1. 5年真題考點(diǎn)分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，具體視命題情況而定，本身知識(shí)點(diǎn)命題可變性多，學(xué)生易上手學(xué)習(xí)，但高考常作為載體和其他版塊結(jié)合考查，難度不定，分值為5分左右
【備考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推論，會(huì)使用應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”
2.能正確處理常數(shù)“1”求最值
3.能用拼湊等思想合理使用基本不等式求最值
4.能熟練掌握基本不等式的應(yīng)用，應(yīng)用于函數(shù)和解析幾何的求解過程中求最值
【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般會(huì)結(jié)合條件等式考查拼湊思想來使用基本不等式求最值，或者和其他版塊關(guān)聯(lián)，難度中等偏上。
知識(shí)講解
1．基本不等式
如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“=”）.
說明：
①對(duì)于非負(fù)數(shù)，我們把稱為的 ，稱為的 .
②我們把不等式稱為基本不等式，我們也可以把基本不等式表述為：兩個(gè)非負(fù)數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù).
③“當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取‘=’號(hào)”這句話的含義是：一方面是當(dāng) 時(shí)，有；另一方面當(dāng) 時(shí)，有.
④ 結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：和式與積式的關(guān)系.
2．基本不等式求最值
（1）設(shè)x，y為正數(shù)，若積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值 （簡(jiǎn)記為：積定和最?。?
（2）設(shè)x，y為正數(shù)，若和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值S2（簡(jiǎn)記為：和定積最大）.
3．幾個(gè)重要不等式（含基本不等式鏈）
（1） （）；（2） （）；
（3） （）；（4） 或 （）；
（5）
考點(diǎn)一、直接用基本不等式求和或積的最值
1．（23-24高三上·河南信陽·階段練習(xí)）已知，，且，則的最大值為（ ）
A．0B．1C．-1D．2
2．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）若，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·上?！つM預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)a、b滿足，則的最大值為 ．
2．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)滿足，則的最小值為 .
考點(diǎn)二、巧用“1”或常數(shù)關(guān)系求最值
1．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則的最小值為（ ）
A．4B．C．6D．
2．（2024·河南·三模）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的最小值為 ．
1．（2024·安徽·三模）已知，且，則的最小值為（ ）
A．4B．C．D．
2．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則的最小值為 .
3．（2024·江蘇南通·二模）設(shè)，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．3
考點(diǎn)三、拼湊法求最值
1．（2024·山西臨汾·三模）若，則的最小值是（ ）
A．1B．4C．D．
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)在處取最小值，則 ．
3．（2024·江西贛州·二模）已知，則的最小值為 .
1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則的最小值是 ．
2．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值是 ．
考點(diǎn)四、換元法求最值
1．（2022高三上·全國·專題練習(xí)）已知，求的最大值.
2．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則的最大值為 ．
1．（2020·甘肅蘭州·二模）設(shè)m，n為正數(shù)，且，則的最小值為 .
2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知，，若，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
考點(diǎn)五、二次與二次（一次）的商式求最值
1．（2023高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù) 的最大值為 .
2．（23-24高一上·上海浦東新·期中）已知實(shí)數(shù)，則的最大值為 ．
1．（22-23高三上·福建泉州·期中）函數(shù)在上的最大值為 ．
2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值.
考點(diǎn)六、兩次應(yīng)用基本不等式求最值
1．（23-24高一上·上海徐匯·期中）若x，y，z均為正實(shí)數(shù)，則的最大值是 ．
2．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為 .
1．（23-24高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知正數(shù)滿足，則的最小值為 .
2．（2023·江西·一模）已知，，是正實(shí)數(shù)，且，則最小值為 .
考點(diǎn)七、條件等式變形求最值
1．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）若，則的最小值為（ ）
A．B．C．1D．
2．（2024·四川德陽·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)，，滿足，則的最小值是 .
3．（2023·江西·二模）實(shí)數(shù)，，滿足：，則的范圍是（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則的最小值為 ．
2．（2024·浙江紹興·三模）若，且，則的最小值是 ．
3．（22-23高三上·天津和平·階段練習(xí)）已知正數(shù)滿足，則的最小值是 ．
考點(diǎn)八、利用基本不等式在恒成立問題中求參數(shù)的范圍
1．（23-24高三上·福建漳州·階段練習(xí)）已知，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
2．（2023高一上·全國·專題練習(xí)）已知且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍是 ．
3．（2023·廣東湛江·二模）當(dāng)，時(shí)，恒成立，則m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·江西·一模）已知正數(shù)x，y滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
2．設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，不等式恒成立，則的最大值為 （ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·浙江寧波·期末）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為（ ）
A．12B．24C．D．
考點(diǎn)九、利用基本不等式判斷或證明不等式關(guān)系
1．（23-24高三上·江蘇揚(yáng)州·期末）若，則（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高三上·陜西榆林·階段練習(xí)）已知正數(shù)滿足.
