TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc6755" 第一部分：典型例題講解 PAGEREF _Tc6755 \h 1
\l "_Tc3847" 題型一：用基底表示向量 PAGEREF _Tc3847 \h 1
\l "_Tc17278" 題型二：平面向量共線定理及推論 PAGEREF _Tc17278 \h 2
\l "_Tc10402" 題型三：平面向量共線（垂直）的坐標表示 PAGEREF _Tc10402 \h 4
\l "_Tc1166" 題型四：平面向量數(shù)量積（含最值，范圍） PAGEREF _Tc1166 \h 5
\l "_Tc22002" 題型五：平面向量的模（含最值，范圍） PAGEREF _Tc22002 \h 7
\l "_Tc23743" 題型六：向量的夾角 PAGEREF _Tc23743 \h 8
\l "_Tc6174" 題型七：投影向量 PAGEREF _Tc6174 \h 8
\l "_Tc29854" 題型八：利用正、余弦定理解三角形 PAGEREF _Tc29854 \h 10
\l "_Tc31098" 題型九：三角形形狀問題 PAGEREF _Tc31098 \h 12
\l "_Tc2369" 題型十：三角形個數(shù)問題 PAGEREF _Tc2369 \h 13
\l "_Tc30348" 題型十一：三角形周長（邊長）問題 PAGEREF _Tc30348 \h 14
\l "_Tc12726" 題型十二：三角形面積問題 PAGEREF _Tc12726 \h 15
\l "_Tc11335" 第二部分：新定義題 PAGEREF _Tc11335 \h 17
第一部分：典型例題講解
題型一：用基底表示向量
1．（22-23高一下·江西南昌·期中）如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上靠近點A的三等分點，F(xiàn)為AB邊上靠近點B的四等分點，且線段EF交AC于點P．若，則（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高一下·全國·期中）在中，，，若點滿足，以作為基底，則等于（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高一下·甘肅武威·階段練習）如圖，在中，為的中點，則（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·全國·模擬預測）已知等邊三角形的邊長為2，為的中心，，垂足為，則（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高一下·山東德州·階段練習）設為所在平面內一點，，則（ ）
A．B．
C．D．
題型二：平面向量共線定理及推論
1．（23-24高一下·陜西西安·階段練習）已知是不共線的向量，且，則（ ）
A．三點共線B．三點共線C．三點共線D．三點共線
2．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）已知是不共線的向量，且，若三點共線，則（ ）
A．B．1C．2D．4
3．（2024·陜西西安·一模）在中，點是線段上一點，點是線段上一點，且，，則（ ）
A．B．C．D．
4．（多選）（23-24高一下·山東·階段練習）在中，為線段上一點，且有，則下列命題正確的是（ ）
A．B．
C．的最大值為D．的最小值為
5．（23-24高一下·山東青島·階段練習）如圖，在中，，為線段上的動點，與相交于點，設，，則的最小值為 ．
6．（23-24高一下·全國·期末）如圖，在梯形中，，點是的中點，點在線段上，若，則的值為 .

7．（23-24高一下·河南鄭州·階段練習）如圖所示，在中，點為邊上一點，且，過點的直線與直線相交于點，與直線相交于點（， 交兩點不重合）.若，，則的最小值為 .
8．（2024高一下·上?！ｎ}練習）如圖，在中，點為上一點，且．
(1)請用向量表示向量；
(2)過點的直線與，所在直線分別交于點，，且滿足，，求證：．
題型三：平面向量共線（垂直）的坐標表示
1．（2024·四川南充·二模）已知平面向量，，若向量與共線，則（ ）
A．－2B．C．2D．5
2．（2024·全國·模擬預測）已知平面向量，，且，則（ ）
A．B．C．D．1
3．（23-24高一下·陜西西安·階段練習）已知，不共線，向量，，且，則 ．
4．（23-24高一下·貴州遵義·階段練習）已知，是兩個不共線的向量，，，若與共線，則 ．
5．（23-24高一下·四川眉山·階段練習）（1）化簡：；
（2）設是不共線的兩個向量.若與共線，求實數(shù)k的值.
6．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習）已知向量，.
(1)若，求；
(2)若，求.
7．（23-24高一下·河南洛陽·階段練習）已知向量.
(1)當為何值時，與垂直?
(2)當為何值時，與平行?
8．（23-24高一下·河南周口·階段練習）已知.
(1)求與夾角的余弦值；
(2)若，求實數(shù)的值.
題型四：平面向量數(shù)量積（含最值，范圍）
1．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）在邊長為2的菱形中，，點是內一動點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·河北張家口·階段練習）在中，滿足，，，則（ ）
A．49B．0C．576D．168
3．（2024·湖南邵陽·二模）“四葉回旋鏢”可看作是由四個相同的直角梯形圍成的圖形，如圖所示，.點在線段與線段上運動，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·北京房山·一模）如圖．已知矩形中，，，分別是，的中點，則 ．

5．（2023·陜西西安·模擬預測）圓是銳角的外接圓，，則的取值范圍是 ．
6．（23-24高一下·廣東惠州·階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，，，，，．若P為線段AB上一動點，則的最小值為 ．

7．（2024·全國·模擬預測）已知在菱形ABCD中，，若點M在線段AD上運動，則的取值范圍為 ．
8．（23-24高一下·福建廈門·階段練習）如圖，在矩形中，點是的中點，是上靠近點的三等分點.
(1)設，求的值；
(2)若，，求的值.
題型五：平面向量的模（含最值，范圍）
1．（23-24高一下·湖南·階段練習）已知向量，，若向量在向量上的投影向量，則（ ）
A．7B．C．D．
2．（23-24高一下·河北滄州·階段練習）已知向量滿足，且，則（ ）
A．1B．2C．D．
3．（23-24高一下·北京·階段練習）已知向量滿足，，則的最大值等于（ ）
A．B．C．2D．
4．（23-24高一下·江蘇無錫·階段練習）已知向量，夾角為，，若對任意，恒有，則函數(shù)的最小值為 ．
5．（2022高一·全國·專題練習）已知向量，，滿足：，且，則的取值范圍是 ．
6．（23-24高一下·浙江麗水·階段練習）已知向量滿足．
(1)求向量與夾角的余弦值；
(2)求的值．
7．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習）在直角梯形中，已知，，，動點、分別在線段和上，且，．
(1)當時，求的值；
(2)求向量的夾角；
(3)求的取值范圍．
8．（23-24高一下·陜西西安·階段練習）在平面直角坐標系中，為坐標原點，，，．
(1)求與夾角；
(2)若與垂直，求點的坐標；
(3)求的取值范圍．
題型六：向量的夾角
1．（2024·陜西商洛·三模）已知非零向量滿足，則（ ）
A．45°B．60°C．120°D．150°
2．（23-24高一下·浙江·階段練習）已知平面向量滿足，則與夾角的大小為 .
3．（23-24高一下·湖南長沙·階段練習）已知，，．
(1)求；
(2)若，求向量與的夾角．
4．（23-24高一下·陜西西安·階段練習）已知向量．
(1)若，求的值；
(2)若，求與的夾角的余弦值．
5．（23-24高一下·湖南衡陽·階段練習）如圖，在中，，，，且，，與交于點.
(1)用，表示，；
(2)求的值；
(3)求的值.
6．（23-24高一下·福建泉州·階段練習）在邊長為4的等邊中，，D為邊AC的中點，BD與AM交于點N．
(1)求證：；
(2)求的值．
題型七：投影向量
1．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習）已知的外接圓圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·湖南·模擬預測）已知平面向量，，則在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·江蘇揚州·階段練習）已知，，則在的方向上的投影向量是 ．(結果寫坐標)
4．（23-24高一下·廣東中山·階段練習）已知向量滿足，則向量在上的投影向量為 .
5．（23-24高三下·福建泉州·階段練習）已知，，且，則在上的投影向量為
題型八：利用正、余弦定理解三角形
1．（23-24高一下·重慶·階段練習）如圖所示，平面四邊形的對角線交點位于四邊形的內部，，，，，當變化時，對角線的最大值為（ ）
A．B．C．4D．6
2．（2024·陜西西安·二模）在中，內角，，的對邊分別是，，，且的面積，（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全國·模擬預測）已知的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，，，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2024高三·全國·專題練習）中，角所對的邊分別為，若，且，則角
5．（23-24高一下·浙江·階段練習）在中，角的對邊分別為，滿足外接圓的半徑為，則 ．
6．（2024高三·上?！ｎ}練習）在中，內角，，所對的邊分別為，，，，，則當取得最大值時， .
7．（23-24高一下·湖南衡陽·階段練習）在銳角中，內角的對邊分別為，且.
(1)求；
(2)若是邊上一點（不包括端點），且，求的取值范圍.

