一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）
1．（2019·四川南充·中考真題）關(guān)于的一元一次方程的解為，則的值為（ ）
A．9B．8C．5D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)一元一次方程的概念和其解的概念解答即可．
【解析】解：因?yàn)殛P(guān)于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解為x=1，
可得：a-2=1，2+m=4，解得：a=3，m=2，所以a+m=3+2=5，故選C．
【點(diǎn)睛】此題考查一元一次方程的定義，關(guān)鍵是根據(jù)一元一次方程的概念和其解的概念解答．
2．（2022·浙江溫州）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c的值是（ ）
A．36B．C．9D．
【答案】C
【分析】根據(jù)判別式的意義得到，然后解關(guān)于c的一次方程即可．
【詳解】解：∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
∴ 解得 故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的跟與的關(guān)系，關(guān)鍵是分清楚以下三種情況：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
3．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】C
【分析】解分式方程求出，然后根據(jù)解是非負(fù)數(shù)以及解不是增根得出關(guān)于m的不等式組，求解即可．
【詳解】解：分式方程去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解是非負(fù)數(shù)，
∴，且，
∴且，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，正確得出關(guān)于m的不等式組是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）不等式組的解集是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【詳解】
解不等式①，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得，；
解不等式②，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得，
故不等式組的解集為：．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
5．（2021·安徽）設(shè)a，b，c為互不相等的實(shí)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
舉反例可判斷A和B，將式子整理可判斷C和D．
【詳解】
解：A．當(dāng)，，時(shí)，，故A錯(cuò)誤；
B．當(dāng)，，時(shí)，，故B錯(cuò)誤；
C．整理可得，故C錯(cuò)誤；
D．整理可得，故D正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查等式的性質(zhì)，掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（2019·四川遂寧·中考真題）關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，則k的取值范圍是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】C
【分析】先對(duì)分式方程去分母，再根據(jù)題意進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案.
【解析】解：分式方程去分母得：，解得：，
根據(jù)題意得：，且，解得：，且．故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的求解方法.
7．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解僅有4個(gè)，則m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】不等式組整理后，表示出不等式組的解集，根據(jù)整數(shù)解共有4個(gè)，確定出m的范圍即可．
【詳解】解：，
由②得：，
解集為，
由不等式組的整數(shù)解只有4個(gè)，得到整數(shù)解為2，1，0，，
∴，
∴；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數(shù)解等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)不等式組的解集得到是解此題的關(guān)鍵．
8．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，是《算經(jīng)十書(shū)》之一．書(shū)中記載了這樣一個(gè)題目：今有木，不知長(zhǎng)短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長(zhǎng)幾何？其大意是：用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余尺；將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余尺．問(wèn)木長(zhǎng)多少尺？設(shè)木長(zhǎng)尺，則可列方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)木長(zhǎng)尺，根據(jù)題意“用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余尺；將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余尺”，列出一元一次方程即可求解．
【詳解】解：設(shè)木長(zhǎng)尺，根據(jù)題意得，
，
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．
9．（2022·重慶）若關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程的解是負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是（ ）
A．－26B．－24C．－15D．－13
【答案】D
【分析】根據(jù)不等式組的解集，確定a＞-11，根據(jù)分式方程的負(fù)整數(shù)解，確定a＜1，根據(jù)分式方程的增根，確定a≠-2，計(jì)算即可．
【詳解】∵ ，解①得解集為，解②得解集為，
∵ 不等式組的解集為，∴，解得a＞-11，
∵ 的解是y=，且y≠-1，的解是負(fù)整數(shù)，
∴a＜1且a≠-2，∴-11＜a＜1且a≠-2，故a=-8或a=-5，
故滿足條件的整數(shù)的值之和是-8-5=-13，故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式組的解集，分式方程的特殊解，增根，熟練掌握不等式組的解法，靈活求分式方程的解，確定特殊解，注意增根是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x，y的方程組的解滿足，則的值是（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】D
【分析】法一：利用加減法解方程組，用表示出，再將求得的代數(shù)式代入，得到的關(guān)系，最后將變形，即可解答．
法二：中得到，再根據(jù)求出代入代數(shù)式進(jìn)行求解即可.
