TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc156315724" 題型01 利用直角三角形的性質(zhì)求解
\l "_Tc156315725" 題型02 根據(jù)已知條件判定直角三角形
\l "_Tc156315726" 題型03 與直角三角形有關(guān)的面積計算
\l "_Tc156315727" 題型04 利用勾股定理求線段長
\l "_Tc156315728" 題型05 利用勾股定理求面積
\l "_Tc156315729" 題型06 已知兩點坐標(biāo)求兩點距離
\l "_Tc156315730" 題型07 判斷勾股數(shù)問題
\l "_Tc156315731" 題型08 勾股定理與網(wǎng)格問題
\l "_Tc156315732" 題型09 勾股定理與無理數(shù)
\l "_Tc156315733" 題型10 以直角三角形三邊為邊長的圖形面積
\l "_Tc156315734" 題型11 利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系
\l "_Tc156315735" 題型12 勾股定理的證明方法
\l "_Tc156315736" 題型13 以弦圖為背景的計算題
\l "_Tc156315737" 題型14 利用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題
\l "_Tc156315738" 題型15 利用勾股定理解決實際問題
\l "_Tc156315739" 題型16 勾股定理與規(guī)律探究問題
\l "_Tc156315740" 題型17 在網(wǎng)格中判定直角三角形
\l "_Tc156315741" 題型18 利用勾股定理逆定理求解
\l "_Tc156315742" 題型19 利用勾股定理解決實際生活問題
題型01 利用直角三角形的性質(zhì)求解
1．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）如圖，已知l∥AB，CD⊥l于點D，若∠C=40°，則∠1的度數(shù)是（ ）

A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】C
【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠CED，再根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：在Rt△CDE中，∠CDE=90°，∠DCE=40°，

則∠CED=90°-40°=50°，
∵l∥AB，
∴∠1=∠CED=50°，
故選：C．
【點睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·廣東中山·?？家荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，點D為邊AC的中點，BD=2，則BC的長為（ ）
A．3B．23C．2D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠A=30°，由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°，
∴∠A=30°，
∵點D為邊AC的中點，BD=2
∴AC=2BD=4，
∴BC=12AC=2，
故選：C．
【點睛】題目主要考查三角形內(nèi)角和定理及直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識點是解題關(guān)鍵．
3．（2021·河南信陽·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O,H為BC中點，AC=6,BD=8．則線段OH的長為：（ ）
A．125B．52C．3D．5
【答案】B
【分析】因為菱形的對角線互相垂直且平分，從而有AC⊥BD，AO=OC=3，BO=OD=4，又因為H為BC中點，借助直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可作答．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，AO=OC=3，BO=OD=4
∴△BOC是直角三角形
∴BO2+OC2=BC2
∴BC=5
∵H為BC中點
∴OH=12BC=52
故最后答案為52．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，其中知道菱形的性質(zhì)，對角線互相垂直且平分是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點A，B分別在y軸的正半軸和x軸的正半軸上，當(dāng)B在x軸的正半軸上運(yùn)動時，A隨之在y軸的正半軸上運(yùn)動，矩形ABCD的形狀保持不變．若∠OAB＝30°時，點A的縱坐標(biāo)為23，點C的縱坐標(biāo)為1，則點D到點O的最大距離是（ ）
A．25B．22+2C．22+4D．23+4
【答案】B
【分析】由Rt△AOB中的條件可得AB=4，由△AOB∽△BFC，可得BC=2，再AB上取一點E，利用勾股定理求出OE，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半求出OE，由三角形兩邊之后大于第三邊可求出OD最大值．
【詳解】解：取AB中點E，連接DE、OE、OD，過C作CF⊥BF與點F，
在Rt△AOB中，AO=23，∠OAB=30°，
∴AB=4，OE=12AB=2=AE，
由矩形的性質(zhì)，可得AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，