8．（2024·廣東佛山·二模）在中，，，分別是角，，所對的邊，點在邊上，且滿足，．
(1)求的值；
(2)若，求．
題型九：三角形形狀問題
1．（23-24高一下·云南昆明·階段練習）在中，角所對的邊分別為，且，則的形狀為（ ）
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
2．（23-24高一下·浙江·階段練習）已知的三內角所對的邊分別是，設向量，若，則的形狀是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
3．（23-24高一下·山東·階段練習）在中，角所對的邊分別為，且，設的面積為，若，則此三角形的形狀為（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形
4．（23-24高一下·天津·階段練習）已知的內角所對的邊分別為，下列四個命題中正確的是（ ）
A．若，，，則有一解
B．若，則一定是銳角三角形
C．若，則一定是等腰三角形
D．若，則一定是等腰三角形
5．（多選）（23-24高一下·廣西南寧·階段練習）已知的內角、、所對的邊分別為、、，下列說法正確的是（ ）
A．若，則是鈍角三角形
B．若，則
C．若，則是銳角三角形
D．若，則一定為銳角三角形
6．（多選）（23-24高一下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，下列四個命題中正確的是（ ）
A．若，則一定是等腰三角形
B．若，則為銳角三角形
C．若，則一定是等邊三角形
D．若，則是等腰三角形
題型十：三角形個數(shù)問題
1．（多選）（23-24高一下·重慶渝中·階段練習）在中，角的對邊分別為，且已知，則（ ）
A．若，且有兩解，則的取值范圍是
B．若，且恰有一解，則的取值范圍是
C．若，且為鈍角三角形，則的取值范圍是
D．若，且為銳角三角形，則的取值范圍是
2．（多選）（23-24高一下·河南濮陽·階段練習）在中，，，（a為常數(shù)），若滿足條件的三角形有且僅有兩個，則a的取值可能為（ ）
A．7B．14C．15D．16
3．（多選）（23-24高一下·重慶·階段練習）滿足下列條件的三角形有兩個解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
4．（多選）（23-24高一下·湖北·期中）在中，角所對的邊分別為，那么在下列給出的各組條件中，能確定三角形有唯一解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
5．（23-24高一下·上?！るA段練習）在中，，，要使被唯一確定，那么的取值范圍是 .
6．（23-24高一下·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）下列條件判斷三角形解的情況，正確的是 （填序號）；
①，，，有兩解；
②，，，有一解；
③，，，無解；
④，，，有一解．
題型十一：三角形周長（邊長）問題
1．（2024·四川綿陽·一模）中，角、、的對邊分別為a、b、c，若，則的周長為 ．
2．（2024高三·廣東·專題練習）已知是銳角三角形，內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍是 .
3．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）銳角的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足，則的取值范圍為 ．
4．（23-24高一下·寧夏銀川·階段練習）已知的內角A、B、C對的邊分別為a，b，c，，D為邊AC上一點，滿足且，則的最小值為 ．
5．（23-24高一下·湖南長沙·階段練習）記的內角的對邊分別為，，，已知．
(1)若，求；
(2)求的最小值．
6．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知，，，函數(shù)，且在區(qū)間上的最大值為.
(1)求m的值；
(2)銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若且，求的周長l的取值范圍.
7．（2024·河北衡水·一模）在中，內角所對的邊分別是，三角形面積為，若為邊上一點，滿足，且.
(1)求角；
(2)求的取值范圍.
8．（23-24高一下·四川成都·階段練習）已知．
(1)求函數(shù)圖象的對稱軸方程；
(2)設的內角所對的邊分別為，若且，求周長的取值范圍．
題型十二：三角形面積問題
1．（23-24高三下·浙江·階段練習）在等邊三角形的三邊上各取一點，，，滿足，，，則三角形的面積的最大值是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·福建泉州·階段練習）在銳角中，、、分別是角、、所對的邊，已知且，則銳角面積的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·河南周口·階段練習）銳角中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，若，則面積S的取值范圍 .
4．（23-24高三上·全國·階段練習）已知中，在線段上，．
(1)若，求的長；
(2)求面積的最大值．
5．（23-24高三上·海南省直轄縣級單位·階段練習）在中，內角，，的對邊分別為，，，且滿足.
(1)求；
(2)若內角的角平分線交于點，且，求的面積的最小值.
6．（23-24高三上·江蘇揚州·階段練習）內角的對邊分別為，已知．
(1)求角的大小；
(2)是邊上一點，且，求面積的最大值．
7．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習）的內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，點O為的內心，記，，的面積分別為，，，已知，.
(1)在①；②；③中選一個作為條件，判斷是否存在，若存在，求出的周長，若不存在，說明理由.（注：
出與共線的單位向量；
(3)已知，，為函數(shù)的相伴特征向量，，請問在的圖象上是否存在一點，使得?若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.
3．（23-24高一下·上?！るA段練習）對于一組向量，，，…，，（且），令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“長向量”．
(1)設，且，若是向量組，，的“長向量”，求實數(shù)x的取值范圍；
(2)若，且，向量組，，，…，是否存在“長向量”?給出你的結論并說明理由；
(3)已知，，均是向量組，，的“長向量”，其中，．設在平面直角坐標系中有一點列，，，…，滿足，為坐標原點，為的位置向量的終點，且與關于點對稱，與（且）關于點對稱，求的最小值．
4．（23-24高二下·江蘇淮安·階段練習）n個有次序的實數(shù)，，…，所組成的有序數(shù)組稱為一個n維向量，其中稱為該向量的第i個分量.特別地，對一個n維向量，若，稱為n維信號向量.設，，則和的內積定義為，且.
(1)直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量；
(2)證明：不存在10個兩兩垂直的10維信號向量；
(3)已知k個兩兩垂直的2024維信號向量，，…，滿足它們的前m個分量都是相同的，求證：.
5．（23-24高一下·重慶·階段練習）十七世紀法國數(shù)學家、被譽為業(yè)余數(shù)學家之王的皮埃爾·德·費馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最小”它的答案是：“當三角形的三個角均小于時，所求的點為三角形的正等角中心，即該點與三角形的三個頂點的連線兩兩成角；當三角形有一內角大于或等于時，所求點為三角形最大內角的頂點．在費馬問題中所求的點稱為費馬點．已知a，b，c分別是三個內角A，B，C的對邊，且，點為的費馬點．
(1)求角；
(2)若，求的值；
(3)若，求的取值范圍．
6．（23-24高一下·山東濱州·開學考試）定義非零向量若函數(shù)解析式滿足，則稱為向量的“伴生函數(shù)”，向量為函數(shù)的“源向量”．
(1)已知向量為函數(shù)的“源向量”，若方程在上有且僅有四個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；
(2)已知點滿足，向量的“伴生函數(shù)”在時取得最大值，當點運動時，求的取值范圍；
(3)已知向量的“伴生函數(shù)”在時的取值為．若在三角形中，，，若點為該三角形的外心，求的最大值.
第10講：第五章 平面向量及解三角形 章節(jié)總結
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc6755" 第一部分：典型例題講解 PAGEREF _Tc6755 \h 1
\l "_Tc3847" 題型一：用基底表示向量 PAGEREF _Tc3847 \h 1
\l "_Tc17278" 題型二：平面向量共線定理及推論 PAGEREF _Tc17278 \h 4
\l "_Tc10402" 題型三：平面向量共線（垂直）的坐標表示 PAGEREF _Tc10402 \h 10
\l "_Tc1166" 題型四：平面向量數(shù)量積（含最值，范圍） PAGEREF _Tc1166 \h 13
\l "_Tc22002" 題型五：平面向量的模（含最值，范圍） PAGEREF _Tc22002 \h 18
\l "_Tc23743" 題型六：向量的夾角 PAGEREF _Tc23743 \h 24
\l "_Tc6174" 題型七：投影向量 PAGEREF _Tc6174 \h 24
\l "_Tc29854" 題型八：利用正、余弦定理解三角形 PAGEREF _Tc29854 \h 31
\l "_Tc31098" 題型九：三角形形狀問題 PAGEREF _Tc31098 \h 37
\l "_Tc2369" 題型十：三角形個數(shù)問題 PAGEREF _Tc2369 \h 41
\l "_Tc30348" 題型十一：三角形周長（邊長）問題 PAGEREF _Tc30348 \h 44
\l "_Tc12726" 題型十二：三角形面積問題 PAGEREF _Tc12726 \h 52
\l "_Tc11335" 第二部分：新定義題 PAGEREF _Tc11335 \h 60
第一部分：典型例題講解
題型一：用基底表示向量
1．（22-23高一下·江西南昌·期中）如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上靠近點A的三等分點，F(xiàn)為AB邊上靠近點B的四等分點，且線段EF交AC于點P．若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】，將用表示，再根據(jù)E，F(xiàn)，P三點共線，求得λ即可得答案．
【詳解】由E為AD邊上靠近點A的三等分點，F(xiàn)為AB邊上靠近點B的四等分點，得，
設，由E，F(xiàn)，P三點共線，得，解得，
所以.
故選：B
2．（23-24高一下·全國·期中）在中，，，若點滿足，以作為基底，則等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】結合圖形，將和分別用和，和表示，代入方程即可求解.
【詳解】

