠BED+∠DEC＝180°，
∴∠C＝∠DEC，
∴DE＝DC，
∴AD＝CD，
∴點(diǎn)D在線段AC的垂直平分線上．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，以及垂直平分線的判定等，學(xué)會(huì)做輔助線找出全等三角形是解題的關(guān)鍵．
9．如圖所示，在四邊形中，平分，求證：．
【答案】詳見解析
【分析】過點(diǎn)C分別作于E，于F，由條件可得出△CDF≌△CEB，可得∠B=∠FDC，進(jìn)而可證明∠B+∠ADC=180°．
【詳解】證明：過點(diǎn)C分別作于E，于F，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，于F，
∴CF=CE，
在Rt△CDF與Rt△CEB中，
∴，
，
，
.
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)HL證明△CDF≌△CEB進(jìn)而得出∠B=∠FDC．
10．已知：如圖，AC∥BD，AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，點(diǎn)E在CD上．用等式表示線段AB、AC、BD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】AC+BD=AB，理由見見解析
【分析】在BA上截取BF=BD，連接EF，先證得，可得到∠BFE=∠D，再由AC∥BD，可得∠AFE=∠C，從而證得，可得AF=AC，即可求解．
【詳解】解：AC+BD=AB，證明如下：
在BA上截取BF=BD，連接EF，如圖所示：
∵AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，
∴∠EAF=∠EAC，∠EBF=∠EBD，
在△BEF和△BED中，
，
∴（SAS），
∴∠BFE=∠D，
∵AC∥BD，
∴∠C+∠D=180°，
∵∠AFE+∠BFE=180°，
∴∠AFE+∠D=180°，
∴∠AFE=∠C，
在△AEF和△AEC中，
，
∴（AAS），
∴AF=AC，
∵AF+BF=AB，
∴AC+BD=AB．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
11．在中，BE，CD為的角平分線，BE，CD交于點(diǎn)F．
（1）求證：；
（2）已知．
①如圖1，若，，求CE的長(zhǎng)；
②如圖2，若，求的大小．
【答案】（1）證明見解析；（2）2.5；（3）100°．
【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理和角平分線得出的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理可求出的度數(shù)，
（2）在BC上取一點(diǎn)G使BG=BD，構(gòu)造（SAS），再證明，即可得，由此求出答案；
（3）延長(zhǎng)BA到P，使AP=FC，構(gòu)造（SAS），得PC=BC，，再由三角形內(nèi)角和可求，，進(jìn)而可得．
【詳解】解：（1）、分別是與的角平分線，
，
，
，
（2）如解（2）圖，在BC上取一點(diǎn)G使BG=BD，
由（1）得，
，
，
∴，
在與中，
，
∴（SAS）
∴，
∴，
∴，
∴
在與中，
，
，
，
，
；
∵，，
∴
（3）如解（3）圖，延長(zhǎng)BA到P，使AP=FC，
，
∴，
在與中，
，
∴（SAS）
∴，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．
12．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長(zhǎng)線上．求證：BE＝CD．
【答案】見解析
【分析】分別延長(zhǎng)BE、CA交于點(diǎn)F，首先結(jié)合題意推出△CFE≌△CBE，從而得到BE＝EF＝BF，然后證明△BFA≌△CDA，得到BF＝CD，即可得出結(jié)論．
【詳解】證明：分別延長(zhǎng)BE、CA交于點(diǎn)F，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠FEC＝90°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCE＝∠BCE．
在△CFE與△CBE中，
∵∠BEC＝∠FEC，∠FCE＝∠BCE，CE＝CE，
∴△CFE≌△CBE，
∴BE＝EF＝BF．
在△CFE與△CAD中，
∵∠F＋∠FCE＝∠ADC＋∠ACD＝ 90°，
∴∠F＝∠ADC．
在△BFA與△CDA中，
∵∠F＝∠ADC，∠BAC＝∠FAB，AB＝AC，
∴△BFA≌△CDA，
∴BF＝CD．
∴BE＝CD．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，理解角平分線的基本定義，熟練運(yùn)用角平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線，并且準(zhǔn)確判定全等三角形是解題關(guān)鍵．
13．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，交BC于點(diǎn)D，過D作DE⊥BA于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，且BD＝DF．
（1）求證：AC＝AE；
（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求線段BE的長(zhǎng)．
【答案】（1）見解析；（2）3
【分析】（1）證明△ACD≌△AED（AAS），即可得出結(jié)論；
（2）在AB上截取AM=AF，連接MD，證△FAD≌△MAD（SAS），得FD=MD，∠ADF=∠ADM，再證Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），得ME=BE，求出MB=AB-AM=6，即可求解．
【詳解】解：（1）證明：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAE，
∵DE⊥BA，
∴∠DEA=∠DEB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠DEA=90°，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC=AE；
（2）在AB上截取AM=AF，連接MD，
在△FAD和△MAD中，
，
∴△FAD≌△MAD（SAS），
∴FD=MD，∠ADF=∠ADM，
∵BD=DF，
∴BD=MD，
在Rt△MDE和Rt△BDE中，
，
∴Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），
∴ME=BE，
∵AF=AM，且AF=1.4，
∴AM=1.4，
∵AB=7.4，
∴MB=AB-AM=7.4-1.4=6，
∴BE＝BM＝3，
即BE的長(zhǎng)為3．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線定義、直角三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)；證明△FAD≌△MAD和Rt△MDE≌Rt△BDE是解題的關(guān)鍵．
14．（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點(diǎn)D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．
