如圖，已知拋物線y=﹣x2＋ax＋b與x軸從左至右交于A、B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C．設(shè)∠OCB=α，∠OCA=β，且tanα﹣tanβ=2，OC2=OA?OB．
(1)△ABC是否為直角三角形？若是，請(qǐng)給出證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)求拋物線的解析式；
(3)若拋物線的頂點(diǎn)為P，求四邊形ABPC的面積．

如圖，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D.點(diǎn)P、Q分別從B、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q沿CA、AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x(s).
(1)當(dāng)x= 時(shí)，PQ⊥AC，x= 時(shí)，PQ⊥AB；
(2)設(shè)△PQD的面積為y(cm2)，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式為 ；
(3)當(dāng)0＜x＜2時(shí)，求證：AD平分△PQD的面積；
如圖，已知二次函數(shù)y=ax2＋eq \f(3,2)x＋c的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0，4)，與x軸交于點(diǎn)B，C，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(8，0)，連接AB、AC．
(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出二次函數(shù)y=ax2＋eq \f(3,2)x＋c的表達(dá)式；
(2)判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；
(3)若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；
(4)若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)B、C重合)，過(guò)點(diǎn)N作NM∥AC，交AB于點(diǎn)M，當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．

如圖，已知拋物線y=eq \f(1,3)x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn)A(0，1)，點(diǎn)B(﹣9，10)，AC∥x軸，點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)過(guò)點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點(diǎn)E、F，當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在直線AC上是否存在點(diǎn)Q，使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
如圖，已知拋物線y=﹣x2＋bx＋c與x軸正半軸交于點(diǎn)A(3，0)，與y軸交于點(diǎn)B(0，3)，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)C，交直線AB于點(diǎn)D，設(shè)P(x，0)．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)當(dāng)0＜x＜3時(shí)，求線段CD的最大值；
(3)在△PDB和△CDB中，當(dāng)其中一個(gè)三角形的面積是另一個(gè)三角形面積的2倍時(shí)，求相應(yīng)x的值；
(4)過(guò)點(diǎn)B，C，P的外接圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，x的值為 ．(直接寫(xiě)出答案)
已知一元二次方程x2﹣4x＋3=0的兩根是m，n且m＜n．如圖，若拋物線y=﹣x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(m，0)、B(0，n)．
(1)求拋物線的解析式．
(2)若(1)中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．根據(jù)圖象回答，當(dāng)x取何值時(shí)，拋物線的圖象在直線BC的上方？
(3)點(diǎn)P在線段OC上，作PE⊥x軸與拋物線交于點(diǎn)E，若直線BC將△CPE的面積分成相等的兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
如圖1，直線y=﹣eq \f(2,3)x＋2與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為A(﹣1，0)．
(1)求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
(2)P在線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與B、C不重合)，過(guò)點(diǎn)P作直線a∥y軸，交拋物線于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，△BCE的面積為S．
①求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量m的取值范圍；
②求S的最大值，并判斷此時(shí)△OBE的形狀，說(shuō)明理由；
(3)過(guò)點(diǎn)P作直線b∥x軸(圖2)，交AC于點(diǎn)Q，那么在x軸上是否存在點(diǎn)R，使得△PQR為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
已知拋物線l1：y=﹣x2＋2x＋3與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E(4，0)，與y軸交于點(diǎn)D(0，﹣2)．
(1)求拋物線l2的解析式；
(2)點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線l1于點(diǎn)M，交拋物線l2于點(diǎn)N．
①當(dāng)四邊形AMBN的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②當(dāng)CM=DN≠0時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
