2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考通用版)第15講：拓展八：定義題(解答題)(學(xué)生版+解析)-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

(1)判斷函數(shù)在上是否為“上凸函數(shù)”，并說(shuō)明理由；
(2)若函數(shù)是其定義域上的“上凸函數(shù)”，求的取值范圍；
(3)已知函數(shù)是定義在上的“上凸函數(shù)”，為曲線上的任意一點(diǎn)，求證：除點(diǎn)外，曲線上的每一個(gè)點(diǎn)都在點(diǎn)處切線的下方．
2．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）閱讀知識(shí)卡片，結(jié)合所學(xué)知識(shí)完成以下問(wèn)題：知識(shí)卡片1：一般地，如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作和式（其中為小區(qū)間長(zhǎng)度），當(dāng)時(shí)，上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作即.這里，與分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式.從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積.知識(shí)卡片2：一般地；如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么.這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓-萊布尼茨公式.
(1)用定積分表示曲線及所圍成的圖形的面積，并確定取何值時(shí)，使所圍圖形的面積最??；
(2)一列火車在平直的鐵軌上行駛，由于遇到緊急情況，火車以速度（單位：）緊急剎車至停止.求：
①求火車在剎車4秒時(shí)速度的瞬時(shí)變化率（即4秒時(shí)的瞬時(shí)加速度）；
②緊急剎車后至停止火車運(yùn)行的路程.
3．（23-24高二下·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）定義：若函數(shù)和的圖象上分別存在點(diǎn)和關(guān)于軸對(duì)稱，則稱函數(shù)和具有關(guān)系．
(1)判斷函數(shù)和是否具有關(guān)系；
(2)若函數(shù)和（）在區(qū)間上具有關(guān)系，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
6．（23-24高三上·浙江寧波·期末）我們把底數(shù)和指數(shù)同時(shí)含有自變量的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，其一般形式為，冪指函數(shù)在求導(dǎo)時(shí)可以將函數(shù)“指數(shù)化"再求導(dǎo).例如，對(duì)于冪指函數(shù)，.
(1)已知，求曲線在處的切線方程；
(2)若且，.研究的單調(diào)性；
(3)已知均大于0，且，討論和大小關(guān)系.
7．（2024·廣東茂名·一模）若函數(shù)在上有定義，且對(duì)于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數(shù)”.
(1)若，判斷是否為上的“3類函數(shù)”；
(2)若為上的“2類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若為上的“2類函數(shù)”，且，證明：，，.
8．（2024高三上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)、，的圖象在處的切線與軸平行．
(1)求，的關(guān)系式并求的單調(diào)減區(qū)間；
(2)證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程：在,恒有實(shí)數(shù)解；
(3)結(jié)合（2）的結(jié)論，其實(shí)我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)是在閉區(qū)間,上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得．如我們所學(xué)過(guò)的指、對(duì)數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件．試用拉格朗日中值定理證明：
當(dāng)時(shí)，（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）．
9．（23-24高一上·云南昆明·期末）設(shè)區(qū)間為函數(shù)定義域的子集，對(duì)任意且，記，，，則：在上單調(diào)遞增的充要條件是在區(qū)間上恒成立；在上單調(diào)遞減的充要條件是在區(qū)間上恒成立.一般地，當(dāng)時(shí)，稱為函數(shù)在區(qū)間（時(shí)）或（時(shí)）上的平均變化率.設(shè)函數(shù)，請(qǐng)利用上述材料，解決以下問(wèn)題：
(1)分別求在區(qū)間、上的平均變化率；
(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
10．（23-24高三上·上海靜安·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
(3)定義函數(shù)，對(duì)于數(shù)列，若，則稱為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的一個(gè)“源數(shù)列”．
①已知為函數(shù)的“源數(shù)列”，求證：對(duì)任意正整數(shù)，均有；
②已知為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的“源數(shù)列”，與的公共項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，試問(wèn)在數(shù)列中是否存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由．
第15講：拓展八：定義題（解答題10大題）
1．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若是上的減函數(shù)，則稱為上的“上凸函數(shù)”；反之，若為上的“上凸函數(shù)”，則是上的減函數(shù)．
(1)判斷函數(shù)在上是否為“上凸函數(shù)”，并說(shuō)明理由；
(2)若函數(shù)是其定義域上的“上凸函數(shù)”，求的取值范圍；
(3)已知函數(shù)是定義在上的“上凸函數(shù)”，為曲線上的任意一點(diǎn)，求證：除點(diǎn)外，曲線上的每一個(gè)點(diǎn)都在點(diǎn)處切線的下方．
【答案】(1)函數(shù)在上是“上凸函數(shù)”，理由見(jiàn)解析
(2)
(3)證明過(guò)程見(jiàn)解析
【分析】（1）求導(dǎo)得，令，只需判斷在上是否恒成立即可；
（2）由題意設(shè)，則恒成立，即當(dāng)時(shí)，恒成立，從而分類討論、分離參數(shù)即可求解；
（3）構(gòu)造函數(shù)，則，借助“上凸函數(shù)”的定義即可得證.
