2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考通用版)第05講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用(知識+真題+5類高頻考點)(精講)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc17712" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc17712 \h 1
\l "_Tc8969" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc8969 \h 2
\l "_Tc29229" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc29229 \h 3
\l "_Tc9383" 高頻考點一：測量距離問題 PAGEREF _Tc9383 \h 3
\l "_Tc24501" 高頻考點二：測量高度問題 PAGEREF _Tc24501 \h 6
\l "_Tc24712" 高頻考點三：測量角度問題 PAGEREF _Tc24712 \h 9
\l "_Tc3016" 高頻考點四：求平面幾何問題 PAGEREF _Tc3016 \h 12
\l "_Tc30158" 高頻考點五：三角函數(shù)與解三角形的交匯問題 PAGEREF _Tc30158 \h 14
\l "_Tc21913" 第四部分：新定義題 PAGEREF _Tc21913 \h 15
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、基線
在測量過程中,我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線.為使測量具有較高的精確度,應(yīng)根據(jù)實際需要選取合的基線長度.一般來說,基線越長,測量的精確度越高.
2、仰角與俯角
在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角
3、方位角
從某點的指北方向線起按順時針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位角的范圍是.
4、方向角
正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)，
例：(1)北偏東：(2)南偏西：

5、坡角與坡比
坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(為坡角)；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度)，即.
第二部分：高考真題回顧
1．（2021·全國·乙卷理）魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（）
A．表高B．表高
C．表距D．表距
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：測量距離問題
典型例題
例題1．（23-24高一下·山西運城·階段練習(xí)）第九屆中國國際“互聯(lián)網(wǎng)＋”大學(xué)生創(chuàng)業(yè)大賽于2023年10月16日至21日在天津舉辦，天津市以此為契機(jī)，加快推進(jìn)“5G＋光網(wǎng)”雙千兆城市建設(shè)．如圖，某區(qū)域地面有四個5G基站，分別為A，B，C，D．已知C，D兩個基站建在河的南岸，距離為20km，基站A，B在河的北岸，測得，，，，則A，B兩個基站的距離為（）
A．kmB．kmC．15kmD．km
例題2．（23-24高一下·江蘇無錫·階段練習(xí)）某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東方向上，距離為n mile；在處看燈塔在貨輪的北偏西方向上，距離．貨輪由處向正北航行到處時，再看燈塔在南偏東方向上，處與處之間的距離是 n mile，燈塔與處之間的距離是 n mile．
例題3．（23-24高一下·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C，現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿勻速步行，速度為，在甲出發(fā)后，乙從A乘纜車到B，在B處停留后，再勻速步行到C，假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為，山路長為，經(jīng)測量得，．

(1)問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？
(2)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？
練透核心考點
1．（23-24高一下·湖南衡陽·階段練習(xí)）某次軍事演習(xí)中，炮臺向北偏東方向發(fā)射炮彈，炮臺向北偏西方向發(fā)射炮彈，兩炮臺均命中外的同一目標(biāo)，則兩炮臺在東西方向上的距離為（）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，要測量河對岸C，D兩點間的距離，在河邊一側(cè)選定觀測點A，B，并測得A，B間的距離為m，，，，，則C，D兩點間的距離為多少？
3．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）如圖是在沿海海面上相距海里的兩個哨所，位于的正南方向.哨所在凌晨1點發(fā)現(xiàn)其南偏東方向處有一艘走私船，同時，哨所也發(fā)現(xiàn)走私船在其東北方向上.兩哨所立即聯(lián)系緝私艇前往攔截，緝私艇位于點南偏西的點，且與相距海里，試求：

(1)剛發(fā)現(xiàn)走私船時，走私船與哨所的距離；
(2)剛發(fā)現(xiàn)走私船時，走私船距離緝私艇多少海里？在緝私艇的北偏東多少度？
(3)若緝私艇得知走私船以海里/時的速度從向北偏東方向逃竄，立即以30海里/時的速度進(jìn)行追截，緝私艇至少需要多長時間才能追上走私船？
4．（23-24高一下·四川資陽·階段練習(xí)）如圖，某公園有三條觀光大道圍成直角三角形，其中直角邊，斜邊．現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在大道上嬉戲，
(1)若甲、乙都以每分鐘的速度同時從點出發(fā)在各自的大道上奔走，甲出發(fā)3分鐘后到達(dá)，乙出發(fā)1分鐘后到達(dá)，求此時甲、乙兩人之間的距離；
(2)甲、乙、丙所在位置分別記為點．設(shè)，乙、丙之間的距離是甲、乙之間距離的2倍，且，請將甲、乙之間的距離表示為的函數(shù)，并求甲、乙之間的最小距離．
（23-24高一下·上海·階段練習(xí)）海上某貨輪在處看燈塔在貨輪的北偏東，距離為海里；在處看燈塔在貨輪的北偏西，距離為海里；貨輪向正北由處行駛到處時，若燈塔在南偏東的方向上，則燈塔與處之間的距離為多少海里？
高頻考點二：測量高度問題
典型例題
例題1．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）中國古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運城市永濟(jì)市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而流芳后世.如圖，某同學(xué)為測量鸛雀樓的高度MN，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物AB，高約為37m，在地面上點C處（B，C，N三點共線）測得建筑物頂部A，鸛雀樓頂部M的仰角分別為和，在A處測得樓頂部M的仰角為，則鸛雀樓的高度約為（）
A．64mB．74mC．52mD．91m
例題2．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側(cè)一山底在西偏北的方向上；行駛后到達(dá)處，測得此山底在西偏北的方向上，山頂?shù)难鼋菫?，則此山的高度 .
例題3．（23-24高一下·湖南長沙·階段練習(xí)）圣·索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑．其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美．小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是和，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為，則小明估算索菲亞教堂的高度為米．

