第1講視圖與投影
本單元內(nèi)容以考查幾何體的三視圖和正方體的展開(kāi)圖為主,年年都會(huì)考查,是廣大考生的得分點(diǎn),分值為3分，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將出現(xiàn),并且在選擇題出現(xiàn)的可能性較大，由幾何體得三視圖,或由三視困還原幾何體、正方體的展開(kāi)圖、最小距離問(wèn)題等,題目簡(jiǎn)單,容易得分.
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考向一投影
考向二三視圖
第1講視圖與投影
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一、投影
1．投影：在光線的照射下，空間中的物體落在平面內(nèi)的影子能夠反映出該物體的形狀和大小，這種現(xiàn)象叫做投影現(xiàn)象．影子所在的平面稱為投影面．
2．平行投影、中心投影、正投影
（1）中心投影：在點(diǎn)光源下形成的物體的投影叫做中心投影，點(diǎn)光源叫做投影中心．
【注意】燈光下的影子為中心投影，影子在物體背對(duì)光的一側(cè)．等高的物體垂直于地面放置時(shí)，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體的影子長(zhǎng)．
（2）平行投影：投射線相互平行的投影稱為平行投影．
【注意】陽(yáng)光下的影子為平行投影，在平行投影下，同一時(shí)刻兩物體的影子在同一方向上，并且物高與影長(zhǎng)成正比．
（3）正投影：投射線與投影面垂直時(shí)的平行投影，叫做正投影．
二、視圖
1．視圖：由于可以用視線代替投影線，所以物體的正投影通常也稱為物體的視圖．
2．三視圖：1）主視圖：從正面看得到的視圖叫做主視圖．2）左視圖：從左面看得到的視圖叫做左視圖．
3）俯視圖：從上面看得到的視圖叫做俯視圖．
【注意】在三種視圖中，主視圖反映物體的長(zhǎng)和高，左視圖反映了物體的寬和高，俯視圖反映了物體的長(zhǎng)和寬．
3．三視圖的畫(huà)法
1）畫(huà)三視圖要注意三要素：主視圖與俯視圖長(zhǎng)度相等；主視圖與左視圖高度相等；左視圖與俯視圖寬度相等．簡(jiǎn)記為“主俯長(zhǎng)對(duì)正，主左高平齊，左俯寬相等”．
2）注意實(shí)線與虛線的區(qū)別：能看到的線用實(shí)線，看不到的線用虛線．
三、幾何體的展開(kāi)與折疊
1．常見(jiàn)幾何體的展開(kāi)圖
2．正方體的展開(kāi)圖
正方體有11種展開(kāi)圖，分為四類(lèi)：
第一類(lèi)，中間四連方，兩側(cè)各有一個(gè)，共6種，如下圖：
第二類(lèi)，中間三連方，兩側(cè)各有一、二個(gè)，共3種，如下圖：

第三類(lèi)，中間二連方，兩側(cè)各有二個(gè)，只有1種，如圖10；
第四類(lèi)，兩排各有三個(gè)，也只有1種，如圖11．
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考向一視圖
1．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）下列立體圖形中，主視圖是圓的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分別得出棱柱，圓柱，圓錐，球體的主視圖，得出結(jié)論．
【詳解】解：棱柱的主視圖是矩形（中間只有一條線段），不符合題意；
圓柱的主視圖是矩形，不符合題意；
圓錐的主視圖是等腰三角形，不符合題意；
球體的主視圖是圓，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識(shí)，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．
2．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）下圖是一個(gè)多面體的表面展開(kāi)圖，每個(gè)面都標(biāo)注了數(shù)字．若多面體的底面是面③，則多面體的上面是（ ）

A．面①B．面②C．面⑤D．面⑥
【答案】C
【分析】根據(jù)底面與多面體的上面是相對(duì)面，則形狀相等，間隔1個(gè)長(zhǎng)方形，且沒(méi)有公共頂點(diǎn)，即可求解．
【詳解】解：依題意，多面體的底面是面③，則多面體的上面是面⑤，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體的表面展開(kāi)圖，熟練掌握基本幾何體的展開(kāi)圖是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）幾個(gè)大小相同的小正方體搭成幾何體的俯視圖如圖所示，圖中小正方形中數(shù)字表示對(duì)應(yīng)位置小正方體的個(gè)數(shù)，該幾何體的主視圖是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)各層小正方體的個(gè)數(shù)，然后得出三視圖中主視圖的形狀，即可得出答案．
【詳解】解：根據(jù)俯視圖可知，這個(gè)幾何體中：主視圖有三列：左邊一列1個(gè)，中間一列2個(gè)，右邊一列2個(gè)，
所以該幾何體的主視圖是