∴△AOB∽△BFC，
∵C的縱坐標(biāo)為1，
∴BC=2=AD；
在Rt△ADE中，DE=22，
當(dāng)O、D、E三點共線時，OD=DE＋OE最大，
此時OD=22+2；
故選：B．
【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，根據(jù)性質(zhì)求出相應(yīng)線段，根據(jù)兩邊之和大于第三邊求出最大值是解題的關(guān)鍵．
題型02 根據(jù)已知條件判定直角三角形
5．（2022·重慶·重慶市松樹橋中學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知△ABC的三條邊分別是a、b、c，則下列條件中不能判斷△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a(chǎn):b:c=3:4:5B．∠C=∠A+∠B
C．∠A:∠B:∠C=1:5:6D．∠A:∠B:∠C=3:4:5
【答案】D
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判定A正確，利用三角形內(nèi)角和定理判定B和C正確、D錯誤．
【詳解】解：A、設(shè)a=3k，b=4k，c=5k，
∵(3k)2+(4k)2=(5k)2 ，
即a2+b2=c2 ，
∴三角形是直角三角形，
正確；
B、∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠C=∠A+∠B，
∴2∠C=180°，
即∠C=90°，
正確；
C、設(shè)∠A=x°，∠B=5x°，∠C=6x°，
又三角形內(nèi)角和定理得x+5x+6x=180,
解得6x=90,
故正確；
D、設(shè)∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，
又三角形內(nèi)角和定理得3x+4x+5x=180，
5x=75,
故不是直角三角形，
錯誤；
故本題選擇D．
【點睛】本題考查直角三角形的判定方法：勾股定理的逆定理、證明最大角是直角．
6．（2022·云南昆明·統(tǒng)考二模）已知實數(shù)x，y，z滿足(x-5)2+y-12+|z-13|=0，則以x，y，z的值為邊長的三角形是（ ）
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．無法判斷
【答案】B
【分析】根據(jù)平方式、算式平方根和絕對值的非負(fù)性求出x、y、z，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可.
【詳解】解：∵實數(shù)x，y，z滿足(x-5)2+y-12+|z-13|=0，
∴x=5，y=12，z=13，
∵52+122=132，∴x2+y2=z2
∴以x，y，z的值為邊長的三角形是直角三角形，
故選B.
【點睛】本題考查平方式、算式平方根和絕對值的非負(fù)性、勾股定理的逆定理，熟練掌握非負(fù)性是解答的關(guān)鍵.
7．（2022·安徽合肥·合肥38中?？家荒＃┮阎鰽BC的三邊長分別為a，b，c，選擇下列條件中的一個，能判斷△ABC是直角三角形的是（ ）
①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝3：4：5
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】根據(jù)直角三角形的定義，勾股定理的逆定理一一判斷即可．
【詳解】①∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴是直角三角形，
故①是直角三角形；
②∵a2＝（b+c）（b﹣c），
∴a2＝b2﹣c2，
a2+c2＝b2，
故②是直角三角形；
③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝75°，
故③不是直角三角形；
④∵a：b：c＝3：4：5，
∴32+42＝52，
∴a2+b2＝c2，
故④是直角三角形；
是直角三角形的三角形有3個①②④
故選：C．
【點睛】此題考查了勾股定理逆定理的運(yùn)用，判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可，注意數(shù)據(jù)的計算．
題型03 與直角三角形有關(guān)的面積計算
8．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=4，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點D，則圖中陰影部分的面積是（ ）
A．83-4πB．83-2πC．163-8πD．163-4π
【答案】A
【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AC=43，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=4，
∴AB=2BC=8，AC=82-42=43，
∴陰影部分的面積=S△ACB-S扇形ACD=12×4×43-30π?432360=83-4π，
故選：A．
【點睛】本題考查了扇形面積的計算，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，Rt△ABC中，∠A=30°,∠ABC=90°，將Rt△ABC繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'BC'．此時恰好點C在A'C'上，A'B交AC于點E，則△ABE與△ABC的面積之比為（ ）
A．13B．916C．23D．34
【答案】D