例題4．（23-24高一下·河南鄭州·階段練習(xí)）鄭州市中原福塔的塔座為鼎，寓意為鼎立中原，從上空俯瞰如一朵盛開的梅花，寓意花開五福，福澤中原，它是美學(xué)與建筑的完美融合.綠地中心千璽廣場“大玉米”號稱中原第一高樓，璀璨繁華的外表下包含濃郁的易學(xué)設(shè)計理念，流露出馥郁的古香.這兩座塔都彰顯了中華文化豐富的內(nèi)涵與深厚的底蘊.小米同學(xué)積極開展數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)，用以下方法測量兩座塔的高度.
(1)為測量中原福塔高度，小米選擇視野開闊的航海東路上一條水平基線，使共線，在三點用測角儀測得的仰角分別為，其中測角儀的高度為米，為了測量距離，小米騎共享單車，速度為，從到耗時，從到耗時為原來的倍，求塔高.（參考數(shù)據(jù)：取，）

(2)為測量千璽廣場“大玉米”高度，小米選擇一條水平基線，使三點共線，在兩點用測角儀測得的仰角分別為，，在處測得的仰角為，測角儀高度忽略不計.小米使用智能手機(jī)運動測距功能，從河南藝術(shù)中心音樂廳入口臺階處運動到水景露天劇場的處，測得距離.

①試用，，，表示塔高；
②若，，，米，求千璽廣場“大玉米”的實際高度.
（參考數(shù)據(jù)：取，，）
練透核心考點
1．（23-24高一下·廣西·開學(xué)考試）桂林日月塔又稱金塔銀塔?情侶塔，日塔別名叫金塔，月塔別名叫銀塔，所以也有金銀塔之稱.如圖1，這是金銀塔中的金塔，某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測量該塔的高度，在塔底的同一水平面上的兩點處進(jìn)行測量，如圖2.已知在處測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，在處測得塔頂?shù)难鼋菫?5°，米，，則該塔的高度（）
A．米B．米C．50米D．米
2．（2024·湖南岳陽·二模）岳陽樓地處岳陽古城西門城墻之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳陽樓記》著稱于世，自古有“洞庭天下水，岳陽天下樓”之美譽．小明為了測量岳陽樓的高度，他首先在處，測得樓頂?shù)难鼋菫?，然后沿方向行?2.5米至處，又測得樓頂?shù)难鼋菫?，則樓高為米．
3．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）抗戰(zhàn)勝利紀(jì)功碑暨人民解放紀(jì)念碑，簡稱“解放碑”，位于重慶市渝中區(qū)解放碑商業(yè)步行街中心地帶，是抗戰(zhàn)勝利的精神象征，是中國唯一一座紀(jì)念中華民族抗日戰(zhàn)爭勝利的紀(jì)念碑．如圖：在解放碑的水平地面上的點處測得其頂點的仰角為?點處測得其頂點的仰角為，若米，且，則解放碑的高度米．
4．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習(xí)）熱氣球是利用加熱的空氣或某些氣體，比如氫氣或氦氣的密度低于氣球外的空氣密度以產(chǎn)生浮力飛行.熱氣球主要通過自帶的機(jī)載加熱器來調(diào)整氣囊中空氣的溫度，從而達(dá)到控制氣球升降的目的.其工作的基本原理是熱脹冷縮.當(dāng)空氣受熱膨脹后，比重會變輕而向上升起.除娛樂作用外還可用于測量.如圖，在離地面高的熱氣球上，觀測到山頂處的仰角為，山腳處的俯角為，已知，求山的高度.
高頻考點三：測量角度問題
典型例題
例題1．（23-24高三上·山東泰安·階段練習(xí)）公路北側(cè)有一幢樓，高為60米，公路與樓腳底面在同一水平面上.某人在點處測得樓頂?shù)难鼋菫?，他在公路上自西向東行走，行走60米到點處，測得仰角為，沿該方向再行走60米到點處，測得仰角為.則（）
A．B．3C．D．
例題2．（22-23高一下·河南商丘·階段練習(xí)）位于燈塔處正西方向相距海里的處有一艘甲船燃油耗盡，需要海上加油．位于燈塔處北偏東30°方向有一艘乙船（在處），乙船與甲船（在處）相距海里，乙船為了盡快給甲船進(jìn)行海上加油，則乙船航行的最佳方向是（）
A．西偏南15°B．西偏南30°
C．南偏西45°D．南偏西65°
例題3．（22-23高三上·安徽·階段練習(xí)）某人從山的一側(cè)點看山頂?shù)难鼋菫?，然后沿從到山頂?shù)闹本€小道行走到達(dá)山頂，然后從山頂沿下山的直線小道行走到達(dá)另一側(cè)的山腳處在同一水平面內(nèi)，山頂寬度忽略不計），則其從點看山頂?shù)难鼋堑恼抑禐? ，的最大值為．
例題4．（22-23高一下·浙江·期中）如圖，A，B是某海城位于南北方向相距海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于A點北偏東，B點南偏東的C處有一艘漁船遇險后拋錨發(fā)出求救信號，位于B點正西方向且與B點相距100海里的D處的救援船立即前往營救，其航行速度為80海里/時.
(1)求B，C兩點間的距離；
(2)該救援船前往營救漁船時應(yīng)該沿南偏東多少度的方向航行？救援船到達(dá)C處需要多長時間？（參考數(shù)據(jù)：，角度精確到0.01）
練透核心考點
1．（22-23高一下·湖北武漢·階段練習(xí)）已知甲船在海島的正南A處，海里，甲船以每小時4海里的速度向正北航行，同時乙船自海島出發(fā)以每小時6海里的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，?dāng)航行一小時后，甲船在乙船的（）
A．北偏東30°方向B．北偏東15°方向
C．南偏西30°方向D．南偏西15°方向
2．（22-23高一下·云南曲靖·階段練習(xí)）冬奧會會徽以漢字“冬”為靈感來源，結(jié)合中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國傳統(tǒng)文化底蘊與國際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國在新時代的新形象、新夢想.某同學(xué)查閱資料得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如在彎折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求，該同學(xué)取端點繪制了△ABD，測得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若點C恰好在邊BD上，請幫忙計算sin∠ACD的值（）
A．B．C．D．
3．（21-22高一下·貴州黔東南·期中）如圖，某運動員從市出發(fā)沿海岸一條筆直的公路以每小時的速度向東進(jìn)行長跑訓(xùn)練，長跑開始時，在市南偏東方向距市的處有一艘小艇，小艇與海岸距離為，若小艇與運動員同時出發(fā)，要追上這位運動員.