(1)若，求的最小值；
(2)證明：.
3．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）已知為正數(shù)，且.證明：
(1)；
(2).
1．（2023·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿足且，則下列不等關(guān)系一定正確的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足．
(1)若，求證：；
(2)若a，b，，求證：．
3．（2024·青海·一模）已知正數(shù)滿足．求證：
(1)；
(2)．
考點(diǎn)十、基本不等式多選題綜合
1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·河北保定·二模）已知，則（ ）
A．的最大值為B．的最小值為
C．的最大值為2D．的最小值為
3．（2024·浙江·二模）已知正實(shí)數(shù)，且為自然數(shù)，則滿足恒成立的可以是（ ）
A．B．
C．D．
1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則下列說法正確的是（ ）
A．有最小值4B．有最小值
C．有最小值D．的最小值為
2．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A．B．
C．存在，使得D．
3．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
一、單選題
1．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則的最小值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑的圓上，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．1
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
5．（2024·上海奉賢·三模）若，則有最大值為 ．
6．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）若正數(shù)滿足，則的最小值是 ．
7．（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）若，，且，則的最小值為
8．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，若，則的取值范圍為 ．
9．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿足則的最小值為 ．
10．（2024·廣東·三模）設(shè)實(shí)數(shù)x、y、z、t滿足不等式，則的最小值為 .
一、單選題
1．（2024·北京順義·三模）設(shè)，，.若，，則最大值為（ ）
A．2B．C．1D．
2．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）的最小值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024高二下·湖南·學(xué)業(yè)考試）已知，，，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）
A．2B．3C．4D．6
4．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
5．（2024·上?！と＃┮阎瘮?shù)，若，，且，則的最小值是
6．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)，滿足，則 .
7．（2024·河北·三模）已知函數(shù)，若，則當(dāng)取得最小值時(shí)， ．
8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為 ．
9．（23-24高三下·重慶·開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為 ；的取值范圍為 ．
三、解答題
10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，不等式恒成立，求的最大值．
1．（2024·北京·高考真題）已知，是函數(shù)的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全國·高考真題）（多選）若x，y滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
4．（2021·全國·高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·全國·高考真題）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（ ）
A．13B．12C．9D．6
6．（2021·天津·高考真題）若，則的最小值為 ．
7．（2020·山東·高考真題）（多選）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（ ）
A．B．
C．D．
8．（2020·天津·高考真題）已知，且，則的最小值為 ．
9．（2020·江蘇·高考真題）已知，則的最小值是
5年考情
考題示例
考點(diǎn)分析
關(guān)聯(lián)考點(diǎn)
2024年新Ⅰ卷，第18題第一問,4分
基本不等式求范圍
導(dǎo)數(shù)綜合
2023年新Ⅰ卷，第22題第二問,8分
基本不等式求最值
圓錐曲線大題綜合
2022年新Ⅰ卷，第18題第二問,6分
基本不等式求最值
正余弦定理解三角形
2022年新Ⅱ卷，第12題,5分
基本不等式求最值
三角換元及三角函數(shù)相關(guān)性質(zhì)
2021年新Ⅰ卷，第5題,5分
基本不等式求最值
橢圓方程及其性質(zhì)
2020年新Ⅰ卷，第20題第二問,6分
基本不等式求最值
空間向量及立體幾何
2020年新Ⅱ卷，第12題,5分
基本不等式求最值
指對(duì)函數(shù)的性質(zhì)及單調(diào)性
第05講 基本不等式
（10類核心考點(diǎn)精講精練）
1. 5年真題考點(diǎn)分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，具體視命題情況而定，本身知識(shí)點(diǎn)命題可變性多，學(xué)生易上手學(xué)習(xí)，但高考常作為載體和其他版塊結(jié)合考查，難度不定，分值為5分左右
【備考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推論，會(huì)使用應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”
2.能正確處理常數(shù)“1”求最值
3.能用拼湊等思想合理使用基本不等式求最值
4.能熟練掌握基本不等式的應(yīng)用，應(yīng)用于函數(shù)和解析幾何的求解過程中求最值
【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，一般會(huì)結(jié)合條件等式考查拼湊思想來使用基本不等式求最值，或者和其他版塊關(guān)聯(lián)，難度中等偏上。
知識(shí)講解
1．基本不等式
如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“=”）.