【詳解】（1）由題意，，令，
則，當(dāng)時(shí)，，
即此時(shí)，所以即單調(diào)遞減，
從而由定義可知函數(shù)在上是“上凸函數(shù)”；
（2）因?yàn)椋?br>所以，設(shè)，
則，
由題意函數(shù)是其定義域上的“上凸函數(shù)”，
所以單調(diào)遞減，
從而當(dāng)時(shí)，恒成立，
即當(dāng)時(shí)，恒成立，
當(dāng)時(shí)，不等式左邊為，不等式成立，此時(shí)任意，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
而此時(shí)，
所以此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
而此時(shí)，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，
即此時(shí)，所以，
綜上所述，的取值范圍為；
（3）設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的切線方程為，
令，則，
函數(shù)是定義在上的“上凸函數(shù)”，則單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，
所以，，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，
所以，，
綜上所述，除點(diǎn)外，曲線上的每一個(gè)點(diǎn)都在點(diǎn)處切線的下方.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是得到當(dāng)時(shí)，恒成立，由此即可順利得解.
2．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）閱讀知識(shí)卡片，結(jié)合所學(xué)知識(shí)完成以下問(wèn)題：知識(shí)卡片1：一般地，如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作和式（其中為小區(qū)間長(zhǎng)度），當(dāng)時(shí)，上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作即.這里，與分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式.從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積.知識(shí)卡片2：一般地；如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么.這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓-萊布尼茨公式.
(1)用定積分表示曲線及所圍成的圖形的面積，并確定取何值時(shí)，使所圍圖形的面積最小；
(2)一列火車在平直的鐵軌上行駛，由于遇到緊急情況，火車以速度（單位：）緊急剎車至停止.求：
①求火車在剎車4秒時(shí)速度的瞬時(shí)變化率（即4秒時(shí)的瞬時(shí)加速度）；
②緊急剎車后至停止火車運(yùn)行的路程.
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】（1）先利用定積分的定義表示出所圍圖形的面積，然后根據(jù)牛頓萊布尼茨公式進(jìn)行積分運(yùn)算，最后利用配方法即可得解
（2）①求導(dǎo)得瞬時(shí)速度；
②令，解得的值即為從開(kāi)始緊急剎車至火車完全停止所經(jīng)過(guò)的時(shí)間，緊急剎車后火車運(yùn)行的路程是從0到10對(duì)函數(shù)的定積分．
【詳解】（1）
，
當(dāng)時(shí)，由曲線圍成的圖形面積最?。?br>（2）①，則，
故火車在剎車4秒時(shí)速度的瞬時(shí)變化率為；
②當(dāng)火車的速度時(shí)火車完全停止，即，
，解得或（舍去）；
即從開(kāi)始緊急剎車至火車完全停止所經(jīng)過(guò)的時(shí)間為．
根據(jù)定積分的物理意義，緊急剎車后火車運(yùn)行的路程就是從0到10對(duì)應(yīng)函數(shù)
的定積分，
，
即緊急剎車后火車運(yùn)行的路程為．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義問(wèn)題，解決問(wèn)題關(guān)鍵是熟記導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式得到積分表達(dá)式.