(1)小艇至少以多大的速度行駛才能追上這位運動員？
(2)求小艇以最小速度行駛時的行駛方向與的夾角.
4．（20-21高二上·廣東東莞·期末）目前，中國已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò)，無論是大山深處還是廣表平原，處處都能見到5G基站的身影.如圖，某同學(xué)在一條水平公路上觀測對面山項上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，該同學(xué)眼高1.5m（眼睛到地面的距離），該同學(xué)在初始位置C處（眼睛所在位置）測得基站底部B的仰為37°，測得基站頂端A的仰角為45°.
(1)求出山高BE（結(jié)果保留整數(shù)）；
(2)如圖（第二幅），當(dāng)該同學(xué)面向基站AB前行時（保持在同一鉛垂面內(nèi)），記該同學(xué)所在位置C處（眼睛所在位置）到基站AB所在直線的距離CD=xm，且記在C處觀測基站底部B的仰角為，觀測基站頂端A的仰角為β.試問當(dāng)x多大時，觀測基站的視角∠ACB最大？
參考數(shù)據(jù):.
高頻考點四：求平面幾何問題
典型例題
例題1．（22-23高一下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，平面四邊形A?B?C?D，己知，，，，則A?B兩點的距離是（）

A．B．C．D．
例題2．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）如圖，已知在平面四邊形中，，，．
(1)若該四邊形存在外接圓，且，求；
(2)若，求．
例題3．（23-24高三上·浙江杭州·期中）已知四邊形內(nèi)接于，若，，．
(1)求線段的長．
(2)若，求的取值范圍．
高頻考點五：三角函數(shù)與解三角形的交匯問題
典型例題
例題1．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)若方程在上有2個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；
(2)在中，若，內(nèi)角A的角平分線，，求AC的長度．
例題2．（23-24高一下·河南鄭州·階段練習(xí)）的內(nèi)角所對的邊分別為，且
(1)若，求在上的投影向量；（用向量表示）
(2)若，，為的平分線，為中線，求的值.
練透核心考點
1．（23-24高一下·廣東湛江·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)在中，、、分別是角、、的對邊長，若，，的面積為，求的值.
2．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）已知，且的圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為.
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若的內(nèi)角的對邊分別為，且，求面積的最大值.
第四部分：新定義題
1．（23-24高一下·福建三明·階段練習(xí)）定義非零向量的（相伴函數(shù)）為，向量稱為函數(shù)的“相伴向量”（其中為坐標(biāo)原點）
(1)求的相伴向量；
(2)求（1）中函數(shù)的“相伴向量”模的取值范圍；
(3)已知點，其中為銳角中角的對邊．若角為，且向量的“相伴函數(shù)”在處取得最大值．求的取值范圍．
2．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）定義函數(shù)的“源向量”為，非零向量的“伴隨函數(shù)”為，其中為坐標(biāo)原點．
(1)若向量的“伴隨函數(shù)”為，求在的值域；
(2)若函數(shù)的“源向量”為，且以為圓心，為半徑的圓內(nèi)切于正（頂點恰好在軸的正半軸上），求證：為定值；
(3)在中，角的對邊分別為，若函數(shù)的“源向量”為，且已知，求的取值范圍．
第05講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc17712" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc17712 \h 1
\l "_Tc8969" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc8969 \h 2
\l "_Tc29229" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc29229 \h 3