如圖1，拋物線y=ax2＋bx＋3(a≠0)與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A(﹣1，0)、B(3，0)、點(diǎn)C三點(diǎn)．
(1)試求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)D(2，m)在第一象限的拋物線上，連接BC、BD．試問(wèn)，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，滿(mǎn)足∠PBC=∠DBC？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)如圖2，在(2)的條件下，將△BOC沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右平移，記平移后的三角形為△B′O′C′．在平移過(guò)程中，△B′O′C′與△BCD重疊的面積記為S，設(shè)平移的時(shí)間為t秒，試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式？
如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線M：y=﹣eq \f(1,2)x2＋5經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2，3)，直線y=kx＋b與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，∠ACB=90°
(1)探究與猜想：
①探究：
取點(diǎn)B(6，﹣13)時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣eq \f(5,2)，eq \f(15,8))，直接寫(xiě)出直線AB的解析式 ；
取點(diǎn)B(4，﹣3)，直接寫(xiě)出AB的解析式為
②猜想：
我們猜想直線AB必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為 ．請(qǐng)取點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為n，驗(yàn)證你的猜想；
(2)如圖2，點(diǎn)D在拋物線M上，若AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，△ABD的面積等于△ABC的面積，試求出一個(gè)符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出其余的符合條件的D點(diǎn)的坐標(biāo)．
\s 0 答案
解：(1)△ABC是直角三角形．理由如下：
∵OC2=OA?OB，∴=，
又∵∠BOC=∠COA=90°，
∴Rt△BOC∽R(shí)t△COA，
∴∠OCB=∠OAC；
又∵∠OCA＋∠OAC=90°，
∴∠OCA＋∠OCB=90°，即∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；
(2)∵拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴方程﹣x2＋ax＋b=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．
設(shè)這兩個(gè)根分別為x1、x2，且x1＜x2，顯然，x1＜0，x2＞0，
得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，0)、B(x2，0)．
由根與系數(shù)的關(guān)系，有x1＋x2=a，x1?x2=﹣b．
對(duì)于拋物線y=﹣x2＋ax＋b，當(dāng)x=0時(shí)，y=b，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為C(0，b)；
由已知條件OC2=OA?OB，得b2=(﹣x1)?x2，即b2=﹣x1?x2，∴b2=b，
∵點(diǎn)C在y軸的正半軸上，
∴b＞0，從而得b=1．
∵tanα=OB：OC，tanβ=OA：OC，
由tanα﹣tanβ=2，得OC：OB=OA：OC=2，即OB﹣OA=2OC，
得x2﹣(﹣x1)=2b，x2＋x1=2b，即a=2b，
∴a=2．∴拋物線的解析式為：y=﹣x2＋2x＋1；
(3)由拋物線的解析式y(tǒng)=﹣x2＋2x＋1配方得：y=﹣(x﹣1)2＋2，
∴其頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(1，2)．
解方程﹣x2＋2x＋1=0，得x1=1﹣eq \r(2)，x2=1＋eq \r(2)，
∴A(1﹣eq \r(2)，0)，B(1＋eq \r(2)，0)．
設(shè)過(guò)P、C兩點(diǎn)的直線與x軸交于點(diǎn)D，直線的解析式為：y=kx＋1，
把P(1，2)坐標(biāo)代入，得k=1，
∴直線PC：y=x＋1，當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣1，
即點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(﹣1，0)．
∵﹣1＜1﹣eq \r(2)，
∴點(diǎn)D在點(diǎn)A的左邊，
作PF⊥x軸于點(diǎn)F，
∴S四邊形ABPC=S△PDB﹣S△CDA=eq \f(1,2)DB?PF﹣eq \f(1,2)DA?OC
=eq \f(1,2)[(1＋eq \r(2))＋1]×2﹣eq \f(1,2)[(1﹣eq \r(2))＋1]×1=1＋eq \f(3\r(2),2)，
即四邊形ABPC的面積為1＋eq \f(3\r(2),2).
解：(1)當(dāng)Q在AB上時(shí)，顯然PQ不垂直于AC，
當(dāng)Q在AC上時(shí)，由題意得，BP=x，CQ=2x，PC=4﹣x；
∵AB=BC=CA=4，∴∠C=60°；
若PQ⊥AC，則有∠QPC=30°，∴PC=2CQ，
∴4﹣x=2×2x，∴x=eq \f(4,5)；
當(dāng)x=eq \f(4,5)(Q在AC上)時(shí)，PQ⊥AC；如圖：①
當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，BP=x，BQ=eq \f(1,2)x，AC＋AQ=2x；
∵AC=4，∴AQ=2x﹣4，
∴2x﹣4＋eq \f(1,2)x=4，
∴x=3.2，故x=3.2時(shí)PQ⊥AB；
綜上所述，當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，x=eq \f(4,5)或3.2.