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，則△BCC'是等邊三角形，∠CBC'=60°，得出∠BEA=90°，設(shè)CE=α，則BE=3α，AE=3α，求出AEAC=34，可求出答案．
【詳解】∵∠A=30°,∠ABC=90°，
∴∠ACB=60°，
由旋轉(zhuǎn)得：BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，
∴△BCC'是等邊三角形，
∴∠CBC'=60°，
∴∠ABA'=60°，
∴∠BEA=90°，∠CBE=∠A=30°，
設(shè)CE=α，則BC=2α，AC=2BC=4α，
∴由勾股定理得BE=3α，AE=AC-CE=3α，
∴AEAC=34，
∵△ABE與△ABC同高，
∴△ABE與△ABC的面積之比為34．
故選：D．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）如圖，在 Rt△ABC 中， ∠B=90° ， ∠C=30° ，以點 A 為圓心，任意長為半徑作弧，分別交邊 AB ， AC 于點 P ， Q ；再分別以點 P ， Q 為圓心，以大于 12PQ 的長為半徑作弧，兩弧交于點 E ，作射線 AE 交 BC 于點 F .設(shè) △ABF ， △ABC 的面積分別為 S1 ， S2 ，則 S1S2 的值為（ ）
A．12B．13C．13D．14
【答案】B
【分析】根據(jù)作圖過程可知： AF是∠BAC 的平分線，設(shè) BF=x ，在 Rt△ABC 中， ∠B=90° ， ∠C=30° ，則在 Rt△ABF 中， FA=2x，分別表示出S1,S2，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)作圖過程可知： AF是∠BAC 的平分線，
∴∠BAF=∠CAF=12∠BAC ，
∵∠B=90°，∠C=30° ，
∴∠BAC=60°
∴∠BAF=∠CAF=12∠BAC=30° ，
∴∠CAF=∠C=30°
∴FA=FC
設(shè) BF=x ，則在 Rt△ABF 中， FA=2x
∴FC=FA=2x ， BC=BF+FC=x+2x=3x ，
∴S1=12BF·AB=x2·AB ， S2=12BC·AB=3x2·AB ，
∴S1S2=x2·AB3x2·AB=13 ，
故選B．
【點睛】本題考查了角平分線的作圖，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．（2022·浙江金華·統(tǒng)考一模）把一副三角尺如圖所示拼在一起，其中AC邊長是26，則△ACD的面積是（ ）
A．42B．6C．43D．62
【答案】C
【分析】根據(jù)勾股定理得到BC=AC2+AB2=43，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD=33BC＝4，過A作AE⊥CD交DC的延長線于E，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵∠CAB＝90°，∠ACB＝∠ABC＝45°，AC＝26，
∴AC＝AB＝26，
∴BC=AC2+AB2=43，
∵∠BCD＝90°，∠CBD＝30°，
∴CD=33BC＝4，
過A作AE⊥CD交DC的延長線于E，
∴∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝45°，
∴AE2+CE2＝AC2，
∴AE=22AC＝23，
∴△ACD的面積=12CD?AE=12×4×23=43，
故選：C．
【點睛】本題考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
題型04 利用勾股定理求線段長
12．（2021·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測）往直徑為52cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬AB=48cm，則水的最大深度為（ ）
A．8cmB．10cmC．16cmD．20cm
【答案】C
【分析】過點O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，根據(jù)垂徑定理即可求得AD的長，又由⊙O的直徑為52cm，求得OA的長，然后根據(jù)勾股定理，即可求得OD的長，進(jìn)而求得水的最大深度DE的長．
【詳解】解：過點O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，
由垂徑定理得：AD=12AB=12×48=24cm，
∵⊙O的直徑為52cm，
∴OA=OE=26cm，
在RtΔAOD中，由勾股定理得：OD=OA2-AD2=262-242=10cm，
∴DE=OE-OD=26-10=16cm，
∴水的最大深度為16cm，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了垂徑定理的知識．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意輔助線的作法，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決．
13．（2022·云南昆明·官渡六中?？家荒＃┰凇鰽BC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA=35，則AB的長是（ ）
A．5003B．5035C．60D．80
【答案】D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A=BCAC=35，AC=100，
∴BC=100×3÷5=60，
