如圖1，已知圓O的圓心為原點(diǎn)，半徑為2，與坐標(biāo)軸交于A，C，D，E四點(diǎn)，B為OD中點(diǎn)．
(1)求過A，B，C三點(diǎn)的拋物線解析式；
(2)如圖2，連接BC，AC．點(diǎn)P在第一象限且為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP，交AC于點(diǎn)M，交OC于點(diǎn)N，當(dāng)MC2＝MNMB時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖3，若拋物線與圓O的另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為H，F(xiàn)，請判斷四邊形CFEH的形狀，并說明理由．
如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋2與直線AB相交于A(﹣1，0)，B(3，2)，與x軸交于另一點(diǎn)C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在y上是否存在一點(diǎn)E，使四邊形ABCE為矩形，若存在，請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
(3)以C為圓心，1為半徑作⊙O，D為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，求DA＋eq \f(\r(5),5)DB的最小值.
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的頂點(diǎn)為M，經(jīng)過C(1，1)，且與x軸正半軸交于A，B兩點(diǎn)．
(1)如圖1，連接OC，將線段OC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得C落在y軸的負(fù)半軸上，求點(diǎn)C的路徑長；
(2)如圖2，延長線段OC至N，使得ON＝eq \r(3)，若∠OBN＝∠ONA，且tan∠ABM=eq \f(\r(13),2)，求拋物線的解析式；
(3)如圖3，拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸為直線x=eq \f(5,2)，與y軸交于(0，5)，經(jīng)過點(diǎn)C的直線l：y＝kx＋m(k＞0)與拋物線交于點(diǎn)C、D，若在x軸上存在P1、P2，使∠CP1D＝∠CP2D＝90°，求k的取值范圍．
我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”．如圖所示，點(diǎn)A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，﹣3)，AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為(1，0)，半圓半徑為2．
(1)求“蛋圓”拋物線部分的解析式及“蛋圓”的弦CD的長；
(2)已知點(diǎn)E是“蛋圓”上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A，點(diǎn)B重合)，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是點(diǎn)F，若點(diǎn)F也在“蛋圓”上，求點(diǎn)E坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)P是“蛋圓”外一點(diǎn)，滿足∠BPC＝60°，當(dāng)BP最大時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
如圖，△AOB的三個(gè)頂點(diǎn)A、O、B分別落在拋物線C1：y＝eq \f(1,3)x2＋eq \f(7,3)x上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣4，m)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(n，﹣2)．(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))
(1)則m＝ ，n＝ ．
(2)將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'OB'，拋物線C2：y＝ax2＋bx＋4經(jīng)過A'、B'兩點(diǎn)，延長OB'交拋物線C2于點(diǎn)C，連接A'C．設(shè)△OA'C的外接圓為⊙M．
①求圓心M的坐標(biāo)；
②試直接寫出△OA'C的外接圓⊙M與拋物線C2的交點(diǎn)坐標(biāo)(A'、C除外)．
拋物線：y＝﹣x2＋bx＋c與y軸的交點(diǎn)C(0，3)，與x軸的交點(diǎn)分別為E、G兩點(diǎn)，對稱軸方程為x＝1．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，過點(diǎn)C作y軸的垂線交拋物線于另一點(diǎn)D，F(xiàn)為拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)，P為線段OC上一動(dòng)點(diǎn)．若PD⊥PF，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