（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點(diǎn)，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．
【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）AE=13
【分析】（1）由題意易得∠AOD=∠BOD，然后易證△AOD≌△BOD，進(jìn)而問題可求證；
（2）在BC上截取CE=CA，連接DE，由題意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，則有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，則根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，進(jìn)而問題可求證；
（3）在AE上分別截取AF=AB，EG=ED，連接CF、CG，同理（2）可證△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，則有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，進(jìn)而可得△CFG是等邊三角形，最后問題可求解．
【詳解】證明：（1）∵射線OP平分∠MON，
∴∠AOD=∠BOD，
∵OD=OD，OA＝OB，
∴△AOD≌△BOD（SAS），
∴AD＝BD．
（2）在BC上截取CE=CA，連接DE，如圖所示：
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，
∵CD=CD，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，
∵∠B+∠EDB=∠CED，
∴∠EDB=∠B=30°，
∴DE=BE，
∴AD=BE，
∵BC=CE+BE，
∴BC＝AC+AD．
（3）在AE上分別截取AF=AB=9，EG=ED=1，連接CF、CG，如圖所示：
同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，
∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，
∵C為BD邊中點(diǎn)，
∴BC=CD=CF=CG=3，
∵∠ACE＝120°，
∴∠ACB+∠DCE=60°，
∴∠ACF+∠GCE=60°，
∴∠FCG=60°，
∴△CFG是等邊三角形，
∴FG=CF=CG=3，
∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的性質(zhì)與判定、角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)與判定及等邊三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線證明三角形全等．
15．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC．
求證：BC=AB+CD．

【答案】證明見解析
【分析】在BC上截取點(diǎn)E，并使得BE=BA，連接DE，證明△ABD≌△EBD，得到∠DEB=∠BAD=108°，進(jìn)一步計(jì)算出∠DEC=∠CDE=72°得到CD=CE即可證明．
【詳解】證明：在線段BC上截取BE=BA，連接DE，如下圖所示：
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD，
在△ABD和△EBD中：，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴∠DEB=∠BAD=108°，
∴∠DEC=180°-108°=72°，又AB=AC，
∴∠C=∠ABC=(180°-108°)÷2=36°，
∴∠CDE=180°-∠C-∠DEC=180°-36°-72°=72°，
∴∠DEC=∠CDE，
∴CD=CE，
∴BC=BE+CE=AB+CD．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等，本題的關(guān)鍵是能在BC上截取BE，并使得BE=BA，這是角平分線輔助線和全等三角形的應(yīng)用的一種常見作法．
16．如圖，ABC的外角∠DAC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求證：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見解析；（2）2
【分析】（1）連接、，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得，然后利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；
（2）利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，再根據(jù)、的長(zhǎng)度表示出、，然后解方程即可．
【詳解】（1）證明：連接、，
點(diǎn)在的垂直平分線上，
，
是的平分線，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
，
，，
，
即，
解得．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．
17．如圖，的外角的平分線與內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)．
【答案】50°
【分析】根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案．
【詳解】延長(zhǎng)BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
設(shè)∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x-40)°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL)，
∴∠CAP=∠FAP，
又∵∠CAP+∠PAF=∠CAF，
∴∠CAP =50°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和直角三角全等的判定等知識(shí)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PM=PN=PF是解決問題的關(guān)鍵．
18．四邊形中，，連接．
（1）如圖1，若平分，求證：．
（2）如圖2，若，，求證：．
（3）如圖3，在（2）的條件下，作于點(diǎn)，連接，若，，求的長(zhǎng)度．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）
【分析】（1）過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件HL證明，繼而可得，根據(jù)平角的定義以及等量代換即可證明；
（2）過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)三線合一，可得，進(jìn)而可得，根據(jù)角平分線的判定定理可推出，進(jìn)而即可證明；