故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了學(xué)生對(duì)三視圖掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)空間想象能力方面的考查，熟練掌握三視圖的判斷方法是解題關(guān)鍵．
4．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考中考真題）圖①是2023年6月11日吉林市全程馬拉松男子組頒獎(jiǎng)現(xiàn)場(chǎng)．圖②是領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的示意圖，則此領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的主視圖是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】主視圖是從幾何體正面觀察到的視圖．
【詳解】解：領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)從正面看，是由三個(gè)矩形組成的．三個(gè)矩形，右邊最低，中間最高，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查主視圖，掌握三視圖的特征是解題關(guān)鍵．
5．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖是一個(gè)正方體，被切去一角，則其左視圖是（ ）

A．B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)左視圖的意義判斷即可．
【詳解】根據(jù)題意，該幾何體的左視圖為：
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的畫(huà)法，熟練掌握三視圖的空間意義是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，若幾何體是由六個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體組合而成的，則該幾何體左視圖的面積是（ ）

A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】首先確定該幾何體左視圖的小正方形數(shù)量，然后求解面積即可．
【詳解】解：該幾何體左視圖分上下兩層，其中下層有3個(gè)小正方形，上層中間有1個(gè)正方形，共計(jì)4個(gè)小正方形，
∵小正方體的棱長(zhǎng)為1，
∴該幾何體左視圖的面積為4，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖，理解左視圖即為從左邊看到的圖形是解題關(guān)鍵．
7．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）北宋時(shí)期的汝官窯天藍(lán)釉刻花鵝頸瓶是河南博物院九大鎮(zhèn)院之寶之一，具有極高的歷史價(jià)值、文化價(jià)值．如圖所示，關(guān)于它的三視圖，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．主視圖與左視圖相同B．主視圖與俯視圖相同
C．左視圖與俯視圖相同D．三種視圖都相同
【答案】A
【分析】直接利用已知幾何體分別得出三視圖進(jìn)而分析得出答案．
【詳解】解：這個(gè)花鵝頸瓶的主視圖與左視圖相同，俯視圖與主視圖和左視圖不相同．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，掌握三視圖的概念是解題關(guān)鍵．
8．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)幾何體由若干大小相同的小正方體組成，它的俯視圖和左視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個(gè)數(shù)最少為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】在“俯視打地基”的前提下，結(jié)合左視圖知俯視圖上一行三個(gè)小正方體的上方（第2層）至少還有1個(gè)正方體，據(jù)此可得答案.
【詳解】解：由俯視圖與左視圖知，該幾何體所需小正方體個(gè)數(shù)最少分布情況如下圖所示：
所以組成該幾何體所需小正方體的個(gè)數(shù)最少為5，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，解題的關(guān)鍵是掌握口訣“俯視打地基，主視瘋狂蓋，左視拆違章”．
9．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的幾何體中，主視圖是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)主視圖是從正面看得到的圖形解答即可．
【詳解】解：從正面看看到的是
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識(shí)，屬于簡(jiǎn)單題，熟知主視圖是從物體的正面看得到的視圖是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)幾何體的三視圖如下，則這個(gè)幾何體的表面積是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)三視圖還原出幾何體，再利用圓錐的側(cè)面積公式和圓柱的側(cè)面積公式計(jì)算即可．
【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體上面是底面直徑為6，母線為4的圓錐，下面是底面直徑為6，高為4的圓柱，該幾何體的表面積為：
．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖以及圓錐的側(cè)面積公式和圓柱的側(cè)面積公式，根據(jù)三視圖還原出幾何體是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
11．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）觀察如圖所示的幾何體，下列關(guān)于其三視圖的說(shuō)法正確的是（ ）

A．主視圖既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形
B．左視圖既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形
C．俯視圖既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形
D．主視圖、左視圖、俯視圖都是中心對(duì)稱圖形
【答案】C
【分析】先判斷該幾何體的三視圖，再根據(jù)軸對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形定義逐項(xiàng)判斷三視圖，即可求出答案.
【詳解】解：A選項(xiàng)：主視圖是上下兩個(gè)等腰三角形，不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；
B選項(xiàng)：左視圖是上下兩個(gè)等腰三角形，不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；
C選項(xiàng)：俯視圖是圓（帶圓心），既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，故符合題意；
D選項(xiàng)：由A和B選項(xiàng)可知，主視圖和左視圖都不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖、軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵在于掌握軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的定義. 如果一個(gè)平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱是指把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱.
12．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖所示幾何體的主視圖是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】從正面看到的平面圖形是主視圖，根據(jù)主視圖的含義可得答案．
【詳解】解：如圖所示的幾何體的主視圖如下：

