第一部分：典型例題講解
題型一：集合的表示
1．（2023上·遼寧·高一校聯(lián)考期中）已知集合，且是中的一個元素，則（ ）
A．B．或3C．D．或
2．（多選）（2024下·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，且，則 .
4．（2023下·遼寧阜新·高二?？计谀┘嫌昧信e法表示為 .
5．（2023上·廣東·高一校聯(lián)考期中）已知集合，則的子集個數(shù)為 ．
題型二：集合的基本關(guān)系
1．（2024上·河南洛陽·高一統(tǒng)考期末）已知集合，若，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·安徽合肥·高三合肥一中?？计谀┮阎?，，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024下·重慶·高三重慶一中?？奸_學(xué)考試）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2024上·江蘇無錫·高一江蘇省天一中學(xué)?？计谀┮阎?，，且，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024上·吉林延邊·高一統(tǒng)考期末）已知全集，集合.

(1)求圖中陰影部分表示的集合；
(2)若非空集合，且，求實數(shù)的取值范圍.
題型三：集合的基本運算
1．（2024·陜西·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)的值域為B，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024下·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)集合，，若的真子集的個數(shù)是，則正實數(shù)的取值范圍為 ．
3．（2024上·河北石家莊·高一石家莊市第二十四中學(xué)?？计谀┮阎希?br>(1)求；
(2)若，且，求的取值范圍．
4．（2024上·江西南昌·高一校聯(lián)考期末）在①；②“”是“”的必要條件；③這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，并解答．
間題：已知集合．
(1)當時，求；
(2)若___________，求實數(shù)的取值范圍．
5．（2023下·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
6．（2024上·湖南衡陽·高一統(tǒng)考期末）已知集合，函數(shù)定義域為集合B．
(1)若，求實數(shù)a的取值范圍．
(2)若，求實數(shù)a的取值范圍．
題型四：充分條件與必要條件
1．（2024上·全國·高三校聯(lián)考競賽）設(shè)，集合．則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
2．（2022上·北京·高一?？茧A段練習(xí)）“”是“”的（ ）
A．必要不充分條件B．充分不必要條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．（2024上·天津·高三校聯(lián)考期末）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．（2024上·北京密云·高一統(tǒng)考期末）已知，，，則“”的一個充分而不必要條件是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024上·江蘇南京·高一統(tǒng)考期末）設(shè)全集，已知集合.
(1)若，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若“”是“”的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.
題型五：“的”字結(jié)構(gòu)與“是”字結(jié)構(gòu)對比
1．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）“”是“”的（ ）
A．必要不充分條件B．充分不必要條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2．（2024上·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．（2024上·福建南平·高一統(tǒng)考期末）不等式成立的一個充分不必要條件是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024上·陜西咸陽·高一統(tǒng)考期末）“不等式在上恒成立”的一個必要不充分條件是（ ）
A．B．C．D．
5．（多選）（2024上·四川廣安·高一統(tǒng)考期末）“，”為真命題的充分條件可以是（ ）
A．B．C．D．
題型六：全稱量詞與存在量詞
1．（2024下·廣東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，；，．若為假命題，為真命題，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·廣西南寧·南寧三中校聯(lián)考一模）已知命題，則為（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024上·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）若命題“，”是假命題，則實數(shù)的最小值為（ ）
A．1B．2C．4D．8
4．（2023上·云南昆明·高一官渡五中?？计谥校┟}：R，是假命題，則實數(shù)的值可能是 （ ）
A．B．
C．D．
5．（多選）（2024上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一?？计谀┟}“”是真命題的一個充分不必要條件是（ ）
A．B．
C．D．
題型七：一元二次不等式
1．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．或
2．（2024上·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）不等式的解集為 ．
3．（2015下·福建·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知不等式的解集為或
(1)求的值
(2)解不等式．
4．（2023上·吉林白山·高一統(tǒng)考期末）解關(guān)于x的不等式：
(1)；
(2)．
5．（2024上·四川南充·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)若關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)，的值；
(2)求關(guān)于的不等式的解集.
題型八：一元二次不等式中的恒成立與有解問題
1．（2024上·重慶·高一重慶市青木關(guān)中學(xué)校?？计谀┖瘮?shù)的定義域為，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）命題，若是假命題，則實數(shù)的取值范圍是 ．
3．（2024上·福建龍巖·高一福建省武平縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知二次函數(shù)，對任意都有，且．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若對于，不等式恒成立，求x的取值范圍．
4．（2024上·江蘇無錫·高一江蘇省天一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)
(1)當時，求該函數(shù)的值域；
(2)若對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
C．D．的最小值為4
5．（2023·陜西咸陽·咸陽市實驗中學(xué)?？家荒＃┮阎?，且，則的最小值為 ．
6．（2022上·河南·高二校聯(lián)考期末）已知中，點D在線段（不含端點）上，且滿足，則的最小值為 .