\l "_Tc9383" 高頻考點一：測量距離問題 PAGEREF _Tc9383 \h 3
\l "_Tc24501" 高頻考點二：測量高度問題 PAGEREF _Tc24501 \h 10
\l "_Tc24712" 高頻考點三：測量角度問題 PAGEREF _Tc24712 \h 17
\l "_Tc3016" 高頻考點四：求平面幾何問題 PAGEREF _Tc3016 \h 24
\l "_Tc30158" 高頻考點五：三角函數(shù)與解三角形的交匯問題 PAGEREF _Tc30158 \h 30
\l "_Tc21913" 第四部分：新定義題 PAGEREF _Tc21913 \h 34
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、基線
在測量過程中,我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線.為使測量具有較高的精確度,應(yīng)根據(jù)實際需要選取合的基線長度.一般來說,基線越長,測量的精確度越高.
2、仰角與俯角
在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角
3、方位角
從某點的指北方向線起按順時針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位角的范圍是.
4、方向角
正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)，
例：(1)北偏東：(2)南偏西：

5、坡角與坡比
坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(為坡角)；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度)，即.
第二部分：高考真題回顧
1．（2021·全國·乙卷理）魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（）
A．表高B．表高
C．表距D．表距
【答案】A
【分析】利用平面相似的有關(guān)知識以及合分比性質(zhì)即可解出．
【詳解】如圖所示：
由平面相似可知，，而，所以
，而，
即＝．
故選：A.
【點睛】本題解題關(guān)鍵是通過相似建立比例式，圍繞所求目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解出．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：測量距離問題
典型例題
例題1．（23-24高一下·山西運城·階段練習(xí)）第九屆中國國際“互聯(lián)網(wǎng)＋”大學(xué)生創(chuàng)業(yè)大賽于2023年10月16日至21日在天津舉辦，天津市以此為契機(jī)，加快推進(jìn)“5G＋光網(wǎng)”雙千兆城市建設(shè)．如圖，某區(qū)域地面有四個5G基站，分別為A，B，C，D．已知C，D兩個基站建在河的南岸，距離為20km，基站A，B在河的北岸，測得，，，，則A，B兩個基站的距離為（）
A．kmB．kmC．15kmD．km
【答案】A
【分析】首先求得，在中，運用正弦定理求得，進(jìn)一步求得，由此在中利用余弦定理即可求解.
【詳解】在中，，
由正弦定理得，
，
在中，易知，，
所以，所以，
由余弦定理得．
故選：A.
例題2．（23-24高一下·江蘇無錫·階段練習(xí)）某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東方向上，距離為n mile；在處看燈塔在貨輪的北偏西方向上，距離．貨輪由處向正北航行到處時，再看燈塔在南偏東方向上，處與處之間的距離是 n mile，燈塔與處之間的距離是 n mile．
【答案】
【分析】中，根據(jù)正弦定理，即可求解；中，根據(jù)余弦定理，即可求解.
【詳解】中，由已知得，，所以，
由正弦定理得
所以與之間的距離為；
中，，由余弦定理，得
，
，
所以燈塔與處之間的距離為.
故答案為：24，
例題3．（23-24高一下·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C，現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿勻速步行，速度為，在甲出發(fā)后，乙從A乘纜車到B，在B處停留后，再勻速步行到C，假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為，山路長為，經(jīng)測量得，．

