A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】對(duì)于A，的未知數(shù)的最高次數(shù)是2次，不是一元一次方程，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，符合一元一次方程的定義，故B正確；
對(duì)于C，是二元一次方程，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，分母中含有未知數(shù)，是分式方程，故D錯(cuò)誤．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程，解答此題明確一元一次方程的定義是關(guān)鍵．一元一次方程是指只含有一個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程就叫做一元一次方程.據(jù)此逐項(xiàng)分析再選擇即可．
2．（2019·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）關(guān)于的方程如果是一元一次方程，則其解為_____．
【答案】或或x=-3．
【分析】利用一元一次方程的定義判斷即可．
【解析】解：關(guān)于x的方程如果是一元一次方程，
，即或，方程為或，
解得：或，當(dāng)2m-1=0，即m=時(shí)，方程為解得：x=-3，
故答案為x=2或x=-2或x=-3．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的定義是解本題的關(guān)鍵．
3．（2019·四川南充·中考真題）關(guān)于的一元一次方程的解為，則的值為（ ）
A．9B．8C．5D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)一元一次方程的概念和其解的概念解答即可．
【解析】解：因?yàn)殛P(guān)于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解為x=1，
可得：a-2=1，2+m=4，解得：a=3，m=2，所以a+m=3+2=5，故選C．
【點(diǎn)睛】此題考查一元一次方程的定義，關(guān)鍵是根據(jù)一元一次方程的概念和其解的概念解答．
4．（2021·安徽）設(shè)a，b，c為互不相等的實(shí)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
舉反例可判斷A和B，將式子整理可判斷C和D．
【詳解】
解：A．當(dāng)，，時(shí)，，故A錯(cuò)誤；
B．當(dāng)，，時(shí)，，故B錯(cuò)誤；
C．整理可得，故C錯(cuò)誤；
D．整理可得，故D正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查等式的性質(zhì)，掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型二 解一元一次方程
類型一 解方程
5．（2020·四川涼山·中考真題）解方程：
【答案】
【分析】去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，依此即可求解．
【解析】解：

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對(duì)方程的特點(diǎn)，靈活應(yīng)用，各種步驟都是為使方程逐漸向x＝a形式轉(zhuǎn)化．
6．（2020?涼山州）解方程：x?x?22=1+2x?13．
【分析】根據(jù)解一元一次方程的步驟解答即可．
【解析】去分母，得：6x﹣3（x﹣2）＝6+2（2x﹣1），
去括號(hào)，得：6x﹣3x+6＝6+4x﹣2，
移項(xiàng)，得：6x﹣3x﹣4x＝6﹣6﹣2，
合并同類項(xiàng)，得：﹣x＝﹣2，
系數(shù)化為1，得：x＝2．
類型二 含參問(wèn)題
7.（2020?貴州畢節(jié)）如果3ab2m﹣1與9abm+1是同類項(xiàng)，那么m等于（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
【答案】A
【解析】根據(jù)同類項(xiàng)的定義得出m的方程解答即可．
根據(jù)題意可得：2m﹣1＝m+1，
解得：m＝2
8．（2019?成都）若m+1與–2互為相反數(shù)，則m的值為__________．
【答案】1
【解析】根據(jù)題意得：m+1–2=0，解得：m=1，故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程和相反數(shù)，正確掌握相反數(shù)的定義和一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．
9．（2021·安徽）設(shè)a，b，c為互不相等的實(shí)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
舉反例可判斷A和B，將式子整理可判斷C和D．
【詳解】
解：A．當(dāng)，，時(shí)，，故A錯(cuò)誤；
B．當(dāng)，，時(shí)，，故B錯(cuò)誤；
C．整理可得，故C錯(cuò)誤；
D．整理可得，故D正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查等式的性質(zhì)，掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（2021·四川涼山彝族自治州·中考真題）已知是方程的解，則a的值為______________．
【答案】-1
【分析】
根據(jù)方程解的定義，將x=1，y=3代入方程，即可求得a的值．
【詳解】
解：根據(jù)題意，將x=1，y=3代入方程，
得：，
解得：a=-1，
故答案為：-1．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二元一次方程的解，要求理解什么是二元一次方程的解，并會(huì)把x，y的值代入原方程驗(yàn)證二元一次方程的解．
11．（2021·浙江金華市·中考真題）已知是方程的一個(gè)解，則m的值是____________．
【答案】2
【分析】
把解代入方程,得6+2m=10，轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一元一次方程，求解即可．
【詳解】
∵是方程的一個(gè)解，
∴6+2m=10，
解得m=2，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，靈活運(yùn)用方程的解的定義，轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解是解題的關(guān)鍵．
12．（2021·四川廣安市·中考真題）若、滿足，則代數(shù)式的值為______．
【答案】-6
【分析】
根據(jù)方程組中x+2y和x-2y的值，將代數(shù)式利用平方差公式分解，再代入計(jì)算即可．
【詳解】
解：∵x-2y=-2，x+2y=3，
∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6，
故答案為：-6．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查方程組的解及代數(shù)式的求值，觀察待求代數(shù)式的特點(diǎn)與方程組中兩方程的聯(lián)系是解題關(guān)鍵．
13．（2021·重慶中考真題）若關(guān)于x的方程的解是，則a的值為__________．
【答案】3
【分析】
將x=2代入已知方程列出關(guān)于a的方程，通過(guò)解該方程來(lái)求a的值即可．
【詳解】
解：根據(jù)題意，知
，
解得a=3．
故答案是：3．
【點(diǎn)睛】
本題考查了一元一次方程的解的定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解．
題型三 閱讀理解、定義、規(guī)律問(wèn)題
14．（2020·湖北中考真題）對(duì)于實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算．若，則_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)給出的新定義分別求出與的值，根據(jù)得出關(guān)于a的一元一次方程，求解即可．
【詳解】
解：∵，
∴，，
∵，
∴，解得，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查解一元一次方程、新定義下實(shí)數(shù)的運(yùn)算等內(nèi)容，理解題干中給出的新定義是解題的關(guān)鍵．
15．（2020·湖北恩施?中考真題）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“☆”：，例如：．如果，則的值是（ ）．
A．B．1C．0D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題目中給出的新定義運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算即可求解．
【詳解】
解：由題意知：，
又，
∴，
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了實(shí)數(shù)的計(jì)算，一元一次方程的解法，本題的關(guān)鍵是能看明白題目意思，根據(jù)新定義的運(yùn)算規(guī)則求解即可．
16．（2020·廣西玉林?中考真題）觀察下列按一定規(guī)律排列的n個(gè)數(shù)：2，4，6，8，10,12，…；若最后三個(gè)數(shù)之和是3000，則n等于（ ）
A．499B．500C．501D．1002
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題意列出方程求出最后一個(gè)數(shù),除去一半即為n的值．
【詳解】
設(shè)最后三位數(shù)為x－4,x－2,x．
由題意得: x－4+x－2+x=3000,
解得x=1002．
n=1002÷2=501．
故選C．
【點(diǎn)睛】
本題考查找規(guī)律的題型,關(guān)鍵在于列出方程簡(jiǎn)化步驟．
17．（2020·西藏中考真題）觀察下列兩行數(shù)：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…
1，4，7，10，13，16，19，22，25，…
探究發(fā)現(xiàn)：第1個(gè)相同的數(shù)是1，第2個(gè)相同的數(shù)是7，…，若第n個(gè)相同的數(shù)是103，則n等于（ ）
A．18B．19C．20D．21