(3)如圖1，如果一個(gè)圓經(jīng)過點(diǎn)O、點(diǎn)G、點(diǎn)C三點(diǎn)，并交于拋物線對稱軸右側(cè)x軸的上方于點(diǎn)H，求∠OHG的度數(shù)；
(4)如圖2，將拋物線向下平移2個(gè)單位長度得到新拋物線L，點(diǎn)B是頂點(diǎn)．直線y＝kx﹣k＋4(k＜0)與拋物線L交于點(diǎn)M、N．與對稱軸交于點(diǎn)G，若△BMN的面積等于2eq \r(2)，求k的值．
在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝eq \f(1,2)x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A(﹣2，0)，B(4，0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)如圖甲，連接AC，PA，PC，若S△PAC＝eq \f(15,2)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖乙，過A，B，P三點(diǎn)作⊙M，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為D，交⊙M于點(diǎn)E．點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中線段DE的長是否變化，若有變化，求出DE的取值范圍；若不變，求DE的長．
如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，與x軸交于A(4，0)、O兩點(diǎn)，點(diǎn)D(2，﹣2)為拋物線的頂點(diǎn)．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)E為AO的中點(diǎn)，以點(diǎn)E為圓心、以1為半徑作⊙E，交x軸于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)M為⊙E上一點(diǎn)．
①射線BM交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)tan∠MBC＝2時(shí)，求m的值；
②如圖2，連接OM，取OM的中點(diǎn)N，連接DN，則線段DN的長度是否存在最大值或最小值？若存在，請求出DN的最值；若不存在，請說明理由．
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝eq \f(1,2)x2﹣bx＋c交x軸于點(diǎn)A，B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)，與y軸于交于點(diǎn)C(0，﹣2)．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)在拋物線上取點(diǎn)D，若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為5，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及∠ADB的度數(shù)；
(3)在(2)的條件下，設(shè)拋物線對稱軸l交x軸于點(diǎn)H，△ABD的外接圓圓心為M(如圖1)，
①求點(diǎn)M的坐標(biāo)及⊙M的半徑；
②過點(diǎn)B作⊙M的切線交于點(diǎn)P(如圖2)，設(shè)Q為⊙M上一動(dòng)點(diǎn)，則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，請說明理由．
如圖，在平面直角坐標(biāo)系上，一條拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點(diǎn)，連接BC并延長．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)M是直線BC在第一象限部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過M作MN∥y軸交拋物線于點(diǎn)N．
1°求線段MN的最大值；
2°當(dāng)MN取最大值時(shí)，在線段MN右側(cè)的拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，連接PM、PN，當(dāng)△PMN的外接圓圓心Q在△PMN的邊上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
\s 0 答案
解：(1)如圖1，∵圓O的圓心為原點(diǎn)，半徑為2，與坐標(biāo)軸交于A，C，D，E四點(diǎn)，
∴A(2，0)，C(0，2)，D(﹣2，0)，E(0，﹣2)，
∵B為OD中點(diǎn)，
∴B(﹣1，0)，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(2，0)，B(﹣1，0)，C(0，2)，
∴設(shè)y＝a(x＋1)(x﹣2)，
將C(0，2)代入，得：2＝a(0＋1)(0﹣2)，解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣(x＋1)(x﹣2)＝﹣x2＋x＋2，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2＋x＋2.