∴AB=AC2-BC2=80，
故選D．
【點睛】本題主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能夠組合得到如圖2所示的四邊形OABC．若OC=5，BC=1，∠AOB=30°，則OA的值為（ ）
A．3B．32C．2D．1
【答案】A
【分析】根據(jù)勾股定理和含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵∠OBC=90°，OC=5，BC=1，
∴OB=OC2-BC2=52-12=2
∵∠A=90°，∠AOB=30°，
∴AB=12OB=1，
∴OA=OB2-AB2=22-12=3，
故選：A．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型05 利用勾股定理求面積
15．（2022·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？家荒＃┤糁苯侨切蔚膬蛇呴L分別是方程x2-7x+12=0的兩根，則該直角三角形的面積是（ ）
A．6B．12C．12或372D．6或372
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，先將方程x2-7x+12=0的兩根求出，然后對兩根分別作為直角三角形的直角邊和斜邊進(jìn)行分情況討論，最終求得該直角三角形的面積即可．
【詳解】解方程x2-7x+12=0得x1=3，x2=4
當(dāng)3和4分別為直角三角形的直角邊時，面積為12×3×4=6；
當(dāng)4為斜邊，3為直角邊時根據(jù)勾股定理得另一直角邊為42-32=7，面積為12×7×3=372；
則該直角三角形的面積是6或372，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角邊斜邊的確定、直角三角形的面積求解，熟練掌握解一元二次方程及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．
16．（2023·河南南陽·統(tǒng)考三模）如圖，在正方形ABCD中，AB=4cm，在等腰直角三角形EFG中，∠FEG=90°，EF=10cm．邊BC與FG在同一直線上．CF=8cm．若正方形ABCD以2cm/s的速度沿直線向右運(yùn)動，經(jīng)過 s，此三角形和正方形重疊部分的面積是4cm2．

【答案】4+2或6+42
【分析】分兩種情況討論，當(dāng)CD交EF于點H和AB交EG于點H時，利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形的面積公式即可求解．
【詳解】解：∵在等腰直角三角形EFG中，
∴∠EFG=45°，
當(dāng)CD交EF于點H時，

∴∠HFC=∠FHC=45°，
∴設(shè)CF=CH=x，
由題意得12x2=4，
解得x=22，即CF=CH=22，
∴點C移動的距離為8+22，
所用時間為8+222=4+2s；
當(dāng)AB交EG于點H時，

∴∠HGB=∠BHG=45°，
同理，得BG=BH=22，
∴CG=4-BG=4-22，
∵在等腰直角三角形EFG中，∠FEG=90°，EF=10cm，
∴FG=2EF=102，
∴點C移動的距離為8+102+4-22=12+82，
所用時間為12+822=6+42s；
故答案為：4+2或6+42．
【點睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)，勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰直角三角形的性質(zhì)．
17．（2023·廣東潮州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，△BED是等腰直角三角形，AC經(jīng)過點E，過點B作BA⊥AC，過點D作DC∥BA，若AC=10，CD=8，求△BDE的面積．

【答案】34
【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)得出BE=DE，∠BED=90°，證明△AEB≌△CDEAAS，由全等三角形的性質(zhì)得出CD=AE，求出CE的長，由三角形面積公式可得出答案．
【詳解】解：∵△BED是等腰直角三角形，
∴BE=DE，∠BED=90°，
∴∠AEB+∠CED=90°，
∵BA⊥AC，
∴∠A=90°，
∴∠AEB+ABE=90°，
∴∠ABE=∠CED，
∵DC∥BA，
∴∠C=180°-∠A=90°=∠A，
∴△AEB≌△CDEAAS，
∴CD=AE，
∵AC=10，CD=8，
∴CE=AC-AE=2，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：DE3=EC2+CD2=68，
∴S△BDE=12DE2=34．
【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△AEB≌△CDE是解題的關(guān)鍵．
題型06 已知兩點坐標(biāo)求兩點距離
18．（2022·廣東中山·校聯(lián)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點（3，﹣2）到原點的距離是 ．
【答案】13
【分析】根據(jù)兩點的距離公式計算求解即可．
【詳解】解：由題意知點（3，﹣2）到原點的距離為3-02+-2-02=13
故答案為：13．
【點睛】本題考查了用勾股定理求解兩點的距離公式．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握距離公式：Ax1,y1、Bx2,y2兩點間的距離公式為AB=x1-x22+y1-y22．