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)探究發(fā)現(xiàn)：第1個(gè)相同的數(shù)是1，第2個(gè)相同的數(shù)是7，，第個(gè)相同的數(shù)是，進(jìn)而可得的值．
【詳解】
解：第1個(gè)相同的數(shù)是，
第2個(gè)相同的數(shù)是，
第3個(gè)相同的數(shù)是，
第4個(gè)相同的數(shù)是，
，
第個(gè)相同的數(shù)是，
所以，
解得．
答：第個(gè)相同的數(shù)是103，則等于18．
故選：．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，確定出相同數(shù)的差值，從而得出相同數(shù)的通式是解題的關(guān)鍵．
18．（2020·湖北孝感?中考真題）有一列數(shù)，按一定的規(guī)律排列成，，3，，27，－81，…．若其中某三個(gè)相鄰數(shù)的和是，則這三個(gè)數(shù)中第一個(gè)數(shù)是______．
【答案】
【解析】
【分析】
題中數(shù)列的絕對(duì)值的比是-3，由三個(gè)相鄰數(shù)的和是，可設(shè)三個(gè)數(shù)為n，-3n，9n，據(jù)題意列式即可求解．
【詳解】
題中數(shù)列的絕對(duì)值的比是-3，由三個(gè)相鄰數(shù)的和是，可設(shè)第一個(gè)數(shù)是n，則三個(gè)數(shù)為n，-3 n，9n
由題意：，
解得：n=-81，
故答案為：-81．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查數(shù)列的規(guī)律探索與運(yùn)用，一元一次方程與數(shù)字的應(yīng)用，熟悉并會(huì)用代數(shù)式表示常見的數(shù)列，列出方程是解題的關(guān)鍵．
19．（2020?揚(yáng)州）閱讀感悟：
有些關(guān)于方程組的問(wèn)題，欲求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問(wèn)題：
已知實(shí)數(shù)x、y滿足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過(guò)適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．這樣的解題思想就是通常所說(shuō)的“整體思想”．
解決問(wèn)題：
（1）已知二元一次方程組2x+y=7，x+2y=8，則x﹣y＝ ，x+y＝ ；
（2）某班級(jí)組織活動(dòng)購(gòu)買小獎(jiǎng)品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購(gòu)買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？
（3）對(duì)于實(shí)數(shù)x、y，定義新運(yùn)算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝ ．
【分析】（1）利用①﹣②可得出x﹣y的值，利用13（①+②）可得出x+y的值；
（2）設(shè)鉛筆的單價(jià)為m元，橡皮的單價(jià)為n元，日記本的單價(jià)為p元，根據(jù)“買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元”，即可得出關(guān)于m，n，p的三元一次方程組，由2×①﹣②可得除m+n+p的值，再乘5即可求出結(jié)論；
（3）根據(jù)新運(yùn)算的定義可得出關(guān)于a，b，c的三元一次方程組，由3×①﹣2×②可得出a+b+c的值，即1*1的值．
【解析】（1）2x+y=7①x+2y=8②．
由①﹣②可得：x﹣y＝﹣1，
由13（①+②）可得：x+y＝5．
故答案為：﹣1；5．
（2）設(shè)鉛筆的單價(jià)為m元，橡皮的單價(jià)為n元，日記本的單價(jià)為p元，
依題意，得：20m+3n+2p=32①39m+5n+3p=58②，
由2×①﹣②可得m+n+p＝6，
∴5m+5n+5p＝5×6＝30．
答：購(gòu)買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元．
（3）依題意，得：3a+5b+c=15①4a+7b+c=28②，
由3×①﹣2×②可得：a+b+c＝﹣11，
即1*1＝﹣11．
故答案為：﹣11．
20．（2021·安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列．
[觀察思考]
當(dāng)正方形地磚只有1塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有6塊（如圖2）；當(dāng)正方形地磚有2塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有8塊（如圖3）；以此類推，
[規(guī)律總結(jié)]
（1）若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加 塊；
（2）若一條這樣的人行道一共有n（n為正整數(shù)）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為 （用含n的代數(shù)式表示）．
[問(wèn)題解決]
（3）現(xiàn)有2021塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地磚剩余最少，則需要正方形地磚多少塊？
【答案】（1）2 ；（2）；（3）1008塊
【分析】
（1）由圖觀察即可；
（2）由每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚，再結(jié)合題干中的條件正方形地磚只有1塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有6塊，遞推即可；
（3）利用上一小題得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地磚剩余最少時(shí)需要正方形地磚的數(shù)量．
【詳解】
解：（1）由圖可知，每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚；
故答案為：2 ；
（2）由（1）可知，每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚；
當(dāng)正方形地磚只有1塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有6塊，即2+4；
所以當(dāng)?shù)卮u有n塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有（）塊；
故答案為：；
（3）令 則
當(dāng)時(shí)，
此時(shí)，剩下一塊等腰直角三角形地磚
需要正方形地磚1008塊．
【點(diǎn)睛】
本題為圖形規(guī)律題，涉及到了一元一次方程、列代數(shù)式以及代數(shù)式的應(yīng)用等，考查了學(xué)生的觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納以及應(yīng)用的能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能列代數(shù)式表示其中的規(guī)律等．
題型三 一元一次方程的應(yīng)用
類型一 等積變形
21．（2020·青海中考真題）根據(jù)圖中給出的信息，可得正確的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)題意可得相等關(guān)系的量為“水的體積”，然后利用圓柱體積公式列出方程即可.
【詳解】
解：大量筒中的水的體積為：，
小量筒中的水的體積為：，
則可列方程為：.
故選A.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查列方程，解此題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找到題中相等關(guān)系的量，然后利用圓柱的體積公式列出方程即可.
22.有一個(gè)盛水的圓柱體玻璃容器，它的底面直徑為12cm（容器厚度忽略不計(jì)），容器內(nèi)水的高度為10cm．
（1）如圖1，容器內(nèi)水的體積為______（結(jié)果保留）．
（2）如圖2，把一根底面直徑為6cm，高為12cm的實(shí)心玻璃棒插入水中（玻璃棒完全淹沒于水中），求水面上升的高度是多少？
（3）如圖3，若把一根底面直徑為6cm，足夠長(zhǎng)的實(shí)心玻璃棒插入水中，求水面上升的高度是多少？
【答案】（1）；（2）3cm；（3）cm
【分析】
（1）結(jié)合題意，根據(jù)圓柱體體積公式計(jì)算，即可得到答案；
（2）根據(jù)題意，玻璃棒完全淹沒于水中，即水面上升部分的體積就等于玻璃棒的體積；設(shè)水面上升的高度為xcm，通過(guò)列方程并求解，即可得到答案；
（3）根據(jù)題意，水面上升部分的體積等于玻璃棒淹沒部分的體積，設(shè)水面上升高度為xcm，通過(guò)列方程并求解，即可得到答案．
【詳解】
（1）容器內(nèi)水的體積為
故答案為：；
（2）設(shè)水面上升的高度為xcm
根據(jù)題意得：
解得：
∴水面上升高度為3cm；
（3）設(shè)水面上升高度為xcm，
水面上升部分的體積為，
玻璃棒淹沒部分的體積為，
得：，
解得：
∴水面上升高度為cm．
【點(diǎn)睛】
本題考查了有理數(shù)運(yùn)算、一元一次方程的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算、一元一次方程的性質(zhì)，從而完成求解．
23.兩個(gè)圓柱體容器如圖所示,它們的直徑分別為和,高分別為和把容器一倒?jié)M水,然后將 容器一中的水倒入容器二中，求容器二中的水面離容器口有多少厘米．
【答案】
【分析】
利用圓柱體積計(jì)算公式表示水的體積，根據(jù)水的體積不變即可得到一元一次方程．
【詳解】
設(shè)倒完以后，第二個(gè)容器中的水面離容器口有x cm，
則：π××（10-x）=π××39，
解得：x=0.25
答：第二個(gè)容器中的水面離容器口有0.25cm．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程．
類型二 銷售問(wèn)題
24．（2020·黑龍江牡丹江?中考真題）某種商品每件的進(jìn)價(jià)為120元，標(biāo)價(jià)為180元．為了拓展銷路，商店準(zhǔn)備打折銷售．若使利潤(rùn)率為20%，則商店應(yīng)打________折．
【答案】八
【解析】
【分析】
打折銷售后要保證打折后利率為20%，因而可以得到不等關(guān)系為：利潤(rùn)率=20%，設(shè)可以打x折，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式求解即可.