7．（2022上·河南·高三校聯(lián)考專題練習(xí)）若正數(shù)，滿足，則的最小值為 ．
8．（2024下·湖北·高二應(yīng)城市第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，，其中，，若，則的最小值為 ．
題型十：復(fù)數(shù)的綜合應(yīng)用
1．（2024下·陜西安康·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)，則 （ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為虛數(shù)單位，為實數(shù)，若，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024下·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）若，且是純虛數(shù)，則（ ）
A．B．1C．D．2
5．（2024下·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)，其中且，則的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
6．（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知i為復(fù)數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
7．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，且滿足，則實數(shù)m的值為（ ）
A．B．C．D．
第二部分：新定義題
1．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｊ薪ㄆ街袑W(xué)?？计谀┮阎鲜怯赡承┱麛?shù)組成的集合，且滿足：若，則當且僅當（其中正整數(shù)、且）或（其中正整數(shù)、且）．現(xiàn)有如下兩個命題：①；②集合．則下列判斷正確的是（ ）
A．①對②對B．①對②錯C．①錯②對D．①錯②錯
2．（2023上·上海嘉定·高一上海市育才中學(xué)?？计谥校┮阎螾，Q中都至少有兩個元素，并且滿足下列條件：①集合P，Q中的元素都為正數(shù)；②對于任意，都有；③對于任意，都有；則下列說法正確的是（ ）
A．若P有2個元素，則Q有3個元素
B．若P有2個元素，則有4個元素
C．若P有2個元素，則有1個元素
D．存在滿足條件且有3個元素的集合P
3．（2015上·上海浦東新·高一上海市實驗學(xué)校校考期中）若X是一個非空集合，M是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：①，；②對于X的任意子集A，B，當且時，有；③對于X的任意子集A，B，當且時，有，則稱M是集合X的一個“M-集合類”.例如：是集合得一個“M—集合類”.若，則所有含的“M—集合類”的個數(shù)為（ ）
A．9B．10C．11D．12
4．（2023上·上海浦東新·高一校考期中）已知有限集，如果A中的元素滿足，就稱A為“完美集”.
①集合是“完美集”；
②若、是兩個不同的正數(shù)，且是“完美集”，則、至少有一個大于2；
③二元“完美集”有無窮多個；
④若，則“完美集”A有且只有一個，且.
其中正確的結(jié)論是 （填上你認為正確的所有結(jié)論的序號）
5．（2012·四川·統(tǒng)考一模）已知集合，對任意、、，規(guī)定運算“”滿足如下性質(zhì)：
（1）；（2）；（3）；
給出下列命題：①；
②若，則；
③若，且，則；
④若、、，且，，則．
其中所有正確命題的序號是 ．
6．（2023上·北京·高三北京四中?？奸_學(xué)考試）正實數(shù)構(gòu)成的集合，定義.當集合中恰有個元素時，稱集合A具有性質(zhì).
(1)判斷集合，是否具有性質(zhì)；
(2)若集合A具有性質(zhì)，且A中所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列，中所有元素也能構(gòu)成等比數(shù)列，求集合A中的元素個數(shù)的最大值：
(3)若集合A具有性質(zhì)，且中的所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列.問：集合A中的元素個數(shù)是否存在最大值?若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由.
7．（2018上·北京西城·高一北京市第三十五中學(xué)校考期中）對于函數(shù)，若，則稱為的“不動點”；若，則稱為的“穩(wěn)定點”．函數(shù)的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為和，即，．
(1)設(shè)函數(shù)，求集合和；
(2)求證：；
(3)設(shè)函數(shù)，且，求證：．
第08講：第一章 集合與常用邏輯用語、不等式、復(fù)數(shù)
章節(jié)總結(jié)
第一部分：典型例題講解
題型一：集合的表示
1．（2023上·遼寧·高一校聯(lián)考期中）已知集合，且是中的一個元素，則（ ）
A．B．或3C．D．或
【答案】A
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系可得出關(guān)于實數(shù)的等式，利用集合元素滿足互異性可得出實數(shù)的值.
【詳解】集合，且.
①當時，，此時，，集合中的元素不滿足互異性，故不符合題意，舍去；
②當時，（舍）或.
若，則，此時集合，符合題意，
綜上所述，.
故選：A.
2．（多選）（2024下·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)條件得到，從而得到選項A正確，再由元素與集合，集合與集合間的關(guān)系，對B，C和D逐一分析判斷，即可得出結(jié)果.
【詳解】易知方程無解，所以，所以選項A正確，
因為，所以選項B錯誤，
因為集合是以為元素的集合，由元素與集合間的關(guān)系，知選項C正確，
又空集是任何集合的子集，所以選項D正確，
故選：ACD.
3．（2024上·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，且，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，列出方程，求得的值，結(jié)合集合元素的互異性，即可求解.
【詳解】因為，所以或，解得或，
當時，，，集合不滿足元素的互異性，所以舍去；
當時，經(jīng)檢驗，符合題意，所以．
故答案為：．
4．（2023下·遼寧阜新·高二校考期末）集合用列舉法表示為 .