【詳解】解：法一：，
得，
解得，
將代入，解得，
，
，
得到，
，
法二：
得：，即：，
∵，
∴，
，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)二元一次方程解的情況求參數(shù)，同底數(shù)冪除法，冪的乘方，熟練求出的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
11．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）已知方程的根為，則的值為_(kāi)___________．
【答案】6
【分析】解方程，將解得的代入即可解答．
【詳解】解：，
對(duì)左邊式子因式分解，可得
解得，，
將，代入，
可得原式，
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，熟練掌握計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．
12．（2022·四川瀘州）若方程的解使關(guān)于的不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．
【答案】
【分析】先解分式方程得，再把代入不等式計(jì)算即可．
【詳解】
去分母得：解得：
經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解
把代入不等式得：
解得故答案為：
【點(diǎn)睛】本題綜合考查分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解題的關(guān)鍵是熟記相關(guān)運(yùn)算法則．
13．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元一次不等式組，至少有2個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是___________．
【答案】4
【分析】先解不等式組，確定a的取值范圍，再把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，解得，由分式方程有正整數(shù)解，確定出a的值，相加即可得到答案．
【詳解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式的解集為，
∵不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，
∴，
解得：；
∵關(guān)于y的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，
∴
解得：，
即且，
解得：且
∴a的取值范圍是，且
∴a可以?。?，3，
∴，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
14．（2020·湖北孝感?中考真題）有一列數(shù)，按一定的規(guī)律排列成，，3，，27，－81，…．若其中某三個(gè)相鄰數(shù)的和是，則這三個(gè)數(shù)中第一個(gè)數(shù)是______．
【答案】
【解析】
【分析】
題中數(shù)列的絕對(duì)值的比是-3，由三個(gè)相鄰數(shù)的和是，可設(shè)三個(gè)數(shù)為n，-3n，9n，據(jù)題意列式即可求解．
【詳解】
題中數(shù)列的絕對(duì)值的比是-3，由三個(gè)相鄰數(shù)的和是，可設(shè)第一個(gè)數(shù)是n，則三個(gè)數(shù)為n，-3 n，9n
由題意：，
解得：n=-81，
故答案為：-81．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查數(shù)列的規(guī)律探索與運(yùn)用，一元一次方程與數(shù)字的應(yīng)用，熟悉并會(huì)用代數(shù)式表示常見(jiàn)的數(shù)列，列出方程是解題的關(guān)鍵．
15．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的方程兩根的倒數(shù)和為1，則m的值為_(kāi)__________．
【答案】2
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．
【詳解】解：設(shè)方程的兩個(gè)根分別為a，b，
由題意得：，，
∴，
∴，解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的解，
檢驗(yàn)：，
∴符合題意，
∴．
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
16．（2022·浙江寧波）定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)a，b，．若，則x的值為_(kāi)__________．
【答案】
【分析】根據(jù)新定義可得，由此建立方程解方程即可．