【詳解】
解：設(shè)應(yīng)打x折，
則根據(jù)題意得：（180×x×10%-120）÷120=20%，
解得：x=8．
故商店應(yīng)打八折．
故答案為：八．
【點(diǎn)睛】
本題考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是讀懂題意，找到符合題意的等量關(guān)系式，同時(shí)要注意掌握利潤(rùn)率的計(jì)算方法．
25．（2020·黑龍江牡丹江·中考真題）某種商品每件的進(jìn)價(jià)為120元，標(biāo)價(jià)為180元．為了拓展銷路，商店準(zhǔn)備打折銷售．若使利潤(rùn)率為20%，則商店應(yīng)打________折．
【答案】八
【分析】打折銷售后要保證打折后利率為20%，因而可以得到不等關(guān)系為：利潤(rùn)率=20%，設(shè)可以打x折，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式求解即可.
【解析】解：設(shè)應(yīng)打x折，則根據(jù)題意得：（180×x×10%-120）÷120=20%，
解得：x=8．故商店應(yīng)打八折．故答案為：八．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是讀懂題意，找到符合題意的等量關(guān)系式，同時(shí)要注意掌握利潤(rùn)率的計(jì)算方法．
26．（2020·貴州畢節(jié)?中考真題）某商店換季準(zhǔn)備打折出售某商品，如果按原售價(jià)的七五折出售，將虧損25元，而按原售價(jià)的九折出售，將盈利20元，則該商品的成本為
A．230元B．250元
C．270元D．300元
【答案】B
【解析】
【分析】
設(shè)該商品的售價(jià)為x元，根據(jù)按原售價(jià)的七五折出售，將虧損25元，而按原售價(jià)的九折出售，將盈利20元，列方程求出售價(jià)，繼而可求出成本．
【詳解】
設(shè)該商品的售價(jià)為x元，
由題意得，0.75x+25=0.9x-20，
解得：x=300，
則成本價(jià)為：300×0.75+25=250（元）．
故選B．
【點(diǎn)睛】
考查了一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出等量關(guān)系，列方程求解．
27．（2020·安徽中考真題）某超市有線上和線下兩種銷售方式．與2019年4月份相比．該超市2020年4月份銷售總額增長(zhǎng)其中線上銷售額增長(zhǎng)．線下銷售額增長(zhǎng)，
設(shè)2019年4月份的銷售總額為元．線上銷售額為元，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示2020年4月份的線下銷售額(直接在表格中填寫結(jié)果)；
求2020年4月份線上銷售額與當(dāng)月銷售總額的比值．
【答案】；
【解析】
【分析】
根據(jù)增長(zhǎng)率的含義可得答案；
由題意列方程求解即可得到比值．
【詳解】
解：年線下銷售額為元，
故答案為：．
由題意得：


2020年4月份線上銷售額與當(dāng)月銷售總額的比值為：

答：2020年4月份線上銷售額與當(dāng)月銷售總額的比值為：
【點(diǎn)睛】
本題考查的列代數(shù)式及一元一次方程的應(yīng)用，掌握列一元一次方程解決應(yīng)用題是解題的關(guān)鍵．
28．（2021·陜西中考真題）一家商店在銷售某種服裝（每件的標(biāo)價(jià)相同）時(shí)，按這種服裝每件標(biāo)價(jià)的8折銷售10件的銷售額，與按這種服裝每件的標(biāo)價(jià)降低30元銷售11件的銷售額相等．求這種服裝每件的標(biāo)價(jià)．
【答案】這種服裝每件的標(biāo)價(jià)是110元
【分析】
設(shè)這種服裝每件的標(biāo)價(jià)是x元，根據(jù)題意列出方程進(jìn)行求解即可．
【詳解】
解：設(shè)這種服裝每件的標(biāo)價(jià)是x元，根據(jù)題意，得
，
解得；
答：這種服裝每件的標(biāo)價(jià)是110元．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元一次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
29．（2021·重慶中考真題）某工廠有甲、乙兩個(gè)車間，甲車間生產(chǎn)A產(chǎn)品，乙車間生產(chǎn)B產(chǎn)品，去年兩個(gè)車間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量相同且全部售出．已知A產(chǎn)品的銷售單價(jià)比B產(chǎn)品的銷售單價(jià)高100元，1件A產(chǎn)品與1件B產(chǎn)品售價(jià)和為500元．
（1）A、B兩種產(chǎn)品的銷售單價(jià)分別是多少元？
（2）隨著5G時(shí)代的到來(lái)，工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)進(jìn)入了快速發(fā)展時(shí)期．今年，該工廠計(jì)劃依托工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)將乙車間改造為專供用戶定制B產(chǎn)品的生產(chǎn)車間．預(yù)計(jì)A產(chǎn)品在售價(jià)不變的情況下產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上增加a%；B產(chǎn)品產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上減少a%，但B產(chǎn)品的銷售單價(jià)將提高3a%．則今年A、B兩種產(chǎn)品全部售出后總銷售額將在去年的基礎(chǔ)上增加%．求a的值．
【答案】（1）A產(chǎn)品的銷售單價(jià)為300元，B產(chǎn)品的銷售單價(jià)為200元；（2）20
【分析】
（1）設(shè)B產(chǎn)品的銷售單價(jià)為x元，則A產(chǎn)品的銷售單價(jià)為（x+100）元，根據(jù)題意列出方程解出即可；
（2）設(shè)去年每個(gè)車間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量為t件，根據(jù)題意根據(jù)題意列出方程解出即可；
【詳解】
解：（1）設(shè)B產(chǎn)品的銷售單價(jià)為x元，則A產(chǎn)品的銷售單價(jià)為（x+100）元．
根據(jù)題意，得
．
解這個(gè)方程，得．
則．
答：A產(chǎn)品的銷售單價(jià)為300元，B產(chǎn)品的銷售單價(jià)為200元．
（2）設(shè)去年每個(gè)車間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量為t件，根據(jù)題意，得
設(shè)a%=m，則原方程可化簡(jiǎn)為．
解這個(gè)方程，得（舍去）．
∴a=20．
答：a的值是20．
【點(diǎn)睛】
本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元二次方程．
30．（2020·山西中考真題）年月份，省城太原開展了“活力太原·樂購(gòu)晉陽(yáng)”消費(fèi)暖心活動(dòng)，本次活動(dòng)中的家電消費(fèi)券單筆交易滿元立減元（每次只能使用一張）某品牌電飯煲按進(jìn)價(jià)提高后標(biāo)價(jià)，若按標(biāo)價(jià)的八折銷售，某顧客購(gòu)買該電飯煲時(shí)，使用一張家電消費(fèi)券后，又付現(xiàn)金元．求該電飯煲的進(jìn)價(jià)．
【答案】該電飯煲的進(jìn)價(jià)為元
【解析】
【分析】
根據(jù)滿元立減元可知，打八折后的總價(jià)減去128元是實(shí)際付款數(shù)額，即可列出等式．
【詳解】
解：設(shè)該電飯煲的進(jìn)價(jià)為元
根據(jù)題意，得
解，得．
答；該電飯煲的進(jìn)價(jià)為元
【點(diǎn)睛】
本題主要考察了打折銷售知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)確找出它們之間的關(guān)系列出等式方程是解題關(guān)鍵．
31．（2020·福建中考真題）某公司經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種特產(chǎn)，其中甲特產(chǎn)每噸成本價(jià)為10萬(wàn)元，銷售價(jià)為10.5萬(wàn)元；乙特產(chǎn)每噸成本價(jià)為1萬(wàn)元，銷售價(jià)為1.2萬(wàn)元．由于受有關(guān)條件限制，該公司每月這兩種特產(chǎn)的銷售量之和都是100噸，且甲特產(chǎn)的銷售量都不超過(guò)20噸．