19．（2022·寧夏銀川·銀川市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）閱讀下列一段文字，然后回答下列問題．已知在平面內(nèi)兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其兩點間的距離P1P2=(x1-x2)2+(y1-y2)2，同時，當(dāng)兩點所在的直線在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時，兩點間距離公式可簡化為|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
(1)已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），試求A、B兩點間的距離；
(2)已知A、B在平行于y軸的直線上，點A的縱坐標(biāo)為4，點B的縱坐標(biāo)為﹣1，試求A、B兩點間的距離；
(3)已知一個三角形各頂點坐標(biāo)為D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形狀嗎？說明理由．
【答案】(1)AB＝13
(2)AB＝5
(3)△DEF是等腰三角形，理由見解析
【分析】(1)直接套公式(x1-x2)2+(y1-y2)2即可求解；
(2)根據(jù)題干中“當(dāng)兩點所在的直線平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時，兩點間距離公式可簡化為|x2﹣x1|或|y2﹣y1|”即可求解；
(3)套公式(x1-x2)2+(y1-y2)2求出三角形三邊的長度即可求解．
【詳解】（1）解：由題意可知A、B兩點間的距離為(2+3)2+(4+8)2=13，
故A、B兩點間的距離為13．
（2）解：由題意可知，直線AB平行y軸，
∴A、B兩點之間的距離為4-(-1)=5．
（3）解：△DEF是等腰三角形，理由如下：
DE=(-2-1)2+(2-6)2=5，
EF=(4+2)2+(2-2)2=6，
DF=(4-1)2+(2-6)2=5，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等腰三角形．
【點睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中兩點之間距離的求法，其本質(zhì)是勾股定理的應(yīng)用，讀懂題意即可求解．
題型07 判斷勾股數(shù)問題
20．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？既＃┕垂啥ɡ碜钤绯霈F(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，我國古代把直角三角形的直角邊中較小者稱為“勾”，另一長直角邊稱為“股”，把斜邊稱為“弦”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25 ；…，這類勾股數(shù)的特點是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17； …，若此類勾股數(shù)的勾為10 ，則其弦是 ．
【答案】26
【分析】根據(jù)規(guī)律可得，如果a,b,c是符合同樣規(guī)律的一組勾股數(shù)，a=m（m為偶數(shù)且m≥4），根據(jù)所給的二組數(shù)找規(guī)律可得結(jié)論．
【詳解】根據(jù)規(guī)律可得，如果a,b,c是符合同樣規(guī)律的一組勾股數(shù)，a=m （m為偶數(shù)且m≥4 ），則另一條直角邊b=m22-1 ，弦c=m22+1 ．
則弦為1022+1=26，
故答案為：26．
【點睛】此題主要考查了勾股數(shù)的定義，數(shù)字類的規(guī)律問題，得出規(guī)律是解題關(guān)鍵．
21．（2022·河北石家莊·校聯(lián)考三模）已知：整式A=n2+1，B=2n，C=n2-1，整式C>0．
(1)當(dāng)n=1999時，寫出整式A+B的值______（用科學(xué)記數(shù)法表示結(jié)果）；
(2)求整式A2-B2；
(3)嘉淇發(fā)現(xiàn)：當(dāng)n取正整數(shù)時，整式A、B、C滿足一組勾股數(shù)，你認(rèn)為嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請說明理由．
【答案】(1)4×106
(2)(n2-1)2
(3)正確，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)題意可得，A+B=n2+1+2n=n+12，把n=1999代入計算應(yīng)用科學(xué)記數(shù)法表示方法進(jìn)行計算即可得出答案；
（2）把A=n2+1，B=2n，代入A2-B2中，可得n2+12-2n2，應(yīng)用完全平方公式及因式分解的方法進(jìn)行計算即可得出答案；
（3）先計算B2+C2=2n2+n2-12，計算可得n2+12，應(yīng)用勾股定理的逆定理即可得出答案．
【詳解】（1）解：A+B=n2+1+2n=n+12，
當(dāng)n=1999時，
原式=1999+12
=20002
=4×106；
故答案為：4×106；
（2）A2-B2=n2+12-2n2
=n22+2n2+1-4n2
=n22-2n2+1
=(n2-1)2；
（3）嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確，理由如下：
∵B2+C2=2n2+n2-12
=4n2+n22-2n2+1
=n2+12，
∴B2+C2=A2，
∴當(dāng)n取正整數(shù)時，整式A、B、C滿足一組勾股數(shù)．