【詳解】解：∵，∴，
又∵，∴，
∴，∴，∴，
∵即，∴，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解分式方程，正確理解題意得到關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．
17．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于，的二元一次方程組的解滿足，寫(xiě)出的一個(gè)整數(shù)值___________．
【答案】7（答案不唯一）
【分析】先解關(guān)于x、y的二元一次方程組的解集，再將代入，然后解關(guān)于a的不等式的解集即可得出答案．
【詳解】將兩個(gè)方程相減得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的一個(gè)整數(shù)值可以是7．
故答案為：7（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組和解一元一次不等式，整體代入的思想方法是解答本題的亮點(diǎn)．
18．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）已知、是方程的兩根，則代數(shù)式的值為_(kāi)________．
【答案】
【分析】根據(jù)、是一元二次方程的兩個(gè)根，則有，求解即可．
【詳解】解：由題意得
，
原式．
故答案：．
【點(diǎn)睛】本題考查了韋達(dá)定理，掌握定理是解題的關(guān)鍵．
19．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的不等式組所有整數(shù)解的和為，則整數(shù)的值為_(kāi)__________．
【答案】或
【分析】根據(jù)題意可求不等式組的解集為，再分情況判斷出的取值范圍，即可求解．
【詳解】解：由①得：，
由②得：，
不等式組的解集為：，
所有整數(shù)解的和為，
①整數(shù)解為：、、、，
，
解得：，
為整數(shù)，
．
②整數(shù)解為：，，，、、、，
，
解得：，
為整數(shù)，
．
綜上，整數(shù)的值為或
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了含參數(shù)的一元一次不等式組的整數(shù)解問(wèn)題，掌握一元一次不等式組的解法，理解參數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．
20．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）某校截止到年底，校園綠化面積為平方米．為美化環(huán)境，該校計(jì)劃年底綠化面積達(dá)到平方米．利用方程想想，設(shè)這兩年綠化面積的年平均增長(zhǎng)率為，則依題意列方程為_(kāi)_________．
【答案】
【分析】設(shè)這兩年綠化面積的年平均增長(zhǎng)率為，依題意列出一元二次方程即可求解．
【詳解】解：設(shè)這兩年綠化面積的年平均增長(zhǎng)率為，則依題意列方程為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共11小題，共66分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
21．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）解不等式組并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．
【答案】，數(shù)軸表示見(jiàn)解析
【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【詳解】解：
解不等式①得·，
解不等式②，得：，
把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)：
則不等式組的解集為：
．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
22．（2021·四川眉山市·中考真題）解方程組
【答案】
【分析】
方程組適當(dāng)變形后，給②×3-①×2即可消去x，解關(guān)于y的一元一次方程，再將y值代入①式，即可解出y．
【詳解】
解：由可得
②×3-①×2得，
即，
解得y=1，
將y=1代入①式得，解得．
故該方程組的解為．
【點(diǎn)睛】
本題考查解二元一次方程組．解二元一次方程主要用到“消元思想”，將二元一次方程組化為一元一次方程求解．主要方法有加減消元法和代入消元法，熟練掌握這兩種方法并能靈活利用是解題關(guān)鍵．
23.（2021·陜西中考真題）解方程：．
【答案】
【分析】
按照解分式方程的方法和步驟求解即可．
【詳解】
解：去分母（兩邊都乘以），得，
．
去括號(hào)，得，
，
移項(xiàng)，得，
．