3．（23-24高二下·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）定義：若函數(shù)和的圖象上分別存在點(diǎn)和關(guān)于軸對(duì)稱，則稱函數(shù)和具有關(guān)系．
(1)判斷函數(shù)和是否具有關(guān)系；
(2)若函數(shù)和（）在區(qū)間上具有關(guān)系，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)與具有關(guān)系；
(2)．
【分析】
（1）依據(jù)給定的新定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷即可.
（2）令，得出所以在上存在零點(diǎn)且．在上單調(diào)遞增，推出，后結(jié)合給定定義求解參數(shù)范圍即可.
【詳解】（1）
與具有關(guān)系．
理由如下：根據(jù)定義，若在與的定義域的交集上存在，
使得，則與具有關(guān)系．令，，
則，所以單調(diào)遞增，又，，
所以，使得，即，即與具有關(guān)系．
（2）
令，則，因?yàn)榕c在上具有關(guān)系，
所以在上存在零點(diǎn)．，若，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以?br>即在上單調(diào)遞增，則，
此時(shí)在上不存在零點(diǎn)，不滿足題意．若，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又，，故在上存在唯一零點(diǎn)，
設(shè)零點(diǎn)為，則，所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
在上存在唯一極小值，因?yàn)?，所以?br>又，所以在上存在唯一零點(diǎn)，
所以函數(shù)與在上具有關(guān)系．
綜上所述，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)新定義，解題關(guān)鍵是得出所以在上存在零點(diǎn)且．在上單調(diào)遞增，推出，然后利用給定定義得到所要求的參數(shù)范圍即可．
4．（23-24高二下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.
(1)若函數(shù)，求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心；
(2)已知函數(shù)，其中.
（?。┣蟮墓拯c(diǎn)；
（ⅱ）若，求證：.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析
【分析】
（1）根據(jù)“拐點(diǎn)”的定義，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)即可得結(jié)果，
（2）（?。└鶕?jù)“拐點(diǎn)”的定義，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出結(jié)果；（ⅱ）由（?。┛芍?，求出函數(shù)在上單調(diào)遞增且，從而得證.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>所以.令，解得，又，
所以函數(shù)的“拐點(diǎn)”為，
所以函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為.
（2）（?。┮?yàn)椋?br>所以，
，且，
令，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，又，
由零點(diǎn)存在性定理知，有唯一的零點(diǎn)，
所，且，當(dāng)時(shí)，，
所以的拐點(diǎn)為.
（ⅱ）證明：由（i）可知，在上單調(diào)遞增，，
∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，
∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增，
又，，
所以.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)“拐點(diǎn)”的定義求出函數(shù)對(duì)稱中心，利用二次求導(dǎo)得出函數(shù)的單調(diào)性即可得證.
5．（23-24高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間，若存在，使得在處的切線與的圖像只有唯一的公共點(diǎn)，則稱為“函數(shù)”，切線為一條“切線”．
(1)判斷是否是函數(shù)的一條“切線”，并說(shuō)明理由；
(2)設(shè)，求證：存在無(wú)窮多條“切線”；
(3)設(shè)，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)和正數(shù)都是“函數(shù)”
【答案】(1)是，理由見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）記，設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，再證明直線與的圖象只有唯一的公共點(diǎn)，將與函數(shù)聯(lián)立，得，記，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到方程的解．
（2）將點(diǎn)處的切線的方程與聯(lián)立得，記，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)存在唯一零點(diǎn)，即可得證；
（3）類似第（2）問(wèn)的思路得到在上有且僅有一解，則或，再分、兩種情況說(shuō)明即可.