（1）若該公司某月銷售甲、乙兩種特產(chǎn)的總成本為235萬(wàn)元，問(wèn)這個(gè)月該公司分別銷售甲、乙兩種特產(chǎn)各多少噸？
（2）求該公司一個(gè)月銷售這兩種特產(chǎn)所能獲得的最大總利潤(rùn)．
【答案】（1）甲特產(chǎn)15噸，乙特產(chǎn)85噸；（2）26萬(wàn)元．
【解析】
【分析】
（1）設(shè)這個(gè)月該公司銷售甲特產(chǎn)噸，則銷售乙特產(chǎn)噸，根據(jù)題意列方程解答；
（2）設(shè)一個(gè)月銷售甲特產(chǎn)噸，則銷售乙特產(chǎn)噸，且，根據(jù)題意列函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答.
【詳解】
解：（1）設(shè)這個(gè)月該公司銷售甲特產(chǎn)噸，則銷售乙特產(chǎn)噸，
依題意，得，
解得，則，
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，
所以，這個(gè)月該公司銷售甲特產(chǎn)15噸，乙特產(chǎn)85噸；
（2）設(shè)一個(gè)月銷售甲特產(chǎn)噸，則銷售乙特產(chǎn)噸，且，
公司獲得的總利潤(rùn)，
因?yàn)?，所以隨著的增大而增大，
又因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，公司獲得的總利潤(rùn)的最大值為26萬(wàn)元，
故該公司一個(gè)月銷售這兩種特產(chǎn)能獲得的最大總利潤(rùn)為26萬(wàn)元.
【點(diǎn)睛】
此題考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用、一次函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、應(yīng)用意識(shí)，考查函數(shù)與方程思想，正確理解題意，根據(jù)問(wèn)題列方程或是函數(shù)關(guān)系式解答問(wèn)題.
類型三 行程問(wèn)題
32．（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》一書是中國(guó)較早的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載一道問(wèn)題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問(wèn)良馬幾何追及之？”題意是：快馬每天走240里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問(wèn)快馬幾天可以追上慢馬？若設(shè)快馬x天可以追上慢馬，則下列方程正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)快馬x天可以追上慢馬，根據(jù)路程=速度×?xí)r間，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．
【詳解】解：設(shè)快馬x天可以追上慢馬，
依題意，得： 240x-150x=150×12．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
33．（2022·湖南常德）小強(qiáng)的爸爸平常開車從家中到小強(qiáng)奶奶家，勻速行駛需要4小時(shí)，某天，他們以平常的速度行駛了的路程時(shí)遇到了暴雨，立即將車速減少了20千米／小時(shí)，到達(dá)奶奶家時(shí)共用了5小時(shí)，問(wèn)小強(qiáng)家到他奶奶家的距離是多少千米？
【答案】240千米
【分析】平常速度行駛了的路程用時(shí)為2小時(shí)，后續(xù)減速后用了3小時(shí)，用遇到暴雨前行駛路程加上遇到暴雨后行駛路程等于總路程這個(gè)等量關(guān)系列出方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)小強(qiáng)家到他奶奶家的距離是千米，則平時(shí)每小時(shí)行駛千米，減速后每小時(shí)行駛千米，由題可知：遇到暴雨前用時(shí)2小時(shí)，遇到暴雨后用時(shí)5-2=3小時(shí)，
則可得：，解得：，
答：小強(qiáng)家到他奶奶家的距離是240千米．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程應(yīng)用中的行程問(wèn)題，直接設(shè)未知數(shù)法，找到準(zhǔn)確的等量關(guān)系，列出方程正確求解是解題的關(guān)鍵．
34．（2020·寧夏中考真題）“低碳生活，綠色出行”是一種環(huán)保、健康的生活方式，小麗從甲地勻速步行前往乙地，同時(shí)，小明從乙地沿同一路線勻速步行前往甲地，兩人之間的距離與步行時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式如圖中折線段所示．
（1）小麗與小明出發(fā)_______相遇；
（2）在步行過(guò)程中，若小明先到達(dá)甲地．
①求小麗和小明步行的速度各是多少？
②計(jì)算出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并解釋點(diǎn)C的實(shí)際意義．
【答案】（1）30；（2）①小麗步行的速度為，小明步行的速度為；②點(diǎn)，點(diǎn)C表示：兩人出發(fā)時(shí)，小明到達(dá)甲地，此時(shí)兩人相距．
【解析】
【分析】
（1）直接從圖像獲取信息即可；
（2）①設(shè)小麗步行的速度為，小明步行的速度為，且，根據(jù)圖像和題意列出方程組，求解即可；
②設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，根據(jù)題意列出方程解出x，再根據(jù)圖像求出y即可，再結(jié)合兩人的運(yùn)動(dòng)過(guò)程解釋點(diǎn)C的意義即可．
【詳解】
（1）由圖像可得小麗與小明出發(fā)30相遇，
故答案為：30；
（2）①設(shè)小麗步行的速度為，小明步行的速度為，且，
則，
解得：，
答：小麗步行的速度為，小明步行的速度為；
②設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
則可得方程，
解得，
，
∴點(diǎn)，
點(diǎn)C表示：兩人出發(fā)時(shí)，小明到達(dá)甲地，此時(shí)兩人相距．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，從圖像獲取信息是解題關(guān)鍵．
35．（2020·吉林長(zhǎng)春?中考真題）已知、兩地之間有一條長(zhǎng)240千米的公路．甲車從地出發(fā)勻速開往地，甲車出發(fā)兩小時(shí)后，乙車從地出發(fā)勻速開往地，兩車同時(shí)到達(dá)各自的目的地．兩車行駛的路程之和（千米）與甲車行駛的時(shí)間（時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）甲車的速度為_________千米/時(shí)，的值為____________．
（2）求乙車出發(fā)后，與之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)甲、乙兩車相距100千米時(shí)，求甲車行駛的時(shí)間．
【答案】（1）40，480；（2）；（3）小時(shí)或小時(shí)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)圖象可知甲車行駛2行駛所走路程為80千米，據(jù)此即可求出甲車的速度；進(jìn)而求出甲車行駛6小時(shí)所走的路程為240千米，根據(jù)兩車同時(shí)到達(dá)各自的目的地可得a=240×2=480；
（2）根據(jù)題意直接運(yùn)用待定系數(shù)法進(jìn)行分析解得即可；
（3）由題意分兩車相遇前與相遇后兩種情況分別列方程解答即可．
【詳解】
解：（1）由題意可知，甲車的速度為：80÷2=40（千米/時(shí)）；
a=40×6×2=480，
故答案為：40；480；
（2）設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，
由圖可知，函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，，
所以解得
所以與之間的函數(shù)關(guān)系式為；
（3）兩車相遇前：
解得：
兩車相遇后：
解得：
答：當(dāng)甲、乙兩車相距100千米時(shí)，甲車行駛的時(shí)間是小時(shí)或小時(shí)．
【點(diǎn)睛】