合并同類項(xiàng)，得，
．
系數(shù)化為1，得，
．
檢驗(yàn)：把代入．
∴是原方程的根．
【點(diǎn)睛】
本題考查了分式方程的解法，熟知分式方程的解法步驟是解題的關(guān)鍵，尤其注意解分式方程必須檢驗(yàn)．
24．（2020·湖北隨州·中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程．
（1）求證：無(wú)論取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，求的值．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．
【分析】（1）求出△的值即可證明；（2），根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，代入，得到關(guān)于m的方程，然后解方程即可．
【解析】（1）證明：依題意可得
故無(wú)論m取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得：
由，得，解得．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用一元二次方程根的判別式證明根的情況以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=?，x1x2=．
25．（2020·寧夏中考真題）“低碳生活，綠色出行”是一種環(huán)保、健康的生活方式，小麗從甲地勻速步行前往乙地，同時(shí)，小明從乙地沿同一路線勻速步行前往甲地，兩人之間的距離與步行時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式如圖中折線段所示．
（1）小麗與小明出發(fā)_______相遇；
（2）在步行過(guò)程中，若小明先到達(dá)甲地．
①求小麗和小明步行的速度各是多少？
②計(jì)算出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并解釋點(diǎn)C的實(shí)際意義．
【答案】（1）30；（2）①小麗步行的速度為，小明步行的速度為；②點(diǎn)，點(diǎn)C表示：兩人出發(fā)時(shí)，小明到達(dá)甲地，此時(shí)兩人相距．
【解析】
【分析】
（1）直接從圖像獲取信息即可；
（2）①設(shè)小麗步行的速度為，小明步行的速度為，且，根據(jù)圖像和題意列出方程組，求解即可；
②設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，根據(jù)題意列出方程解出x，再根據(jù)圖像求出y即可，再結(jié)合兩人的運(yùn)動(dòng)過(guò)程解釋點(diǎn)C的意義即可．
【詳解】
（1）由圖像可得小麗與小明出發(fā)30相遇，
故答案為：30；
（2）①設(shè)小麗步行的速度為，小明步行的速度為，且，
則，
解得：，
答：小麗步行的速度為，小明步行的速度為；
②設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
則可得方程，
解得，
，
∴點(diǎn)，
點(diǎn)C表示：兩人出發(fā)時(shí)，小明到達(dá)甲地，此時(shí)兩人相距．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，從圖像獲取信息是解題關(guān)鍵．
26．（2022·重慶）為保障蔬菜基地種植用水，需要修建灌溉水渠．
(1)計(jì)劃修建灌溉水渠600米，甲施工隊(duì)施工5天后，增加施工人員，每天比原來(lái)多修建20米，再施工2天完成任務(wù)，求甲施工隊(duì)增加人員后每天修建灌溉水渠多少米？
(2)因基地面積擴(kuò)大，現(xiàn)還需修建另一條灌溉水渠1800米，為早日完成任務(wù)，決定派乙施工隊(duì)與甲施工隊(duì)同時(shí)開(kāi)工合作修建這條水渠，直至完工．甲施工隊(duì)按（1）中增加人員后的修建速度進(jìn)行施工．乙施工隊(duì)修建360米后，通過(guò)技術(shù)更新，每天比原來(lái)多修建20%，灌溉水渠完工時(shí)，兩施工隊(duì)修建的長(zhǎng)度恰好相同．求乙施工隊(duì)原來(lái)每天修建灌溉水渠多少米？
【答案】(1)100米(2)90米
【分析】（1）設(shè)甲施工隊(duì)增加人員后每天修建灌溉水渠x米，原來(lái)每天修建米，根據(jù)工效問(wèn)題公式：工作總量＝工作時(shí)間×工作效率，列出關(guān)于x的一元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）設(shè)乙施工隊(duì)原來(lái)每天修建灌溉水渠y米，技術(shù)更新后每天修建米，根據(jù)水渠總長(zhǎng)1800米，完工時(shí)，兩施工隊(duì)修建長(zhǎng)度相同，可知每隊(duì)修建900米，再結(jié)合兩隊(duì)同時(shí)開(kāi)工修建，直至同時(shí)完工，可得兩隊(duì)工作時(shí)間相同，列出關(guān)于y的分式方程，解方程即可得出答案．