【詳解】（1）記，則，設(shè)切點(diǎn)為，
由切線方程為知，則，解得．
所以切點(diǎn)為，下面證明直線與的圖象只有唯一的公共點(diǎn)，
將與函數(shù)聯(lián)立，得．
記，則，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故是一條“切線”；
（2）因?yàn)?，所以?br>則點(diǎn)處的切線方程為，
將點(diǎn)處的切線的方程與聯(lián)立得，
記，
則直線為“切線”函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（此時(shí)，一個(gè)對(duì)應(yīng)一條“切線”），顯然是的零點(diǎn)，
故只要沒(méi)其它零點(diǎn)，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故此時(shí)為唯一的極小值點(diǎn)（也是最小值點(diǎn)），而，
故無(wú)其他零點(diǎn)，故直線為“切線”，因?yàn)榈娜我庑裕?br>故函數(shù)存在無(wú)窮多條“切線”，
（3）因?yàn)?，則，
設(shè)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，
則點(diǎn)的切線為，與聯(lián)立得：
，
由題意得直線為“切線”，故方程在上有且僅有一解，
則或，
若，則是方程的唯一解（此時(shí)有無(wú)數(shù)條“切線”，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為上的任意值）．
若，則（此時(shí)只有一條“切線”，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為）
或（此時(shí)有無(wú)數(shù)條“切線”，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為上的任意值），
綜上，，即證．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于新定義問(wèn)題的關(guān)鍵是理解定義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有唯一解問(wèn)題.
6．（23-24高三上·浙江寧波·期末）我們把底數(shù)和指數(shù)同時(shí)含有自變量的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，其一般形式為，冪指函數(shù)在求導(dǎo)時(shí)可以將函數(shù)“指數(shù)化"再求導(dǎo).例如，對(duì)于冪指函數(shù)，.
(1)已知，求曲線在處的切線方程；
(2)若且，.研究的單調(diào)性；
(3)已知均大于0，且，討論和大小關(guān)系.
【答案】(1)
(2)答案見(jiàn)解析
(3)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）利用“指數(shù)化"，即可結(jié)合復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可求解，
（2）利用“指數(shù)化"，即可結(jié)合復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，即可求解，
（3）根據(jù)的單調(diào)性，即可令求解.
【詳解】（1），
則，
所以，又因?yàn)?，所以切線方程為.
（2），，
，
令，令，
，
令，解得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
所以在上單調(diào)遞增.
（3）由（2）知，令，得，
由（2）知在上單調(diào)遞增.
所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即.
當(dāng)時(shí)，
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小的基本步驟
(1)作差或變形；
(2)構(gòu)造新的函數(shù)；
(3)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性或最值；
(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．
7．（2024·廣東茂名·一模）若函數(shù)在上有定義，且對(duì)于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數(shù)”.
(1)若，判斷是否為上的“3類函數(shù)”；
(2)若為上的“2類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若為上的“2類函數(shù)”，且，證明：，，.
【答案】(1)是上的“3類函數(shù)”，理由見(jiàn)詳解.
(2)
(3)證明過(guò)程見(jiàn)詳解.
【分析】
（1）由新定義可知，利用作差及不等式的性質(zhì)證明即可；
（2）由已知條件轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意，都有，，只需且，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可.
（3）分和兩種情況進(jìn)行證明，，用放縮法進(jìn)行證明即可.
【詳解】（1）對(duì)于任意不同的，
有，，所以，
，
所以是上的“3類函數(shù)”.
（2）因?yàn)椋?br>由題意知，對(duì)于任意不同的，都有，
不妨設(shè)，則，
故且，
故為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，
故任意，都有，
由可轉(zhuǎn)化為，令，只需
，令，在單調(diào)遞減，
所以，，故在單調(diào)遞減，
，
由可轉(zhuǎn)化為，令，只需
，令，在單調(diào)遞減，
且，，所以使，即，
即，
當(dāng)時(shí)，，，故在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，故在單調(diào)遞減，
，
故.