如圖，因，則，即，
解得：.
故選：A.
3．（23-24高一下·甘肅武威·階段練習）如圖，在中，為的中點，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】運用平面向量線性運算及共線向量關系即可求解.
【詳解】由題意知.故選：C.
4．（2024·全國·模擬預測）已知等邊三角形的邊長為2，為的中心，，垂足為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】連接并延長，交于點，根據(jù)為的中心，易得為的中點，E為的中點，利用平面向量的線性運算求解.
【詳解】解：如圖所示：

連接并延長，交于點，
因為為的中心，
所以為的中點．
又為的中點，
，
，
故選：B．
5．（23-24高一下·山東德州·階段練習）設為所在平面內一點，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平面向量的線性運算分析求解.
【詳解】因為，則，
整理得，即.
故選：A.
題型二：平面向量共線定理及推論
1．（23-24高一下·陜西西安·階段練習）已知是不共線的向量，且，則（ ）
A．三點共線B．三點共線C．三點共線D．三點共線
【答案】C
【分析】由題意，根據(jù)平面向量的基本定理，結合選項依次計算即可求解.
【詳解】A：假設存在實數(shù)，使得，則三點共線.
，得，無解，所以假設不成立，故A錯誤；
B：假設存在實數(shù)，使得，則三點共線.
，得，無解，所以假設不成立，故B錯誤；
C：，
假設存在實數(shù)，使得，則三點共線.
，得，解得，所以假設成立，故C正確；
D：，
假設存在實數(shù)，使得，則三點共線.
，得，無解，所以假設不成立，故D錯誤.
故選：C
2．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）已知是不共線的向量，且，若三點共線，則（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，求得，結合三點共線，得到，列出方程組，即可求解.
【詳解】由向量，
可得，
因為三點共線，可得，即，
所以，解得.
故選：C.
3．（2024·陜西西安·一模）在中，點是線段上一點，點是線段上一點，且，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
依題意可得，即可得到，再根據(jù)平面向量共線定理的推論得到，解得即可.
【詳解】因為，所以，即，
又，所以，
因為點是線段上一點，即、、三點共線，
所以，解得.
故選：A
4．（多選）（23-24高一下·山東·階段練習）在中，為線段上一點，且有，則下列命題正確的是（ ）
A．B．
C．的最大值為D．的最小值為
【答案】BCD
【分析】由題意得，結合三點共線即可判斷AB，由基本不等式即可判斷CD.
【詳解】
因為為線段上一點，
所以，
而點線段上面，所以，故A錯，B對，
由基本不等式得，解得，等號成立當且僅當，C對，
，等號成立當且僅當，D對.
故選：BCD.
5．（23-24高一下·山東青島·階段練習）如圖，在中，，為線段上的動點，與相交于點，設，，則的最小值為 ．
【答案】1
【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的線性運算，結合共線向量的推論求出的關系，再借助對勾函數(shù)性質求出最小值.
【詳解】在中，由為線段上的動點，，得，
則，
則，又，于是，
因為點共線，因此，解得，
令，則，，
顯然對勾函數(shù)在上單調遞增，則當時，，，
所以當時，取得最小值1.
故答案為：1
6．（23-24高一下·全國·期末）如圖，在梯形中，，點是的中點，點在線段上，若，則的值為 .

【答案】/
【分析】利用向量運算得，然后利用三點共線列方程求解即可.
【詳解】由題意得，，
因為，D，F(xiàn)三點共線，所以，解得.
故答案為：
7．（23-24高一下·河南鄭州·階段練習）如圖所示，在中，點為邊上一點，且，過點的直線與直線相交于點，與直線相交于點（， 交兩點不重合）.若，，則的最小值為 .
【答案】.
【分析】
先用表示，利用已知代入表達式，結合D，E，F(xiàn)三點共線可得，然后妙用“1”可解.
【詳解】
因為，所以，
所以，
又，，
所以，
所以，
因為D，E，F(xiàn)三點共線，所以，結合已知可知，
故，
當且僅當，結合，即時，取等號；
即的最小值為，
故答案為：
8．（2024高一下·上海·專題練習）如圖，在中，點為上一點，且．
(1)請用向量表示向量；
(2)過點的直線與，所在直線分別交于點，，且滿足，，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)平面向量的線性表示與運算法則，用表示向量即可；
（2）由，，三點共線可設，結合已知條件得，又為上一點，且，故，由平面向量基本定理得，即可證明．
【詳解】（1）因為，，
又，故得，
所以．
（2）由，，三點共線可設，又，，
，
為上一點，且，
，
，
所以．
題型三：平面向量共線（垂直）的坐標表示
1．（2024·四川南充·二模）已知平面向量，，若向量與共線，則（ ）
A．－2B．C．2D．5
【答案】B
【分析】直接利用向量平行的坐標運算列方程求解．
【詳解】因為向量與共線，
所以，
解得．
故選：B．
2．（2024·全國·模擬預測）已知平面向量，，且，則（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】利用向量共線的坐標表示列式計算即可.
【詳解】因為，所以.
因為，所以，解得.
故選：B.
3．（23-24高一下·陜西西安·階段練習）已知，不共線，向量，，且，則 ．
【答案】
【分析】依題意可得，再根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得即可.
【詳解】因為向量，，且，
所以，即，
又，不共線，所以，可以作為平面內的一組基底，
所以，解得.
故答案為：
4．（23-24高一下·貴州遵義·階段練習）已知，是兩個不共線的向量，，，若與共線，則 ．
【答案】
【分析】利用共線向量定理，結合平面向量基本定理列式計算得解.
【詳解】向量，不共線，則不是零向量，
由與共線，得，即
因此，解得，
所以.
故答案為：
5．（23-24高一下·四川眉山·階段練習）（1）化簡：；
（2）設是不共線的兩個向量.若與共線，求實數(shù)k的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)向量減法的運算法則進行計算即可；
（2）根據(jù)共線向量定理列出方程組解出即可；也可以利用向量共線時相應系數(shù)比相等建立方程解出即可.
【詳解】（1）
（2）由于與共線，則存在實數(shù)，
使得，
即，而不共線，
因此，解得k的值是.
法二：由題意：，解得，
6．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習）已知向量，.
(1)若，求；
(2)若，求.
【答案】(1)3；
(2).
【分析】（1）利用向量共線的坐標表示，列式計算即得.
（2）利用向量垂直的坐標表示，列式計算即得.
【詳解】（1）向量，，由，得，所以.
（2）向量，，由，得，所以.
7．（23-24高一下·河南洛陽·階段練習）已知向量.
(1)當為何值時，與垂直?
(2)當為何值時，與平行?
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先由向量線性運算的坐標表示出與，由向量垂直的充要條件列方程求解即可.
（2）由向量平行的充要條件列方程求解即可.
【詳解】（1）因為，
，
，
若可得，
即，得，
即時，與垂直.
（2）當時，有，
解得，
即時，與平行.
8．（23-24高一下·河南周口·階段練習）已知.
(1)求與夾角的余弦值；
(2)若，求實數(shù)的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，利用向量的夾角公式，準確計算，即可求解；
（2）根據(jù)題意，結合，列出方程，即可求解.
【詳解】（1）解：由向量，可得且，
則.
（2）解：由向量，可得，
因為，可得，
即，解得.
題型四：平面向量數(shù)量積（含最值，范圍）
1．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）在邊長為2的菱形中，，點是內一動點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如圖建系，可求得A,B,C,D的坐標，設，則可得的表達式，根據(jù)x的范圍，即可求得答案.
【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，則.
設，則，故，
即的取值范圍是.
故選：A
2．（23-24高一下·河北張家口·階段練習）在中，滿足，，，則（ ）
A．49B．0C．576D．168
【答案】A
【分析】由三角形三邊長滿足勾股定理可判斷和，再用向量數(shù)量積的定義式計算即可.
【詳解】因為，所以，
因為和的夾角等于，
所以，
故選：A.
3．（2024·湖南邵陽·二模）“四葉回旋鏢”可看作是由四個相同的直角梯形圍成的圖形，如圖所示，.點在線段與線段上運動，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐標系，標出，，，四個點的坐標，寫出向量，的坐標，即可表示出，進而可求得其范圍．
【詳解】如圖，以為原點建立平面直角坐標系，
易知，，，
當在線段上運動，設，其中，
所以，，
則，
因為，所以，
當在線段上運動，設，則，且,
則，故，，
則，
因為，所以，綜上，的取值范圍為.
故選：C.
4．（2024·北京房山·一模）如圖．已知矩形中，，，分別是，的中點，則 ．