說明：
①對(duì)于非負(fù)數(shù)，我們把稱為的 ，稱為的 .
②我們把不等式稱為基本不等式，我們也可以把基本不等式表述為：兩個(gè)非負(fù)數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù).
③“當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取‘=’號(hào)”這句話的含義是：一方面是當(dāng) 時(shí)，有；另一方面當(dāng) 時(shí)，有.
④ 結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：和式與積式的關(guān)系.
【答案】 算術(shù)平均數(shù) 幾何平均數(shù)
2．基本不等式求最值
（1）設(shè)x，y為正數(shù)，若積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值 （簡(jiǎn)記為：積定和最?。?
（2）設(shè)x，y為正數(shù)，若和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值S2（簡(jiǎn)記為：和定積最大）.
【答案】2
3．幾個(gè)重要不等式（含基本不等式鏈）
（1） （）；
（2） （）；
（3） （）；
（4） 或 （）；
（5）
【答案】 2
考點(diǎn)一、直接用基本不等式求和或積的最值
1．（23-24高三上·河南信陽·階段練習(xí)）已知，，且，則的最大值為（ ）
A．0B．1C．-1D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)基本不等式，求解即可得出答案.
【詳解】因?yàn)?，?br>則由基本不等式可得，
所以有，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故選：B.
2．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）若，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，由基本不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，
故選：B.
1．（2023·上?！つM預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)a、b滿足，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】由，代入即可得出答案.
【詳解】，
當(dāng)且僅當(dāng)“”，即時(shí)取等，
所以的最大值為.
故答案為：
2．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)滿足，則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】由正數(shù)滿足，可得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
故答案為：.
考點(diǎn)二、巧用“1”或常數(shù)關(guān)系求最值
1．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則的最小值為（ ）
A．4B．C．6D．
【答案】D
【分析】利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?，且?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).
故選：D
2．（2024·河南·三模）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】是的邊長(zhǎng)，所以它們是正數(shù)，利用乘“1”法結(jié)合基本不等式即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為．
故答案為：.
1．（2024·安徽·三模）已知，且，則的最小值為（ ）
A．4B．C．D．
【答案】D
【分析】由，可得，再利用基本不等式計(jì)算即可得.
【詳解】，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故選：D.
2．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則的最小值為 .
【答案】
【分析】利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).
故答案為：
3．（2024·江蘇南通·二模）設(shè)，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】由不等式“1”的代換求解即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，，所?br>.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等.
故選：C.
考點(diǎn)三、拼湊法求最值
1．（2024·山西臨汾·三模）若，則的最小值是（ ）
A．1B．4C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)基本不等式及“1”的妙用計(jì)算即可．
【詳解】因?yàn)?，所以?br>則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，取得最小值，
故選：D．
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)在處取最小值，則 ．
【答案】4
【分析】利用配湊法可得，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.
【詳解】，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，
即時(shí)取最小值，故．
故答案為：4
3．（2024·江西贛州·二模）已知，則的最小值為 .
【答案】
【分析】依據(jù)條件結(jié)構(gòu)特征利用分離常數(shù)法和配湊法思想對(duì)進(jìn)行變形配湊，再結(jié)合基本不等式即可求解最小值.
【詳解】由題，所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)等號(hào)成立.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于巧妙變形分離和配湊.
1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則的最小值是 ．
【答案】/．
【分析】利用 “1”的巧用及基本不等式即可求解.
【詳解】由，得，
因?yàn)?，?br>所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值是．
故答案為：．
2．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值是 ．
【答案】24
【分析】變形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值
【詳解】因?yàn)?，且?br>所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，
故答案為：
考點(diǎn)四、換元法求最值
1．（2022高三上·全國·專題練習(xí)）已知，求的最大值.
【答案】
【分析】根據(jù)題意分別設(shè)，然后可求出，再化簡(jiǎn)，再結(jié)合基本不等式即可求解.
【詳解】
設(shè)，則，
因此
因，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以.
故的最大值為.
2．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則的最大值為 ．
【答案】/
【分析】
通過換元，將分式變成整式，再通過“1”的代換和基本不等式求出即可.