（3）因?yàn)闉樯系摹?類函數(shù)”，所以，
不妨設(shè)，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>，
綜上所述，，，.
【點(diǎn)睛】不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)方法：①分離參數(shù)恒成立或恒成立；②數(shù)形結(jié)合（的圖象在上方即可）；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.
8．（2024高三上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)、，的圖象在處的切線與軸平行．
(1)求，的關(guān)系式并求的單調(diào)減區(qū)間；
(2)證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程：在,恒有實(shí)數(shù)解；
(3)結(jié)合（2）的結(jié)論，其實(shí)我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)是在閉區(qū)間,上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得．如我們所學(xué)過(guò)的指、對(duì)數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件．試用拉格朗日中值定理證明：
當(dāng)時(shí)，（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）．
【答案】(1)，減區(qū)間見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由得，則，結(jié)合即可求解；
（2）將原方程轉(zhuǎn)化為，得，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理即可證明；
（3）令，由拉格朗日中值定理可知存在使，結(jié)合列不等式，即可證明.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>由已知有，所以即，
即，由知．
當(dāng)時(shí)，由得，則的減區(qū)間為，
當(dāng)時(shí)，由得或，的減區(qū)間為和，
綜上所述：當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為和；
（2），
可化為，
令，
則，，
即，
又，所以，，即，
由零點(diǎn)的存在性定理知方程在區(qū)間,內(nèi)必有解，
即關(guān)于的方程在,恒有實(shí)數(shù)解
（3）令，，
則符合拉格朗日中值定理的條件，即存在，
使，
所以在時(shí)恒成立，
對(duì)于函數(shù)，，
設(shè)任意且，則，
因?yàn)榍?，所以，，則，
所以，即在上恒成立，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，同理可證在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問(wèn)的關(guān)鍵是參變分離得到在時(shí)恒成立，結(jié)合所給定義證明函數(shù)，的單調(diào)性.
10．（23-24高三上·上海靜安·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
(3)定義函數(shù)，對(duì)于數(shù)列，若，則稱為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的一個(gè)“源數(shù)列”．
①已知為函數(shù)的“源數(shù)列”，求證：對(duì)任意正整數(shù)，均有；
②已知為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的“源數(shù)列”，與的公共項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，試問(wèn)在數(shù)列中是否存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．
(2)
(3)①證明見(jiàn)解析；②假設(shè)不成立，即不存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，理由見(jiàn)解析．
【分析】
（1）求導(dǎo)得，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，恒成立，求導(dǎo)得，然后分，以及討論，即可得到結(jié)果；
（3）①根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得在恒成立，即可證明；②根據(jù)題意，結(jié)合“源數(shù)列”以及“生成數(shù)列”的概念，然后假設(shè)存在，代入計(jì)算，即可得到方程無(wú)解，故不存在.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，
令，則，解得或，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2），
令，依題意，當(dāng)時(shí)，恒成立，
由，得，，
又因?yàn)椋裕?br>當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，
，不合題意；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
若要使恒成立，則需，解得，
故此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞減，
所以，符合題意；
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
（3）①，，故，
構(gòu)造函數(shù)，
，則
函數(shù)在上單調(diào)遞增，，故在恒成立，單調(diào)遞增，
故，即，，
當(dāng)時(shí)，，
綜上所述：恒成立，即．
②，則，，
設(shè)，即，則，
設(shè)函數(shù)，函數(shù)單調(diào)遞增，對(duì)于任意，有唯一的與之對(duì)應(yīng)，
即數(shù)列中每一項(xiàng)，都有中的項(xiàng)與之相等，單調(diào)遞增，
故，
假設(shè)數(shù)列中存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，，，，
故，整理得到，無(wú)正整數(shù)解．
故假設(shè)不成立，即不存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題以及導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的結(jié)合，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于理解題中“源數(shù)列”以及“生成數(shù)列”的概念，再由導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的知識(shí)進(jìn)行解答.

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