【答案】
【分析】用、作為一組基底表示出，，再根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得.
【詳解】依題意，
，
所以
.
故答案為：
5．（2023·陜西西安·模擬預測）圓是銳角的外接圓，，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)向量的線性運算與銳角三角形外接圓的相關性質即可求解.
【詳解】依題意，設中點，的中點為，則垂直平分，垂直平分，
則.
以為圓心，1為半徑作圓，則在該圓的四分之一圓弧上變化，如下圖，
為中垂線交點，連接，由三角形為銳角三角形，
根據(jù)臨界位置及圖形可知，而，
所以，則范圍是．
故答案為：.
6．（23-24高一下·廣東惠州·階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，，，，，．若P為線段AB上一動點，則的最小值為 ．

【答案】
【分析】以點為原點建立直角坐標系，設，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標公式結合二次函數(shù)的性質即可得解.
【詳解】如圖，以點為原點建立直角坐標系，
則，設，
故，
所以，
則當時，取得最小值.

故答案為：.
7．（2024·全國·模擬預測）已知在菱形ABCD中，，若點M在線段AD上運動，則的取值范圍為 ．
【答案】．
【分析】解法一：建立平面直角坐標系，求的坐標，結合數(shù)量積的坐標表示求再求其范圍；
解法二：根據(jù)數(shù)量積的定義，結合數(shù)量積的幾何意義求的范圍.
【詳解】解法一：，
記的交點為，以為原點，所在直線分別為x，y軸建立如圖1所示的平面直角坐標系，
則，，，，，
故，，
則，
故，又
則．
解法二：，
如圖2所示，當M在線段AD上運動時可得，
即，又，
所以．
故答案為：
8．（23-24高一下·福建廈門·階段練習）如圖，在矩形中，點是的中點，是上靠近點的三等分點.
(1)設，求的值；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)向量線性運算可得，由此可得；
（2）利用基底表示出，根據(jù)向量數(shù)量積定義和運算律可求得結果.
【詳解】（1），，，
.
（2）由（1）知：，
，
.
題型五：平面向量的模（含最值，范圍）
1．（23-24高一下·湖南·階段練習）已知向量，，若向量在向量上的投影向量，則（ ）
A．7B．C．D．
【答案】D
【分析】借助投影向量定義可計算出，結合向量模長公式計算即可得.
【詳解】由題意可得，向量在向量上的投影向量為，
則，解得，則，
故．
故選：D.
2．（23-24高一下·河北滄州·階段練習）已知向量滿足，且，則（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)得，進而得，即可得.
【詳解】因為，所以，
故.
故選：B
3．（23-24高一下·北京·階段練習）已知向量滿足，，則的最大值等于（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】由，即得到點共圓，再利用余弦定理和正弦定理求解即可.
【詳解】設，
因為，，所以，
又，所以，所以點共圓，
要使的最大，即為直徑，
在中，由余弦定理可得，
又由正弦定理，
即的最大值等于，
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是由向量之間的夾角確定點共圓，再由正弦和余弦定理求解即可.
4．（23-24高一下·江蘇無錫·階段練習）已知向量，夾角為，，若對任意，恒有，則函數(shù)的最小值為 ．
【答案】/
【分析】先根據(jù)向量的夾角、模長及恒成立求出，將表示成關于t的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)最值即可求解．
【詳解】∵，∴，
整理可得，
∵對任意，上式恒成立，∴；
由題意知，∴，∴．
∴．
故答案為：.
5．（2022高一·全國·專題練習）已知向量，，滿足：，且，則的取值范圍是 ．
【答案】[1,5]
【分析】
先表示出，再利用數(shù)量積的性質，求出的范圍即可.
【詳解】∵，
∴，
，
∴，即
∴，
，即.
故答案為：.
6．（23-24高一下·浙江麗水·階段練習）已知向量滿足．
(1)求向量與夾角的余弦值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)，可得，再根據(jù)數(shù)量積的運算律求出，再根據(jù)夾角的計算公式計算即可；
（2）根據(jù)結合數(shù)量積的運算律計算即可.
【詳解】（1）設與的夾角為，因為，
所以，
又，所以，
所以，
所以向量與夾角的余弦值為；
（2）由
，
所以．
7．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習）在直角梯形中，已知，，，動點、分別在線段和上，且，．
(1)當時，求的值；
(2)求向量的夾角；
(3)求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先根據(jù)向量的線性運算表示出和；再根據(jù)向量的數(shù)量積運算律即可求解.
（2）先根據(jù)向量的線性運算表示出；再根據(jù)向量的數(shù)量積運算得出即可解答.
（3）先根據(jù)表示出；再根據(jù)向量的數(shù)量積運算得出；最后根據(jù)即可求解.
【詳解】（1）當時，
依題意知，，，.
則， .
因為，
，
.
所以.
因此.
因為， ，，
所以，，
所以.
（2）由（1）知.
因為，，
所以；
.
則.
因為，， ，
所以，
故向量的夾角為.
（3）由（2）可知：
，
.
則.
因為，， ，
所以
,
由題意知，，
所以的取值范圍是，
∴的取值范圍是．
8．（23-24高一下·陜西西安·階段練習）在平面直角坐標系中，為坐標原點，，，．
(1)求與夾角；
(2)若與垂直，求點的坐標；
(3)求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根據(jù)條件得，再利用向量夾角公式，即可求出結果；
（2）設，根據(jù)條件建立方程組，即可求出結果；
（3）由（1）和（2）得到，根據(jù)條件可轉化為圓上點到的距離，即可求出結果.
【詳解】（1）因為在平面直角坐標系中，為坐標原點，，，
所以，
故，又，所以，
即與夾角為.
（2）因為，設，因為與垂直，且，
所以，解得，或，
所以或 .
（3）由（1）（2）知，，
所以，可看成點到點的距離，
又，且到原點的距離為
所以的最大值為，最小值為．
題型六：向量的夾角
1．（2024·陜西商洛·三模）已知非零向量滿足，則（ ）
A．45°B．60°C．120°D．150°
【答案】D
【分析】根據(jù)向量垂直得到，再應用數(shù)量積公式及夾角公式計算即可.
【詳解】．
所以，又，
，由均為非零向量，
則，且在到之間，故．
故選：D．
2．（23-24高一下·浙江·階段練習）已知平面向量滿足，則與夾角的大小為 .
【答案】
【分析】先利用向量的運算律求得及，然后利用向量的夾角公式求解即可.
【詳解】因為平面向量滿足，
所以，
所以，即，
所以，
設與夾角為，則，
又，所以.
故答案為：
3．（23-24高一下·湖南長沙·階段練習）已知，，．
(1)求；
(2)若，求向量與的夾角．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)向量的坐標運算、數(shù)量積的運算與模長公式求解即可；
（2）設出向量的夾角，利用向量的數(shù)量積化簡求解即可．
【詳解】（1）因為，
所以；
（2）向量，，可知，
設與的夾角為，可知與的夾角為：，,．
．，
可得，
可得，
所以，
解得．
4．（23-24高一下·陜西西安·階段練習）已知向量．
(1)若，求的值；
(2)若，求與的夾角的余弦值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量共線的坐標表示求出，再求出數(shù)量積即可.
（2）利用向量線性運算的坐標表示及向量垂直的坐標表示求出，再求出夾角的余弦.
【詳解】（1）向量，由，得，解得，又，
所以.
（2）向量，則，而，，
因此，解得，則，
，
所以與的夾角的余弦值為.
5．（23-24高一下·湖南衡陽·階段練習）如圖，在中，，，，且，，與交于點.
(1)用，表示，；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運算法則計算可得；
（2）由數(shù)量積的定義求出，再由數(shù)量積的運算律計算可得；
（3）依題意為向量與的夾角，求出，，再由夾角公式計算可得.
【詳解】（1）因為，，
所以，，
所以，；
（2）因為，，，
所以，
所以
.
（3）依題意為向量與的夾角，
又
，
，
所以.
6．（23-24高一下·福建泉州·階段練習）在邊長為4的等邊中，，D為邊AC的中點，BD與AM交于點N．
(1)求證：；
(2)求的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）過作交于，利用平行線的性質可得答案；
（2）將用表示，然后分別求出以及，利用夾角公式求解即可.
【詳解】（1）過作交于，
因為，即，得，
所以，則由可得；
（2），
，
所以
，
，
所以.
題型七：投影向量
1．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習）已知的外接圓圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可得為的中點，為圓的直徑，進而利用投影向量的定義求解即可.
【詳解】因為是的外接圓圓心，，
所以由平行四邊形法則可得為的中點，為圓的直徑，
因為，所以為等邊三角形，，
所以向量在向量上的投影向量為，
故選：A
2．（2024·湖南·模擬預測）已知平面向量，，則在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量的定義求解即可.
【詳解】設與的夾角為，
則在上的投影向量為.
故選：B.
3．（23-24高一下·江蘇揚州·階段練習）已知，，則在的方向上的投影向量是 ．(結果寫坐標)
【答案】
【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.
【詳解】因為，，
所以在的方向上的投影向量是，
故答案為：.
4．（23-24高一下·廣東中山·階段練習）已知向量滿足，則向量在上的投影向量為 .
【答案】
【分析】由投影向量的公式計算可得.
【詳解】，
又在上的投影向量為，
故答案為：.
5．（23-24高三下·福建泉州·階段練習）已知，，且，則在上的投影向量為
【答案】
【分析】利用向量的坐標運算，結合向量的投影計算即可得出結果.
【詳解】設，由可知①，
而，
所以
由可得②，
由①②可得，解得，則，
所以或者，
又，則向量在上的投影向量是.
故答案為：.
題型八：利用正、余弦定理解三角形
1．（23-24高一下·重慶·階段練習）如圖所示，平面四邊形的對角線交點位于四邊形的內部，，，，，當變化時，對角線的最大值為（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】D
【分析】設，利用余弦定理求得，表示出，進而可求得，結合輔助角公式即可求得答案.
【詳解】由題意，，
設，
則由余弦定理得：，
由正弦定理得：，
因為，則，
在中，
，
時，的最大值為，取得最大值，
故選：D
2．（2024·陜西西安·二模）在中，內角，，的對邊分別是，，，且的面積，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由余弦定理及得到，從而求出，再由及正弦定理計算可得.
【詳解】由余弦定理可得，所以，
則．
又因為，即，所以，顯然，又，
所以（負值舍去）．所以，
又因為，所以，所以，
所以．
故選：C
3．（2024·全國·模擬預測）已知的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，，，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)正弦定理及余弦定理解三角形即可得解.
【詳解】在中，由正弦定理得，
得.
由余弦定理得，
化簡整理得，得.
故選：C
4．（2024高三·全國·專題練習）中，角所對的邊分別為，若，且，則角
【答案】
【分析】根據(jù)求出，根據(jù)得到即可求解.
【詳解】，，，
，，
，
，
，
，
因為，所以，
或（舍），，
因為，
即，，
，，
，.
故答案為：.
5．（23-24高一下·浙江·階段練習）在中，角的對邊分別為，滿足外接圓的半徑為，則 ．
【答案】3
【分析】根據(jù)求出，根據(jù)正弦定理即可求出.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，
所以，
，所以，
又因為，所以，
從而，又外接圓的半徑為，
所以由正弦定理得．
故答案為：.
6．（2024高三·上?！ｎ}練習）在中，內角，，所對的邊分別為，，，，，則當取得最大值時， .
【答案】
【分析】由正弦定理可求出的外接圓半徑，借助于正弦定理進行邊化角運算可得，在中，，由兩角和的正弦公式展開代入的正余弦值計算，由輔助角公式即可求出結果.
【詳解】解：，，設外接圓半徑為．則，
得，
則
，
其中，，．
當．即時，取得最大值，
此時．所以.
故答案為：
7．（23-24高一下·湖南衡陽·階段練習）在銳角中，內角的對邊分別為，且.
(1)求；
(2)若是邊上一點（不包括端點），且，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理和三角形的內角和定理，化簡得到，進而求得，即可求解.
（2）不妨設，在中，利用正弦定理，化簡得到，根據(jù)題意，結合正切函數(shù)的性質，即可求解.
【詳解】（1）解：因為，由正弦定理得，
又因為，可得，所以，
又由，可得，所以，所以，
解得或（舍去），
因為，所以.
（2）解：不妨設，則，
在中，可得，
因為是銳角三角形，所以且，
則，所以，可得，
所以，所以.