【詳解】令，，
則，，，，，所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，，即，時(shí)等號(hào)成立．
故答案為：
1．（2020·甘肅蘭州·二模）設(shè)m，n為正數(shù)，且，則的最小值為 .
【答案】
【分析】令，則，可化為，利用基本不等式可求的最小值，從而可得所求的最小值.
【詳解】令，則，且，，
又，
而，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故的最小值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查多變量代數(shù)式的最值問題，一般可用基本不等式來求最值，但需要對(duì)原代數(shù)式化簡(jiǎn)變形以便出現(xiàn)和為定值或積為定值的形式，注意利用基本不等式求最值時(shí)要驗(yàn)證等號(hào)是否成立.
2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知，，若，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先變形，化簡(jiǎn)后換元，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，利用基本不等式求最值.
【詳解】，
，
設(shè)，
則，
，
當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，
所以的最大值為.
故選：D
考點(diǎn)五、二次與二次（一次）的商式求最值
1．（2023高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù) 的最大值為 .
【答案】/
【分析】首先化簡(jiǎn)可得，由則可以利用基本不等式求最值即可.
【詳解】因?yàn)?，則，
所以
≤，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最大值為.
故答案為：.
2．（23-24高一上·上海浦東新·期中）已知實(shí)數(shù)，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】化簡(jiǎn)整理后，將看成一個(gè)整理，利用基本不等式求最值即可.
【詳解】
，
當(dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為：
1．（22-23高三上·福建泉州·期中）函數(shù)在上的最大值為 ．
【答案】
【分析】令，則，則，利用基本不等式計(jì)算可得.
【詳解】解：因?yàn)?，，令，則，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．
故的最大值為．
故答案為：
2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值.
【答案】
【分析】將函數(shù)變形成，再利用重要不等式即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以函數(shù)的最小值為.
考點(diǎn)六、兩次應(yīng)用基本不等式求最值
1．（23-24高一上·上海徐匯·期中）若x，y，z均為正實(shí)數(shù)，則的最大值是 ．
【答案】
【分析】
將拆開為，同時(shí)用兩次均值不等式構(gòu)造相同結(jié)構(gòu)即可.
【詳解】
，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，
故答案為：
2．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為 .
【答案】
【分析】變形得到，利用兩次基本不等式，求出最小值.
【詳解】任意的正實(shí)數(shù)，滿足，
由于為正實(shí)數(shù)，故由基本不等式得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
綜上，的最小值為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】利用基本不等式求解最值問題，方法靈活，式子不能直接使用基本不等式時(shí)，常常需要變形，比如湊項(xiàng)法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等
1．（23-24高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知正數(shù)滿足，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】利用可把放縮為即的形式，利用基本不等式可求后者的最小值.
【詳解】因?yàn)椋?
又，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
故的最小值為.
故答案為：.
2．（2023·江西·一模）已知，，是正實(shí)數(shù)，且，則最小值為 .
【答案】
【分析】由于，，是正實(shí)數(shù)，且，所以先結(jié)合基本不等式“1”的代換求的最小值，得，則，再根據(jù)基本不等式湊項(xiàng)法求的最小值，即可求得的最小值.
【詳解】解：，由于，，是正實(shí)數(shù)，且，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)，即，所以時(shí)等號(hào)成立，
則的最小值為，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
則最小值為.
故答案為：.
考點(diǎn)七、條件等式變形求最值
1．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）若，則的最小值為（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】將和兩邊放，然后兩邊同時(shí)除以，湊出，再用基本不等式即可.
【詳解】因?yàn)椋?，兩邊同時(shí)除以，得到，
當(dāng)且僅當(dāng)即取“=”.
則，當(dāng)且僅當(dāng)取“=”.
兩邊取自然對(duì)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)取“=”.
故的最小值為.
故選：D.
2．（2024·四川德陽·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)，，滿足，則的最小值是 .
【答案】
【分析】因式分解得到，變形后得到，利用基本不等式求出最小值.
【詳解】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，
故，
即，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，此時(shí)，
所以的最小值為.
故答案為：
3．（2023·江西·二模）實(shí)數(shù)，，滿足：，則的范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】用立方和公式和完全平方公式將用與表示，再分離出，使用基本不等式求解即可.
【詳解】∵，∴，
∴，∴，
∴，
∵，，令，則
易知與均不為且符號(hào)相同，∴，解得或.