【答案】
【分析】依題意逐個驗證即可.
【詳解】時，時，時，時，時，時，不合題意，
故滿足題意的有，
故答案為：.
5．（2023上·廣東·高一校聯(lián)考期中）已知集合，則的子集個數(shù)為 ．
【答案】4
【分析】利用描述法及子集的概念計算即可.
【詳解】易知，有2個元素，
所以的子集個數(shù)為．
故答案為：4
題型二：集合的基本關(guān)系
1．（2024上·河南洛陽·高一統(tǒng)考期末）已知集合，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出集合，然后結(jié)合集合相等的條件即可求解．
【詳解】由題意得，，
當時，，
當或時，，
當時，，則，
若，且，則，，
所以，．
故選：B．
2．（2024上·安徽合肥·高三合肥一中?？计谀┮阎希?，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)，建立條件關(guān)系即可求實數(shù)的取值范圍．
【詳解】因為，，
若，則，
則，所以．
故選：B．
3．（2024下·重慶·高三重慶一中校考開學(xué)考試）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通過解不等式求得集合，進而判斷出正確答案.
【詳解】，解得或，
所以或.
，解得或，
所以或.
所以，B選項正確，其它選項錯誤.
故選：B
4．（2024上·江蘇無錫·高一江蘇省天一中學(xué)校考期末）已知集合，，且，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)集合是集合的子集，結(jié)合集合中元素的互異性求解即可.
【詳解】集合，，
由于，則實數(shù)的取值范圍是
故選：B．
5．（2024上·吉林延邊·高一統(tǒng)考期末）已知全集，集合.

(1)求圖中陰影部分表示的集合；
(2)若非空集合，且，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由韋恩圖分析得，再化簡集合，從而利用集合的交并補運算即可得解；
（2）先求得，利用集合的包含關(guān)系得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.
【詳解】（1）根據(jù)題意，分析可得，
而，，
則或，
所以；
（2）因為，則，
若非空集合，且，
則有，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
題型三：集合的基本運算
1．（2024·陜西·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)的值域為B，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出函數(shù)的定義域可得集合，求出函數(shù)的值域可得集合B，再求可得答案.
【詳解】，則且，
可得的值域．
故選：B.
2．（2024下·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)集合，，若的真子集的個數(shù)是，則正實數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】解出集合，分析可知，集合的元素個數(shù)為，確定集合，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可.
【詳解】由可得，解得，
因為，則且，
因為的真子集的個數(shù)為，設(shè)的元素個數(shù)為，則，解得，
因為，則，所以，，解得,
因此，實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
3．（2024上·河北石家莊·高一石家莊市第二十四中學(xué)校考期末）已知集合．
(1)求；
(2)若，且，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得集合，然后由并集定義計算；
（2）由，可得，列出相應(yīng)不等式組，從而可求解.
【詳解】（1）由題意知：，解得，所以，
所以.
（2）由題意，得，所以，解得.
故的取值范圍為.
4．（2024上·江西南昌·高一校聯(lián)考期末）在①；②“”是“”的必要條件；③這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，并解答．
間題：已知集合．
(1)當時，求；
(2)若___________，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，求得或，，結(jié)合集合的運算，即可求解；
（2）由或和，若選擇①②，轉(zhuǎn)化為，列出不等式，即可求得的取值范圍；若選擇③：得到，結(jié)合集合的運算，列出不等式，即可求解.
【詳解】（1）解：由不等式，解得或，可得或，
當時，可得，
則，所以．
（2）解：由集合或和，
若選擇①：由，即，可得，解得，
所以實數(shù)的取值范圍為；
若選擇②：由“”是“”的必要條件，可得，可得，解得，
所以實數(shù)的取值范圍為；
若選擇③：由或，可得，
要使得，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.
5．（2023下·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出集合后可求；
（2）先求出，再根據(jù)可得的不等式，故可求其取值范圍.
【詳解】（1）由得，，
當時，,
，所以．
（2）因為或，
又,
所以，所以實數(shù)的取值范圍是
6．（2024上·湖南衡陽·高一統(tǒng)考期末）已知集合，函數(shù)定義域為集合B．
(1)若，求實數(shù)a的取值范圍．
(2)若，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)且或
【分析】（1）由可得，解不等式可得所求范圍；
（2）由可得，根據(jù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于實數(shù)的不等式，解不等式可得所求范圍.
【詳解】（1）由題可得，得，即，
所以或.
（2）；對函數(shù)，，由于，
當時，即，，函數(shù)無意義，所以，得，
由，知或，得且或.
題型四：充分條件與必要條件
1．（2024上·全國·高三校聯(lián)考競賽）設(shè)，集合．則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】利用集合相等的定義得到關(guān)于的方程組，推得充分性成立；再簡單證得必要性也成立即可得解.
【詳解】因為，
當時，則有，或，
若，顯然解得；
若，則，整理得，
因為，，
所以無解；
綜上，，即充分性成立；
當時，顯然，即必要性成立；
所以“”是“”的充分必要條件.