8．（2024·廣東佛山·二模）在中，，，分別是角，，所對的邊，點在邊上，且滿足，．
(1)求的值；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）利用正弦定理的邊角變換得到，再利用三角恒等變換得到，從而利用余弦定理列出關系式即可得解.
（2）在中，確定三邊的長度關系，利用余弦定理可求，再利用同角三角函數(shù)的關系求.
【詳解】（1）如圖，在中，由正弦定理知，
所以，所以，
因為，所以，則①，
由，
則，
因為，所以，則，
在中，由余弦定理知，則②，
由①②得，．
（2）因為，所以，，
在中，由余弦定理知
同理在中，，
因為，所以，
則，
由（1）知，，所以，
在中，由余弦定理知
，
所以．
題型九：三角形形狀問題
1．（23-24高一下·云南昆明·階段練習）在中，角所對的邊分別為，且，則的形狀為（ ）
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
【答案】B
【分析】利用正弦定理及三角恒等變換化簡求出角即可得解.
【詳解】因為，
所以，即，即，
所以，
在中，，
所以，所以，
所以，
因為，所以，則，
所以，所以為直角三角形，
故選：B．
2．（23-24高一下·浙江·階段練習）已知的三內角所對的邊分別是，設向量，若，則的形狀是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】利用平面向量平行的條件得，再利用余弦定理可得邊的關系，即可得解.
【詳解】由題意，向量，且，
則，故，
整理得到，
故，故或，
即或，故的形狀為等腰或直角三角形.
故選：D.
3．（23-24高一下·山東·階段練習）在中，角所對的邊分別為，且，設的面積為，若，則此三角形的形狀為（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】首先由三角形面積公式數(shù)量積定義得，結合化簡得，即，由此即可判斷.
【詳解】因為，所以，解得，
又，
所以，
因為，
所以，
所以，
所以，即，
又，
所以此三角形的形狀為等邊三角形.
故選：C.
4．（23-24高一下·天津·階段練習）已知的內角所對的邊分別為，下列四個命題中正確的是（ ）
A．若，，，則有一解
B．若，則一定是銳角三角形
C．若，則一定是等腰三角形
D．若，則一定是等腰三角形
【答案】C
【分析】利用正弦定理判斷A，利用余弦定理判斷B，利用正弦定理與余弦定理的邊角變換，結合三角函數(shù)的和差公式判斷CD，從而得解.
【詳解】對于A，，則，
可知，此時有兩解，故A錯誤；
對于B，由余弦定理得，，
所以，但只能說明為銳角，或有可能為鈍角，故B錯誤；
對于C，由正弦定理得，得，
則，再由正弦定理得，所以一定是等腰三角形，故C正確；
對于D，由余弦定理可得，
得，得，
得，則或，
故或，所以是等腰三角形或直角三角形，故D錯誤.
故選：C.
5．（多選）（23-24高一下·廣西南寧·階段練習）已知的內角、、所對的邊分別為、、，下列說法正確的是（ ）
A．若，則是鈍角三角形
B．若，則
C．若，則是銳角三角形
D．若，則一定為銳角三角形
【答案】ABD
【分析】對于，由正弦定理可得，設，，，結合余弦定理即可判斷；對于，在中根據(jù)正弦定理即可判斷；對于，由向量的數(shù)量積運算即可得為銳角，無法判斷和；對于，由兩角和的正切公式可得，所以，即可判斷.
【詳解】對于A：在中，由正弦定理可得，設，，，且邊最大，由余弦定理可得
，
所以角為鈍角，所以是鈍角三角形，故正確；
對于B：在中，因為，根據(jù)正弦定理得，所以，故正確；
對于C：因為，所以，
所以角為銳角，但無法判斷角和角，故不正確；
對于D：在中，，
則，
所以，
因為三角形中最多只有一個鈍角，所以，，，即三個角都為銳角，故正確.
故選：.
6．（多選）（23-24高一下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，下列四個命題中正確的是（ ）
A．若，則一定是等腰三角形
B．若，則為銳角三角形
C．若，則一定是等邊三角形
D．若，則是等腰三角形
【答案】CD
【分析】利用正弦定理化邊為角結合二倍角的正弦公式即可判斷A；利用余弦定理即可判斷B；利用正弦定理化邊為角即可判斷C；利用正弦定理化邊為角結合兩角和的正弦公式及三角形內角和定理即可判斷D.
【詳解】對于A，因為，所以，
所以，所以或，
所以或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故A錯誤；
對于B，由正弦定理可得，
則，則為銳角，但是兩角無法判斷其是否為銳角，
如當時，，，
為鈍角三角形，故B錯誤；
對于C，因為，所以，
所以，且，所以，
所以為等邊三角形，故C正確；
對于D，因為，所以，
即，則，
又因為，所以或（舍去），
所以為等腰三角形，故D正確.
故選：CD.
題型十：三角形個數(shù)問題
1．（多選）（23-24高一下·重慶渝中·階段練習）在中，角的對邊分別為，且已知，則（ ）
A．若，且有兩解，則的取值范圍是
B．若，且恰有一解，則的取值范圍是
C．若，且為鈍角三角形，則的取值范圍是
D．若，且為銳角三角形，則的取值范圍是
【答案】AD
【分析】根據(jù)三角形的構成，結合正弦、余弦定理可判斷三角形有幾個解和特殊三角形所要滿足的條件.
【詳解】選項：由正弦定理，，
且，則，選項正確；
選項：①，則；
②且，則
綜上或，選項錯誤；
選項：①為最大邊：，且，此時；
②為最大邊：，且，此時，選項錯誤；
選項：，且，所以，選項正確；
故選；．
2．（多選）（23-24高一下·河南濮陽·階段練習）在中，，，（a為常數(shù)），若滿足條件的三角形有且僅有兩個，則a的取值可能為（ ）
A．7B．14C．15D．16
【答案】BC
【分析】
根據(jù)三角形有兩解的條件，判斷的范圍，即可得出正確選項.
【詳解】由題意，當滿足，即時，
滿足條件的三角形有且僅有兩個，
因為，所以，
而，
所以的取值可能為14，15.
故選：BC
3．（多選）（23-24高一下·重慶·階段練習）滿足下列條件的三角形有兩個解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】BD
【分析】
利用正弦定理，逐項判斷計算作答
【詳解】
對于A，，又，只有一解，不合題意；
對于B，，又，則有兩解，符合題意；
對于C，，則不存在，無解，不合題意；
對于D，，又，則有兩解，符合題意.
故選：BD
4．（多選）（23-24高一下·湖北·期中）在中，角所對的邊分別為，那么在下列給出的各組條件中，能確定三角形有唯一解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】BD
【分析】用與點A到邊BC的距離及的長比較大小可判斷A，B，C；求三角形各邊及角可判斷D.
【詳解】選項A，點A到邊BC的距離是1，∵，∴三角形有兩解；
選項B，點A到邊BC的距離是2與b相等，∴三角形是直角三角形，有唯一解；