本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
類型四 希望工程
36．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，是《算經(jīng)十書》之一．書中記載了這樣一個(gè)題目：今有木，不知長(zhǎng)短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長(zhǎng)幾何？其大意是：用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余尺；將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余尺．問(wèn)木長(zhǎng)多少尺？設(shè)木長(zhǎng)尺，則可列方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)木長(zhǎng)尺，根據(jù)題意“用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余尺；將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余尺”，列出一元一次方程即可求解．
【詳解】解：設(shè)木長(zhǎng)尺，根據(jù)題意得，
，
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．
37．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）《孫子算經(jīng)》記載：“今有木，不知長(zhǎng)短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長(zhǎng)幾何？”（尺、寸是長(zhǎng)度單位，1尺＝10寸）．意思是，現(xiàn)有一根長(zhǎng)木，不知道其長(zhǎng)短．用一根繩子去度量長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再度量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1尺．問(wèn)長(zhǎng)木長(zhǎng)多少？設(shè)長(zhǎng)木長(zhǎng)為x尺，則可列方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)長(zhǎng)木長(zhǎng)為x尺，則繩子長(zhǎng)為尺，根據(jù)“將繩子對(duì)折再度量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1尺”，可列出方程．
【詳解】設(shè)長(zhǎng)木長(zhǎng)為x尺，則繩子長(zhǎng)為尺，根據(jù)題意，得
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題，理解題意，找出等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．
38．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何”是《孫子算經(jīng)》卷中著名數(shù)學(xué)問(wèn)題．意思是：雞兔同籠，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94條腿．問(wèn)雞兔各有多少只？若設(shè)雞有只，兔有只，則所列方程組正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，由設(shè)雞有只，兔有只，則由等量關(guān)系有35個(gè)頭和有94條腿列出方程組即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)雞有只，兔有只，則由題意可得
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查列二元一次方程組解決古代數(shù)學(xué)問(wèn)題，讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系列方程組是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
39．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中，記載了這樣一道題：良馬日行二百四十里，雞馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問(wèn)良馬幾何日追及之？其大意是：快馬每天行里，慢馬每天行里，駑馬先行天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬天可追上慢馬，由題意得（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)快馬天可追上慢馬，根據(jù)路程相等，列出方程即可求解．
【詳解】解：設(shè)快馬天可追上慢馬，由題意得
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．
40．（2020?內(nèi)江）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“繩索量竿”問(wèn)題：“一條竿子一條索，索比竿子長(zhǎng)一托．折回索子卻量竿，卻比竿子短一托．”其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長(zhǎng)5尺；如果將繩索對(duì)半折后再去量竿，就比竿短5尺．設(shè)繩索長(zhǎng)x尺．則符合題意的方程是（ ）
A．12x＝（x﹣5）﹣5B．12x＝（x+5）+5
C．2x＝（x﹣5）﹣5D．2x＝（x+5）+5
【分析】設(shè)繩索長(zhǎng)x尺，則竿長(zhǎng)（x﹣5）尺，根據(jù)“將繩索對(duì)半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．
【解析】設(shè)繩索長(zhǎng)x尺，則竿長(zhǎng)（x﹣5）尺，
依題意，得：12x＝（x﹣5）﹣5．
故選：A．
41．（2019?甘肅）中國(guó)古代人民很早就在生產(chǎn)生活中發(fā)現(xiàn)了許多有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，其中《孫子算經(jīng)》中有個(gè)問(wèn)題，原文：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問(wèn)人與車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每3人共乘一車，最終剩余2輛車，若每2人共乘一車，最終剩余9個(gè)人無(wú)車可乘，問(wèn)共有多少人，多少輛車？
【答案】共有39人，15輛車．
【解析】設(shè)共有x人，
根據(jù)題意得：，
去分母得：2x+12=3x–27，
解得：x=39，
∴=15，
則共有39人，15輛車．
【名師點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．
類型五 其他問(wèn)題
42．（2022·四川自貢）等腰三角形頂角度數(shù)比一個(gè)底角度數(shù)的2倍多20°，則這個(gè)底角的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】B
【分析】這個(gè)底角的度數(shù)為x，則頂角的度數(shù)為（2x+20°），根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，即可求解．
【詳解】解：設(shè)這個(gè)底角的度數(shù)為x，則頂角的度數(shù)為（2x+20°），根據(jù)題意得：
，解得：，
即這個(gè)底角的度數(shù)為40°．故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
43．（2020·湖北省直轄縣級(jí)單位·中考真題）籃球聯(lián)賽中，每玚比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝1場(chǎng)得2分，負(fù)1場(chǎng)得1分．某隊(duì)14場(chǎng)比賽得到23分，則該隊(duì)勝了_________場(chǎng)．
【答案】9
【分析】設(shè)該對(duì)勝x場(chǎng)，則負(fù)14-x場(chǎng)，然后根據(jù)題意列一元一次方程解答即可．
