一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24高一下·江西·階段練習(xí)）下列與角終邊相同的角為（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）已知，則等于（ ）
A．B．C．D．
3．（21-22高一下·全國·期末）已知某扇形的圓心角為，其所對的弦長為，則該扇形的面積為（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·湖北·二模）已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知，若，則（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上有且僅有4個零點．則圖象的一條對稱軸可能的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
7．（23-24高一下·山東臨沂·階段練習(xí)）已知，，一條對稱軸為，若關(guān)于x的方程在有兩個不同的實數(shù)根，則m的取值范圍為（ ）
11．（23-24高一下·江西南昌·階段練習(xí)）主動降噪耳機(jī)讓我們在嘈雜的環(huán)境中享受一絲寧靜，它的工作原理是：先通過微型麥克風(fēng)采集周圍的噪聲，然后降噪芯片生成與振幅相同的反相位聲波來抵消噪聲，已知某噪聲的聲波曲線，且經(jīng)過點，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)是奇函數(shù)
B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．，使得
D．的值為定值
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知，則
13．（23-24高一下·四川綿陽·階段練習(xí)）已知，則 ．
14．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）重天市育才中學(xué)為美化校園將一個半圓形空地改造為一個穿梭花園.如圖所示，O為圓心，半徑為1千米，點A、B都在半圓弧上，設(shè)，其中.若在花園內(nèi)鋪設(shè)一條參觀的線路，由線段、、三部分組成，要使參觀的線路最長，則 .（答案請用使用弧度制表示）

四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）（1）已知是第四象限角，是第二象限角，求的值.
（2）已知，且，求的值.
16．（23-24高一下·四川綿陽·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求的最小正周期；
(2)在下列兩個問題中任選其一作答，若兩個都作則按第一題給分.
①求的單調(diào)遞增區(qū)間；
②求在時的值域.
17．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)（，，）在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：
(1)根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．當(dāng)時，關(guān)于的方程恰有兩個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．
18．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)記方程在上的從小到大依次為，，?，，試確定n的值，并求的值．
19．（16-17高三上·北京海淀·期中）已知為實數(shù)，用表示不超過的最大整數(shù)，例如，，．對于函數(shù)，若存在且，使得，則稱函數(shù)是函數(shù)．
(1)判斷函數(shù)，是否是函數(shù)；（只需寫出結(jié)論）
(2)已知，請寫出的一個值，使得為函數(shù)，并給出證明；
(3)設(shè)函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，其最小周期為．若不是函數(shù)，求的最小值．0
0
2
0
0
第08講 第四章 三角函數(shù) 章節(jié)驗收測評卷
（19題新題型）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24高一下·江西·階段練習(xí)）下列與角終邊相同的角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)終邊相同的角的定義即可求解.
【詳解】由題意知，
，
所以與角終邊相同的角為.
故選：C
2．（23-24高一下·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）已知，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，利用齊次式法計算即得.
【詳解】由，得.
故選：A
3．（21-22高一下·全國·期末）已知某扇形的圓心角為，其所對的弦長為，則該扇形的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)該扇形的半徑為，依題意可得，再由扇形面積公式計算可得.
【詳解】設(shè)該扇形的半徑為，因為扇形的圓心角為，其所對的弦長為，則，
則該扇形的面積為.
故選：B.
4．（2020·湖北·二模）已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等變換可得，以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性分析求解.
【詳解】由題意可知：
，
當(dāng)時，則，所以
故選：B.
5．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】構(gòu)造奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)算即可求解.
【詳解】設(shè)，顯然它定義域關(guān)于原點對稱，
且，
所以為奇函數(shù)，
，則，
所以，.
故選：C.
6．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上有且僅有4個零點．則圖象的一條對稱軸可能的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】化簡，由零點個數(shù)整體思想求出，并求出對稱軸判斷其范圍，結(jié)合賦值法判斷各選項.
【詳解】，
令，得，
因為，所以，
若在上有且僅有4個零點，則，解得，
令，得，因為，
所以．當(dāng)，
當(dāng)，當(dāng)，只有D符合.