（此時(shí)，可通過驗(yàn)證時(shí)，滿足題意，，結(jié)合選項(xiàng)確定選項(xiàng)D正確.）
又∵，，，，
∴由基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
∴，
又∵，
∴，（當(dāng)時(shí)，），
∴解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
∴綜上所述，的取值范圍是.
故選：D.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題若忽視中的與同號(hào)，直接使用基本不等式求解，就容易錯(cuò)解，而優(yōu)先考慮與同號(hào)，并結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行特值驗(yàn)證，則可以很輕松的選出正確選項(xiàng).
1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則的最小值為 ．
【答案】64
【分析】借助基本不等式計(jì)算即可得.
【詳解】法一：因?yàn)?，，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立．
所以的最小值為64．
法二：因?yàn)?，，?br>所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．
所以的最小值為64．
故答案為：64.
2．（2024·浙江紹興·三模）若，且，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】由題意可借助、表示出，從而消去，再計(jì)算化簡(jiǎn)后結(jié)合基本不等式計(jì)算即可得.
【詳解】由，則，
即
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為：.
3．（22-23高三上·天津和平·階段練習(xí)）已知正數(shù)滿足，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，將等式化簡(jiǎn)變形，得到的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式特征利用換元法構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得出函數(shù)單調(diào)性即可得出最小值.
【詳解】根據(jù)題意，由可得，
即
所以；
又因?yàn)榫钦龜?shù)，令，則
所以，
令，
則
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；
所以
所以的最小值為;
即當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)等式特征可知，利用基本不等式條件不明顯，所以首先得出的表達(dá)式，根據(jù)可利用齊次式特征構(gòu)造函數(shù)，再進(jìn)行化簡(jiǎn)湊成基本不等式求解即可.
考點(diǎn)八、利用基本不等式在恒成立問題中求參數(shù)的范圍
1．（23-24高三上·福建漳州·階段練習(xí)）已知，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】問題化為上，利用基本不等式求左側(cè)最小值，注意取值條件，即可得參數(shù)范圍.
【詳解】由題設(shè)，只需上即可，
又，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，所求范圍為.
故答案為：
2．（2023高一上·全國·專題練習(xí)）已知且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍是 ．
【答案】
【分析】依題意得，利用基本不等式“1”的代換求出的最小值，即可得解.
【詳解】因?yàn)榍遥艉愠闪?，則，
又
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．
3．（2023·廣東湛江·二模）當(dāng)，時(shí)，恒成立，則m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將左側(cè)分式的分子因式分解成的形式，再利用均值不等式的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算即可以得到結(jié)果.
【詳解】當(dāng)，時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最大值為．
所以，即．
故選：A.
1．（2024·江西·一模）已知正數(shù)x，y滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】
將變形為，利用均值不等式求的最小值即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以
，
所以
，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，
所以，，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是先得到，再進(jìn)一步結(jié)合乘“1”法即可順利得解.
2．設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，不等式恒成立，則的最大值為 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)，求出的值，代入中化簡(jiǎn)，利用基本不等式求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，則
所以

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)
所以的最小值是，則的最大值為.
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式，解題的關(guān)鍵是設(shè)，得出進(jìn)行代換，屬于偏難題目.
3．（23-24高三上·浙江寧波·期末）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為（ ）
A．12B．24C．D．
【答案】B
【分析】令，不等式變形為，求出的最小值，從而得到實(shí)數(shù)的最大值.
【詳解】，，變形為，
令，
則轉(zhuǎn)化為
，即，
其中

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，可知.
故選：B
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：不等式恒成立問題，先分離參數(shù)后，然后利用基本不等式求最值.
利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.
考點(diǎn)九、利用基本不等式判斷或證明不等式關(guān)系
1．（23-24高三上·江蘇揚(yáng)州·期末）若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及基本不等式判斷各式的大小關(guān)系.
【詳解】由，
而，則，所以，即，
由，則，即，
綜上，.
故選：D
2．（23-24高三上·陜西榆林·階段練習(xí)）已知正數(shù)滿足.
(1)若，求的最小值；
(2)證明：.
【答案】(1)4
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，得到，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合基本不等式，即可求解；
（2）根據(jù)題意，得到，再由，即可得證.
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，可得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.
（2）證明：因?yàn)?，可?
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因?yàn)?，所以?br>所以.
3．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）已知為正數(shù)，且.證明：
(1)；
(2).