故選：C.
2．（2022上·北京·高一?？茧A段練習(xí)）“”是“”的（ ）
A．必要不充分條件B．充分不必要條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】解得或，根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.
【詳解】解得或，
所以“”“”，“”“”，
所以“”是“”的充分不必要條件．
故選：B．
3．（2024上·天津·高三校聯(lián)考期末）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【詳解】由，得，必有，
而當時，可以是負數(shù)，如成立，卻有，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
4．（2024上·北京密云·高一統(tǒng)考期末）已知，，，則“”的一個充分而不必要條件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合充分、必要條件逐項分析判斷.
【詳解】當時，滿足，但不成立，不滿足充分性，A選項錯誤；
由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，若，則，反之，若，則，
所以是的充要條件，B選項錯誤；
當時，滿足，但不成立，不滿足充分性，C選項錯誤；
若，則有，反之，不能得到，比如當時，不成立，
所以是的充分不必要條件，D選項正確.
故選：D
5．（2024上·江蘇南京·高一統(tǒng)考期末）設(shè)全集，已知集合.
(1)若，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若“”是“”的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)或
(2).
【分析】（1）求出集合A，由集合運算列式可得結(jié)果，
（2）由充分條件得，根據(jù)子集關(guān)系列式可得結(jié)果.
【詳解】（1）由，解得，所以.
因為，且，所以或，解得或，
所以實數(shù)的取值范圍是或.
（2）因為“”是“”的充分條件，所以，
所以，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
題型五：“的”字結(jié)構(gòu)與“是”字結(jié)構(gòu)對比
1．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）“”是“”的（ ）
A．必要不充分條件B．充分不必要條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】解一元一次不等式結(jié)合必要不充分條件的定義即可得解.
【詳解】由題意，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：A.
2．（2024上·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】先求出不等式的解集，再根據(jù)兩個范圍的包含關(guān)系即可判斷.
【詳解】由可得: ,解得：，
因是的真子集，故 “”是“”的必要不充分條件.
故選：B．
3．（2024上·福建南平·高一統(tǒng)考期末）不等式成立的一個充分不必要條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先分析不等式成立的一個充分不必要條件的性質(zhì)，再解不等式即可得解.
【詳解】要成為不等式成立的一個充分不必要條件，
則該條件所對應(yīng)的集合為不等式的解集的真子集，
解，得，故不等式的解集為，
逐一分析各選項，可知只有D選項對應(yīng)的集合滿足題意，故D正確.
故選：D.
4．（2024上·陜西咸陽·高一統(tǒng)考期末）“不等式在上恒成立”的一個必要不充分條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出不等式恒成立的充要條件，然后逐項判斷即可.
【詳解】因為“不等式在上恒成立”，
顯然不滿足題意，
所以，解得，
則“不等式在上恒成立”等價于，
故要找的必要不充分條件需要被推出.
對于A，是充要條件，故A錯誤；
對于B，因為推不出，故B錯誤；
對于C，因為，反之不能推出，故C正確；
對于D，因為推不出，故D錯誤．
故選：C．
5．（多選）（2024上·四川廣安·高一統(tǒng)考期末）“，”為真命題的充分條件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】變形得到，恒成立，由基本不等式求出的最小值，從而得到，分析四個選項，得到AB滿足要求.
【詳解】，恒成立，
其中，當且僅當，即時，等號成立，
故，
由于和均為的真子集，故AB正確，CD不合要求.
故選：AB
題型六：全稱量詞與存在量詞
1．（2024下·廣東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，；，．若為假命題，為真命題，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)全稱命題以及特稱命題的真假，結(jié)合二次函數(shù)的最值以及一元二次方程的判別式，即可求得答案.
【詳解】由題意知，為假命題，
則，為真命題，
當時，的圖象的對稱軸為，
此時其最大值為，則；
又，為真命題，
即，即得，
綜合可得的取值范圍為，
故選：A
2．（2024·廣西南寧·南寧三中校聯(lián)考一模）已知命題，則為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)含有一個量詞命題的否定，即可得答案.
【詳解】由題意知命題為存在量詞命題，
其否定為全稱量詞命題：，
故選：A
3．（2024上·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）若命題“，”是假命題，則實數(shù)的最小值為（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】根據(jù)特稱命題與全稱命題的真假性質(zhì)，結(jié)合一元二次不等式的解集的性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】因為命題“，”是假命題，
所以命題“，”是真命題，
因此有，所以實數(shù)的最小值為，
故選：C
4．（2023上·云南昆明·高一官渡五中校考期中）命題：R，是假命題，則實數(shù)的值可能是 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】先由p是假命題，得到是真命題，求出b的范圍，對四個選項一一驗證.
【詳解】由，，得，.
由于命題p是假命題，可知是真命題，所以在時恒成立，
則，解得.
故選：CD.