(1)解：設(shè)甲施工隊(duì)增加人員后每天修建灌溉水渠x米，原來(lái)每天修建米，
則有解得
∴甲施工隊(duì)增加人員后每天修建灌溉水渠100米．
(2)∵水渠總長(zhǎng)1800米，完工時(shí)，兩施工隊(duì)修建長(zhǎng)度相同
∴兩隊(duì)修建的長(zhǎng)度都為1800÷2＝900(米)
乙施工隊(duì)技術(shù)更新后，修建長(zhǎng)度為900－360＝540(米)
解：設(shè)乙施工隊(duì)原來(lái)每天修建灌溉水渠y米，技術(shù)更新后每天修建米，即1.2y米
則有解得
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，符合題意
∴乙施工隊(duì)原來(lái)每天修建灌溉水渠90米．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程和分式方程的實(shí)際應(yīng)用，應(yīng)注意分式方程要檢驗(yàn)，讀懂題意，正確設(shè)出未知數(shù)，并列出方程，是解題的關(guān)鍵．
27．（2019·湖南衡陽(yáng)·中考真題）某商店購(gòu)進(jìn)、兩種商品，購(gòu)買(mǎi)1個(gè)商品比購(gòu)買(mǎi)1個(gè)商品多花10元，并且花費(fèi)300元購(gòu)買(mǎi)商品和花費(fèi)100元購(gòu)買(mǎi)商品的數(shù)量相等．（1）求購(gòu)買(mǎi)一個(gè)商品和一個(gè)商品各需要多少元；（2）商店準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)、兩種商品共80個(gè)，若商品的數(shù)量不少于商品數(shù)量的4倍，并且購(gòu)買(mǎi)、商品的總費(fèi)用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪幾種購(gòu)買(mǎi)方案？
【答案】（1）購(gòu)買(mǎi)一個(gè)商品需要15元，購(gòu)買(mǎi)一個(gè)商品需要5元；（2）商店有2種購(gòu)買(mǎi)方案，方案①：購(gòu)進(jìn)商品65個(gè)、商品15個(gè)；方案②：購(gòu)進(jìn)商品64個(gè)、商品16個(gè)．
【分析】（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)一個(gè)商品需要元，則購(gòu)買(mǎi)一個(gè)商品需要元，根據(jù)數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)結(jié)合花費(fèi)300元購(gòu)買(mǎi)商品和花費(fèi)100元購(gòu)買(mǎi)商品的數(shù)量相等，即可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)商品個(gè)，則購(gòu)買(mǎi)商品個(gè)，根據(jù)商品的數(shù)量不少于商品數(shù)量的4倍并且購(gòu)買(mǎi)、商品的總費(fèi)用不低于1000元且不高于1050元，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，再結(jié)合為整數(shù)即可找出各購(gòu)買(mǎi)方案．
【解析】解：（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)一個(gè)商品需要元，則購(gòu)買(mǎi)一個(gè)商品需要元，
依題意，得：，解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，∴．
答：購(gòu)買(mǎi)一個(gè)商品需要15元，購(gòu)買(mǎi)一個(gè)商品需要5元．
（2） 設(shè)購(gòu)買(mǎi)商品個(gè)，則購(gòu)買(mǎi)商品個(gè)，
依題意，得：，解得：．
∵為整數(shù)，∴或16．∴商店有2種購(gòu)買(mǎi)方案，方案①：購(gòu)進(jìn)商品65個(gè)、商品15個(gè)；方案②：購(gòu)進(jìn)商品64個(gè)、商品16個(gè)．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．
28．如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．
（1）如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積等于6 cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面積能否等于8 cm2？說(shuō)明理由．
【答案】（1）2或3秒；（2）不能.