故選：D．
7．（23-24高一下·山東臨沂·階段練習(xí)）已知，，一條對稱軸為，若關(guān)于x的方程在有兩個不同的實數(shù)根，則m的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由三角函數(shù)的對稱性求得的解析式，利用換元法，將問題轉(zhuǎn)化為與在上有兩個交點，數(shù)形結(jié)合即可得解.
【詳解】因為的一條對稱軸為，
所以，，解得，，
又因為，所以，
所以，
因為，，即，，
令，則，則在上有兩個實根，
即與在上有兩個交點，
又，則的大致圖象如圖，
結(jié)合圖象可知，即.
故選：A.
8．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，且，若關(guān)于的方程有4個不同實根，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用輔助角公式得，討論其符號求范圍，進(jìn)而寫出解析式并畫出草圖，數(shù)形結(jié)合得、，即可得答案.
【詳解】由，
若，則，可得，
所以,
若，則，可得，
所以，
所以，其函數(shù)圖象如下圖，
要使有4個不同實根，則，
由圖知：，故，且，
所以的范圍為.
故選：A
【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用三角恒等變換研究正弦型函數(shù)性質(zhì)，并畫出的圖象為關(guān)鍵.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．（23-24高一下·湖南衡陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．B．函數(shù)為奇函數(shù)
C．在上單調(diào)遞增D．的圖象關(guān)于直線對稱
【答案】BCD
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.
【詳解】由圖可知，，所以，解得，
所以，又函數(shù)過點，所以，
所以，解得，
又，所以，所以，故A錯誤；
因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故B正確；
當(dāng)時，又在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，故C正確；
因為，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故D正確.
故選：BCD
10．（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)
B．函數(shù)在單調(diào)遞減
C．函數(shù)的值域為
D．函數(shù)在內(nèi)有4個零點
【答案】ACD
【分析】對于A，根據(jù)即可判斷；對于B，當(dāng)將化簡，然后檢驗即可；對于C，求出函數(shù)在一個周期的值域，先求當(dāng)，再求當(dāng)?shù)闹涤蚣纯膳袛?；對于D，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，可通過區(qū)間上零點個數(shù)從而確定其零點個數(shù).
【詳解】因為，所以A正確；
當(dāng)，，其中，不妨令為銳角，所以，所以，因為，所以B錯誤；
因為是函數(shù)的一個周期，可取一個周期上研究值域，當(dāng)，
，，由選項B可知：， ，所以，即；
當(dāng)時， ，，其中，，所以，故函數(shù)在上的值域為，故C正確；
因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以在區(qū)間上零點個數(shù)可通過區(qū)間上零點個數(shù)，由，在圖像知由2個零點，所以在區(qū)間上零點個數(shù)為4個，所以D正確．
故選：ACD
11．（23-24高一下·江西南昌·階段練習(xí)）主動降噪耳機(jī)讓我們在嘈雜的環(huán)境中享受一絲寧靜，它的工作原理是：先通過微型麥克風(fēng)采集周圍的噪聲，然后降噪芯片生成與振幅相同的反相位聲波來抵消噪聲，已知某噪聲的聲波曲線，且經(jīng)過點，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)是奇函數(shù)
B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．，使得
D．的值為定值
【答案】ABD
【分析】由經(jīng)過可求出的解析式，利用奇偶性定義可判斷A；利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；求的值可判斷D，利用，分、、，三種情況求的化簡式可判斷C．
【詳解】因為經(jīng)過，
所以，即，，解得，，
又，所以，則，
對于A，，
時，令，可得，
故為奇函數(shù)，所以A正確；
對于B，時，，
對于在上單調(diào)遞減，可得在上單調(diào)遞減，所以B正確；
對于D，
，
所以恒為，
即對的值為定值，所以D正確；
對于C，當(dāng)，時，，
當(dāng)，時，，
當(dāng)，時，
，所以C錯誤．
故答案為：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知，則
【答案】/0.8
【分析】弦化切代值求解即可.
【詳解】由所以
故答案為：.
13．（23-24高一下·四川綿陽·階段練習(xí)）已知，則 ．
【答案】/
【分析】先將條件利用兩角和與差的正弦公式展開整理后可求出，然后將變形為用表示代入計算即可.