(1)問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？
(2)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得，然后由正弦定理求得，假設(shè)乙出發(fā)后，甲、乙兩游客距離為，利用余弦定理列方程，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最小值.
（2）根據(jù)“兩位游客在C處互相等待的時間不超過3min”列不等式，由此求得乙步行的速度的范圍.
【詳解】（1）由題意，，且為鈍角、為銳角，
所以，，
在中，
由正弦定理，可得，解得.
所以索道的長為，
假設(shè)乙出發(fā)后（乙在纜車上），甲、乙兩游客距離為，
此時甲行走了，乙距離處，
由余弦定理得
，
因為，即，
又函數(shù)的對稱軸為，開口向上，
所以當(dāng)時，甲、乙兩游客之間距離最短.
（2）在中由正弦定理，
解得，
乙從出發(fā)時，甲已走了，還需要走才能到達(dá)，
設(shè)乙步行的速度為，
由題意得，解得，
所以為了使兩位游客在處互相等待的時間不超過，
乙步行的速度應(yīng)控制在（單位：）范圍之內(nèi).
練透核心考點
1．（23-24高一下·湖南衡陽·階段練習(xí)）某次軍事演習(xí)中，炮臺向北偏東方向發(fā)射炮彈，炮臺向北偏西方向發(fā)射炮彈，兩炮臺均命中外的同一目標(biāo)，則兩炮臺在東西方向上的距離為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)題意先求得之間在南北方向上的距離，繼而可求得兩炮臺在東西方向上的距離.
【詳解】法一：由題意得，在北偏西方向上，
之間在南北方向上的距離為，
則在東西方向上的距離為，
其中，

因此，
法二：過炮臺點作東西方向的水平線交正北方向分別為點，
則由圖知.
故選：A.

2．（23-24高一下·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，要測量河對岸C，D兩點間的距離，在河邊一側(cè)選定觀測點A，B，并測得A，B間的距離為m，，，，，則C，D兩點間的距離為多少？
【答案】
【分析】在中求出，在中求出，在中，利用余弦定理求解.
【詳解】在中，，
在中，，
由正弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理可得：
，
解得.
3．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）如圖是在沿海海面上相距海里的兩個哨所，位于的正南方向.哨所在凌晨1點發(fā)現(xiàn)其南偏東方向處有一艘走私船，同時，哨所也發(fā)現(xiàn)走私船在其東北方向上.兩哨所立即聯(lián)系緝私艇前往攔截，緝私艇位于點南偏西的點，且與相距海里，試求：

(1)剛發(fā)現(xiàn)走私船時，走私船與哨所的距離；
(2)剛發(fā)現(xiàn)走私船時，走私船距離緝私艇多少海里？在緝私艇的北偏東多少度？
(3)若緝私艇得知走私船以海里/時的速度從向北偏東方向逃竄，立即以30海里/時的速度進(jìn)行追截，緝私艇至少需要多長時間才能追上走私船？
【答案】(1)
(2)走私船距緝私艇30海里，在緝私艇的北偏東方向上
(3)小時
【分析】（1）在中根據(jù)正弦定理可得結(jié)果；
（2）在中根據(jù)余弦定理可得結(jié)果；
（3）在中由余弦定理可得結(jié)果.
【詳解】（1）由在的南偏東，在的東北偏方向，在中，
，由正弦定理得，
，
代入上式得：海里．
答：走私船與觀測點的距離為海里；
（2）在中，海里，海里，，
．
，
，解得海里，
又，
且，所以，
故剛發(fā)現(xiàn)走私船時，走私船距緝私艇30海里，在緝私艇的北偏東方向上．
（3）設(shè)小時后緝私艇在處追上走私船，則，
又，，
在中，由余弦定理得，
，化簡得
解得．故緝私艇至少需要小時追上走私船．

