TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc160706650" 類型一 數(shù)式規(guī)律
\l "_Tc160706651" 題型01 記數(shù)類規(guī)律
\l "_Tc160706652" 題型02 系數(shù)規(guī)律
\l "_Tc160706653" 題型03 等式類規(guī)律
\l "_Tc160706654" 題型04 數(shù)陣類規(guī)律
\l "_Tc160706655" 題型05 末尾數(shù)字規(guī)律
\l "_Tc160706656" 題型06 楊輝三角
\l "_Tc160706657" 題型07 與實數(shù)運算有關(guān)的規(guī)律題
\l "_Tc160706658" 類型二 圖形規(guī)律
\l "_Tc160706659" 題型01 圖形固定累加型
\l "_Tc160706660" 題型02 圖形漸變累加型
\l "_Tc160706661" 題型03 圖形個數(shù)分區(qū)域累加型
\l "_Tc160706662" 題型04 圖形循環(huán)規(guī)律
\l "_Tc160706663" 題型05 與幾何圖形有關(guān)的規(guī)律探索
\l "_Tc160706664" 類型三 函數(shù)規(guī)律
\l "_Tc160706665" 題型01 函數(shù)圖象規(guī)律
\l "_Tc160706666" 題型02 函數(shù)上點的規(guī)律
\l "_Tc160706667" 題型03 函數(shù)圖象與幾何圖形的規(guī)律
\l "_Tc160706668" 類型四 新定義類規(guī)律
類型一 數(shù)式規(guī)律
關(guān)于數(shù)式規(guī)律性問題的一般解題思路：
(1)先對給出的特殊數(shù)式進行觀察、比較;
(2)根據(jù)觀察猜想、歸納出一般規(guī)律;
(3)用得到的規(guī)律去解決其他問題
1.數(shù)字猜想型:數(shù)字規(guī)律問題主要是在分析比較的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)題目中所蘊涵的數(shù)量關(guān)系，先猜想，然后通過適當?shù)挠嬎慊卮饐栴}。
2.數(shù)式規(guī)律型:數(shù)式規(guī)律問題主要是通過觀察、分析、歸納、驗證，然后得出一般性的結(jié)論,以列代數(shù)式即函數(shù)關(guān)系式為主要內(nèi)容.
題型01 記數(shù)類規(guī)律
1．（2023·浙江衢州·?？家荒＃┯^察下列數(shù)據(jù)：0，3，8，15，24，…，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第201個數(shù)據(jù)是（ ）
A．40400B．40040C．4040D．404
【答案】A
【分析】觀察不難發(fā)現(xiàn)，各數(shù)據(jù)都等于完全平方數(shù)減1，然后列式計算即可得解．
【詳解】∵0=12-1，
3=22-1，
8=32-1，
15=42-1，
24=52-1，
…，
∴第201個數(shù)據(jù)是：2012-1=40400，
故選：A．
【點睛】此題考查了數(shù)字變化規(guī)律，觀察出各數(shù)據(jù)都等于完全平方數(shù)減1是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的數(shù)據(jù)依次為12，45，710，1017……按此規(guī)律排列，則第30個數(shù)是 ．
【答案】88901
【分析】由所給的數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律為第n個數(shù)是3n-2n2+1，當n＝30時即可求解．
【詳解】解：∵12，45，710，1017…，
∴第n個數(shù)是3n-2n2+1，
當n＝30時，3n-2n2+1=3×30-2302+1=88901，
故答案為：88901．
【點睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，能夠通過所給的數(shù)，探索出數(shù)的一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
3．（2020·西藏·統(tǒng)考中考真題）觀察下列兩行數(shù)：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…
1，4，7，10，13，16，19，22，25，…
探究發(fā)現(xiàn)：第1個相同的數(shù)是1，第2個相同的數(shù)是7，…，若第n個相同的數(shù)是103，則n等于（ ）
A．18B．19C．20D．21
【答案】A
【分析】根據(jù)探究發(fā)現(xiàn)：第1個相同的數(shù)是1，第2個相同的數(shù)是7，…，第n個相同的數(shù)是6(n-1)+1=6n-5，進而可得n的值．
【詳解】解：第1個相同的數(shù)是1=0×6+1，
第2個相同的數(shù)是7=1×6+1，
第3個相同的數(shù)是13=2×6+1，
第4個相同的數(shù)是19=3×6+1，
…，
第n個相同的數(shù)是6(n-1)+1=6n-5，
所以6n-5=103，
解得n=18．
答：第n個相同的數(shù)是103，則n等于18．
故選：A．
【點睛】此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，確定出相同數(shù)的差值，從而得出相同數(shù)的通式是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·湖南懷化·統(tǒng)考模擬預(yù)測）正偶數(shù)2，4，6，8，10，……，按如下規(guī)律排列，
2
4 6
8 10 12
14 16 18 20
……
則第27行的第21個數(shù)是 ．
【答案】744
【分析】由圖可以看出，每行數(shù)字的個數(shù)與行數(shù)是一致的，即第一行有1個數(shù)，第二行有2個數(shù)，第三行有3個數(shù)????????第n行有n個數(shù)，則前n行共有n(n+1)2個數(shù)，再根據(jù)偶數(shù)的特征確定第幾行第幾個數(shù)是幾．
【詳解】解：由圖可知，
第一行有1個數(shù)，
第二行有2個數(shù)，
第三行有3個數(shù)，
???????