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】
（1）由關(guān)于三個(gè)重要不等式左右分別相加，得到，結(jié)合題設(shè)條件推得代入即得；
（2）先證明三維的柯西不等式，再利用柯西不等式將左式化成，再構(gòu)造不等式
，化簡(jiǎn)得到，代入條件即得.
【詳解】（1）因?yàn)闉檎龜?shù)，，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以.
（2）先證明三維的柯西不等式.
已知求證:
,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
證明：設(shè)
①當(dāng)，即時(shí)，不等式顯然成立；
②當(dāng)時(shí)，

∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),
∴，即
∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故得證.
由柯西不等式，得
，即.
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故得：.
1．（2023·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿足且，則下列不等關(guān)系一定正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由不等式的性質(zhì)判斷A、B，根據(jù)基本不等式可判斷C、D.
【詳解】因?yàn)榍?，所以或?br>對(duì)A：若，則，若，則，A錯(cuò)誤；
對(duì)B：∵，，∴，B錯(cuò)誤；
對(duì)C：由或，知且，∴，C正確；
對(duì)D：當(dāng)時(shí)，有，從而
當(dāng)，則且，∴，D錯(cuò)誤.
故選：C
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足．
(1)若，求證：；
(2)若a，b，，求證：．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由題意可得，又，結(jié)合基本不等式可得，化簡(jiǎn)求得，得證；
（2）法一，由已知條件得，同理可得，，三式相加得證；法二，根據(jù)已知條件可得，所以，利用柯西不等式求解證明.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
整理得，所以．
（2）解法一： 因?yàn)?，且a，b，，
所以，，，所以，
同理可得，，
以上三式相加得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
解法二：因?yàn)?，且a，b，，
所以，，，且，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
3．（2024·青?！ひ荒＃┮阎龜?shù)滿足．求證：
(1)；
(2)．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】
（1）根據(jù)，結(jié)合基本不等式，即可得證；
（2）由，結(jié)合基本不等式，即可得證.
【詳解】（1）證明：因?yàn)檎龜?shù)滿足，
由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
可得，
即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
（2）證明：由
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，等號(hào)成立.
所以.
考點(diǎn)十、基本不等式多選題綜合
1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根據(jù)不等式，結(jié)合已知等式變形可判斷A，C，D；由可得，結(jié)合實(shí)數(shù)的性質(zhì)即可判斷B.
【詳解】因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，A正確；
因?yàn)?，所以，所以，B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，C錯(cuò)誤；
由整理，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，D正確．
故選：AD．
2．（2024·河北保定·二模）已知，則（ ）
A．的最大值為B．的最小值為
C．的最大值為2D．的最小值為
【答案】AC
【分析】借助基本不等式逐項(xiàng)判斷即可得.
【詳解】對(duì)A：由，得，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；
對(duì)B：由，得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：由，得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；
對(duì)D：由，得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
3．（2024·浙江·二模）已知正實(shí)數(shù)，且為自然數(shù)，則滿足恒成立的可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】將恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，再利用基本不等式得到，轉(zhuǎn)化為恒成立，逐項(xiàng)判斷.
【詳解】解：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，且為自然數(shù)，
所以，
則恒成立，即恒成立，
兩邊同乘，則，
而，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
若恒成立，則恒成立，
A.當(dāng)時(shí)，，不成立；
B.當(dāng)時(shí)，，成立；
C.當(dāng)時(shí)，，成立；
D.當(dāng)時(shí)，，不成立，
故選：BC
1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則下列說法正確的是（ ）
A．有最小值4B．有最小值
C．有最小值D．的最小值為
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式可判斷各選項(xiàng).
【詳解】A選項(xiàng)：由，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故B選項(xiàng)正確；
C選項(xiàng)：由，得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)：由A的分析知且，時(shí)取等號(hào)，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故D選項(xiàng)正確；
故選：ABD．
2．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A．B．
C．存在，使得D．
【答案】ABD
【分析】對(duì)于A，據(jù)已知條件即可證明；對(duì)于B，使用基本不等式即可證明；對(duì)于C，據(jù)已知條件即可否定；對(duì)于D，將條件變形為，再利用即可證明結(jié)論.
【詳解】對(duì)于A，由及，得，所以，A正確.
對(duì)于B，由及，得，所以.同理可得.
又，所以，所以，B正確.
對(duì)于C，由及，得，所以，得，
所以，得，C錯(cuò)誤.
對(duì)于D，由，得，所以.
因?yàn)?，，所以，所以，D正確.
故選：ABD.