選項C，點A到邊BC的距離是，三角形無解；
選項D，根據(jù)已知可解出，，
∴三角形有唯一解.
故選：BD.
5．（23-24高一下·上海·階段練習）在中，，，要使被唯一確定，那么的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)利用正弦定理，結合三角形有1個解的條件即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，，，
由正弦定理得：，則，
三角形只有一個解，則或，
則或，即或，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
6．（23-24高一下·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）下列條件判斷三角形解的情況，正確的是 （填序號）；
①，，，有兩解；
②，，，有一解；
③，，，無解；
④，，，有一解．
【答案】④
【分析】對于①，由正弦定理求得，可判斷三角形解的個數(shù)；對于②，由正弦定理求得，結合三角形中大邊對大角性質，可判斷三角形解的個數(shù)；對于③，由正弦定理，結合，可得解的個數(shù)；對于④，由正弦定理得 ，結合可得三角形的解有一個，由此可得答案.
【詳解】對①：由正弦定理，所以，
又因為，所以有一解，故①錯誤；
對②：正弦定理，所以，
又因為，所以，則三角形的解有兩解，故②錯誤；
對③：由正弦定理，所以，
又因為且，可得有一解，所以三角形的解有一個，故③錯誤；
對于④，由正弦定理，所以，
又因為且，可得有一解，所以三角形的解有一個，故④正確，
故答案為：④.
題型十一：三角形周長（邊長）問題
1．（2024·四川綿陽·一模）中，角、、的對邊分別為a、b、c，若，則的周長為 ．
【答案】
【分析】先利用兩角差的正弦公式、正弦定理和余弦定理對題目條件進行化簡得出：；再結合和余弦定理得出的值即可求解.
【詳解】因為，
所以，
即.，
由正弦定理可得：，
由余弦定理可得：，整理得：.
因為，
所以，整理得：，
則，
所以，
故答案為：.
2．（2024高三·廣東·專題練習）已知是銳角三角形，內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)用余弦定理化簡得到，再結合正弦定理化簡得出，從而可得，從而可得，令，，再利用二次函數(shù)性質即可求解.
【詳解】因為，得．
由余弦定理得，
所以，即．
由正弦定理得，
因為，則，
所以，即．
因為是銳角三角形，所以，，所以．
又在上單調遞增，所以，則．
因為是銳角三角形，所以，，，
所以，
由正弦定理得
，
令，因為，所以．
在上單調遞增，
當時，，當時，，
故.
故答案為：．
【點睛】方法點睛：解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關的范圍問題，與面積有關的范圍問題，或與角度有關的范圍問題，常用處理思路：
①余弦定理結合基本不等式構造不等關系求出答案；
②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；
③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.
3．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）銳角的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】利用正弦定理的邊角變換與三角函數(shù)的和差公式得到，從而利用三角函數(shù)的性質與銳角三角形的特點推得的取值范圍，再次利用正弦定理的邊角變換轉化所求為，從而得解.
【詳解】因為，則，
所以，
由正弦定理得，
又，故，
因為在銳角中，，所以或，
當時，，
所以，解得，符合題意；
當時，，此時，不合題意；
綜上，，
又，
而，所以，
則的取值范圍為.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是，利用，結合銳角三角形內角的特點求得的取值范圍，從而得解.
4．（23-24高一下·寧夏銀川·階段練習）已知的內角A、B、C對的邊分別為a，b，c，，D為邊AC上一點，滿足且，則的最小值為 ．
【答案】18
【分析】由條件可推得平分，利用三角形等面積轉化可得，求出代入所求式，整理后運用基本不等式即可求得.
【詳解】
如圖，過點作交于點，則,,,
又由可得,故得，則,故平分.
因，故由可得，化簡得，即，，
則，因，故，
當且僅當時，即時，等號成立.
故且時，取得最小值為18.
【點睛】思路點睛：本題主要考查與三角形的內角平分線有關的等面積問題和基本不等式的應用.
解題思路在于由要能發(fā)現(xiàn)和證明平分，再利用三角形等面積替換得出，最后通過消元將所求式化成單變量解析式，拼湊運用基本不等式即可求最值.
5．（23-24高一下·湖南長沙·階段練習）記的內角的對邊分別為，，，已知．
(1)若，求；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意利用三角恒等變換整理可得，即可得結果；
（2）由（1）可知，分析可得，，根據(jù)正弦定理邊化角，利用三角恒等變換結合基本不等式分析求解.
【詳解】（1）因為，
可得，
且，所以．
（2）由（1）可知，，則，，
因為，且，
可得，則，
所以．
當且僅當時取等號，所以的最小值為．
6．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知，，，函數(shù)，且在區(qū)間上的最大值為.
(1)求m的值；
(2)銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若且，求的周長l的取值范圍.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）利用向量的坐標運算以及倍角公式進行化簡，結合三角函數(shù)的單調性進行求解即可求實數(shù)的值；
（2）根據(jù)余弦定理結合基本不等式的關系進行求解．
【詳解】（1），
， ，
當時，即時，函數(shù)取得最大值，
則．
（2），
，
由于為銳角，所以
由余弦定理得
，
當且僅當時等號成立，
又，所以，
的周長，
7．（2024·河北衡水·一模）在中，內角所對的邊分別是，三角形面積為，若為邊上一點，滿足，且.
(1)求角；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）結合面積公式、正弦定理及兩角和的正弦公式化簡可得，進而求解即可；
（2）在中由正弦定理可得，在中，可得，進而得到，結合三角恒等變化公式化簡可得，進而結合正弦函數(shù)的圖象及性質求解即可.
【詳解】（1），
，即，
由正弦定理得，，
，
，
，，
由，得.
（2）由（1）知，，
因為，所以，，
在中，由正弦定理得，
即，
在中，，
，
，,
，
，，，
所以的取值范圍為.