【解析】（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒以后△PBQ的面積為6 cm2，
則×（5﹣x）×2x=6，
整理得：x2﹣5x+6=0，
解得：x=2或x=3．
答：2或3秒后△PBQ的面積等于6 cm2 ．
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒以后△PBQ面積為8 cm2，則
×（5﹣x）×2x=8，
整理得：x2﹣5x+8=0，
因?yàn)椤?25﹣32=﹣7＜0，
所以此方程無(wú)解，
故△PQB的面積不能等于8 cm2．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)“△PBQ的面積等于6 cm2”，得出等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒鐘，△PBQ的面積等于6 cm2，根據(jù)點(diǎn)P從A點(diǎn)開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1 cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2 cm/s的速度移動(dòng)，表示出BP和BQ的長(zhǎng)可列方程求解．
（2）通過(guò)判定得到的方程的根的判別式即可判定能否達(dá)到8 cm2．
29．（2020·遼寧丹東·中考真題）某服裝批發(fā)市場(chǎng)銷售一種襯衫，襯衫每件進(jìn)貨價(jià)為50元，規(guī)定每件售價(jià)不低于進(jìn)貨價(jià)，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，每月的銷售量（件）與每件的售價(jià)（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：
（1）求出與之間的函數(shù)表達(dá)式；（不需要求自變量的取值范圍）
（2）該批發(fā)市場(chǎng)每月想從這種襯衫銷售中獲利24000元，又想盡量給客戶實(shí)惠，該如何給這種襯衫定價(jià)？
（3）物價(jià)部門(mén)規(guī)定，該襯衫的每件利潤(rùn)不允許高于進(jìn)貨價(jià)的30%，設(shè)這種襯衫每月的總利潤(rùn)為（元），那么售價(jià)定為多少元可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？
【答案】（1）與之間的函數(shù)表達(dá)式為；（2）這種襯衫定價(jià)為每件70元；（3）價(jià)定為65元可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是19500元．
【分析】（1）根據(jù)題意可以設(shè)出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，然后根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)即可求得y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)“總利潤(rùn)=每件商品的利潤(rùn)×銷售量”列出方程并求解，最后根據(jù)盡量給客戶實(shí)惠，對(duì)方程的解進(jìn)行取舍即可；（3）求出w的函數(shù)解析式，將其化為頂點(diǎn)式，然后求出定價(jià)的取值，即可得到售價(jià)為多少萬(wàn)元時(shí)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少．
【解析】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)解析式為y=kx+b（k≠0），
把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得，， 解得，，
∴與之間的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）設(shè)該種襯衫售價(jià)為x元，根據(jù)題意得，（x-50）(-20x+2600)=24000解得，，，
∵批發(fā)商場(chǎng)想盡量給客戶實(shí)惠，∴，故這種襯衫定價(jià)為每件70元；
（3）設(shè)售價(jià)定為x元，則有：
=
∵ ∴
∵k=-20＜0，∴w有最大值，即當(dāng)x=65時(shí)，w的最大值為-20（65-90）2+32000=19500（元）．
所以，售價(jià)定為65元可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是19500元．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的頂點(diǎn)式解答．
30．（2021·重慶中考真題）對(duì)于任意一個(gè)四位數(shù)m，若千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和是百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和的2倍，則稱這個(gè)四位數(shù)m為“共生數(shù)”例如：，因?yàn)?，所?507是“共生數(shù)”：，因?yàn)?，所?135不是“共生數(shù)”；
（1）判斷5313，6437是否為“共生數(shù)”？并說(shuō)明理由；
（2）對(duì)于“共生數(shù)”n，當(dāng)十位上的數(shù)字是千位上的數(shù)字的2倍，百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和能被9整除時(shí)，記．求滿足各數(shù)位上的數(shù)字之和是偶數(shù)的所有n．
【答案】（1）是“共生數(shù)”， 不是“共生數(shù)”． （2）或
【分析】
（1）根據(jù)“共生數(shù)”的定義逐一判斷兩個(gè)數(shù)即可得到答案；
（2）設(shè)“共生數(shù)”的千位上的數(shù)字為 則十位上的數(shù)字為 設(shè)百位上的數(shù)字為 個(gè)位上的數(shù)字為 可得：＜ 且為整數(shù)，再由“共生數(shù)”的定義可得：而由題意可得：或 再結(jié)合方程的正整數(shù)解分類討論可得答案．
【詳解】
解：（1）
是“共生數(shù)”，

不是“共生數(shù)”．
（2）設(shè)“共生數(shù)”的千位上的數(shù)字為 則十位上的數(shù)字為 設(shè)百位上的數(shù)字為 個(gè)位上的數(shù)字為
＜ 且為整數(shù)，
所以：
由“共生數(shù)”的定義可得：



百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和能被9整除，