5．（多選）（2024上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一?？计谀┟}“”是真命題的一個充分不必要條件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】先將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題求出的范圍，然后利用充分不必要條件的概念選擇答案.
【詳解】，
則對都成立，
又，所以，
觀察選項可得命題“”是真命題的一個充分不必要條件是BCD.
故選：BCD.
題型七：一元二次不等式
1．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【分析】將不等式化簡成一元二次不等式的標準形式，即可求得結(jié)果.
【詳解】由不等式可得，
即，可得，
因此不等式的解集是.
故選：C
2．（2024上·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】將分數(shù)不等式轉(zhuǎn)換為與之等價的不等式組即可求解.
【詳解】，即，則且．解得，
不等式的解集為.
故答案為：.
3．（2015下·福建·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知不等式的解集為或
(1)求的值
(2)解不等式．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）由題知,是方程的兩個解，根據(jù)韋達定理列出方程，解出即可；
（2）化簡不等式，分類討論，即可得到不等式的解集.
【詳解】（1）因為不等式的解集解集為或,
所以，是方程的兩個解，
所以，解得.
（2）由（1）知原不等式為，
即，
當時，不等式解集為；
當時，不等式解集為；
當時，不等式解集為.
4．（2023上·吉林白山·高一統(tǒng)考期末）解關(guān)于x的不等式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）利用分式不等式的解法求解即可得解；
（2）將不等式化為，分類討論的取值范圍，從而得解.
【詳解】（1）由題意，
可得，解得或，
所以不等式的解集為.
（2）不等式可化為，
當時，，不等式的解集為；
當時，不等式化為，其解集為；
當時，不等式化為，
（ⅰ）當，即時，不等式的解集為；
（ⅱ）當，即時，不等式的解集為；
（ⅲ）當，即時，不等式的解集為.
5．（2024上·四川南充·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)若關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)，的值；
(2)求關(guān)于的不等式的解集.
【答案】(1)；
(2)答案見解析.
【分析】（1）由不等式解集可得是的兩個根，利用根與系數(shù)關(guān)系求參數(shù)值；
（2）由題意有，討論、、求不等式解集.
【詳解】（1）由題設(shè)的解集為，即是的兩個根，
所以.
（2）由題意，
當時，解得或，故解集為；
當時，解得，故解集為；
當時，解得或，故解集為；
題型八：一元二次不等式中的恒成立與有解問題
1．（2024上·重慶·高一重慶市青木關(guān)中學(xué)校校考期末）函數(shù)的定義域為，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意得恒有成立，結(jié)合二次不等式恒成立性質(zhì)對進行分類討論進行求解即可.
【詳解】由題意得恒成立，當時, 恒成立，滿足題意；
當時, ,解得,綜上.
故選:C.
2．（2024上·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）命題，若是假命題，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由題意確定為真命題，則只需，設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得在上的最大值，即可求得答案.
【詳解】若是假命題，則為真命題，故，
只需，
設(shè)，則在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，其中，
故，所以,即實數(shù)的取值范圍是,
故答案為:
3．（2024上·福建龍巖·高一福建省武平縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知二次函數(shù)，對任意都有，且．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若對于，不等式恒成立，求x的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意可得函數(shù)關(guān)于對稱，再根據(jù)求出即可；
（2）不等式即為，將當作參數(shù)，分，和三種情況討論，利用分離參數(shù)法求解即可.
【詳解】（1）因為，所以函數(shù)關(guān)于對稱，
則，解得，
所以；
（2）不等式即為，
當時，則恒成立，
而，
所以，即，
因為，
所以；
當時，恒成立，此時；
當時，則恒成立，
而，
所以，解得，
綜上所述，的取值范圍為．
4．（2024上·江蘇無錫·高一江蘇省天一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)
(1)當時，求該函數(shù)的值域；
(2)若對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】由對數(shù)的運算性質(zhì)和換元法，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，可得所求值域；
由題意可得，恒成立，運用換元法和參數(shù)分離，以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解不等式可得所求范圍．
【詳解】（1），
令，則函數(shù)化為，，
因此當時，取得最小值，
當時，，取得最大值0，
即當時，函數(shù)取得最小值；當時，函數(shù)取得最大值0，
可得函數(shù)的值域為；
（2），恒成立，
即，恒成立，
令，則，恒成立，
令，，
則，
解得，
所以實數(shù)的取值范圍為
5．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，關(guān)于的一元二次不等式的解集為．
(1)求不等式的解集；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)．
【分析】（1）利用韋達定理求參數(shù)后再解不等式即可.
（2）對變量范圍進行討論，分離參數(shù)法求解參數(shù)即可.
【詳解】（1）因為一元二次不等式的解集為，
所以和1是方程的兩個實根，則，
解得．因此所求不等式即為：，解集為或．
（2）可化為：，當時顯然成立；
當時，對恒成立，
令，則，
當，即時，
所以，即．
6．（2024上·安徽安慶·高一安慶一中?？计谀┰O(shè)定義域為的奇函數(shù)，（其中為實數(shù)）．
(1)求的值；
(2)是否存在實數(shù)和，使不等式成立？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【分析】（1）由是定義在的奇函數(shù)，利用，即可求出的值，再利用定義驗證.