3．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由已知條件，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可判斷AB；根據(jù)，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可判斷C；根據(jù)，基本不等式計(jì)算即可判斷D.
【詳解】A：由，得，
即，得，
解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；
B：由選項(xiàng)A的分析知，故B正確；
C：由，得，即，
所以，
得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；
D：由，得，即，
所以，得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤.
故選：BC
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.
一、單選題
1．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則的最小值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解.
【詳解】，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.
故選：B.
2．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑的圓上，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】由題可得點(diǎn)滿足的圓方程，進(jìn)而，然后利用基本不等式結(jié)合條件即得.
【詳解】由題意可得點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，所以，．
因此，
.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)．
故選: D．
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】利用已知，求二元變量的最值，一般可用用消元法變?yōu)楹瘮?shù)求最值，如，，當(dāng)然也可以用均值不等式求最值，如，.
【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)?，，，所以，所以，故A正確．
選項(xiàng)B：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，（利用基本不等式時(shí)注意取等號(hào)的條件）,故B正確．
選項(xiàng)C：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C錯(cuò)誤．
選項(xiàng)D：，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，（另解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）,故D正確．
故選:ABD.
4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷A；取，可判斷BC；根據(jù)基本不等式可判斷D．
【詳解】由題意，得，，，
對(duì)于A，，故A正確；
對(duì)于B，取，，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，取，，則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確．
故選：AD
三、填空題
5．（2024·上海奉賢·三模）若，則有最大值為 ．
【答案】/0.25
【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.
【詳解】因?yàn)?，顯然當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，
所以有最大值為.
故答案為：.
6．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）若正數(shù)滿足，則的最小值是 ．
【答案】4
【分析】由基本不等式求解即可．
【詳解】因?yàn)闉檎龜?shù)，，
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故答案為：4．
7．（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）若，，且，則的最小值為
【答案】
【分析】先對(duì)進(jìn)行等式變形，利用把原式化簡(jiǎn)為，再利用均值不等式可得，然后由函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減，即可得到最小值為.
【詳解】由，
因?yàn)椋陨鲜剑?br>又因?yàn)?，，由均值不等式得：?br>利用函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減可知：
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值.
故答案為：
8．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，若，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到，再利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可求出其范圍.
【詳解】因?yàn)椋?，，所以?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，
所以的取值范圍為.
故答案為：
9．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿足則的最小值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)基本不等式求和式的最值即可得結(jié)論.
【詳解】因?yàn)樗裕?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即且時(shí)等號(hào)成立，
故的最小值為.
故答案為：.
10．（2024·廣東·三模）設(shè)實(shí)數(shù)x、y、z、t滿足不等式，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】令，根據(jù)分母最大分子最小時(shí)分式的值最小可得，結(jié)合基本不等式和計(jì)算即可．
【詳解】因?yàn)?，所?
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，
即的最小值為.
故答案為：.
一、單選題
1．（2024·北京順義·三模）設(shè)，，.若，，則最大值為（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】C
【分析】先利用指、對(duì)數(shù)的關(guān)系利用表示，再利用基本不等式求最大值.
【詳解】∵，，，，
∴，，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào).
∴的最大值為1.
故選：C.
2．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析知，將所求式子化為，結(jié)合基本不等式可得結(jié)果.
【詳解】若取得最小值，則，
（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），
的最小值為.
故選：C.
3．（2024高二下·湖南·學(xué)業(yè)考試）已知，，，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】根據(jù)“1”的變形技巧，利用均值不等式求最值即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，即，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
故.
故選：C
4．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先確定，再由基本不等式得到，從而求出的取值范圍.
【詳解】因?yàn)椋?，則，所以．
又，
即，即，解得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
即的取值范圍為.
故選：D．
二、填空題
5．（2024·上?！と＃┮阎瘮?shù)，若，，且，則的最小值是
【答案】8
【分析】由函數(shù)奇偶性的定義可知為奇函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性可知，然后結(jié)合基本不等式即可求解.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且?br>所以為奇函數(shù)，又，所以函數(shù)單調(diào)遞增，
又，所以，
所以，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，，等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
6．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)，滿足，則 .
【答案】
【分析】先利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，，右邊使用不等式，根據(jù)不等式的傳遞性，，換元后利用函數(shù)的單調(diào)性得，所以只能，再根據(jù)取等條件求出即可.
【詳解】，
，即，
根據(jù)不等式得，，
令，所以，
因?yàn)椋?
