第2講圖形的對稱、平移、旋轉(zhuǎn)與位似
(含圖形的運(yùn)動(dòng)與坐標(biāo)）
該板塊知識以考查平面幾何的三大變換的基本運(yùn)用為主.年年都有考查，分值在8-10分左右。預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查這些知識點(diǎn)，考查形式主要有選填題、作圖題、也可能綜合題結(jié)合出現(xiàn)。這三大變換貫穿于初中所學(xué)的平面幾何之中，利用平移、旋轉(zhuǎn)、對稱能解決三角形、四邊形、圓、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)等問題,利用變換在解決問題時(shí)往往能起到化繁為簡的功效，激活思維，讓人茅塞頓開.
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考向一平移
考向二對稱
考向三旋轉(zhuǎn)
考向四位似
第2講圖形的對稱、平移、旋轉(zhuǎn)與位似
(含圖形的運(yùn)動(dòng)與坐標(biāo)）
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一、軸對稱圖形與軸對稱
1．常見的軸對稱圖形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓．
2．折疊的性質(zhì):折疊的實(shí)質(zhì)是軸對稱，折疊前后的兩圖形全等，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．
【注意】凡是在幾何圖形中出現(xiàn)“折疊”這個(gè)字眼時(shí)，第一反應(yīng)即存在一組全等圖形，其次找出與要求幾何量相關(guān)的條件量．解決折疊問題時(shí)，首先清楚折疊和軸對稱能夠提供我們隱含的且可利用的條件，分析角之間、線段之間的關(guān)系，借助勾股定理建立關(guān)系式求出答案，所求問題具有不確定性時(shí)，常常采用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．
3．作某點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)的一般步驟
1）過已知點(diǎn)作已知直線（對稱軸）的垂線，標(biāo)出垂足；2）在這條直線另一側(cè)從垂足除法截取與已知點(diǎn)到垂足的距離相等的線段，那么截點(diǎn)就是這點(diǎn)關(guān)于該直線的對稱點(diǎn)．
4．作已知圖形關(guān)于某直線的對稱圖形的一般步驟
1）作出圖形的關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn)；
2）把這些對稱點(diǎn)順次連接起來，就形成了一個(gè)符合條件的對稱圖形．
二、圖形的平移
1．定義：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形由一個(gè)位置沿某個(gè)方向移動(dòng)到另一個(gè)位置，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做平移．平移不改變圖形的形狀和大?。?br>2．三大要素： 一是平移的起點(diǎn)，二是平移的方向，三是平移的距離．
3．性質(zhì)：
1）平移前后，對應(yīng)線段平行且相等、對應(yīng)角相等；2）各對應(yīng)點(diǎn)所連接的線段平行(或在同一條直線上)且相等；3）平移前后的圖形全等．
4．作圖步驟：
1）根據(jù)題意，確定平移的方向和平移的距離；2）找出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；3）按平移方向和平移距離平移各個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，得到各關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；4）按原圖形依次連接對應(yīng)點(diǎn)，得到平移后的圖形．
三、圖形的旋轉(zhuǎn)
1．定義：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向(順時(shí)針或逆時(shí)針)轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫旋轉(zhuǎn)．這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)過的這個(gè)角叫做旋轉(zhuǎn)角．
2．三大要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度．
3．性質(zhì)：
1）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；2）每對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；
3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等．
4．作圖步驟：1）根據(jù)題意，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角；2）找出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；3）連接關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心，按旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角將它們旋轉(zhuǎn)，得到各關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；4）按原圖形依次連接對應(yīng)點(diǎn)，得到旋轉(zhuǎn)后的圖形．
【注意】旋轉(zhuǎn)是一種全等變換，旋轉(zhuǎn)改變的是圖形的位置，圖形的大小關(guān)系不發(fā)生改變，所以在解答有關(guān)旋轉(zhuǎn)的問題時(shí)，要注意挖掘相等線段、角，因此特殊三角形性質(zhì)的運(yùn)用、銳角三角函數(shù)建立的邊角關(guān)系起著關(guān)鍵的作用．
四、中心對稱圖形與中心對稱
常見的中心對稱圖形
平行四邊形、矩形、菱形、正方形、正六邊形、圓等．
注意：圖形的“對稱”“平移”“旋轉(zhuǎn)”這些變化,是圖形運(yùn)動(dòng)及延伸的重要途徑,研究這些變換中的圖形的“不變性”或“變化規(guī)律”.
五、位似圖形
1．定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形而且每組對應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行（或在同一條直線上），那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，相似比叫做位似比．
2．性質(zhì)：1）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或–k；2）位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比或相似比．
3．找位似中心的方法：將兩個(gè)圖形的各組對應(yīng)點(diǎn)連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即是位似中心．
4．畫位似圖形的步驟：1）確定位似中心；2）確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；3）確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數(shù)；4）作出原圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；5）按原圖形的連接順序連接所作的各個(gè)對應(yīng)點(diǎn)．
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考向一平移
1．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，將沿向右平移得到，若，，則的長是（ ）