(2)y=﹣eq \f(\r(3),2)x2＋eq \r(3)x，
如圖②，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，P在BD上，Q在AC上，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥BC于N；
∵∠C=60°，QC=2x，
∴QN=QC×sin60°=eq \r(3)x；
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=eq \f(1,2)BC=2，∴DP=2﹣x，
∴y=eq \f(1,2)PD?QN=eq \f(1,2)(2﹣x)?eq \r(3)x=﹣eq \f(\r(3),2)x2＋eq \r(3)x；
(3)當(dāng)0＜x＜2時(shí)，在Rt△QNC中，QC=2x，∠C=60°；
∴NC=x，∴BP=NC，
∵BD=CD，∴DP=DN；
∵AD⊥BC，QN⊥BC，
∴AD∥QN，∴OP=OQ，
∴S△PDO=S△DQO，
∴AD平分△PQD的面積；
解：(1)將點(diǎn)A(0，4)、C(8，0)代入y=ax2＋eq \f(3,2)x＋c中，
得：，解得：，
∴該二次函數(shù)的解析式為y=﹣eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x＋4．
(2)令y=﹣eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x＋4中y=0，
則﹣eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x＋4=0，解得：x=﹣2，或x=8，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣2，0)，
又∵點(diǎn)A(0，4)，點(diǎn)C(8，0)，
∴AB=2eq \r(5)，AC=4eq \r(5)，BC=10．
∵AB2＋AC2=20＋80=100=BC2，
∴△ABC為直角三角形．
(3)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m，0)，
則AC=4eq \r(5)，AN=，CN=|8﹣m|．
以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形分三種情況：
當(dāng)AC=AN時(shí)，即4eq \r(5)=，解得：m=﹣8，或m=8(舍去)，
此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(﹣8，0)；
當(dāng)AC=CN時(shí)，即4eq \r(5)=|8﹣m|，解得：m=8﹣4eq \r(5)，或m=8＋4eq \r(5)，
此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(8﹣4eq \r(5)，0)或(8＋4eq \r(5)，0)；
③當(dāng)AN=CN時(shí)，即=|8﹣m|，解得：m=3，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3，0)．
綜上可知：以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：
(﹣8，0)、(8﹣4eq \r(5)，0)、(8＋4eq \r(5)，0)或(3，0)．
(4)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n，0)(﹣2＜n＜8)，則BN=n﹣(﹣2)=n＋2．
∵M(jìn)N∥AC，∴△BMN∽△BAC，∴=．
∵S△BAC=eq \f(1,2)AB?AC=20，BN=n＋2，BC=10，
∴S△BMN=S△BAC?=eq \f(1,5)(n＋2)2．
S△AMN=S△ABN﹣S△BMN=eq \f(1,2)AO?BN﹣eq \f(1,5)(n＋2)2=﹣eq \f(1,5)(n﹣3)2＋5，
∴當(dāng)n=3，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3，0)時(shí)，△AMN面積最大，最大值為5．
解：(1)∵點(diǎn)A(0，1)．B(﹣9，10)在拋物線上，
∴，∴，
∴拋物線的解析式為y=eq \f(1,3)x2＋2x＋1，
(2)∵AC∥x軸，A(0，1)
∴eq \f(1,3)x2＋2x＋1=1，∴x1=﹣6，x2=0，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)(﹣6，1)，
∵點(diǎn)A(0，1)．B(﹣9，10)，
∴直線AB的解析式為y=﹣x＋1，
設(shè)點(diǎn)P(m，eq \f(1,3)m2＋2m＋1)
∴E(m，﹣m＋1)∴PE=﹣m＋1﹣(eq \f(1,3)m2＋2m＋1)=﹣eq \f(1,3)m2﹣3m，
∵AC⊥EP，AC=6，
∴S四邊形AECP=S△AEC＋S△APC=eq \f(1,2)AC×EF＋eq \f(1,2)AC×PF=eq \f(1,2)AC×(EF＋PF)