故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了三視圖；用到的知識(shí)點(diǎn)為：主視圖，左視圖，俯視圖分別是從物體的正面，左面，上面看得到的圖形．
13．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）下列幾何體中，其三視圖的主視圖和左視圖都為三角形的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)三視圖的意義判斷即可．
【詳解】A. 主視圖和左視圖都為長(zhǎng)方形，不符合題意；
B. 主視圖和左視圖都為長(zhǎng)方形，不符合題意；
C. 主視圖和左視圖都為長(zhǎng)方形，不符合題意；
D. 主視圖和左視圖都為三角形，符合題意，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖，熟練掌握三視圖的意義是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，對(duì)正方體進(jìn)行兩次切割，得到如圖⑤所示的幾何體，則圖⑤幾何體的俯視圖為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)俯視圖的定義，即可進(jìn)行解答．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：從該幾何體正上方看，棱的投影為點(diǎn)E，棱的投影為線段，棱的投影為線段，棱的投影為正方形的對(duì)角線，

∴該幾何體的俯視圖為：
，
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了俯視圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握俯視圖的定義：從物體正上方看到的圖形是俯視圖．
15．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）生活中一些常見(jiàn)的物體可以抽象成立體圖形，以下立體圖形中三視圖形狀相同的可能是（ ）