或或
當(dāng) 則 則 不合題意，舍去，
當(dāng)時(shí)，則

當(dāng)時(shí)，
此時(shí)： ，而不為偶數(shù)，舍去，
當(dāng)時(shí)，
此時(shí)： ，而為偶數(shù)，
當(dāng)時(shí)，
此時(shí)： ，而為偶數(shù)，
當(dāng)時(shí)，則
而則不合題意，舍去，
綜上：滿足各數(shù)位上的數(shù)字之和是偶數(shù)的或
【點(diǎn)睛】
本題考查的是新定義情境下的實(shí)數(shù)的運(yùn)算，二元一次方程的正整數(shù)解，分類討論的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，準(zhǔn)確理解題意列出準(zhǔn)確的代數(shù)式與方程是解題的關(guān)鍵．
31．（2022·山西·中考真題）閱讀與思考
下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)小論文，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)
用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)一元二次方程根的情況
我們知道，一元二次方程的根就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象（稱為拋物線）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．拋物線與x軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)、無(wú)交點(diǎn)．與此相對(duì)應(yīng)，一元二次方程的根也有三種情況：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根、無(wú)實(shí)數(shù)根．因此可用拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定一元二次方程根的情況
下面根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（，）和一元二次方程根的判別式，分別分和兩種情況進(jìn)行分析：
（1）時(shí)，拋物線開(kāi)口向上．
①當(dāng)時(shí)，有．∵，∴頂點(diǎn)縱坐標(biāo)．
∴頂點(diǎn)在x軸的下方，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（如圖1）．
②當(dāng)時(shí)，有．∵，∴頂點(diǎn)縱坐標(biāo)．
∴頂點(diǎn)在x軸上，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)（如圖2）．
∴一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
③當(dāng)時(shí)，
……
（2）時(shí)，拋物線開(kāi)口向下．
……
任務(wù)：
(1)上面小論文中的分析過(guò)程，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是 （從下面選項(xiàng)中選出兩個(gè)即可）；
A．?dāng)?shù)形結(jié)合
B．統(tǒng)計(jì)思想
C．分類討論．
D．轉(zhuǎn)化思想
(2)請(qǐng)參照小論文中當(dāng)時(shí)①②的分析過(guò)程，寫(xiě)出③中當(dāng)時(shí)，一元二次方程根的情況的分析過(guò)程，并畫(huà)出相應(yīng)的示意圖；
(3)實(shí)際上，除一元二次方程外，初中數(shù)學(xué)還有一些知識(shí)也可以用函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)，例如：可用函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)一元一次方程的解．請(qǐng)你再舉出一例為
【答案】(1)AC（或AD或CD）
(2)分析見(jiàn)解析；作圖見(jiàn)解析
(3)答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）解一元二次方程的解轉(zhuǎn)化為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；還體現(xiàn)了分類討論思想；
（2）依照例題，畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合，可以解答；
（3）結(jié)合所學(xué)知識(shí)，找到用轉(zhuǎn)化思想或數(shù)形結(jié)合或分類討論思想解決問(wèn)題的一種情況即可．
(1)
解：上面解一元二次方程的過(guò)程中體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合、分類討論思想，
故答案為：AC（或AD或CD）；
(2)
解：a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上．
當(dāng)△=b2?4ac0﹒
∵a>0，
∴頂點(diǎn)縱坐標(biāo)﹒
∴頂點(diǎn)在x軸的上方，拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)（如圖）：
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)無(wú)實(shí)數(shù)根．
(3)
解：可用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)二元一次方程組的解．（答案不唯一．又如：可用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)一元一次不等式的解集，等）
【點(diǎn)睛】
本題考查的二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，根據(jù)轉(zhuǎn)化思想將一元二次方程的解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的問(wèn)題，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想用拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定一元二次方程根的情況是本題的關(guān)鍵．
售價(jià)（元/件）
60
65
70
銷售量（件）
1400
1300
1200

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