第n行有n個數(shù)．
∴前n行共有1+2+3+?+n=n(n+1)2個數(shù)．
∴前26行共有351個數(shù)，
∴第27行第21個數(shù)是所有數(shù)中的第372個數(shù)．
∵這些數(shù)都是正偶數(shù)，
∴第372個數(shù)為372×2=744．
故答案為：744．
【點睛】本題考查了數(shù)字類的規(guī)律問題，解決這類問題的關(guān)鍵是先根據(jù)題目的已知條件找出其中的規(guī)律，再結(jié)合其他已知條件求解．
題型02 系數(shù)規(guī)律
5．（2023·四川成都·?？家荒＃┨剿饕?guī)律：觀察下面的一列單項式：x、-2x2、4x3、-8x4、16x5、…，根據(jù)其中的規(guī)律得出的第9個單項式是（ ）
A．-256x9B．256x9C．-512x9D．512x9
【答案】B
【分析】根據(jù)已知的式子可以得到系數(shù)是以-2為底的冪，指數(shù)是式子的序號減1，x的指數(shù)是式子的序號．
【詳解】解：第9個單項式是-29-1x9=256x9．
故選：B．
【點睛】本題考查了單項式規(guī)律題，正確理解式子的符號、次數(shù)與式子的序號之間的關(guān)系是關(guān)鍵．
6．（2020·云南·統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的單項式：a，-2a，4a，-8a，16a，-32a，…，第n個單項式是（ ）
A．-2n-1aB．-2naC．2n-1aD．2na
【答案】A
【分析】先分析前面所給出的單項式，從三方面（符號、系數(shù)的絕對值、指數(shù)）總結(jié)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律進行概括即可得到答案．
【詳解】解：∵ a，-2a，4a，-8a，16a，-32a，…，
可記為：-20a,-21a,-22a,-23a,-24a,-25a,???,
∴ 第n項為：-2n-1a.
故選A．
【點睛】本題考查了單項式的知識，分別找出單項式的系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律是解決此類問題的關(guān)鍵．
7．（2023·云南昆明·昆明八中?？既＃┌匆欢ㄒ?guī)律排列的單項式：-x，3x2，-5x3，7x4，-9x5，…，第n個單項式是（ ）
A．2n-1(-x)nB．2n+1(-x)nC．2n+1xnD．2n-1xn
【答案】A
【分析】根據(jù)題目中的單項式，可以發(fā)現(xiàn)系數(shù)的絕對值是一些連續(xù)的奇數(shù)且第奇數(shù)個單項式的系數(shù)為負數(shù)，x的指數(shù)是一些連續(xù)的正整數(shù)，從而可以寫出第n個單項式．
【詳解】解：A、當n=1時，第一個單項式為：-x符合題意；
B、當n=1時，第一個單項式為：-3x，不符合題意，排除；
C、當n=1時，第一個單項式為：3x，不符合題意，排除；
D、當n=1時，第一個單項式為：x，不符合題意，排除；
故選：A．
【點睛】此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，單項式的系數(shù)和指數(shù)，解此題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)單項式系數(shù)和字母指數(shù)的變化特點及規(guī)律．
題型03 等式類規(guī)律
8．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）觀察下面的等式：32-12=8×1,52-32=8×2,72-52=8×3,92-72=8×4,?