4．（23-24高一下·四川資陽·階段練習(xí)）如圖，某公園有三條觀光大道圍成直角三角形，其中直角邊，斜邊．現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在大道上嬉戲，
(1)若甲、乙都以每分鐘的速度同時從點出發(fā)在各自的大道上奔走，甲出發(fā)3分鐘后到達(dá)，乙出發(fā)1分鐘后到達(dá)，求此時甲、乙兩人之間的距離；
(2)甲、乙、丙所在位置分別記為點．設(shè)，乙、丙之間的距離是甲、乙之間距離的2倍，且，請將甲、乙之間的距離表示為的函數(shù)，并求甲、乙之間的最小距離．
【答案】(1)；
(2)；.
【分析】（1）根據(jù)題意，得到和的長，在中，利用余弦定理，即可求得甲乙兩人之間的距離；
（2）再中，由正弦定理可得，可將甲乙之間的距離表示為的函數(shù)，進(jìn)而求得甲乙之間的最小距離．
【詳解】（1）解：由題意，可得，
在直角中，可得，因為，所以，
在中，由余弦定理得
=，所以，
答：甲、乙兩人之間的距離為．
（2）解：由題意，可得且，
在直角中，可得
在中，由正弦定理得，即，
所以，所以當(dāng)時，有最小值
答：甲、乙之間的最小距離為．
5．（23-24高一下·上海·階段練習(xí)）海上某貨輪在處看燈塔在貨輪的北偏東，距離為海里；在處看燈塔在貨輪的北偏西，距離為海里；貨輪向正北由處行駛到處時，若燈塔在南偏東的方向上，則燈塔與處之間的距離為多少海里？
【答案】.
【分析】
根據(jù)題意畫出圖形，利用正弦定理求出，再由余弦定理即可求得.
【詳解】
在中，，
由正弦定理得，則，即，
在中，，由余弦定理得，
因此，解得，
所以燈塔與處之間的距離為海里.
高頻考點二：測量高度問題
典型例題
例題1．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）中國古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運城市永濟(jì)市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而流芳后世.如圖，某同學(xué)為測量鸛雀樓的高度MN，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物AB，高約為37m，在地面上點C處（B，C，N三點共線）測得建筑物頂部A，鸛雀樓頂部M的仰角分別為和，在A處測得樓頂部M的仰角為，則鸛雀樓的高度約為（）
A．64mB．74mC．52mD．91m
【答案】B
【分析】首先在中求，再在中，求角，并利用正弦定理求，最后中，即可求解.
【詳解】因為中，，，，
所以，
因為中，，，
所以，
由題意，，，
則，
在中，由正弦定理得，即，
故，
故.
故選：B
例題2．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側(cè)一山底在西偏北的方向上；行駛后到達(dá)處，測得此山底在西偏北的方向上，山頂?shù)难鼋菫?，則此山的高度 .
【答案】
【分析】在中利用正弦定理求出，再由銳角三角函數(shù)計算可得.
【詳解】由題可得，，，則.
則在中，由正弦定理，有.
又在中，
所以，則.
故答案為：.
例題3．（23-24高一下·湖南長沙·階段練習(xí)）圣·索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑．其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美．小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是和，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為，則小明估算索菲亞教堂的高度為米．

【答案】
【分析】在中，利用正弦定理，得，再結(jié)合三角函數(shù)的定義，求得，，得解．
【詳解】由題意知，，，
所以，
在中，，
且
在中，由正弦定理得，，
所以，
在中，米，
所以小明估算索菲亞教堂的高度為米．
故答案為：．
例題4．（23-24高一下·河南鄭州·階段練習(xí)）鄭州市中原福塔的塔座為鼎，寓意為鼎立中原，從上空俯瞰如一朵盛開的梅花，寓意花開五福，福澤中原，它是美學(xué)與建筑的完美融合.綠地中心千璽廣場“大玉米”號稱中原第一高樓，璀璨繁華的外表下包含濃郁的易學(xué)設(shè)計理念，流露出馥郁的古香.這兩座塔都彰顯了中華文化豐富的內(nèi)涵與深厚的底蘊.小米同學(xué)積極開展數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)，用以下方法測量兩座塔的高度.
(1)為測量中原福塔高度，小米選擇視野開闊的航海東路上一條水平基線，使共線，在三點用測角儀測得的仰角分別為，其中測角儀的高度為米，為了測量距離，小米騎共享單車，速度為，從到耗時，從到耗時為原來的倍，求塔高.（參考數(shù)據(jù)：取，）

(2)為測量千璽廣場“大玉米”高度，小米選擇一條水平基線，使三點共線，在兩點用測角儀測得的仰角分別為，，在處測得的仰角為，測角儀高度忽略不計.小米使用智能手機(jī)運動測距功能，從河南藝術(shù)中心音樂廳入口臺階處運動到水景露天劇場的處，測得距離.