（2）先證明函數(shù)單調(diào)性脫去不等式中的，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題求解.
【詳解】（1）由是定義在的奇函數(shù)，則有，得，把代入函數(shù)得，
而，所以符合題意.
（2），因為函數(shù)且在單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞減，從而在上單調(diào)遞減.
因為在上單調(diào)遞減. 所以
設(shè)函數(shù)，要想滿足題意，只需大于在上的最小值或者小于在上的最大值即可，
由雙勾函數(shù)的性質(zhì)可知在遞減，在遞增，在上遞減，
所以在上的最小值為，在上的最大值為.
所以存在.
題型九：基本不等式及其應(yīng)用
1．（2023上·新疆·高一校考期末）若正實數(shù)、滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】因為正實數(shù)、滿足，則，
當且僅當時，即當時，等號成立，
故的最小值為.
故選：B.
2．（2024上·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為（ ）
A．6B．C．D．
【答案】B
【分析】借助基本不等式計算即可得.
【詳解】，
當且僅當，即時，等號成立，因此的最小值為.
故選：B．
3．（2024上·廣西·高一校聯(lián)考期末）已知，則的最大值為（ ）
A．2B．4C．8D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式可得關(guān)于的一元二次不等式，解不等式即可.
【詳解】，則有，
可得，即4，當且僅當時，等號成立.
所以的最大值為4.
故選：B
4．（多選）（2024上·河南駐馬店·高一統(tǒng)考期末）已知正實數(shù)，下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值為4
【答案】BC
【分析】利用基本不等式對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項，當時，，A選項不正確.
B選項，，當且僅當時等號成立，B選項正確.
C選項，，當且僅當時等號成立，C選項正確.
D選項，，
但無解，所以等號不成立，D選項錯誤.
故選：BC
5．（2023·陜西咸陽·咸陽市實驗中學(xué)校考一模）已知，且，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【詳解】由，，
得
，
當且僅當，即時取等號，
所以當時，取得最小值.
故答案為：
6．（2022上·河南·高二校聯(lián)考期末）已知中，點D在線段（不含端點）上，且滿足，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】根據(jù)向量共線可得，即可利用基本不等式的乘“1”法求解.
【詳解】∵，由于D在線段（不含端點）上，
故三點共線，所以且，
則，
當且僅當時，即時取等號，
故有最小值.
故答案為：.
7．（2022上·河南·高三校聯(lián)考專題練習(xí)）若正數(shù)，滿足，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】變形后，利用基本不等式求出最小值.
【詳解】正數(shù)，滿足，
依題意，，
當且僅當，即時等號成立，
故的最小值為．
故答案為：．
8．（2024下·湖北·高二應(yīng)城市第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，，其中，，若，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)向量垂直的坐標形式可得的等量關(guān)系，利用基本不等式可求的最小值.
【詳解】因為，故即，
故，
當且僅當時等號成立，故的最小值為，
故答案為：.
題型十：復(fù)數(shù)的綜合應(yīng)用
1．（2024下·陜西安康·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)，則 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由復(fù)數(shù)除法運算法則結(jié)合共軛復(fù)數(shù)概念可得答案.
【詳解】，則.
故選：B
2．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為虛數(shù)單位，為實數(shù)，若，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】由復(fù)數(shù)相等可列出方程組求解.
【詳解】由題意，
所以，解得，所以.
故選：D.
3．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用乘方運算和模長計算可得，可知虛部為.
【詳解】根據(jù)題意可得，
易知的虛部是.
故選：D
4．（2024下·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）若，且是純虛數(shù)，則（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的運算法則，化簡得到，結(jié)合是純虛數(shù)，求得，即可求解．
【詳解】設(shè)，則
因為是純虛數(shù)，可得，即，所以．
故選：B.
5．（2024下·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)，其中且，則的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】由復(fù)數(shù)模的幾何意義，問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離.
【詳解】復(fù)數(shù)，其中且，
復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點，在直線上，
的幾何意義是點到點的距離，
其最小值為點到直線的距離，最小值為.
故選：D
6．（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知i為復(fù)數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【分析】由復(fù)數(shù)相等求出的值，再由復(fù)數(shù)幾何意義得解.
【詳解】由，則，
由復(fù)數(shù)相等得，
所以在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，在第四象限.
故選：D
7．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，且滿足，則實數(shù)m的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)運算公式化簡求，根據(jù)純虛數(shù)定義列方程求.
【詳解】由題意得，，
因為復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，
所以，解得，
故選：A.