（3）先證明四邊形是矩形，證明，進(jìn)而證明四邊形是正方形，設(shè)，根據(jù)（2）的結(jié)論以及三角形內(nèi)角和定理，求得，進(jìn)而求得，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求得，進(jìn)而在中，勾股定理即可求得的長(zhǎng)．
【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
平分，
，
在與中
（HL）
即
（2）如圖，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，
，
即
（3）如圖，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
，
四邊形是矩形
在與中
，
四邊形是正方形
設(shè)
在中
在中，
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)與判定，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
19．在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，點(diǎn)E是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，則∠ABC的度數(shù)為．
（2）如圖2，AC＞AB，點(diǎn)P在線段AD延長(zhǎng)線上，比較AC+BP與AB+CP之間的大小關(guān)系，并證明．
（3）連接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且滿足AB+AC＝EC，請(qǐng)求出∠ACB的度數(shù)（要求：畫圖，寫思路，求出度數(shù)）．
【答案】（1）；（2），見解析；（3）44°或104°；詳見解析．
【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角，可得，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出，由此即可解題；
（2）在AC邊上取一點(diǎn)M使AM=AB，構(gòu)造，根據(jù)即可得出答案；
（3）畫出圖形，根據(jù)點(diǎn)E的位置分四種情況，當(dāng)點(diǎn)E在射線CB延長(zhǎng)線上，延長(zhǎng)CA到G，使AG=AB，可得，可得，設(shè)，則；根據(jù)∠BAC＝24°，AD為△ABC的角平分線，可得，可證（SAS），得出，利用還有，列方程；當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)，∠EAD＜90°，不成立；當(dāng)點(diǎn)E在CD上時(shí)，∠EAD＜90°，不成立；當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上，延長(zhǎng)CA到G，使AG=AB，可得，得出，設(shè)，則；∠BAC＝24°，根據(jù)AD為△ABC的角平分線，得出，證明（SAS），得出，利用三角形內(nèi)角和列方程，解方程即可．
【詳解】解：（1）∵AE＝AD＝DC，
∴，，
∵，，
∴，
∵AD為△ABC的角平分線，即，
∴；
∴
（2）如圖2，
在AC邊上取一點(diǎn)M使AM=AB，連接MP，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）如圖，點(diǎn)E在射線CB延長(zhǎng)線上，延長(zhǎng)CA到G，使AG=AB，
∵AB+AC＝EC，
∴AG+AC＝EC，即，
∴，
設(shè)，則；
又∠BAC＝24°，AD為△ABC的角平分線，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
又∵，
∴，
解得：，
∴；
當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)，∠EAD＜90°，不成立；
當(dāng)點(diǎn)E在CD上時(shí)，∠EAD＜90°，不成立；
如圖，點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上，延長(zhǎng)CA到G，使AG=AB，
∵AB+AC＝EC，
∴AG+AC＝EC，即，
∴，
設(shè)，則；
又∵∠BAC＝24°，AD為△ABC的角平分線，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
∴，
解得：，
∴．
∴∠ACB的度數(shù)為44°或104°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)、全等三角形判定和性質(zhì)，角平分線，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，解一元一次方程，根據(jù)角平分線模型構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)換線段和角的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
20．如圖，已知在四邊形ABCD中，BD是的平分線，．2 求證：．
【答案】見解析
【分析】方法一，在BC上截取BE，使，連接DE，由角平分線的定義可得，根據(jù)全等三角形的判定可證和全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，由AD=CD等量代換可得，繼而可得，由于，可證；
方法2，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)E，使，由角平分線的定義可得，根據(jù)全等三角形的判定可證和全等，繼而可得，．由，可得，繼而求得，由，繼而可得；
方法3，作于點(diǎn)E，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，由角平分線的定義可得，由，，可得，根據(jù)全等三角形的判定可證和全等，繼而可得，再根據(jù)HL定理可得可證．
【詳解】解：方法1 截長(zhǎng)如圖，在BC上截取BE，使，
連接DE，
因?yàn)锽D是的平分線，
所以．
在和中，
因?yàn)?br>所以，
所以，．
因?yàn)椋?br>所以，
所以．
因?yàn)椋?br>所以．
方法2 補(bǔ)短
如圖，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)E，使．
因?yàn)锽D是的平分線，
所以
在和中，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，．
因?yàn)椋?br>所以，
所以．
因?yàn)椋?br>所以．
方法3 構(gòu)造直角三角形全等
作于點(diǎn)E．交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F
因?yàn)锽D是的平分線，
所以．
因?yàn)椋?br>所以，
在和中，
因?yàn)椋?br>所以，
所以．
在和中，
因?yàn)椋?br>所以，
所以．
因?yàn)椋?br>所以．
21．閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問題:
如圖一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與DC數(shù)量關(guān)系.小明發(fā)現(xiàn)可以用下面方法解決問題:作DE⊥BC交BC于點(diǎn)E：
(1)根據(jù)閱讀材料可得AD與DC的數(shù)量關(guān)系為__________.