=eq \f(1,2)AC×PE=eq \f(1,2)×6×(﹣eq \f(1,3)m2﹣3m)=﹣m2﹣9m=﹣(m＋eq \f(9,2))2＋20eq \f(1,4)，
∵﹣6＜m＜0∴當(dāng)m=﹣eq \f(9,2)時(shí)，四邊形AECP的面積的最大值是20eq \f(1,4)，
此時(shí)點(diǎn)P(﹣eq \f(9,2)，﹣eq \f(5,4))．
(3)∵y=eq \f(1,3)x2＋2x＋1=eq \f(1,3)(x＋3)2﹣2，∴P(﹣3，﹣2)，
∴PF=yF﹣yP=3，CF=xF﹣xC=3，
∴PF=CF，∴∠PCF=45°
同理可得：∠EAF=45°，
∴∠PCF=∠EAF，∴在直線AC上存在滿(mǎn)足條件的Q，
設(shè)Q(t，1)且AB=9eq \r(2)，AC=6，CP=3eq \r(2)
∵以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，
①當(dāng)△CPQ∽△ABC時(shí)，
∴，∴，
∴t=﹣4，∴Q(﹣4，1)
②當(dāng)△CQP∽△ABC時(shí)，
∴，∴，
∴t=3，∴Q(3，1)．
解：(1)∵拋物線y=﹣x2＋bx＋c與x軸正半軸交于點(diǎn)A(3，0)，與y軸交于點(diǎn)B(0，3)，
∴﹣9＋3b＋c=0，c=3，
∴b=2，
∴拋物線解析式為y=﹣x2＋2x＋3；
(2)∵A(3，0)，B(0，3)，
∴直線AB解析式為y=﹣x＋3，
∵P(x，0)．
∴D(x，﹣x＋3)，C(x，﹣x2＋2x＋3)，
∵0＜x＜3，
∴CD=﹣x2＋2x＋3﹣(﹣x＋3)=﹣x2＋3x=﹣(x﹣eq \f(3,2))2＋eq \f(9,4)，
當(dāng)x=eq \f(3,2)時(shí)，CD最大=eq \f(9,4)；
(3)由(2)知，CD=|﹣x2＋3x|，DP=|﹣x＋3|
①當(dāng)S△PDB=2S△CDB時(shí)，
∴PD=2CD，即：2|﹣x2＋3x|=|﹣x＋3|，
∴x=±eq \f(1,2)或x=3(舍)，
②當(dāng)2S△PDB=S△CDB時(shí)，
∴2PD=CD，即：|﹣x2＋3x|=2|﹣x＋3|，
∴x=±2或x=3(舍)，
即：綜上所述，x=±eq \f(1,2)或x=±2；
(4)直線AB解析式為y=﹣x＋3，
∴線段AB的垂直平分線l的解析式為y=x，
∵過(guò)點(diǎn)B，C，P的外接圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，
∴過(guò)點(diǎn)B，C，P的外接圓的圓心既是線段AB的垂直平分線上，
也在線段PC的垂直平分線上，
∴，
∴x=±eq \r(3)，故答案為：±eq \r(3)
解：(1)∵x2﹣4x＋3=0的兩個(gè)根為 x1=1，x2=3，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，3)，
又∵拋物線y=﹣x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0)、B(0，3)兩點(diǎn)，
∴，
∴拋物線的解析式為 y=﹣x2﹣2x＋3，
答：拋物線的解析式是 y=﹣x2﹣2x＋3．
(2)作直線BC，
由(1)得，y=﹣x2﹣2x＋3，
∵拋物線y=﹣x2﹣2x＋3與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，
令﹣x2﹣2x＋3=0，解得：x1=1，x2=﹣3，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣3，0)，
由圖可知：當(dāng)﹣3＜x＜0時(shí)，拋物線的圖象在直線BC的上方，
答：當(dāng)﹣3＜x＜0時(shí)，拋物線的圖象在直線BC的上方．
(3)設(shè)直線BC交PE于F，P點(diǎn)坐標(biāo)為(a，0)，則E點(diǎn)坐標(biāo)為(a，﹣a2﹣2a＋3)，
∵直線BC將△CPE的面積分成相等的兩部分，
∴F是線段PE的中點(diǎn)(根據(jù)等底等高的三角形的面積相等)，
即F點(diǎn)的坐標(biāo)是(a，)，
∵直線BC過(guò)點(diǎn)B(0.3)和C(﹣3，0)，
設(shè)直線BC的解析式是y=kx＋b (k≠0)，代入得：
，∴
∴直線BC的解析式為y=x＋3，
∵點(diǎn)F在直線BC上，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)滿(mǎn)足直線BC的解析式，即=a＋3
解得 a1=﹣1，a2=﹣3(此時(shí)P點(diǎn)與點(diǎn)C重合，舍去)，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是(﹣1，0)，
答：點(diǎn)P的坐標(biāo)是(﹣1，0)．
解：(1)在y=﹣eq \f(2,3)x＋2中，令y=0，得﹣eq \f(2,3)x＋2=0，解得x=3，
令x=0，得y=2，∴B(3，0)，C(0，2)，設(shè)拋物線y=ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣1，0)、B(3，0)、C(0，2)，
∴，解得，