【詳解】因為，
所以，
整理得，即，
所以.
故答案為：.
14．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）重天市育才中學(xué)為美化校園將一個半圓形空地改造為一個穿梭花園.如圖所示，O為圓心，半徑為1千米，點A、B都在半圓弧上，設(shè)，其中.若在花園內(nèi)鋪設(shè)一條參觀的線路，由線段、、三部分組成，要使參觀的線路最長，則 .（答案請用使用弧度制表示）

【答案】
【分析】利用直徑所對的圓周角為直角，利用三角函數(shù)把線段、、表示為的函數(shù)，利用換元和二次函數(shù)的性質(zhì)求取最大值時的值.
【詳解】連接，則，
半圓的半徑，在中，，

在等腰中，，顯然，
所以參觀路線的長度，
令，即，當(dāng)時取得最大值，
此時，又，于是，所以當(dāng)時，參觀路線最長.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）（1）已知是第四象限角，是第二象限角，求的值.
（2）已知，且，求的值.
【答案】；.
【分析】（1）利用角的范圍、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及三角恒等變換計算即可；
（2）利用角的范圍、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及三角恒等變換計算即可.
【詳解】（1）由題意可知，，
所以；
（2）由題意可知，
且，
所以
.
16．（23-24高一下·四川綿陽·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求的最小正周期；
(2)在下列兩個問題中任選其一作答，若兩個都作則按第一題給分.
①求的單調(diào)遞增區(qū)間；
②求在時的值域.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）利用二倍角公式及輔助角公式化簡得，從而可求解.
（2）選①利用整體代換法求解單調(diào)遞增區(qū)間；選②利用整體代換法求解相應(yīng)的值域，從而可求解.
【詳解】（1），
所以最小正周期.
（2）選①：由（1）知，
則當(dāng)，
即時，單調(diào)遞增，
所以增區(qū)間為
選②：由，則，
所以，
所以值域為.
17．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)（，，）在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：
(1)根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．當(dāng)時，關(guān)于的方程恰有兩個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)得到，由周期求出，再求出，即可得解；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到的解析式，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，等價于函數(shù)，的圖象與直線有兩個交點，數(shù)形結(jié)合即可得解.
【詳解】（1）表中數(shù)據(jù)可得，，
因為，所以，又，則，
當(dāng)時，，即，解得，
所以．
（2）將圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到，
再將圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，
則，
又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且，，，
如圖，當(dāng)時，方程恰有兩個實數(shù)根，
等價于函數(shù)，的圖象與直線有兩個交點，
所以，即．
18．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)記方程在上的從小到大依次為，，?，，試確定n的值，并求的值．
【答案】(1)，；
(2)5，.
(1)判斷函數(shù)，是否是函數(shù)；（只需寫出結(jié)論）
(2)已知，請寫出的一個值，使得為函數(shù)，并給出證明；
(3)設(shè)函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，其最小周期為．若不是函數(shù)，求的最小值．
【答案】(1)是函數(shù)，不是函數(shù)
(2)，證明見解析
(3)不是，
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義直接判斷函數(shù)，是否是函數(shù)；
（2）取，再利用函數(shù)的定義證明即可；
（3）利用反證法證得，再舉特殊函數(shù)說明成立，從而得解.
【詳解】（1）對于，
令，則，
則，，
所以存在，，使得，所以函數(shù)是“函數(shù)”.
對于函數(shù)，函數(shù)的最小正周期為，
不妨研究在這個周期的性質(zhì)，
當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，則，
綜上，，所以函數(shù)不是“函數(shù)”.
所以得函數(shù)是“函數(shù)”，函數(shù)不是“函數(shù)”.
（2）取，為函數(shù)，證明如下：
令，則，又，
此時，，
則，所以是函數(shù)．
（3）的最小值為1，理由如下：
因為是以為最小正周期的周期函數(shù)，所以．
假設(shè)，則，所以，矛盾；
所以必有，
而函數(shù)的周期為1，且顯然不是是函數(shù)，
綜上，的最小值為1．
【點睛】思路點睛：關(guān)于新定義題的思路有：
（1）找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；
（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言；
（3）將已知條件代入新定義的要素中；
（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答.
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