(2)如圖2，過點(diǎn)C作CH⊥BP于H，
∵OB＝1，OC＝2，OA＝2，∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴BC＝eq \r(5)，AC＝2eq \r(2)，
∵M(jìn)C2＝MNMB，
∴＝，
∵∠CMN＝∠BMC，
∴△MCN∽△MBC，
∴∠MCN＝∠MBC，
∵OA＝OC＝2，∠AOC＝90°，
∴∠MCN＝45°，
∴∠MBC＝45°，
∵∠BHC＝90°，
∴CH＝BH＝BCcs∠MBC＝eq \r(5)cs45°＝eq \f(\r(10),2)，
∵∠BCH＝∠MBC＝45°，
∴∠BCO＋∠HCN＝∠MCH＋∠HCN，
∴∠BCO＝∠MCH，
∴cs∠BCO＝cs∠MCH，
∴＝，∴CM＝，
∴AM＝AC﹣CM＝eq \f(3,4)eq \r(2)，
過點(diǎn)M作MG⊥OA于G，則∠AGM＝90°，
∵∠MAG＝45°，
∴AG＝MG＝AMsin∠MAG＝eq \f(3,4)eq \r(2)×sin45°＝eq \f(3,4)，
∴OG＝OA﹣AG＝2﹣eq \f(3,4)＝eq \f(5,4)，∴M(eq \f(5,4)，eq \f(3,4))．
(3)四邊形CFEH是矩形．理由如下：
設(shè)拋物線與⊙O的交點(diǎn)坐標(biāo)為(t，﹣t2＋t＋2)，
∵⊙O的半徑為2，
∴(t﹣0)2＋(﹣t2＋t＋2﹣0)2＝22，
化簡，得：t4﹣2t3﹣2t2＋4t＝0，
∵t≠0，
∴t3﹣2t2﹣2t＋4＝0，
∴(t﹣2)(t2﹣2)＝0，解得：t1＝2(舍去)，t2＝eq \r(2)，t3＝﹣eq \r(2)，
∴H(eq \r(2)，eq \r(2))，F(xiàn)(﹣eq \r(2)，﹣eq \r(2))，
∴H、F關(guān)于點(diǎn)O對稱，
∴FH＝CE＝4，且OC＝OE＝OF＝OH，
∴四邊形CFEH是矩形．
解：(1)把A(﹣1，0)、B(3，2)代入y＝ax2＋bx＋2，
得，解得，
∴拋物線的解析式為y＝-eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x＋2．
(2)存在．如圖1，作AE⊥AB交y軸于點(diǎn)E，連結(jié)CE；作BF⊥x軸于點(diǎn)F，則F(3，0)．
當(dāng)y＝0時(shí)，由-eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x＋2＝0，得x1＝1，x2＝4，
∴C(4，0)，
∴CF＝AO＝1，AF＝3﹣(﹣1)＝4；
又∵BF＝2，
∴，
∵∠BFC＝∠AFB＝90°，
∴△BFC∽△AFB，
∴∠CBF＝∠BAF，
∴∠ABC＝∠CBF＋∠ABF＝∠BAF＋∠ABF＝90°，
∴BC∥AE，
∵∠BCF＝90°﹣∠BAC＝∠EAO，∠BFC＝∠EOA＝90°，
∴△BCF≌△EAO(ASA)，
∴BC＝EA，
∴四邊形ABCE是矩形；
∵OE＝FB＝2，
∴E(0，﹣2)．
(3)如圖2，作FL⊥BC于點(diǎn)L，連結(jié)AL、CD.
由(2)得∠BFC＝90°，BF＝2，CF＝1，
∴CF＝CD，CB＝eq \r(5)．
∵∠FLC＝∠BFC＝90°，∠FCL＝∠BCF(公共角)，
∴△FCL∽△BCF，
∴＝，∴＝，
∵∠DCL＝∠BCD(公共角)，
∴△DCL∽△BCD，
∴＝，
∴LD＝eq \f(\r(5),5)DB；
∵DA＋LD≥AL，
∴當(dāng)DA＋LD＝AL，即點(diǎn)D落在線段AL上時(shí)，DA＋eq \f(\r(5),5)DB＝DA＋LD＝AL最?。?br>∵CL＝eq \f(\r(5),5)CF＝eq \f(\r(5),5)，∴BL＝eq \f(4\r(5),5)，∴BL2＝(eq \f(4\r(5),5))2＝eq \f(16,5)，
又∵AB2＝22＋42＝20，
∴AL＝＝＝，DA＋DB的最小值為．
解：(1)點(diǎn)C的路徑長＝＝；
(2)∵∠ONA＝∠OBN，∠AON＝∠NOB，
∴△ONA∽△OBN，
∴，即OAOB＝ON2＝3，即，故c＝3a，
∵a＋b＋c＝1，
在△ABM中，tan∠ABM＝＝＝，