【解析】解：設(shè)該對(duì)勝x場(chǎng) 由題意得：2x+（14-x）=23，解得x=9．故答案為9．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，弄清題意、設(shè)出未知數(shù)、找準(zhǔn)等量關(guān)系、列出方程是解答本題的關(guān)鍵．
44．（2020·廣東廣州?中考真題）粵港澳大灣區(qū)自動(dòng)駕駛產(chǎn)業(yè)聯(lián)盟積極推進(jìn)自動(dòng)駕駛出租車應(yīng)用落地工作，無(wú)人化是自動(dòng)駕駛的終極目標(biāo)．某公交集團(tuán)擬在今明兩年共投資9000萬(wàn)元改裝260輛無(wú)人駕駛出租車投放市場(chǎng)．今年每輛無(wú)人駕駛出租車的改裝費(fèi)用是50萬(wàn)元，預(yù)計(jì)明年每輛無(wú)人駕駛出租車的改裝費(fèi)用可下降．
（1）求明年每輛無(wú)人駕駛出租車的預(yù)計(jì)改裝費(fèi)用是多少萬(wàn)元；
（2）求明年改裝的無(wú)人駕駛出租車是多少輛．
【答案】（1）明年每輛無(wú)人駕駛出租車的預(yù)計(jì)改裝費(fèi)用是25萬(wàn)元；（2）明年改裝的無(wú)人駕駛出租車是160輛．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)今年每輛無(wú)人駕駛出租車的改裝費(fèi)用是50萬(wàn)元，預(yù)計(jì)明年每輛無(wú)人駕駛出租車的改裝費(fèi)用可下降，列出式子即可求出答案；
（2）根據(jù)“某公交集團(tuán)擬在今明兩年共投資9000萬(wàn)元改裝260輛無(wú)人駕駛出租車投放市場(chǎng)”列出方程，求解即可．
【詳解】
解：（1）依題意得：（萬(wàn)元）
（2）設(shè)明年改裝的無(wú)人駕駛出租車是x輛，則今年改裝的無(wú)人駕駛出租車是（260-x）輛,依題意得：
解得：
答：（1）明年每輛無(wú)人駕駛出租車的預(yù)計(jì)改裝費(fèi)用是25萬(wàn)元；（2）明年改裝的無(wú)人駕駛出租車是160輛．
【點(diǎn)睛】
本題考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是找到數(shù)量關(guān)系，列出方程．
題型四 二元一次方程（組）的定義
題型五 解二元一次方程組
45.下列方程：①；②；③；④.其中二元一次方程有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【分析】
根據(jù)二元一次方程的定義求解可得答案．
【詳解】
解：②；④符合二元一次方程的要求
故選：B
【點(diǎn)睛】
本題主要考查二元一次方程定義，掌握二元一次方程定義是解題的關(guān)鍵．
46.下列方程，①2x﹣＝1；②+＝3；③x2﹣y2＝4；④5（x+y）＝7（x﹣y）；⑤2x2＝3；⑥2y+1＝4，其中是二元一次方程的是（ ）
A．①B．①③C．①④D．①②④⑥
【答案】C
【分析】
二元一次方程必須符合以下三個(gè)條件：（1）方程中只含有2個(gè)未知數(shù)；（2）含未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)為一次；（3）方程是整式方程．
【詳解】
①2x﹣＝1、④5（x+y）＝7（x﹣y）符合二元一次方程的定義．
②+＝3屬于分式方程，故不符合題意．
③x2﹣y2＝4屬于二元二次方程，故不符合題意；
⑤2x2＝3屬于一元二次方程，故不符合題意；
⑥2y+1＝4屬于一元一次方程，故不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查二元一次方程的定義，二元一次方程的定義是含有兩個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)都為1．
類型一 解方程
47．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）解方程組
【答案】
【分析】方程組運(yùn)用加減消元法求解即可．
【詳解】解：
①+②得，
解得，
將代入①得，
解得．
∴原方程組的解為
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組，方法主要有：代入消元法和加減消元法．
48．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）解方程組：
【答案】
【分析】把兩個(gè)方程相加消去y，求解x，再把x的值代入第1個(gè)方程求解y即可．
【詳解】解：
①+②，得．
∴．
把代入①，得．
∴這個(gè)方程組的解是．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組的解法，熟練的利用加減消元法解方程組是解本題的關(guān)鍵．
49．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）解方程組：
【答案】
【分析】方程組利用加減消元法求解即可．
【詳解】解：將①得：③
得：
將代入①得：
所以是原方程組的解．
【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，解題的關(guān)鍵是利用代入消元法或加減消元法消去一個(gè)未知數(shù)．
50．（2019?天津）方程組的解是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，①+②得，x=2，
把x=2代入①得，6+2y=7，解得y=，
故原方程組的解為：．故選D．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的解法，熟練掌握二元一次方程組的基本解法是解答本題的關(guān)鍵．
51．（2019?廣州）解方程組：．
【答案】
【解析】，
②–①得，4y=8，解得y=2，
把y=2代入①得，x–2=1，解得x=3，
故原方程組的解為．
【名師點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．
52．（2019?山西）解方程組：．
【答案】
【解析】①+②得，4x=–8，∴x=–2，
把x=–2代入②得，–2+2y=0，∴y=1，
∴．
53．（2020?臺(tái)州）解方程組：x?y=1，3x+y=7.
【分析】方程組利用加減消元法求出解即可．
【解析】x?y=1①3x+y=7②，
①+②得：4x＝8，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝1，
則該方程組的解為x=2y=1.
54．（2020?連云港）解方程組2x+4y=5，x=1?y．
【分析】把組中的方程②直接代入①，用代入法求解即可．
【解析】2x+4y=5①x=1?y②
把②代入①，得2（1﹣y）+4y＝5，
解得y=32．
把y=32代入②，得x=?12．
∴原方程組的解為x=?12y=32．
55.（2020?樂山）解二元一次方程組：2x+y=2，8x+3y=9．
【分析】方程組利用加減消元法與代入消元法求出解即可．
【解析】2x+y=2①8x+3y=9②，
法1：②﹣①×3，得 2x＝3，
解得：x=32，
把x=32代入①，得 y＝﹣1，
∴原方程組的解為x=32y=?1；
法2：由②得：2x+3（2x+y）＝9，
把①代入上式，
解得：x=32，
把x=32代入①，得 y＝﹣1，
∴原方程組的解為x=32y=?1．
56．（2021·浙江麗水市·中考真題）解方程組：．
【答案】
【分析】
利用代入消元法解二元一次方程組即可．
【詳解】
解：，
把①代入②，得，
解得．
把代入①，得．
∴原方程組的解是．
【點(diǎn)睛】
本題考查解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法是解答的關(guān)鍵．
57．（2021·四川眉山市·中考真題）解方程組
【答案】
【分析】
方程組適當(dāng)變形后，給②×3-①×2即可消去x，解關(guān)于y的一元一次方程，再將y值代入①式，即可解出y．
【詳解】
解：由可得
②×3-①×2得，
即，
解得y=1，
將y=1代入①式得，解得．
故該方程組的解為．
【點(diǎn)睛】
本題考查解二元一次方程組．解二元一次方程主要用到“消元思想”，將二元一次方程組化為一元一次方程求解．主要方法有加減消元法和代入消元法，熟練掌握這兩種方法并能靈活利用是解題關(guān)鍵．
58．（2021·浙江臺(tái)州市·中考真題）解方程組：
【答案】.
【分析】
觀察方程組中同一未知數(shù)的系數(shù)特點(diǎn)：x的系數(shù)存在倍數(shù)關(guān)系，而y的系數(shù)互為相反數(shù)，因此將兩方程相加，消去y求出x，再求出y的值，可得到方程組的解.
【詳解】
解：①+②得：3x=3，
即x=1，
把x=1代入①得：y=2，
則方程組的解為 .
【點(diǎn)睛】
此題考查解二元一次方程組，解題關(guān)鍵在于利用加減消元法.
59．（2021·江蘇蘇州市·中考真題）解方程組：.
【答案】 .
【詳解】
分析: （1）根據(jù)代入消元法，可得答案.