第二部分：新定義題
1．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｊ薪ㄆ街袑W(xué)校考期末）已知集合是由某些正整數(shù)組成的集合，且滿足：若，則當且僅當（其中正整數(shù)、且）或（其中正整數(shù)、且）．現(xiàn)有如下兩個命題：①；②集合．則下列判斷正確的是（ ）
A．①對②對B．①對②錯C．①錯②對D．①錯②錯
【答案】A
【分析】根據(jù)集合的定義即可判斷①是假命題，根據(jù)集合的定義先判斷，，再由，有，，且，所以，可判斷 ②是真命題.
【詳解】因為若，則當且僅當其中且，或其中且，
且集合是由某些正整數(shù)組成的集合，
所以，，
因為，滿足其中且，所以，
因為，且，，所以，
因為，，，所以，故①對；
下面討論元素與集合的關(guān)系，
當時，；
當時，，，，所以；
當時，，，，所以；
當時，，，，所以；依次類推，
當時，，，，
所以，則，故②對.
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解題的關(guān)鍵在于判斷，，，，再根據(jù)集合的定義求解.
2．（2023上·上海嘉定·高一上海市育才中學(xué)?？计谥校┮阎螾，Q中都至少有兩個元素，并且滿足下列條件：①集合P，Q中的元素都為正數(shù)；②對于任意，都有；③對于任意，都有；則下列說法正確的是（ ）
A．若P有2個元素，則Q有3個元素
B．若P有2個元素，則有4個元素
C．若P有2個元素，則有1個元素
D．存在滿足條件且有3個元素的集合P
【答案】C
【分析】若集合中有個元素，設(shè)，根據(jù)集合中元素的特性和題設(shè)條件進行分析推導(dǎo)，可判斷出選項ABC；假若有個元素，設(shè)，再根據(jù)題設(shè)條件推導(dǎo)分析，可得到中還有第四個元素，推出矛盾，從而可判斷出D選項.
【詳解】若有2個元素，設(shè)，則，
因為至少有個元素，所以中除外至少還有一個元素，
不妨設(shè)，，則，
若，則且，
所以，與假設(shè)矛盾，所以，
所以或，
當時，則，所以，
若，則，與矛盾，所以，同理可知，
所以此時，；
當時，則，所以，
若，則，與矛盾，所以，同理可知，
此時，；
由上可知，當有2個元素，則有個元素，有個元素，有個元素，
故A錯誤，B錯誤，C正確；
不妨假設(shè)有個元素，設(shè)，則為互不相等的正數(shù)，
由③可知：，
又因為為互不相等的正數(shù)，所以也為互不相等的正數(shù)，
由②可知：都是集合的元素，
因為為互不相等的正數(shù)，所以都是不等于的正數(shù)，所以，
又因為為互不相等的正數(shù)，所以，
考慮到和，若，則為互不相等的正數(shù)，
又因為，所以，所以是與不相等正數(shù)，
因為都是集合的元素，所以集合中至少有個元素，這與假設(shè)矛盾，
因此考慮的情況，所以，同理可得，所以，
所以，這與集合中元素的互異性矛盾，所以有個元素不可能成立，故D錯誤；
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查元素與集合的關(guān)系以及集合運算后集合中元素個數(shù)的判斷，本題的難點在于如何通過假設(shè)推導(dǎo)出矛盾，解答過程中主要利用集合中元素的互異性去檢驗元素，從而達到確定集合中元素個數(shù)的目的.
3．（2015上·上海浦東新·高一上海市實驗學(xué)校校考期中）若X是一個非空集合，M是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：①，；②對于X的任意子集A，B，當且時，有；③對于X的任意子集A，B，當且時，有，則稱M是集合X的一個“M-集合類”.例如：是集合得一個“M—集合類”.若，則所有含的“M—集合類”的個數(shù)為（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】D
【分析】確定M中一定含有，再分類討論，一一列舉出能含有的其他元素，綜合即可得答案.
【詳解】的子集有，
由題意知M中一定含有，
則M中可以含有的其他元素從剩余的5個集合中選取；
當剩余的5個集合都不選時，，共1個；
當只取1個時，或，
或，滿足題意，此時M有3個；
當取2個時，或，
或，滿足題意，此時M有3個；
當取3個時，或，
或或，滿足題意，此時M有4個；
當取4個時，沒有符合題意的情況；
當5個全選時，，共1個，
故所有含的“M—集合類”的個數(shù)為，
故選：D
4．（2023上·上海浦東新·高一校考期中）已知有限集，如果A中的元素滿足，就稱A為“完美集”.
①集合是“完美集”；
②若、是兩個不同的正數(shù)，且是“完美集”，則、至少有一個大于2；
③二元“完美集”有無窮多個；
④若，則“完美集”A有且只有一個，且.
其中正確的結(jié)論是 （填上你認為正確的所有結(jié)論的序號）
【答案】①②③④
【分析】根據(jù)題設(shè)中的“完美集”的定義，結(jié)合集合的運算，以及一元二次方程的性質(zhì)，可判定①②③正確；設(shè)A中，得到，分和，兩種情況分類討論，可判定④正確.