∴b2﹣4ac＝13，即(1﹣4a)2﹣4a3a＝13，解得a＝﹣1(舍去)或3，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝3x2﹣11x＋9；
(3)由題意得：，解得，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣5x＋5；
設(shè)點(diǎn)D(t，n)，n＝t2﹣5t＋5，而點(diǎn)C(1，1)，
將點(diǎn)D、C的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式得
，則k＝＝t﹣4，
若在x軸上有且僅有一點(diǎn)P，使∠CPD＝90°，則過CD中點(diǎn)的圓R與x軸相切，設(shè)切點(diǎn)為P，
則點(diǎn)H(，)，則HP＝HC，即(﹣1)2＋(﹣1)2＝()2，
化簡得：3t2﹣18t＋19＝0，解得：t＝3＋eq \f(2,3)eq \r(6)(不合題意的值已舍去)，
k＝t﹣4＝eq \f(2,3)eq \r(6)﹣1．
若在x軸上存在P1、P2，使∠CP1D＝∠CP2D＝90°，則以DC為直徑的圓H和x軸相交，
∴0＜k＜eq \f(2,3)eq \r(6)-1．
解：(1)∵半圓圓心M的坐標(biāo)為(1，0)，半圓半徑為2．
∴A(﹣1，0)，B(3，0)，
設(shè)拋物線為y＝a(x＋1)(x﹣3)，
∵拋物線過D(0，﹣3)，
∴﹣3＝a(0＋1)(0﹣3)，解得a＝1，y＝(x＋1)(x﹣3)，
即y＝x2﹣2x﹣3(﹣1≤x≤3)；
連接AC，BC，
∵AB為半圓的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵CO⊥AB，
∴∠ACO＋∠OCB＝∠OCB＋∠OBC＝90°，
∴∠ACO＝∠OBC，
∴△ACO∽△CBO，
∴，
∴CO2＝AOBO＝3，
∴CO＝eq \r(3)，
∴CD＝CO＋OD＝3＋eq \r(3)；
(2)假設(shè)點(diǎn)E在x軸上方的“蛋圓”上，設(shè)E(m，n)，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(m，﹣n)．EF與x軸交于點(diǎn)H，連接EM．
∴HM2＋EH2＝EM2，∴(m﹣1)2＋n2＝4，…①；
∵點(diǎn)F在二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象上，
∴m2﹣2m﹣3＝﹣n，…②；
解由①②組成的方程組得：；．(n＝0舍去)
由對稱性可得：；．
∴E1(1＋eq \r(3)，1)，E2(1﹣eq \r(3)，1)，E3(1＋eq \r(3)，-1)，E4(1﹣eq \r(3)，-1)．
(3)如圖4，∵∠BPC＝60°保持不變，
因此點(diǎn)P在一圓弧上運(yùn)動(dòng)．此圓是以K為圓心(K在BC的垂直平分線上，且∠BKC＝120°)，BK為半徑．當(dāng)BP為直徑時(shí)，BP最大．
在Rt△PCR中可求得PR＝1，RC＝eq \r(3)．
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2eq \r(3))．
解：(1)當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝eq \f(1,3)×(﹣4)2＋eq \f(7,3)×(﹣4)＝﹣4，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(﹣4，﹣4)，
當(dāng)y＝﹣2時(shí)，eq \f(1,3)x2＋eq \f(7,3)x＝﹣2，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為(﹣1，﹣2)，
∴m＝﹣4，n＝﹣1．
故答案為﹣4，﹣1．
(2)①如圖1，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B'作B'G⊥x軸于點(diǎn)G．
∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2，
∵將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'OB′，
∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°，
∴∠BOE＋∠B'OG＝∠BOE＋∠OBE＝90°，
∴∠B'OG＝∠OBE，
在△B'OG與△OBE中，
，
∴△B'OG≌△OBE(AAS)，
∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1，
∵點(diǎn)B'在第四象限，
∴B'(2，﹣1)，
同理可求得：A'(4，﹣4)，
∴OA＝OA'＝4eq \r(2)，
∵拋物線F2：y＝ax2＋bx＋4經(jīng)過點(diǎn)A'、B'，
∴，解得：，
∴拋物線F2解析式為：y＝eq \f(1,4)x2﹣3x＋4，
∵直線OB′的解析式為y＝﹣eq \f(1,2)x，
由，解得或，
∴點(diǎn)C(8，﹣4)，
∵A′(4，﹣4)，
∴A′C∥x軸，
∵線段OA′的垂直平分線的解析式為y＝x﹣4，
線段A′C的垂直平分線為x＝6，
∴直線y＝x﹣4與x＝6的交點(diǎn)為(6，2)，
∴△OA′C的外接圓的圓心M的坐標(biāo)為(6，2)．
②設(shè)⊙M與拋物線C2的交點(diǎn)為P(m，eq \f(1,4)m2﹣3m＋4)．
則有(m﹣6)2＋(eq \f(1,4)m2﹣3m＋2)2＝62＋22，解得m＝0或12或4或8，
∵A'、C除外，
∴P(0，4)，或(12，4)．
解：(1)將C(0，3)代入y＝﹣x2＋bx＋c可得c＝3，
∵對稱軸是直線x＝1，
∴x＝1，解得b＝2，
∴二次函數(shù)解析式為y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)∵y＝﹣x2＋2x＋3與y軸的交點(diǎn)C(0，3)，對稱軸方程為x＝1．CD⊥y軸，
∴D(2，3)，
∵對稱軸與x軸相較于點(diǎn)F，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0，a)，
∵CD⊥y軸，OF⊥y軸，
∴∠DCF＝∠POF＝90°
∴∠OFP＋∠OPF＝90°，
∵PD⊥PF，
∴∠DPF＝90°，
∴∠CPD＋∠OPF＝90°，
∴∠OFP＝∠CPD，
∴△CDP∽△OPF，
∴，∴，解得：a1＝1，a2＝2，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，1)或(0，2)；
(3)如圖：連接CG，
∵y＝﹣x2＋2x＋3，
令y＝0，則﹣x2＋2x＋3＝0，解得x＝3或x＝﹣1，
∴G(3，0)，E(﹣1，0)，
∴OG＝OC，
∵OC⊥OG，
∴△COG為等腰直角三角形，
∴∠OCG＝45°，
∵點(diǎn)O、點(diǎn)G、點(diǎn)C、點(diǎn)H四點(diǎn)共圓，
∴∠OHG＝∠OCG＝45°；
(4)∵將拋物線向下平移2個(gè)單位長度得到拋物線L，
∴拋物線L的解析式為y＝﹣x2＋2x＋3﹣2＝﹣x2＋2x＋1＝﹣(x﹣1)2＋2，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，聯(lián)立，即kx﹣k＋4＝﹣x2＋2x＋1，
∴x2＋(k﹣2)x＋3﹣k＝0，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)為N(x1，y1)，M(x2，y2)，
則x1＋x2＝2﹣k，x1x2＝3﹣k，
S△BMN＝S△BGN﹣S△BGM＝＝BG
＝＝BG＝2，
把x＝1代入y＝kx﹣k＋4，得；y＝4，
∴G(1，4)，
∵B(1，2)，
∴BG＝4﹣2＝2，
∴，解得：k＝±4，
∵k＜0，
∴k＝﹣4．
解：(1)∵二次函數(shù)y＝eq \f(1,2)x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A(﹣2，0)，B(4，0)兩點(diǎn)，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝eq \f(1,2)(x＋2)(x﹣4)，即y＝eq \f(1,2)x2﹣x﹣4．
(2)如圖甲中，連接OP．設(shè)P(m，eq \f(1,2)m2﹣m﹣4)．
由題意，A(﹣2，0)，C(0，﹣4)，