(1)寫出192-172的結(jié)果．
(2)按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）
(3)請運用有關(guān)知識，推理說明這個結(jié)論是正確的．
【答案】(1)8×9
(2)(2n+1)2-(2n-1)2=8n
(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)題干的規(guī)律求解即可；
（2）根據(jù)題干的規(guī)律求解即可；
（3）將(2n+1)2-(2n-1)2因式分解，展開化簡求解即可．
【詳解】（1）192-172=8×9；
（2）(2n+1)2-(2n-1)2=8n；
（3）(2n+1)2-(2n-1)2
=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)
=4n×2
=8n．
【點睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，因式分解，整式乘法的混合運算，解題關(guān)鍵是通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的變化規(guī)律．
9．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）觀察以下等式：
第1個等式：2×1+12=2×2+12-2×22，
第2個等式：2×2+12=3×4+12-3×42，
第3個等式：2×3+12=4×6+12-4×62，
第4個等式：2×4+12=5×8+12-5×82，
……
按照以上規(guī)律．解決下列問題：
(1)寫出第5個等式：________；
(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明．
【答案】(1)2×5+12=6×10+12-6×102
(2)2n+12=(n+1)?2n+12-(n+1)?2n2，證明見解析
【分析】（1）觀察第1至第4個等式中相同位置的數(shù)的變化規(guī)律即可解答；
（2）觀察相同位置的數(shù)變化規(guī)律可以得出第n個等式為2n+12=(n+1)?2n+12-(n+1)?2n2，利用完全平方公式和平方差公式對等式左右兩邊變形即可證明．
【詳解】（1）解：觀察第1至第4個等式中相同位置數(shù)的變化規(guī)律，可知第5個等式為：2×5+12=6×10+12-6×102，
故答案為：2×5+12=6×10+12-6×102；
（2）解：第n個等式為2n+12=(n+1)?2n+12-(n+1)?2n2，
證明如下：
等式左邊：2n+12=4n2+4n+1，
等式右邊：(n+1)?2n+12-(n+1)?2n2
=(n+1)?2n+1+(n+1)?2n?(n+1)?2n+1-(n+1)?2n
=(n+1)?4n+1×1
=4n2+4n+1，
故等式2n+12=(n+1)?2n+12-(n+1)?2n2成立．
【點睛】本題考查整式規(guī)律探索，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)據(jù)的規(guī)律并熟練運用完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·安徽淮南·統(tǒng)考二模）（1）初步感知，在④的橫線上直接寫出計算結(jié)果：
①13=1；②13+23=3；③13+23+33=6；④13+23+33+43=__________；…
（2）深入探究，觀察下列等式：
①1+2=(1+2)×22；②1+2+3=(1+3)×32；③1+2+3+4=(1+4)×42；…
根據(jù)以上等式的規(guī)律，在下列橫線上填寫適當內(nèi)容：
1+2+3+?+n+(n+1)=__________．
（3）拓展應(yīng)用，通過以上初步感知與深入探究，計算：
①13+23+33+…+993+1003；
②113+123+133+…+193+203．
【答案】（1）10；（2）(n+2)(n+1)2；（3）①5050；②41075
【分析】(1)觀察可得，每個式子的結(jié)果都等于被開放數(shù)中所有加數(shù)的底數(shù)之和；
(2)所有自然數(shù)相加的和等于首項＋尾項的和再乘以自然數(shù)的個數(shù)，最后除以2即可；
(3)利用（1）（2）中的規(guī)律綜合運用即可求解．
【詳解】解：（1）10；
（2）(n+2)(n+1)2；
（3）①原式=1+2+3+4+5+?+99+100
=(1+100)×1002 =5050；
②原式=13+23+33+?+183+193+203-13+23+33+?+103
=202×2124-102×1124 =400×4414-100×1214 =44100-3025 =41075．
【點睛】主要考查了二次根式的基本性質(zhì)與化簡、探尋數(shù)列規(guī)律、整式的加減，掌握這三個知識點的應(yīng)用，其中探求規(guī)律是解題關(guān)鍵
題型04 數(shù)陣類規(guī)律
11．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）觀察下邊的數(shù)表（橫排為行，豎排為列），按數(shù)表中的規(guī)律，分數(shù)202023若排在第a行b列，則a-b的值為( )
11
12 21
13 22 31
14 23 32 41
……
A．2003B．2004C．2022D．2023
【答案】C
【分析】觀察表中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，分數(shù)的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分數(shù)，分母與其所在行數(shù)一致．
【詳解】觀察表中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，分數(shù)的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分數(shù)，分母與其所在行數(shù)一致，故202023在第20列，即b=20；向前遞推到第1列時，分數(shù)為20-192023+19=12042，故分數(shù)202023與分數(shù)12042在同一行．即在第2042行，則a=2042．
∴a-b=2042-20=2022.
故選：C．
【點睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索的知識點，解題的關(guān)鍵善于發(fā)現(xiàn)數(shù)字遞變的周期性和趨向性．
12．（2018·湖北十堰·中考真題）如圖，是按一定規(guī)律排成的三角形數(shù)陣，按圖中數(shù)陣的排列規(guī)律，第9行從左至右第5個數(shù)是（ ）
123256722310???
A．210B．41C．52D．51
【答案】B
【分析】由圖形可知，第n行最后一個數(shù)為1+2+3+?n=nn+12，據(jù)此可得答案．
【詳解】由圖形可知，第n行最后一個數(shù)為1+2+3+?n=nn+12，
∴第8行最后一個數(shù)為8×92=36=6，
∴第9行從左至右第5個數(shù)是36+5=41，
故選B．
【點睛】本題主要考查數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出第n行最后一個數(shù)為nn+12．
13．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列：
請根據(jù)上述規(guī)律解答下面的問題：
(1)第6行有______個數(shù)；第n行有______個數(shù)（用含n的式子表示）；
(2)若有序數(shù)對n，m表示第n行，從左到右第m個數(shù)，如3，2表示6．
①求11，20表示的數(shù)；②求表示2023的有序數(shù)對．
【答案】(1)11；2n-1；
(2)①120；②(45,87)
【分析】（1）觀察前5行發(fā)現(xiàn)：后一行數(shù)字的個數(shù)比前一行多2個，以此規(guī)律解答即可；
（2）①先求第11行最后一個數(shù)，然后判斷11，20為第11行倒數(shù)第二個數(shù)即可解答；
②先根據(jù)442

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