A．2B．C．3D．5
2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．點(diǎn)F是中點(diǎn)，連接，把線段沿射線方向平移到，點(diǎn)D在上．則線段在平移過程中掃過區(qū)域形成的四邊形的周長和面積分別是( )

A．16，6B．18，18C．16.12D．12，16
考向二對稱
3．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，各點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．先作關(guān)于x軸成軸對稱的，再把平移后得到．若，則點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）

A．B．C．D．
4．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．

(1)畫出線段關(guān)于直線對稱的線段；
(2)將線段向左平移2個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，得到線段，畫出線段；
(3)描出線段上的點(diǎn)及直線上的點(diǎn)，使得直線垂直平分．
5．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）將邊長為2的正方形剪成四個(gè)全等的直角三角形，用這四個(gè)直角三角形拼成符合要求的四邊形，請?jiān)谙铝芯W(wǎng)格中畫出你拼成的四邊形（注：①網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長為1；②所拼的圖形不得與原圖形相同；③四邊形的各頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．

考向三旋轉(zhuǎn)
6．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）銀杏是著名的活化石植物，其葉有細(xì)長的葉柄，呈扇形．如圖是一片銀杏葉標(biāo)本，葉片上兩點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為，將銀杏葉繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，葉柄上點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為___________．

7．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，交于F．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D恰好落在上，此時(shí)等于（ ）

A．B．C．D．
8．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，和是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，把以為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)為射線、的交點(diǎn)．若，．以下結(jié)論：
①；②；
③當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，；
④在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)線段最短時(shí)，的面積為．
其中正確結(jié)論有（ ）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
9．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）以正五邊形的頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得新五邊形的頂點(diǎn)落在直線上，則正五邊旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少為______°．
10．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的平分線，且，將四邊形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，得到四邊形，且，則四邊形旋轉(zhuǎn)的角度是______．

11．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（）得到，連接，．當(dāng)為直角三角形時(shí)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為_______．

12．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，若點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在線段上，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長是___________cm（結(jié)果用含的式子表示）．

13．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在中、，于點(diǎn)M，D是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，C重合），將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，求證：D是的中點(diǎn)；
(2)如圖2，若在線段上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B，M重合）滿足，連接，，直接寫出的大小，并證明．
考向四位似
14．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）在方格圖中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，格點(diǎn)成位似關(guān)系，則位似中心的坐標(biāo)為（ ）

A．B．C．D．
15．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，現(xiàn)以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與的位似比為2的位似圖形，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）

A．B．C．D．
16．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與位似，原點(diǎn)O是位似中心，且．若，則點(diǎn)的坐標(biāo)是___________．

17．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，點(diǎn)在線段上．若，則和的周長之比為__________．
軸對稱圖形
軸對稱
圖
形
定
義
如果一個(gè)圖形沿著某條直線對折后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸
如果兩個(gè)圖形對折后，這兩個(gè)圖形能夠完全重合，那么我們就說這兩個(gè)圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸
性
質(zhì)
對應(yīng)線段相等
AB=AC
AB=A′B′，BC=B′C′，
AC=A′C′
對應(yīng)角相等
∠B=∠C
∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∠C=∠C′
對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分
區(qū)
別
(1)軸對稱圖形是一個(gè)具有特殊形狀的圖形，只對一個(gè)圖形而言；
(2)對稱軸不一定只有一條
(1)軸對稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，必須涉及兩個(gè)圖形；
(2)只有一條對稱軸
關(guān)
系
(1)沿對稱軸對折，兩部分重合；
(2)如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成“兩個(gè)圖形”，那么這“兩個(gè)圖形”就關(guān)于這條直線成軸對稱
(1)沿對稱軸翻折，兩個(gè)圖形重合；(2)如果把兩個(gè)成軸對稱的圖形拼在一起，看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對稱圖形
中心對稱圖形
中心對稱
圖
形
定
義
如果一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能與它自身重合，我們就把這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對稱中心
如果一個(gè)圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與另一個(gè)圖形重合，我們就把這兩個(gè)圖形叫做成中心對稱
性
質(zhì)
對應(yīng)點(diǎn)
點(diǎn)A與點(diǎn)C，點(diǎn)B與點(diǎn)D
點(diǎn)A與點(diǎn)A′，點(diǎn)B與點(diǎn)B′，點(diǎn)C與點(diǎn)C′
對應(yīng)線段
AB=CD，
AD=BC
AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′
對應(yīng)角
∠A=∠C
∠B=∠D
∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
區(qū)
別
中心對稱圖形是指具有某種特性的一個(gè)圖形
中心對稱是指兩個(gè)圖形的關(guān)系
聯(lián)
系
把中心對稱圖形的兩個(gè)部分看成“兩個(gè)圖形”，則這“兩個(gè)圖形”成中心對稱
把成中心對稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)“整體”，則“整體”成為中心對稱圖形

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