詳解:
由②得：x=-3+2y ③，
把③代入①得，3（-3+2y）-y=-4，
解得y=1，
把y=1代入③得：x=-1，
則原方程組的解為：.
點(diǎn)睛: 此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法.
類型二 含參問(wèn)題
60．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x，y的方程組的解滿足，則的值是（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】D
【分析】法一：利用加減法解方程組，用表示出，再將求得的代數(shù)式代入，得到的關(guān)系，最后將變形，即可解答．
法二：中得到，再根據(jù)求出代入代數(shù)式進(jìn)行求解即可.
【詳解】解：法一：，
得，
解得，
將代入，解得，
，
，
得到，
，
法二：
得：，即：，
∵，
∴，
，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)二元一次方程解的情況求參數(shù)，同底數(shù)冪除法，冪的乘方，熟練求出的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
61．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的二元一次方程組的解滿足，則m的值為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】將方程組的兩個(gè)方程相減，可得到，代入，即可解答．
【詳解】解：，
得，
，
代入，可得，
解得，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)解的情況求參數(shù)，熟練利用加減法整理代入是解題的關(guān)鍵．
62．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于，的二元一次方程組的解滿足，寫出的一個(gè)整數(shù)值___________．
【答案】7（答案不唯一）
【分析】先解關(guān)于x、y的二元一次方程組的解集，再將代入，然后解關(guān)于a的不等式的解集即可得出答案．
【詳解】將兩個(gè)方程相減得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的一個(gè)整數(shù)值可以是7．
故答案為：7（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組和解一元一次不等式，整體代入的思想方法是解答本題的亮點(diǎn)．
63．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為一元一次方程的解，縱坐標(biāo)為的值，其中a，b滿足二元一次方程組，則點(diǎn)Q關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為___________．
【答案】
【分析】先分別解一元一次方程和二元一次方程組，求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再根據(jù)直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律即可求解．
【詳解】解：，
移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得，，
系數(shù)化為1得，，
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為5，
∵，
由得，，解得：，
把代入①得，，解得：，
∴，
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，
又∴點(diǎn)Q關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程和解二元一次方程組、代數(shù)值求值、直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律，熟練掌握解一元一次方程和解二元一次方程組的方法求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
64.已知是關(guān)于x、y的二元一次方程，則( )
A．B．C．或D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)二元一次方程滿足的條件，即只含有2個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1的整式方程，即可求得a，b的值，即可求解．
【詳解】
解：根據(jù)題意，得
且a-1≠0，1
解得a=-1，b=-
∴
故選B．
【點(diǎn)睛】
主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特點(diǎn)：含有2個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1的整式方程．
65.若是關(guān)于，的二元一次方程，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】
根據(jù)二元一次方程的定義可知，m、n應(yīng)滿足以下4個(gè)關(guān)系式：，解之即得.
【詳解】
解：由題意是關(guān)于，的二元一次方程，于是m、n應(yīng)滿足 ，解得，，故選D.
【點(diǎn)睛】
本題考查了二元一次方程的定義，認(rèn)真審題并列出m、n應(yīng)滿足的4個(gè)關(guān)系式是解決此題的關(guān)鍵.
66.已知是關(guān)于x，y的二元一次方程，則m，n的值為（ ）．
A．m=2，n=1B．m=1，n=C．m=1，n=D．m=1，n=
【答案】D
【分析】
根據(jù)二元一次方程的定義即可求解．
【詳解】
∵是關(guān)于x，y的二元一次方程，
∴2m-1=1,4-2n=1
解得m=1，n=
故選D．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查二元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟知二元一次方程的特點(diǎn)．
67.若關(guān)于，的方程是二元一次方程，則________ ．
【答案】2或4
【分析】
根據(jù)二元一次方程的定義，可得x和y的指數(shù)分別都為1，列關(guān)于m、n的方程，然后求解即可．
【詳解】
根據(jù)二元一次方程的定義：
解得：m=3，，
∴m+n=3+1=4或m+n=3-1=2；
故答案為：2或4．
【點(diǎn)睛】
本題考查二元一次方程的定義：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程．
68.已知，方程是關(guān)于，的二元一次方程，則______．
【答案】1
【分析】
根據(jù)二元一次方程的定義解題．
【詳解】
解：由題意得，，
∴，，∴．
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】
本題考查二元一次方程的定義，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
69.已知是關(guān)于x、y的二元一次方程，則( )
A．B．C．或D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)二元一次方程滿足的條件，即只含有2個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1的整式方程，即可求得a，b的值，即可求解．
【詳解】
解：根據(jù)題意，得
且a-1≠0，1
解得a=-1，b=-
∴
故選B．
【點(diǎn)睛】
主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特點(diǎn)：含有2個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1的整式方程．
70.．（2021·四川遂寧市·中考真題）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組滿足，則a的取值范圍是____．
【答案】．
【分析】
根據(jù)題目中方程組的的特點(diǎn)，將兩個(gè)方程作差，即可用含a的代數(shù)式表示出，再根據(jù)，即可求得的取值范圍，本題得以解決．
【詳解】
解：
①-②，得
∵
∴，
解得，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查解一元一次不等式，二元一次方程組的解，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
71．（2021·江蘇揚(yáng)州市·中考真題）已知方程組的解也是關(guān)于x、y的方程的一個(gè)解，求a的值．
【答案】
【分析】
求出方程組的解得到x與y的值，代入方程計(jì)算即可求出a的值．
【詳解】
解：方程組，
把②代入①得：，
解得：，代入①中，
解得：，
把，代入方程得，，
解得：．
【點(diǎn)睛】
此題考查了二元一次方程組的解，以及二元一次方程的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．
72．（2021·重慶中考真題）對(duì)于任意一個(gè)四位數(shù)m，若千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和是百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和的2倍，則稱這個(gè)四位數(shù)m為“共生數(shù)”例如：，因?yàn)?，所?507是“共生數(shù)”：，因?yàn)?，所?135不是“共生數(shù)”；
（1）判斷5313，6437是否為“共生數(shù)”？并說(shuō)明理由；
（2）對(duì)于“共生數(shù)”n，當(dāng)十位上的數(shù)字是千位上的數(shù)字的2倍，百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和能被9整除時(shí)，記．求滿足各數(shù)位上的數(shù)字之和是偶數(shù)的所有n．