∵S△PAC＝S△AOC＋S△OPC﹣S△AOP，
∴eq \f(15,2)＝eq \f(1,2)×2×4＋eq \f(1,2)×4×m﹣eq \f(1,2)×2×(﹣eq \f(1,2)m2＋m＋4)，
整理得，m2＋2m﹣15＝0，解得m＝3或﹣5(舍棄)，
∴P(3，﹣eq \f(5,2))．
(3)結(jié)論：點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中線段DE的長是定值，DE＝2．
理由：如圖乙中，連接AM，PM，EM，設(shè)M(1，t)，P[m，eq \f(1,2)(m＋2)(m﹣4)]，E(m，n)．
由題意A(﹣2，0)，AM＝PM，
∴32＋t2＝(m﹣1)2＋[eq \f(1,2)(m＋2)(m﹣4)﹣t]2，解得t＝1＋eq \f(1,4)(m＋2)(m﹣4)，
∵M(jìn)E＝PM，PE⊥AB，∴t＝，
∴n＝2t﹣eq \f(1,2)(m＋2)(m﹣4)＝2[1＋eq \f(1,4)(m＋2)(m﹣4)]﹣eq \f(1,2)(m＋2)(m﹣4)＝2，
∴DE＝2，
另解：∵PDDE＝ADDB，∴DE＝＝2，為定值．
∴點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中線段DE的長是定值，DE＝2．
解：(1)由拋物線頂點(diǎn)式表達(dá)式得：y＝a(x﹣2)2﹣2，
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：a＝eq \f(1,2)，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝eq \f(1,2)(x﹣2)2﹣2＝eq \f(1,2)x2﹣2x①；
(2)①點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，則點(diǎn)E(2，0)，圓的半徑為1，則點(diǎn)B(1，0)，
當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，
如圖1，∵tan∠MBC＝2，
故設(shè)直線BP的表達(dá)式為：y＝﹣2x＋s，將點(diǎn)B(1，0)的坐標(biāo)代入上式并解得：s＝2，
故直線BP的表達(dá)式為：y＝﹣2x＋2②，
聯(lián)立①②并解得：x＝±2(舍去﹣2)，故m＝2；
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，
同理可得：m＝4±2eq \r(3)(舍去4﹣2eq \r(3))；故m＝2或4＋2eq \r(3)；
②存在，理由：連接BN、BD、EM，
則BN是△OEM的中位線，故BN＝eq \f(1,2)EM＝eq \f(1,2)，而BD＝eq \r(5)，
在△BND中，BD﹣BN≤ND≤BD＋BN，即eq \r(5)﹣eq \f(1,2)≤ND≤eq \r(5)＋eq \f(1,2)，
故線段DN的長度最小值和最大值分別為eq \r(5)﹣eq \f(1,2)和eq \r(5)＋eq \f(1,2)．
解：(1)c＝﹣2，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：解b＝eq \f(3,2)，
∴拋物線的解析式為y＝eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x﹣2；
(2)當(dāng)x＝5時(shí)，y＝eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x﹣2＝3，故D的坐標(biāo)為(5，3)，
令y＝0，則x＝4(舍去)或﹣1，故點(diǎn)A(﹣1，0)，如圖①，連接BD，作BN⊥AD于N，
∵A(﹣1，0)，B(4，0)，C(0，﹣2)，
∴AD＝3eq \r(5)，BD＝eq \r(10)，AB＝5，
∵S△ABD＝＝，
∴BN＝eq \r(5)，
∴sin∠BDN＝eq \f(\r(2),2)，
∴∠BDN＝45°；
∴∠ADB＝∠BDN＝45°；
(3)①如圖②，連接MA，MB，
∵∠ADB＝45°，
∴∠AMB＝2∠ADB＝90°，
∵M(jìn)A＝MB，MH⊥AB，