8．（23-24高一下·四川成都·階段練習）已知．
(1)求函數(shù)圖象的對稱軸方程；
(2)設的內角所對的邊分別為，若且，求周長的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算結合三角恒等變換，可得的表達式，結合正弦函數(shù)的性質，即可求得答案；
（2）由求出B，由正弦定理求出的表達式，結合三角恒等變換化簡可得的表達式，利用三角函數(shù)性質求出其范圍，即可得三角形周長的取值范圍.
【詳解】（1）由于，
故
，
由，得
故函數(shù)圖象的對稱軸方程為；
（2）由，得，而,
故，
由于，則，
則，
則
，
而，
則，即，
故周長的取值范圍為.
題型十二：三角形面積問題
1．（23-24高三下·浙江·階段練習）在等邊三角形的三邊上各取一點，，，滿足，，，則三角形的面積的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先求出，設，，在、分別利用正弦定理表示出、，從而得到，利用三角恒等變換公式及輔助角公式求出的最大值，即可求出三角形面積最大值.
【詳解】因為，，，所以，
設，，
則，，，
在中由正弦定理，即，
所以，
在中由正弦定理，即，
所以，
所以
（其中），
所以，
則，
即三角形的面積的最大值是.
故選：A
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是用含的式子表示出、，再利用三角恒等變換公式及輔助角公式求出.
2．（23-24高一下·福建泉州·階段練習）在銳角中，、、分別是角、、所對的邊，已知且，則銳角面積的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理求出角，再利用三角形面積公式結合正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角恒等變換轉化為三角函數(shù)求范圍即可.
【詳解】且，,
根據(jù)正弦定理得，,
即，
整理得，
，，，解得，，
，
，,
的面積
為銳角三角形，，，
，，
，
.
故選：C.
3．（23-24高一下·河南周口·階段練習）銳角中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，若，則面積S的取值范圍 .
【答案】
【分析】本題為正余弦定理的綜合運用題型，先利用正余弦定理進行角化邊得出角A，再根據(jù)已有條件選定面積公式為，面積變?yōu)殛P于邊c的函數(shù)，再利用角B和角C的關系進行邊化角和角歸一即可求出答案.
【詳解】因為，所以由正弦定理有，整理得，
所以由余弦定理有，又，所以，
又，所以由正弦定理有，
因為為銳角三角形，所以且，所以，
所以，則，所以，即，
所以.
故答案為：.
4．（23-24高三上·全國·階段練習）已知中，在線段上，．
(1)若，求的長；
(2)求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）先利用正弦定理求得，再利用余弦定理即可得解.
（2）利用余弦定理，結合基本不等式與三角形面積公式求得的最大值，進而得解.
【詳解】（1）
因為在線段上，，
所以，又，，
在中，，即，
則，又，所以，則，
在中，
，
所以．
（2）
在中，，
所以，
則，當且僅當時，等號成立．
所以，即的最大值為．
因為，所以，
故的最大值為．
5．（23-24高三上·海南省直轄縣級單位·階段練習）在中，內角，，的對邊分別為，，，且滿足.
(1)求；
(2)若內角的角平分線交于點，且，求的面積的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理進行邊角之間互化，再根據(jù)三角恒等變化化簡求值；
（2）利用三角形面積公式得到，從而利用基本不等式求得，由此可得面積的最小值.
【詳解】（1）由正弦定理可得，,
所以，即，
因為是的內角，所以，
得，所以，
所以.
（2）因為，平分，所以，又，
則由，得，
所以，
又，則，得，
當且僅當時，等號成立，
所以，
故最小值為.
6．（23-24高三上·江蘇揚州·階段練習）內角的對邊分別為，已知．
(1)求角的大?。?br>(2)是邊上一點，且，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和三角形內角和關系以及誘導公式可求出，即可得；
（2）根據(jù)線段比例和中分別利用余弦定理可得，再由即可得，利用基本不等式可求出，代入面積公式即可得面積的最大值.
【詳解】（1）在中，由，根據(jù)正弦定理可得
因為B為三角形內角可知，，且，
所以，即
因為A為三角形的內角，，故；
所以，即.
（2）
是邊上一點，且，所以；
如下圖所示：