【詳解】對于①中，，，
集合是“完美集”，所以①正確；
對于②中，若、是兩個不同的正數(shù)，且是“完美集”，
設(shè)，
根據(jù)根和系數(shù)的關(guān)系和相當于的兩根，
由，解得或（舍去），所以，
所以、至少有一個大于2，所以②正確；
對于③中，由②知，一元二次方程，當t取不同的值時，的值是不同的，
所以二元“完美集”有無窮多個，所以③正確；
對于④中，不妨設(shè)A中，
由，得，
當時，即有，所以，于是，無解，
即不存在滿足條件的“完美集”；
當時，，故只能，，求得，
于是“完美集”A只有一個，為．
當時，由，即有，
事實上，，矛盾，
所以當時不存在完美集，所以④正確.
故答案為：①②③④.
【點睛】方法點睛：新定義有關(guān)的問題的求解策略：
①通過給出一個新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的；
(2)若集合A具有性質(zhì)，且A中所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列，中所有元素也能構(gòu)成等比數(shù)列，求集合A中的元素個數(shù)的最大值：
(3)若集合A具有性質(zhì)，且中的所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列.問：集合A中的元素個數(shù)是否存在最大值?若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)具有性質(zhì)；不具有性質(zhì).
(2)3
(3)存在，4
【分析】（1）將集合，進行計算，得出集合中的元素個數(shù)即可知具有性質(zhì)；不具有性質(zhì).
（2）利用等比數(shù)列性質(zhì)和集合性質(zhì)的定義，即可得集合中的元素個數(shù)最大值為3；
（3）根據(jù)集合具有的性質(zhì)的定義，對集合中的元素個數(shù)進行分類討論，再由集合元素的互異性得出矛盾即可求出中的元素個數(shù)最大值是4.
【詳解】（1）具有性質(zhì)；不具有性質(zhì).
若，則，恰有個元素，所以具有性質(zhì)；
若，，有5個元素，，不具有性質(zhì).
（2）當中的元素個數(shù)時，因為中所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列，
不妨設(shè)元素依次為構(gòu)成等比數(shù)列，則，其中互不相同.
于是這與具有性質(zhì)，中恰有個元素，即任取中兩個不同元素組成組合的兩個數(shù)其積的結(jié)果互不相同相矛盾.
當中的元素個數(shù)恰有3個時，取時滿足條件，
所以集合中的元素個數(shù)最大值為3.
（3）因為，不妨設(shè)，
所以.
（1）當時，構(gòu)成等比數(shù)列，
所以，即，其中互不相同.
這與中恰有個元素，即任取中兩個不同元素組成組合的兩個數(shù)其積的結(jié)果互不相同相矛盾.
（2）當時，構(gòu)成等比數(shù)列，第3項是或.
① 若第3項是，則，即，
所以，與題意矛盾.
② 若第3項是，則，即，
所以成等比數(shù)列，設(shè)公比為，則中等比數(shù)列的前三項為：
，其公比為，第四項為，第十項為.
(ⅰ)若第四項為，則，得，
又，得，此時中依次為
顯然，不合題意.
(ⅱ)若第四項為，則，得，又，得，
此時中依次為，顯然，不合題意.
因此，.
取滿足條件.
所以中的元素個數(shù)最大值是4.
【點睛】方法點睛：對于“新定義”的題目關(guān)鍵在于充分理解定義的本質(zhì)，把新定義與高中已學(xué)內(nèi)容建立聯(lián)系，靈活運用類比、歸納、分類討論等數(shù)學(xué)思想才能將問題解決.
7．（2018上·北京西城·高一北京市第三十五中學(xué)?？计谥校τ诤瘮?shù)，若，則稱為的“不動點”；若，則稱為的“穩(wěn)定點”．函數(shù)的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為和，即，．
(1)設(shè)函數(shù)，求集合和；
(2)求證：；
(3)設(shè)函數(shù)，且，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）當時，直接解方程、，可得出集合、；
（2）分、兩種情況討論，第一種情況直接驗證即可；在第二種情況下，任取，由“穩(wěn)定點”和“不動點”的定義證得，即可得出結(jié)論；
（3）分、兩種情況討論，在第一種情況下，推導(dǎo)出，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可得出，從而得出；在第二種情況下，推導(dǎo)出，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可得出，從而得出.綜合可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）解：由，可得，即，
由，解得，即.
故當時，.
（2）證明：當，則成立，
若，對任意的，，則，所以，，
因此，.
綜上所述，.
（3）證明：因為，則關(guān)于的方程無實解，
即方程無實解，則，
構(gòu)造函數(shù)，
①當時，函數(shù)的圖象恒在軸上方，
即對任意的，則恒成立，
則，即恒成立，即；
②當時，函數(shù)的圖象恒在軸下方，
即對任意的，則恒成立，
則，即恒成立，即.
綜上所述，當時，.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：在證明第三問時，要注意分、兩種情況分析，確定與之間的大小關(guān)系，進而可得出與的大小，從而證出結(jié)論成立.

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