∴拋物線解析式為，y=﹣eq \f(2,3)x2＋eq \f(4,3)x＋2；
(2)①∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過(guò)點(diǎn)P作直線a∥y軸，
∴EP=﹣eq \f(2,3)m2＋eq \f(4,3)m＋2﹣(﹣eq \f(2,3)m＋2)=﹣eq \f(2,3)m2＋2m，
∴△BCE的面積為S=eq \f(1,2)EP?|xB﹣xC|=eq \f(1,2)×(﹣eq \f(2,3)m2＋2m)×|3﹣0|=﹣m2＋3m，
∵P在線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與B、C不重合)，∴0＜m＜3，
∴S與m之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=﹣m2＋3m(0＜m＜3)；
②∵S=﹣m2＋3m=﹣(m﹣eq \f(3,2))2＋eq \f(9,4)，∴當(dāng)m=eq \f(3,2)時(shí)，S最大值=eq \f(9,4)，
當(dāng)m=eq \f(3,2)時(shí)，P是BC的中點(diǎn)，OE=BE，EF=eq \f(9,4)，∴△OBE是等腰三角形；
(3)令y=0，則﹣eq \f(2,3)x2＋eq \f(4,3)x＋2=0，整理得，x2﹣2x﹣3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，∴點(diǎn)A(﹣1，0)，易得直線AC的解析式為y=2x＋2，
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣eq \f(2,3)m＋2，∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為﹣eq \f(2,3)m＋2，
代入直線AC得，2x＋2=﹣eq \f(2,3)m＋2，解得x=﹣eq \f(1,3)m，∴PQ=m﹣(﹣eq \f(1,3)m)=eq \f(4,3)m，
當(dāng)PQ是等腰直角三角形△PQR的直角邊時(shí)，eq \f(4,3)m=﹣eq \f(2,3)m＋2，解得m=1，
∴QR是直角邊時(shí)，點(diǎn)R1(﹣eq \f(1,3)，0)，PQ是直角邊時(shí)，點(diǎn)R2(1，0)，
PQ是等腰直角三角形△PQR的斜邊時(shí)，eq \f(1,2)×eq \f(4,3)m=﹣eq \f(2,3)m＋2，解得m=eq \f(3,2)，
∴PQ=eq \f(4,3)m=eq \f(4,3)×eq \f(3,2)=2，OR=m﹣eq \f(1,2)PQ=eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2)×2=eq \f(1,2)，∴點(diǎn)R3(eq \f(1,2)，0)，
綜上所述，x軸上存在點(diǎn)R(﹣eq \f(1,3)，0)或(1，0)或(eq \f(1,2)，0)，使得△PQR為等腰直角三角形．
解：(1)∵令﹣x2＋2x＋3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，
∴A(﹣1，0)，B(3，0)．
設(shè)拋物線l2的解析式為y=a(x＋1)(x﹣4)．
∵將D(0，﹣2)代入得：﹣4a=﹣2，
∴a=eq \f(1,2)．
∴拋物線的解析式為y=eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x﹣2；
(2)①如圖1所示：

∵A(﹣1，0)，B(3，0)，∴AB=4．
設(shè)P(x，0)，則M(x，﹣x2＋2x＋3)，N(x，eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x﹣2)．
∵M(jìn)N⊥AB，∴SAMBN=eq \f(1,2)AB?MN=﹣3x2＋7x＋10(﹣1＜x＜3)．
∴當(dāng)x=eq \f(7,6)時(shí)，SAMBN有最大值．∴此時(shí)P的坐標(biāo)為(eq \f(7,6)，0)．
②如圖2所示：作CG⊥MN于G，DH⊥MN于H，如果CM與DN不平行．
∵DC∥MN，CM=DN，∴四邊形CDNM為等腰梯形．∴∠DNH=∠CMG．
在△CGM和△DNH中
，
∴△CGM≌△DNH．∴MG=HN．
∴PM﹣PN=1．設(shè)P(x，0)，則M(x，﹣x2＋2x＋3)，N(x，eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x﹣2)．
∴(﹣x2＋2x＋3)＋(eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x﹣2)=1，解得：x1=0(舍去)，x2=1．
∴P(1，0)．當(dāng)CM∥DN時(shí)，如圖3所示：
∵DC∥MN，CM∥DN，
∴四邊形CDNM為平行四邊形．∴DC=MN．=5
∴﹣x2＋2x＋3﹣(eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x﹣2)=5，∴x1=0(舍去)，x2=eq \f(7,3)，
∴P(eq \f(7,3)，0)．