中，由余弦定理可得，
中，由余弦定理可得，
因為；
所以可得
整理可得，
中，由余弦定理可得；
聯(lián)立兩式可得，
當且僅當時取等號，此時
所以
所以面積的最大值為.
7．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習）的內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，點O為的內心，記，，的面積分別為，，，已知，.
(1)在①；②；③中選一個作為條件，判斷是否存在，若存在，求出的周長，若不存在，說明理由.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.）
(2)若為銳角三角形，求面積的取值范圍.
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）由題意，根據(jù)的內切圓的性質可得，選①，根據(jù)余弦定理可得，方程無解即△ABC不存在；選②，根據(jù)正弦定理可得，由可得，方程無解即△ABC不存在；選③，根據(jù)三角恒等變換可得，由（1）得，解得，可求出的周長.
（2）由三角形的面積可得，再由正弦定理和兩角和的正弦公式可得，結合角C的取值范圍即可求解.
【詳解】（1）設的內切圓半徑為r，因為，
所以，化簡得：，
所以，因為，所以，
選擇①，因為，所以，
因為，，所以，
整理得，
方程無實數(shù)解，所以不存在．
選擇②，因為，所以，
因為，所以，所以，
因為，，所以，
整理得，方程無實數(shù)解，所以不存在．
選擇③，由得：，
所以，即，所以，
因為以，，
所以，所以，解得，
所以存在且唯一，的周長為．
（2）由（1）知，，面積，
因為，所以，
因為為銳角三角形，
所以，，解得：，
所以，所以，，，
所以的取值范圍為，
而面積.
第二部分：新定義題
1．（23-24高一下·浙江麗水·階段練習）設平面內兩個非零向量的夾角為，定義一種運算“”：．試求解下列問題，
(1)已知向量滿足，求的值；
(2)在平面直角坐標系中，已知點，求的值；
(3)已知向量，求的最小值.
【答案】(1)2
(2)7
(3)9
【分析】（1）借助新定義計算即可得；
（2）借助所給定義及三角函數(shù)間的關系，計算可得，代入數(shù)據(jù)計算即可得；
（3）由，代入數(shù)據(jù)，結合基本不等式計算即可得.
【詳解】（1）由已知，得，
所以，即，
又，所以，
所以；
（2）設，則，
所以，
，
所以，
又，
所以；
（3）由（2）得，
故，
，
當且僅當，即時等號成立.
所以的最小值的最小是9．
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點在于借助所給定義及三角函數(shù)間的關系，計算得到.
2．（23-24高一下·重慶·階段練習）已知O為坐標原點，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).
(1)記向量的相伴函數(shù)為，若當且時，求的值；
(2)設，試求函數(shù)的相伴特征向量，并求出與共線的單位向量；
(3)已知，，為函數(shù)的相伴特征向量，，請問在的圖象上是否存在一點，使得?若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.
【答案】(1)；
(2)，；
(3)存在點，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)向量的伴隨函數(shù)求出，再將所求角用已知角表示，結合三角恒等變換即可求解；
（2）化簡函數(shù)解析式，根據(jù)相伴特征向量的定義即可求得，繼而進一步計算即可；
（3）根據(jù)題意確定的值，繼而得到函數(shù)，繼而得到，設點，再根據(jù)向量的垂直關系進行計算，結合三角函數(shù)的有界性得到答案.
【詳解】（1）根據(jù)題意知，向量的相伴函數(shù)為，
當時，，
又，則，所以，
故.
（2）因為，
故函數(shù)的相伴特征向量，
則與共線單位向量為.
（3）因為，
其相伴特征向量，故，所以，則，
，
設點，又，，
所以，
若，則，
即，，
因為，故，
又，故當且僅當時，成立，
故在的圖象上存在一點，使得.
【點睛】關鍵點點睛：理解相伴特征向量和相伴函數(shù)的定義是解答本題的關鍵.
3．（23-24高一下·上?！るA段練習）對于一組向量，，，…，，（且），令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“長向量”．
(1)設，且，若是向量組，，的“長向量”，求實數(shù)x的取值范圍；
(2)若，且，向量組，，，…，是否存在“長向量”?給出你的結論并說明理由；
(3)已知，，均是向量組，，的“長向量”，其中，．設在平面直角坐標系中有一點列，，，…，滿足，為坐標原點，為的位置向量的終點，且與關于點對稱，與（且）關于點對稱，求的最小值．
【答案】(1)
(2)存在，理由見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)“長向量”的定義，列不等式，求的取值范圍即可得；
（2）由題意可得，亦可得，故只需使，計入計算即可得；
（3）首先由，，均是向量組，，的“長向量”，變形得到，設,由條件列式，變形為，轉化為求的最小值.
【詳解】（1）由題意可得：，則，解得：；
（2）存在“長向量”，且“長向量”為，，理由如下：
由題意可得，
若存在“長向量”，只需使，
又，
故只需使
，即，即，
當或時，符合要求，故存在“長向量”，且“長向量”為，；
（3）由題意，得，，即，
即，同理，
，
三式相加并化簡，得：，
即，，所以，
設，由得：，
設，則依題意得：，
得，
故，
，
所以，
，
當且僅當時等號成立，
故.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是理解題意，理解“長向量”的定義，前兩問均是利用定義解題，第三問注意轉化關系，關鍵是轉化為.
4．（23-24高二下·江蘇淮安·階段練習）n個有次序的實數(shù)，，…，所組成的有序數(shù)組稱為一個n維向量，其中稱為該向量的第i個分量.特別地，對一個n維向量，若，稱為n維信號向量.設，，則和的內積定義為，且.
(1)直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量；
(2)證明：不存在10個兩兩垂直的10維信號向量；
(3)已知k個兩兩垂直的2024維信號向量，，…，滿足它們的前m個分量都是相同的，求證：.
【答案】(1)，，，；
(2)證明見解析；
(3)證明見解析
【分析】
（1）根據(jù)題意，結合兩兩垂直的定義，即可求解；
（2）根據(jù)題意，不妨設，得到有5個分量為，設的前5個分量中有r個，得到5個分量中有個，進而求得r的值，即可求解；
（3）任取，得到，設的第個分量之和為，結合，列出不等式，即可求解.
【詳解】（1）兩兩垂直的4維信號向量可以為：，，，.
（2）假設存在10個兩兩垂直的10維信號向量，，…，，
因為將這10個向量的某個分量同時變號或將某兩個位置的分量同時互換位置，任意兩個向量的內積不變，
所以不妨設，，
因為，所以有5個分量為，
設的前5個分量中有r個，則后5個分量中有個，
所以，可得，矛盾，
所以不存在10個兩兩垂直的10維信號向量.
（3）任取，計算內積，將所有這些內積求和得到S，
則，
設，，…，的第個分量之和為，
則從每個分量的角度考慮，每個分量為S的貢獻為，
所以，
令，所以，所以.
【點睛】關鍵點睛：本題以新定義為背景考查向量的運算，解題的關鍵是根據(jù)所給線性相關的定義進行運算判斷.
5．（23-24高一下·重慶·階段練習）十七世紀法國數(shù)學家、被譽為業(yè)余數(shù)學家之王的皮埃爾·德·費馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最小”它的答案是：“當三角形的三個角均小于時，所求的點為三角形的正等角中心，即該點與三角形的三個頂點的連線兩兩成角；當三角形有一內角大于或等于時，所求點為三角形最大內角的頂點．在費馬問題中所求的點稱為費馬點．已知a，b，c分別是三個內角A，B，C的對邊，且，點為的費馬點．
(1)求角；
(2)若，求的值；
(3)若，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根據(jù)三角恒等變換即可結合同角關系求解，
（2）根據(jù)余弦定義以及等面積法可得，即可根據(jù)數(shù)量積的定義求解，
（3）根據(jù)余弦定理，結合（2）的結論可得，進而根據(jù)三角形相似可得，由基本不等式以及三角形邊角關系可得，即可由函數(shù)的單調性求解.
【詳解】（1）
，
，
，
，
又，，
，,，
（2）
，
，又，
，
設，，，
，三角形的三個角均小于120，
根據(jù)題意可得，
又，
，
，
故，進而
【點睛】方法點睛：處理多變量函數(shù)最值問題的方法有：（1）消元法：把多變量問題轉化單變量問題，消元時可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即給出的條件是和為定值或積為定值等，此時可以利用基本不等式來處理，用這個方法時要關注代數(shù)式和積關系的轉化. （3）線性規(guī)劃：如果題設給出的是二元一次不等式組，而目標函數(shù)也是二次一次的，那么我們可以用線性規(guī)劃來處理.
6．（23-24高一下·山東濱州·開學考試）定義非零向量若函數(shù)解析式滿足，則稱為向量的“伴生函數(shù)”，向量為函數(shù)的“源向量”．
(1)已知向量為函數(shù)的“源向量”，若方程在上有且僅有四個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；
(2)已知點滿足，向量的“伴生函數(shù)”在時取得最大值，當點運動時，求的取值范圍；
(3)已知向量的“伴生函數(shù)”在時的取值為．若在三角形中，，，若點為該三角形的外心，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)3
【分析】（1）根據(jù)題意得到方程，參變分離后，寫出函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)圖象，結合圖象即可；
（2）根據(jù)題中條件求得的值，繼而求得，利用二倍角公式求得的表達式，換元后利用函數(shù)單調性即可求得取值范圍；
（3）根據(jù)條件可先求得，繼而根據(jù)正弦定理可得角形外接圓半徑，則，再根據(jù)向量的運算法則及數(shù)量積的定義化簡所求，進一步分析即可.
【詳解】（1）因為向量為函數(shù)的“源向量”，
所以 ，
則方程上有且僅有四個不相等的實數(shù)根，
所以在上有且僅有四個不相等的實數(shù)根，
令，
①當時，
②當時，，
所以 ，
其圖象為：

結合,,,最大值為3，
故當在上有且僅有四個不相等的實數(shù)根時，
的取值范圍為.
（2）由題意得:
，其中，
當，即時，
取最大值，
故，
則，
令，由于，
故，
即
則，解得，
所以（）
因為單調遞增，所以，
所以的取值范圍為
（3）由題意得，，則，
在三角形中，
，，因此 ，
設三角形外接圓半徑為，
根據(jù)正弦定理，，故
所以

代入得：，
所以當時，取得最大值3.
【點睛】關鍵點點睛：第1問的關鍵是參變分離，數(shù)形結合；第2問的關鍵是換元法構造函數(shù)；第3問的關鍵是利用正弦定理得到.

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