A．正方體B．圓錐C．圓柱D．四棱錐
【答案】A
【分析】根據(jù)幾何體的三視圖形狀判定即可．
【詳解】A. 正方體的三視圖都是正方形，符合題意；
B.圓錐的主視圖是等腰三角形，左視圖是等腰三角形，俯視圖是圓（帶圓心），不符合題意；
C. 圓柱的主視圖是矩形，左視圖是矩形，俯視圖是圓，不符合題意；
D. 四棱錐主視圖是三角形，左視圖是三角形，俯視圖是四邊形，不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖，熟練掌握三視圖是解題的關(guān)鍵．
考向二投影
16．（2020·貴州貴陽(yáng)市·中考真題）在下列四幅圖形中，能表示兩棵小樹(shù)在同一時(shí)刻陽(yáng)光下影子的圖形的可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)太陽(yáng)光下的影子的特點(diǎn)：（1）同一時(shí)刻，太陽(yáng)光下的影子都在同一方向；（2）太陽(yáng)光線是平行的，太陽(yáng)光下的影子與物體高度成比例，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】選項(xiàng)A、B中，兩棵小樹(shù)的影子的方向相反，不可能為同一時(shí)刻陽(yáng)光下的影子，則選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤
選項(xiàng)C中，樹(shù)高與影長(zhǎng)成反比，不可能為同一時(shí)刻陽(yáng)光下的影子，則選項(xiàng)C錯(cuò)誤
選項(xiàng)D中，在同一時(shí)刻陽(yáng)光下，影子都在同一方向，且樹(shù)高與影長(zhǎng)成正比，則選項(xiàng)D正確故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了太陽(yáng)光下的影子的特點(diǎn)，掌握太陽(yáng)光下的影子的特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
17．（2020·廣西南寧市·中考模擬）把一個(gè)正六棱柱如圖擺放，光線由上向下照射此正六棱柱時(shí)的正投影是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根據(jù)平行投影特點(diǎn)以及圖中正六棱柱的擺放位置即可求解．
把一個(gè)正六棱柱如圖擺放，光線由上向下照射此正六棱柱時(shí)的正投影是正六邊形．
考點(diǎn)：平行投影．
18．（2020·湖南湘潭市·中考模擬）如圖，從左面看圓柱，則圖中圓柱的投影是（ ）
A．圓B．矩形C．梯形D．圓柱
【答案】B
【解析】如圖所示圓柱從左面看是矩形，故選B．
19．（2020·安徽淮南市·九年級(jí)其他模擬）下列現(xiàn)象不屬于投影的是（ ）
A．皮影B．素描畫(huà)C．手影D．樹(shù)影
【答案】B
【分析】根據(jù)投影的概念，皮影、樹(shù)影、手影都是由光線照射形成的，都是投影，而素描畫(huà)不滿足，不是投影，即可得到答案．
【詳解】根據(jù)平行投影的概念可知，素描畫(huà)不是光線照射形成的，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了投影的概念，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
20．（2020·吉林長(zhǎng)春市·）小華家客廳有一張直徑為高為的圓桌有一盞燈到地面垂直距離為圓桌的影子為，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為_(kāi)______．
【答案】4
【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴=.
∵AB=1.2，∴CD=2.又∵FC=2,∴DF=CD+FC=2+2=4．故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了中心投影，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
21．（2020·深圳市龍崗區(qū)南灣街道沙灣中學(xué)九年級(jí)其他模擬）如圖，小明在A時(shí)測(cè)得旗桿的影長(zhǎng)是2米，B時(shí)測(cè)得旗桿的影長(zhǎng)是8米，兩次的日照光線恰好互相垂直，則旗桿的高度是______米．
【答案】4
【分析】如圖，∠CPD=90°，QC=2m，QD=8m，利用等角的余角相等得到∠QPC=∠D，則可判斷Rt△PCQ∽R(shí)t△DPQ，然后利用相似比可計(jì)算出PQ．
【詳解】解：如圖，∠CPD=90°，QC=2m，QD=8m，
∵PQ⊥CD，∴∠PQC=90°，∴∠C+∠QPC=90°，
而∠C+∠D=90°，∴∠QPC=∠D，∴Rt△PCQ∽R(shí)t△DPQ，∴即，
∴PQ=4，即旗桿的高度為4m．故答案為4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，也考查了平行投影，找準(zhǔn)相似三角形是解答此題的關(guān)鍵．
22．（2022·浙江溫州·中考真題）如圖是某風(fēng)車(chē)示意圖，其相同的四個(gè)葉片均勻分布，水平地面上的點(diǎn)M在旋轉(zhuǎn)中心O的正下方．某一時(shí)刻，太陽(yáng)光線恰好垂直照射葉片，此時(shí)各葉片影子在點(diǎn)M右側(cè)成線段，測(cè)得，垂直于地面的木棒與影子的比為2∶3，則點(diǎn)O，M之間的距離等于___________米．轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，葉片外端離地面的最大高度等于___________米．
【答案】 10
【分析】過(guò)點(diǎn)O作AC、BD的平行線，交CD于H，過(guò)點(diǎn)O作水平線OJ交BD于點(diǎn)J，過(guò)點(diǎn)B作BI⊥OJ，垂足為I，延長(zhǎng)MO，使得OK＝OB，求出CH的長(zhǎng)度，根據(jù)，求出OM的長(zhǎng)度，證明，得出，，求出IJ、BI、OI的長(zhǎng)度，用勾股定理求出OB的長(zhǎng)，即可算出所求長(zhǎng)度．
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)O作AC、BD的平行線，交CD于H，過(guò)點(diǎn)O作水平線OJ交BD于點(diǎn)J，過(guò)點(diǎn)B作BI⊥OJ，垂足為I，延長(zhǎng)MO，使得OK＝OB，由題意可知，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，
∵，∴點(diǎn)H是CD的中點(diǎn)，
∵，∴，
∴，
又∵由題意可知：，∴，解得，
∴點(diǎn)O、M之間的距離等于，
∵BI⊥OJ，∴，
∵由題意可知：，
又∵，∴，
∴，∴，∴，，
∵，∴四邊形IHDJ是平行四邊形，∴，
∵，∴，，，
∵在中，由勾股定理得：，
∴，∴，
∴，
∴葉片外端離地面的最大高度等于，故答案為：10，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了投影和相似的應(yīng)用，及勾股定理和平行四邊形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
23．（2022·浙江杭州·中考真題）某項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組為了測(cè)量直立在水平地面上的旗桿AB的高度，把標(biāo)桿DE直立在同一水平地面上（如圖）．同一時(shí)刻測(cè)得旗桿和標(biāo)桿在太陽(yáng)光下的影長(zhǎng)分別是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F(xiàn)在同一直線上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，則AB=_________m．
【答案】9.88
【分析】根據(jù)平行投影得AC∥DE，可得∠ACB=∠DFE，證明Rt△ABC∽△Rt△DEF，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵同一時(shí)刻測(cè)得旗桿和標(biāo)桿在太陽(yáng)光下的影長(zhǎng)分別是BC=8.72m，EF=2.18m．
∴AC∥DE，∴∠ACB=∠DFE，
∵AB⊥BC，DE⊥EF，∴∠ABC=∠DEF=90°，∴Rt△ABC∽△Rt△DEF，
∴，即，解得AB=9.88，
∴旗桿的高度為9.88m．故答案為：9.88．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽(yáng)光的照射下形成的影子就是平行投影．證明Rt△ABC∽△Rt△DEF是解題的關(guān)鍵．幾何體
立體圖形
表面展開(kāi)圖
側(cè)面展開(kāi)圖
圓柱
圓錐
三棱柱

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