①試用，，，表示塔高；
②若，，，米，求千璽廣場“大玉米”的實際高度.
（參考數(shù)據(jù)：取，，）
【答案】(1)388米；
(2)①；②280米
【分析】（1）設(shè)，，分別用來表示，利用得與的關(guān)系，進(jìn)而用速度與時間關(guān)系求得，從而可得塔高；
（2）①在中，，由正弦定理求得，在直角中，利用求解即可.
②將，，，代入計算即可.
【詳解】（1）設(shè)，，
則由得，
又到耗時為原來的倍，即，
在中，，
在中，,
由
由題，
故
所以（米）
（2）①在中，，
由正弦定理得：，
在直角中，.
②（米）
【點睛】思路點睛：在解決測量相關(guān)應(yīng)用題時．需要注意的是，題中為什么要給出這些已知條件，而不是其他的條件．這些條件往往隱含著相應(yīng)的解決方法，進(jìn)而利用這些條件應(yīng)用正弦定理和余弦定理計算即可.
練透核心考點
1．（23-24高一下·廣西·開學(xué)考試）桂林日月塔又稱金塔銀塔?情侶塔，日塔別名叫金塔，月塔別名叫銀塔，所以也有金銀塔之稱.如圖1，這是金銀塔中的金塔，某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測量該塔的高度，在塔底的同一水平面上的兩點處進(jìn)行測量，如圖2.已知在處測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，在處測得塔頂?shù)难鼋菫?5°，米，，則該塔的高度（）
A．米B．米C．50米D．米
【答案】B
【分析】利用仰角的定義及銳角三角函數(shù)，結(jié)合余弦定理即可求解.
【詳解】由題意可知，,,
設(shè)米，則
在中，米，
在中，米.
由余弦定理可得，即，解得.
因為米，所以米.
故選：B.
2．（2024·湖南岳陽·二模）岳陽樓地處岳陽古城西門城墻之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳陽樓記》著稱于世，自古有“洞庭天下水，岳陽天下樓”之美譽．小明為了測量岳陽樓的高度，他首先在處，測得樓頂?shù)难鼋菫椋缓笱胤较蛐凶?2.5米至處，又測得樓頂?shù)难鼋菫?，則樓高為米．
【答案】
【分析】在中，用表示，在中，用表示，根據(jù)的長，可求解.
【詳解】中，，，，
中，，，，
因為米，所以，
解得：
故答案為：
3．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）抗戰(zhàn)勝利紀(jì)功碑暨人民解放紀(jì)念碑，簡稱“解放碑”，位于重慶市渝中區(qū)解放碑商業(yè)步行街中心地帶，是抗戰(zhàn)勝利的精神象征，是中國唯一一座紀(jì)念中華民族抗日戰(zhàn)爭勝利的紀(jì)念碑．如圖：在解放碑的水平地面上的點處測得其頂點的仰角為?點處測得其頂點的仰角為，若米，且，則解放碑的高度米．
【答案】/
【分析】設(shè)，由直角三角形三角函數(shù)定義可得，再在中利用余弦定理可解.
【詳解】設(shè)，則，
在中：，則
得到米.
故答案為：
4．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習(xí)）熱氣球是利用加熱的空氣或某些氣體，比如氫氣或氦氣的密度低于氣球外的空氣密度以產(chǎn)生浮力飛行.熱氣球主要通過自帶的機(jī)載加熱器來調(diào)整氣囊中空氣的溫度，從而達(dá)到控制氣球升降的目的.其工作的基本原理是熱脹冷縮.當(dāng)空氣受熱膨脹后，比重會變輕而向上升起.除娛樂作用外還可用于測量.如圖，在離地面高的熱氣球上，觀測到山頂處的仰角為，山腳處的俯角為，已知，求山的高度.
【答案】
【分析】先根據(jù)已知條件求解出的大小，然后在中利用正弦定理求解出，再根據(jù)的關(guān)系求解出.
【詳解】因為，，，
所以，
所以，
又因為，所以，
又在中由正弦定理，即，
所以，
所以.
高頻考點三：測量角度問題
典型例題
例題1．（23-24高三上·山東泰安·階段練習(xí)）公路北側(cè)有一幢樓，高為60米，公路與樓腳底面在同一水平面上.某人在點處測得樓頂?shù)难鼋菫椋诠飞献晕飨驏|行走，行走60米到點處，測得仰角為，沿該方向再行走60米到點處，測得仰角為.則（）
A．B．3C．D．
【答案】A
【分析】畫出相應(yīng)圖形后計算出點到該樓的距離，結(jié)合勾股定理與正弦定義計算即可得.
【詳解】如圖所示，由題意有，，
則有，故，
則，
故，
則.
故選：A.
例題2．（22-23高一下·河南商丘·階段練習(xí)）位于燈塔處正西方向相距海里的處有一艘甲船燃油耗盡，需要海上加油．位于燈塔處北偏東30°方向有一艘乙船（在處），乙船與甲船（在處）相距海里，乙船為了盡快給甲船進(jìn)行海上加油，則乙船航行的最佳方向是（）
A．西偏南15°B．西偏南30°
C．南偏西45°D．南偏西65°
【答案】A
【分析】運用正弦定理求出即可.
【詳解】如圖，