【點睛】本題主要考查了勾股定理及逆定理，科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握勾股定理及逆定理，科學(xué)記數(shù)法的計算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
22．（2019·安徽馬鞍山·校聯(lián)考二模）若正整數(shù)a，b，c（a＜b＜c）滿足a2+b2＝c2，則稱（a，b，c）為一組“勾股數(shù)”．
觀察下列兩類“勾股數(shù)”：
第一類（a是奇數(shù)）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…
第二類（a是偶數(shù)）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…
（1）請再寫出兩組勾股數(shù)，每類各寫一組；
（2）分別就a為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情形，用a表示b和c，并選擇其中一種情形證明（a，b，c）是“勾股數(shù)”．
【答案】（1）第一組（a是奇數(shù)）：9，40，41（答案不唯一）；第二組（a是偶數(shù)）：12，35，37（答案不唯一）；（2）當(dāng)a為奇數(shù)時，b=a2-12，c=a2+12；當(dāng)a為偶數(shù)時，b=a24-1，c=a24+1；證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)勾股數(shù)的定義即可得到結(jié)論；
（2）當(dāng)a為奇數(shù)時，當(dāng)a為偶數(shù)時，根據(jù)勾股數(shù)的定義即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）第一組（a是奇數(shù)）：9，40，41（答案不唯一）；
第二組（a是偶數(shù)）：12，35，37（答案不唯一）；
（2）當(dāng)a為奇數(shù)時，b=a2-12，c=a2+12；
當(dāng)a為偶數(shù)時，b=a24-1，c=a24+1；
證明：當(dāng)a為奇數(shù)時，a2+b2＝a2+a2-122=a2+122=c2，
∴（a，b，c）是“勾股數(shù)”．
當(dāng)a為偶數(shù)時，a2+b2＝a2+a24-12=a24+12=c2
∴（a，b，c）是“勾股數(shù)”
【點睛】本題考查了勾股數(shù)，數(shù)字的變化類﹣規(guī)律型，讀懂表格，從表格中獲取有用信息進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
題型08 勾股定理與網(wǎng)格問題
23．（2020·山東聊城·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點都在這些小正方形的頂點上，那么sin∠ACB的值為（ ）．
A．355B．175C．35D．45
【答案】D
【分析】過點A作AD⊥BC于點D，在Rt△ACD中，利用勾股定理求得線段AC的長，再按照正弦函數(shù)的定義計算即可．
【詳解】解：如圖，過點A作AD⊥BC于點D，則∠ADC=90°，
∴AC=AD2+CD2=5，
∴sin∠ACB=ADAC=45，
故選：D．
【點睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用以及銳角三角函數(shù)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
24．（2022·陜西西安·交大附中分校校考模擬預(yù)測）如圖，在9×5的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，若BD是∠ABC的平分線，則BD的長為（ ）
A．102B．10C．3102D．310
【答案】A
【分析】利用勾股定理求出AB、BC、AC的長，可得△ABC為等腰三角形，利用等腰三角形三線合一可得AD的值，繼續(xù)用勾股定理即可求出BD的值．
【詳解】解：由題可知，AB=5，BC=32+42=5，AC=92+32=310，
∴ AB=BC，
又∵ BD平分∠ABC，
∴ AD=12AC=3102，且BD⊥AC,即三角形ABD是直角三角形，
∴ BD=AB2-AD2=52-(3102)2=102．
故選：A．
【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的三線合一，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．
題型09 勾股定理與無理數(shù)
25．（2020·河南·模擬預(yù)測）小明學(xué)了在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點的方法后，進(jìn)行練習(xí)：首先畫數(shù)軸，原點為O，在數(shù)軸上找到表示數(shù)2的點A，然后過點A作AB⊥OA，使AB=3(如圖)．以O(shè)為圓心，OB的長為半徑作弧，交數(shù)軸正半軸于點P，則點P所表示的數(shù)介于( )
A．1和2之間B．2和3之間C．3和4之間D．4和5之間
【答案】C
【分析】利用勾股定理求出AB的長，再根據(jù)無理數(shù)的估算即可求得答案.
【詳解】由作法過程可知，OA=2，AB=3，
∵∠OAB=90°，
∴OB=OA2+AB2=22+32=13，
∴P點所表示的數(shù)就是13，
∵9∠DACB．∠BAC

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