【答案】（1）是“共生數(shù)”， 不是“共生數(shù)”． （2）或
【分析】
（1）根據(jù)“共生數(shù)”的定義逐一判斷兩個(gè)數(shù)即可得到答案；
（2）設(shè)“共生數(shù)”的千位上的數(shù)字為 則十位上的數(shù)字為 設(shè)百位上的數(shù)字為 個(gè)位上的數(shù)字為 可得：＜ 且為整數(shù)，再由“共生數(shù)”的定義可得：而由題意可得：或 再結(jié)合方程的正整數(shù)解分類討論可得答案．
【詳解】
解：（1）
是“共生數(shù)”，

不是“共生數(shù)”．
（2）設(shè)“共生數(shù)”的千位上的數(shù)字為 則十位上的數(shù)字為 設(shè)百位上的數(shù)字為 個(gè)位上的數(shù)字為
＜ 且為整數(shù)，
所以：
由“共生數(shù)”的定義可得：



百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和能被9整除，
或或
當(dāng) 則 則 不合題意，舍去，
當(dāng)時(shí)，則

當(dāng)時(shí)，
此時(shí)： ，而不為偶數(shù)，舍去，
當(dāng)時(shí)，
此時(shí)： ，而為偶數(shù)，
當(dāng)時(shí)，
此時(shí)： ，而為偶數(shù)，
當(dāng)時(shí)，則
而則不合題意，舍去，
綜上：滿足各數(shù)位上的數(shù)字之和是偶數(shù)的或
【點(diǎn)睛】
本題考查的是新定義情境下的實(shí)數(shù)的運(yùn)算，二元一次方程的正整數(shù)解，分類討論的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，準(zhǔn)確理解題意列出準(zhǔn)確的代數(shù)式與方程是解題的關(guān)鍵．
題型六 二元一次方程組的應(yīng)用
73．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載：“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長(zhǎng)幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木條，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量木條，木條剩余1尺，問(wèn)木條長(zhǎng)多少尺？如果設(shè)木條長(zhǎng)x尺，繩子長(zhǎng)y尺，那么可列方程組為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)“一根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺”可知：繩子=木條+4.5，再根據(jù)“將繩子對(duì)折再量木條，木條剩余1尺”可知：繩子=木條-1，據(jù)此列出方程組即可．
【詳解】解：設(shè)木條長(zhǎng)x尺，繩子長(zhǎng)y尺，
那么可列方程組為：，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的二元一次方程組．
74．（2020?紹興）同型號(hào)的甲、乙兩輛車加滿氣體燃料后均可行駛210km，它們各自單獨(dú)行駛并返回的最遠(yuǎn)距離是105km．現(xiàn)在它們都從A地出發(fā)，行駛途中停下來(lái)從甲車的氣體燃料桶抽一些氣體燃料注入乙車的氣體燃料桶，然后甲車再行駛返回A地，而乙車?yán)^續(xù)行駛，到B地后再行駛返回A地．則B地最遠(yuǎn)可距離A地（ ）
A．120kmB．140kmC．160kmD．180km
【分析】設(shè)甲行駛到C地時(shí)返回，到達(dá)A地燃料用完，乙行駛到B地再返回A地時(shí)燃料用完，根據(jù)題意得關(guān)于x和y的二元一次方程組，求解即可．
【解析】設(shè)甲行駛到C地時(shí)返回，到達(dá)A地燃料用完，乙行駛到B地再返回A地時(shí)燃料用完，如圖：
設(shè)AB＝xkm，AC＝y(tǒng)km，根據(jù)題意得：
2x+2y=210×2x?y+x=210，
解得：x=140y=70．
∴乙在C地時(shí)加注行駛70km的燃料，則AB的最大長(zhǎng)度是140km．
故選：B．
75．（2021·江蘇連云港市·中考真題）為了做好防疫工作，學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．
（1）這兩種消毒液的單價(jià)各是多少元？
（2）學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)這兩種消毒液共90瓶，且B型消毒液的數(shù)量不少于A型消毒液數(shù)量的，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢的購(gòu)買方案，并求出最少費(fèi)用．
【答案】（1）種消毒液的單價(jià)是7元，型消毒液的單價(jià)是9元；（2）購(gòu)進(jìn)種消毒液67瓶，購(gòu)進(jìn)種23瓶，最少費(fèi)用為676元
【分析】
（1）根據(jù)題中條件列出二元一次方程組，求解即可；
（2）利用由（1）求出的兩種消毒液的單價(jià)，表示出購(gòu)買的費(fèi)用的表達(dá)式，根據(jù)購(gòu)買兩種消毒液瓶數(shù)之間的關(guān)系，求出引進(jìn)表示瓶數(shù)的未知量的范圍，即可確定方案．
【詳解】
解：（1）設(shè)種消毒液的單價(jià)是元，型消毒液的單價(jià)是元．
由題意得：，解之得，，
答：種消毒液的單價(jià)是7元，型消毒液的單價(jià)是9元．
（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)種消毒液瓶，則購(gòu)進(jìn)種瓶，購(gòu)買費(fèi)用為元．
則，
∴隨著的增大而減小，最大時(shí)，有最小值．
又，∴．
由于是整數(shù)，最大值為67，
即當(dāng)時(shí)，最省錢，最少費(fèi)用為元．
此時(shí)，．
最省錢的購(gòu)買方案是購(gòu)進(jìn)種消毒液67瓶，購(gòu)進(jìn)種23瓶．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二元一次不等式組的求解及利用一次函數(shù)的增減性來(lái)解決生活中的優(yōu)化決策問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是：仔細(xì)審題，找到題中的等量關(guān)系，建立等式進(jìn)行求解．
76．（2021·四川瀘州市·中考真題）某運(yùn)輸公司有A、B兩種貨車，3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運(yùn)貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運(yùn)貨160噸．
（1）請(qǐng)問(wèn)1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運(yùn)貨多少噸？
（2）目前有190噸貨物需要運(yùn)輸，該運(yùn)輸公司計(jì)劃安排A、B兩種貨車將全部貨物一次運(yùn)完(A、B兩種貨車均滿載)，其中每輛A貨車一次運(yùn)貨花費(fèi)500元，每輛B貨車一次運(yùn)貨花費(fèi)400元．請(qǐng)你列出所有的運(yùn)輸方案，并指出哪種運(yùn)輸方案費(fèi)用最少．
【答案】（1）1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運(yùn)貨20噸和15噸；（2）共有3種租車方案，方案1：租用A型車8輛，B型車2輛；方案2：租用A型車5輛，B型車6輛；方案3：租用A型車2輛，B型車10輛；租用A型車8輛，B型車2輛最少．
【分析】
（1）設(shè)1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運(yùn)貨x噸和y噸，根據(jù)“3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運(yùn)貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運(yùn)貨160噸”列方程組求解可得；
（2）設(shè)貨運(yùn)公司安排A貨車m輛，則安排B貨車n輛．根據(jù)“共有190噸貨物”列出二元一次方程組，結(jié)合m，n均為正整數(shù)，即可得出各運(yùn)輸方案．再根據(jù)方案計(jì)算比較得出費(fèi)用最小的數(shù)據(jù)．
【詳解】
解：（1）1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運(yùn)貨x噸和y噸，
根據(jù)題意可得：，
解得：，
答：1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運(yùn)貨20噸和15噸；
（2）設(shè)安排A型車m輛，B型車n輛，
依題意得：20m+15n=190，即，
又∵m，n均為正整數(shù)，
∴或或，
∴共有3種運(yùn)輸方案，
方案1：安排A型車8輛，B型車2輛；
方案2：安排A型車5輛，B型車6輛；
方案3：安排A型車2輛，B型車10輛．
方案1所需費(fèi)用：5008+4002=4800(元)；
方案2所需費(fèi)用：5005+4006=4900(元)；
方案3所需費(fèi)用：5002+40010=5000(元)；
∵4800＜4900＜5000，
∴安排A型車8輛，B型車2輛最省錢，最省錢的運(yùn)輸費(fèi)用為4800元．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程；根據(jù)據(jù)總費(fèi)用=500×安排A型車的輛數(shù)+400×B型車的輛數(shù)分別求出三種運(yùn)輸方案的總費(fèi)用．

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