∴AH＝BH＝HM＝eq \f(5,2)，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(eq \f(3,2)，eq \f(5,2))⊙M的半徑為eq \f(5,2)eq \r(2)；
②如圖③，連接MQ，MB，
∵過點(diǎn)B作⊙M的切線交1于點(diǎn)P，
∴∠MBP＝90°，
∵∠MBO＝45°，
∴∠PBH＝45°，
∴PH＝HB＝2.5，
∵＝，＝，
∵∠HMQ＝∠QMP，
∴△HMQ∽△QMP，
∴＝，
∴在點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)過程中的值不變，其值為．
解：(1)把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，得
，解得，，
∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x＋3；
(2)1°設(shè)直線BC的解析式為y＝mx＋n(m≠0)，則
，解得，，
∴直線BC的解析式為：y＝﹣x＋3，
設(shè)M(t，﹣t＋3)(0＜t＜3)，則N(t，t2﹣4t＋3)，
∴MN＝﹣t2＋3t＝﹣(t-eq \f(3,2))2＋eq \f(9,4)，
∴當(dāng)t＝eq \f(3,2)時(shí)，MN的值最大，其最大值為eq \f(9,4)；
2°∵△PMN的外接圓圓心Q在△PMN的邊上，
∴△PMN為直角三角形，
由1°知，當(dāng)MN取最大值時(shí)，M(eq \f(3,2),eq \f(3,2))，N(eq \f(3,2),-eq \f(3,4))，
①當(dāng)∠PMN＝90°時(shí)，PM∥x軸，則P點(diǎn)與M點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為eq \f(3,2)，
當(dāng)y＝eq \f(3,2)時(shí)，y＝x2﹣4x＋3＝eq \f(3,2)，解得，x＝，或x＝ (舍去)，
∴P()；
②當(dāng)∠PNM＝90°時(shí)，PN∥x軸，則P點(diǎn)與N點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣eq \f(3,4)，
當(dāng)y＝﹣eq \f(3,4)時(shí)，y＝x2﹣4x＋3＝﹣eq \f(3,4)，解得，x＝eq \f(5,2)，或x＝eq \f(3,2)(舍去)，
∴P(eq \f(5,2),-eq \f(3,4))；
③當(dāng)∠MPN＝90°時(shí)，則MN為△PMN的外接圓的直徑，
∴△PMN的外接圓的圓心Q為MN的中點(diǎn)，
∴Q(eq \f(3,2),eq \f(3,8))，半徑為eq \f(1,2)MN=eq \f(9,8)，
過Q作QK∥x軸，與在MN右邊的拋物線圖象交于點(diǎn)K，如圖②，
令y＝eq \f(3,8)，得y＝x2﹣4x＋3＝eq \f(3,8)，
解得，x＝＜ (舍)，或x＝，∴K(，)，
∴QK＝＞，即K點(diǎn)在以MN為直徑的⊙Q外，
設(shè)拋物線y＝x2﹣4x＋3的頂點(diǎn)為點(diǎn)L，則l(2，﹣1)，
連接LK，如圖②，則L到QK的距離為，
LK＝，
設(shè)Q點(diǎn)到LK的距離為h，則，
∴＝，
∴直線LK下方的拋物線與⊙Q沒有公共點(diǎn)，
∵拋物線中NL部分(除N點(diǎn)外)在過N點(diǎn)與x軸平行的直線下方，
∴拋物線中NL部分(除N點(diǎn)外)與⊙Q沒有公共點(diǎn)，
∵拋物線K點(diǎn)右邊部分，在過K點(diǎn)與y軸平行的直線的右邊，
∴拋物線K點(diǎn)右邊部分與⊙Q沒有公共點(diǎn)，綜上，⊙Q與MN右邊的拋物線沒有交點(diǎn)，
∴在線段MN右側(cè)的拋物線上不存在點(diǎn)P，使△PMN的外接圓圓心Q在MN邊上；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2＋eq \f(\r(10),2))或(eq \f(5,2),-eq \f(3,4))．

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