總上所述P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，或(eq \f(7,3)，0)．
解：(1)將A(﹣1，0)、B(3，0)代入拋物線y=ax2＋bx＋3(a≠0)，
，解得：a=﹣1，b=2．
故拋物線解析式為：y=﹣x2＋2x＋3．
(2)存在將點(diǎn)D代入拋物線解析式得：m=3，∴D(2，3)，
令x=0，y=3，
∴C(0，3)，∴OC=OB，∴∠OCB=∠CBO=45°，
如圖，設(shè)BP交y軸于點(diǎn)G，

∵CD∥x軸，
∴∠DCB=∠BCO=45°，
在△CDB和△CGB中：
∵∠
∴△CDB≌△CGB(ASA)，
∴CG=CD=2，
∴OG=1，
∴點(diǎn)G(0，1)，設(shè)直線BP：y=kx＋1，
代入點(diǎn)B(3，0)，
∴k=﹣eq \f(1,3)，∴直線BP：y=﹣eq \f(1,3)x＋1，
聯(lián)立直線BP和二次函數(shù)解析式：
，解得：或(舍)，
∴P(﹣eq \f(2,3)，eq \f(11,9))．
(3)直線BC：y=﹣x＋3，直線BD：y=﹣3x＋9，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，如下圖：
設(shè)直線C′B′：y=﹣(x﹣t)＋3聯(lián)立直線BD求得F(3﹣eq \f(1,2)t，eq \f(3,2)t)，
S=S△BCD﹣S△CC′E﹣S△C′DF=eq \f(1,2)×2×3﹣eq \f(1,2)×t×t﹣eq \f(1,2)×(2﹣t)(3﹣eq \f(3,2)t)
整理得：S=﹣eq \f(5,4)t2＋3t(0≤t≤2)．當(dāng)2＜t≤3時(shí)，如圖：
H(t，﹣3t＋9)，I(t，﹣t＋3)S=S△HIB=eq \f(1,2) [(﹣3t＋9)﹣(﹣t＋3)]×(3﹣t)
整理得：S=t2﹣6t＋9(2＜t≤3)綜上所述：S=．
解：(1)①設(shè)直線AB為y=kx＋b，
∴解得，
∴直線AB解析式為y=﹣eq \f(7,4)x﹣eq \f(5,2)，
∵B(4，﹣3)，C(2，3)，∴直線邊長(zhǎng)為y=﹣3x＋9，
∵AC⊥BC，∴直線AC為y=eq \f(1,3)x＋eq \f(7,3)，
由解得或，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)(﹣，)，
∴直線AB解析式為y=﹣eq \f(2,3)x﹣eq \f(1,3)，故答案分別為y=﹣eq \f(7,4)x﹣eq \f(5,2)，y=﹣eq \f(2,3)x﹣eq \f(1,3)，
②猜想直線AB必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q(﹣2，1)，驗(yàn)證如下：
設(shè)A(m，﹣eq \f(1,2)m2＋5)，B(n，﹣eq \f(1,2)n2＋5)，
過(guò)點(diǎn)C作直線PN∥x軸，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作PN的垂線，垂足分別為N、P，
∵∠ACB=90°，△CAN∽△BCP，∴=，
∴=，∴=，
∴(m＋2)(n＋2)=﹣4，
∴mn＋m＋n＋8=0，①
聯(lián)立方程組，
∴eq \f(1,2)x2＋kx＋b﹣5=0，
∴m＋n=﹣2k，mn=2b﹣10，
②將②代入①，得化簡(jiǎn)，得b=2k＋1，
∵直線AB的解析式為y=kx＋2k＋1，即y=k(x＋2)＋1，
直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(﹣2，1)
(3)當(dāng)直線AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，其解析式為y=﹣eq \f(1,2)x，
當(dāng)CD∥AB時(shí)，△ABD的面積等于△ABC的面積，點(diǎn)D符合條件．
此時(shí)，直線CD的解析式為y=﹣eq \f(1,2)x＋4．
則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是﹣eq \f(1,2)x2＋5=﹣eq \f(1,2)x＋4的根．
解得x1=2，x2=﹣1，其中x1=2是點(diǎn)C的橫坐標(biāo)．
當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=eq \f(9,2)，∴D(﹣1，eq \f(9,2))，
∵直線CD交y軸于E(0，4)，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F(0，﹣4)，
過(guò)點(diǎn)F平行AB的直線解析式為y=﹣eq \f(1,2)x﹣4，此時(shí)直線與拋物線的交點(diǎn)滿(mǎn)足條件，
由解得或，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)分別為(，﹣)和(，﹣)．
∴其余符合條件的D點(diǎn)坐標(biāo)分別為(，﹣)和(，﹣)．

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