，，
所以，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
所以，即，，
所以只能，即，
所以，當(dāng)成立，即，
所以.
故答案為：.
7．（2024·河北·三模）已知函數(shù)，若，則當(dāng)取得最小值時(shí)， ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，由條件可得，令，結(jié)合基本不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由得，即，令，
則
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，此時(shí)z也取得最小值．
故答案為：.
8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】配湊出，再利用基本不等式求最值.
【詳解】由，
得，
即，得，
，，
，，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)，
的最小值為
故答案為：
9．（23-24高三下·重慶·開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為 ；的取值范圍為 ．
【答案】 1
【分析】第一空：直接由基本不等式即可求解；第二空：首先將目標(biāo)式子化為關(guān)于的代數(shù)式，通過三角換元得的范圍，進(jìn)一步取到倒，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得，從而即可得解.
【詳解】由題意，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即的最大值為1；
由題意，
因?yàn)?，所以設(shè)，
所以，
所以，
所以，
令，，所以，
又，
所以，
所以.
故答案為：1；.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二空的關(guān)鍵是首先畫出關(guān)于的代數(shù)式，并求出的范圍，由此即可順利得解.
三、解答題
10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，不等式恒成立，求的最大值．
【答案】
【分析】利用換元法，將不等式左邊轉(zhuǎn)化為 的表達(dá)式，再多次利用基本不等式求得其最小值，從而得解.
【詳解】因?yàn)椋?，所以，?br>令，，則，，，，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)且且且，即，
即，時(shí)，等號(hào)成立，
又不等式恒成立，所以，即的最大值為.
1．（2024·北京·高考真題）已知，是函數(shù)的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即可.
【詳解】由題意不妨設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，所以，即，
對(duì)于選項(xiàng)AB：可得，即，
根據(jù)函數(shù)是增函數(shù)，所以，故B正確，A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：例如，則，
可得，即，故D錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：例如，則，
可得，即，故C錯(cuò)誤，
故選：B.
2．（2022·全國·高考真題）（多選）若x，y滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假．
【詳解】因?yàn)椋≧），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，B正確；
由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以C正確；
因?yàn)樽冃慰傻?，設(shè)，所以，因此
，所以當(dāng)時(shí)滿足等式，但是不成立，所以D錯(cuò)誤．
故選：BC．
3．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結(jié)合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．
【詳解】（1）因?yàn)?，即?br>而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．
4．（2021·全國·高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意．
【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，A不符合題意；
對(duì)于B，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；
對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，而，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，C符合題意；
對(duì)于D，，函數(shù)定義域?yàn)?，而且，如?dāng)，，D不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)即可解出．
5．（2021·全國·高考真題）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（ ）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【分析】本題通過利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．
【詳解】由題，，則，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
6．（2021·天津·高考真題）若，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】?jī)纱卫没静坏仁郊纯汕蟪?
【詳解】，
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
7．（2020·山東·高考真題）（多選）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)，結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解.
【詳解】對(duì)于A，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；
對(duì)于B，，所以，故B正確；
對(duì)于C，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C不正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；
故選：ABD
【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
8．（2020·天津·高考真題）已知，且，則的最小值為 ．
【答案】4
【分析】根據(jù)已知條件，將所求的式子化為，利用基本不等式即可求解.
【詳解】，,
，當(dāng)且僅當(dāng)=4時(shí)取等號(hào)，
結(jié)合,解得，或時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用基本不等式求最值，“1”的合理變換是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.
9．（2020·江蘇·高考真題）已知，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得，可得，利用基本不等式即可求解.
【詳解】∵
∴且
∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).
∴的最小值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成
5年考情
考題示例
考點(diǎn)分析
關(guān)聯(lián)考點(diǎn)
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基本不等式求范圍
導(dǎo)數(shù)綜合
2023年新Ⅰ卷，第22題第二問,8分
基本不等式求最值
圓錐曲線大題綜合
2022年新Ⅰ卷，第18題第二問,6分
基本不等式求最值
正余弦定理解三角形
2022年新Ⅱ卷，第12題,5分
基本不等式求最值
三角換元及三角函數(shù)相關(guān)性質(zhì)
2021年新Ⅰ卷，第5題,5分
基本不等式求最值
橢圓方程及其性質(zhì)
2020年新Ⅰ卷，第20題第二問,6分
基本不等式求最值
空間向量及立體幾何
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基本不等式求最值
指對(duì)函數(shù)的性質(zhì)及單調(diào)性

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