(2)如圖二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與DC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.
(3)如圖三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與BD、BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

【答案】（1）CD=AD；（2）CD=AD；（3）BC=AD+BD.
【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)可得AD=DE，根據(jù)∠A=90°，AB=AC，可得∠C=45°，由DE⊥BC可得△DEC是等腰直角三角形，可得CD=DE，進(jìn)而可得答案；（2）在BC上截取BE=AB，連接DE，利用SAS可證明△ABD≌△EBD，可得AD=DE，∠BED=∠A=120°，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠C=30°，利用三角形外角性質(zhì)可得∠CDE=90°，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得答案；（3）在BC上取一點(diǎn)E，使BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，由角平分線的性質(zhì)就可以得出DF=DG，利用AAS可證明△DAF≌△DEG，可得 DA=DE，利用外角性質(zhì)可求出∠EDC=40°，進(jìn)而可得DE=CE，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）∵∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，
∴DE=AD，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE=AD，
故答案為CD=AD
（2）如圖，在BC上截取BE=AB，連接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBE，
在△ABD和△EBD中，，
∴△ABD≌△EBD，
∴DE=AD，∠BED=∠A=120°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=30°，
∴∠CDE=∠BED-∠C=90°，
∴CD=DE=AD.
（3）如圖，在BC上取一點(diǎn)E，是BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，
∴∠DFA=∠DGE=90°．
∵BD平分∠ABC，DF⊥BA，DG⊥BC，
∴DF=DG．
∵∠BAC=100°，AB=AC，
∴∠FAD=80°，∠ABC=∠C=40°，
∴∠DBC=20°，
∵BE=BD，
∴∠BED=∠BDE=80°，
∴∠FAD=∠BED．
在△DAF和△DEG中，，
∴△DAF≌△DEG（AAS），
∴AD=ED．
∵∠BED=∠C+∠EDC，
∴80°=40+∠EDC，
∴∠EDC=40°，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=CE，
∴AD=CE．
∵BC=BE+CE，
∴BC=BD+AD．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)合理添加輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
特點(diǎn)
CＣ
O
BＢ
AAA
Ｎ
Ｍ
利用角平分線圖形的對(duì)稱性，在角的兩邊構(gòu)造對(duì)稱全等三角形，可以得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。利用對(duì)稱性把一些線段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧。
結(jié)論
三邊對(duì)應(yīng)相等的三角戲是全等三角形Ｃ
Ｏ
Ｂ
（SSS）、全等三角形對(duì)應(yīng)角相等
解決方案
角平分線+垂直兩邊型
角平分線性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)作角兩邊垂直段構(gòu)成的兩個(gè)RT三角形全等．
【證明】
∵ OC為∠AOB的角平分線，
D為OC上一點(diǎn)DE⊥OA，DF⊥OB
∴
∴DE=DF
角平分線+垂直角平分線型
構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可以得到兩個(gè)全等的直角三角形，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。這個(gè)模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系了起來。
角平分線+平行線
如圖，P 是∠MON 的平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn) P 作 PQ∥ON，交 OM 于點(diǎn) Q。
結(jié)論：△POQ 是等腰三角形。
【證明】
∵PQ∥ON
∴∠PON=∠OPQ
又∵OP 是∠MON 的平分線
∴∠POQ=∠PON
∴∠POQ=∠OPQ
∴△POQ是等腰三角形

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