，由正弦定理得，
解得．因為，所以，因為，
所以乙船航行的最佳方向為西偏南.
故選：A.
例題3．（22-23高三上·安徽·階段練習(xí)）某人從山的一側(cè)點看山頂?shù)难鼋菫?，然后沿從到山頂?shù)闹本€小道行走到達(dá)山頂，然后從山頂沿下山的直線小道行走到達(dá)另一側(cè)的山腳處在同一水平面內(nèi)，山頂寬度忽略不計），則其從點看山頂?shù)难鼋堑恼抑禐? ，的最大值為．
【答案】 /0.75
【分析】由題意，作圖，根據(jù)三角函數(shù)的定義以及圖形關(guān)系，可得答案.
【詳解】由題意，設(shè)山頂為點，過點作垂直與所在的水平面，如下圖所示：
則，，，
在中，，；
在中，，易知為從點看山頂?shù)难鼋?，即從點看山頂?shù)难鼋堑恼抑禐椋?br>在中，，
由圖可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最大值為.
故答案為：；.
例題4．（22-23高一下·浙江·期中）如圖，A，B是某海城位于南北方向相距海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于A點北偏東，B點南偏東的C處有一艘漁船遇險后拋錨發(fā)出求救信號，位于B點正西方向且與B點相距100海里的D處的救援船立即前往營救，其航行速度為80海里/時.
(1)求B，C兩點間的距離；
(2)該救援船前往營救漁船時應(yīng)該沿南偏東多少度的方向航行？救援船到達(dá)C處需要多長時間？（參考數(shù)據(jù)：，角度精確到0.01）
【答案】(1)60海里
(2)方向是南偏東，需要的時間為小時.
【分析】（1）求得度數(shù)，根據(jù)正弦定理即可求得答案；
（2）確定的度數(shù)，由余弦定理即可求得的長，即可求得救援時間，利用余弦定理求出的值，即可求得應(yīng)該沿南偏東多少度的方向航行.
【詳解】（1）依題意得，，
所以，
在中，由正弦定理得,
,
故（海里），
所以求兩點間的距離為60海里.
（2）依題意得，
在中，由余弦定理得，
所以（海里），
所以救搜船到達(dá)C處需要的時間為小時，
在中，由余弦定理得 ,
因為，
所以，
所以該救援船前往營救漁船時的方向是南偏東﹒
練透核心考點
1．（22-23高一下·湖北武漢·階段練習(xí)）已知甲船在海島的正南A處，海里，甲船以每小時4海里的速度向正北航行，同時乙船自海島出發(fā)以每小時6海里的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，?dāng)航行一小時后，甲船在乙船的（）
A．北偏東30°方向B．北偏東15°方向
C．南偏西30°方向D．南偏西15°方向
【答案】C
【分析】結(jié)合題意畫出相應(yīng)圖形，即可得答案.
【詳解】由題，1小時后，甲船來到C處，則，則.又由題可知，此時，乙船來到D處，，結(jié)合BD是北偏東60°方向，則.又，則，即此時乙在甲的北偏東30°方向，甲在乙的南偏西30°方向.
故選：C

2．（22-23高一下·云南曲靖·階段練習(xí)）冬奧會會徽以漢字“冬”為靈感來源，結(jié)合中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國傳統(tǒng)文化底蘊與國際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國在新時代的新形象、新夢想.某同學(xué)查閱資料得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如在彎折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求，該同學(xué)取端點繪制了△ABD，測得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若點C恰好在邊BD上，請幫忙計算sin∠ACD的值（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在中，由余弦定理得，進(jìn)而求出，再在中，利用正弦定理得解.
【詳解】由題意，在中，由余弦定理得；
因為，所以，
在中，由正弦定理所以，
解得.
故選：D
3．（21-22高一下·貴州黔東南·期中）如圖，某運動員從市出發(fā)沿海岸一條筆直的公路以每小時的速度向東進(jìn)行長跑訓(xùn)練，長跑開始時，在市南偏東方向距市的處有一艘小艇，小艇與海岸距離為，若小艇與運動員同時出發(fā)，要追上這位運動員.

(1)小艇至少以多大的速度行駛才能追上這位運動員？
(2)求小艇以最小速度行駛時的行駛方向與的夾角.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)小艇以每小時的速度從處出發(fā)，沿方向行駛，小時后與運動員在處相遇，利用余弦定理求出關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)知識可求出的最小值；
（2）由正弦定理可求出結(jié)果.
【詳解】（1）如圖，設(shè)小艇以每小時的速度從處出發(fā)，沿方向行駛，小時后與運動員在處相遇，

在中，，故
由余弦定理求得，
則，
整理得，
當(dāng)時，即時，，故.
即小艇至少以每小時的速度從處出發(fā)才能追上運動員.
（2）當(dāng)小艇以每小時的速度從處出發(fā)，
經(jīng)過時間小時追上運動員，
故，
又，由正弦定理得，解得，
故.
即小艇以最小速度行駛時的行駛方向與的夾角為.
4．（20-21高二上·廣東東莞·期末）目前，中國已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò)，無論是大山深處還是廣表平原，處處都能見到5G基站的身影.如圖，某同學(xué)在一條水平公路上觀測對面山項上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，該同學(xué)眼高1.5m（眼睛到地面的距離），該同學(xué)在初始位置C處（眼睛所在位置）測得基站底部B的仰為37°，測得基站頂端A的仰角為45°.
(1)求出山高BE（結(jié)果保留整數(shù)）；
(2)如圖（第二幅），當(dāng)該同學(xué)面向基站AB前行時（保持在同一鉛垂面內(nèi)），記該同學(xué)所在位置C處（眼睛所在位置）到基站AB所在直線的距離CD=xm，且記在C處觀測基站底部B的仰角為，觀測基站頂端A的仰角為β.試問當(dāng)x多大時，觀測基站的視角∠ACB最大？
參考數(shù)據(jù):.
【答案】(1)
(2)，∠ACB最大
【分析】（1）在中，利用正弦定理求出，再在中，求出即可；
（2）易得，分別在在和在中，求出，再根據(jù)兩角和的正切公式結(jié)合基本不等式求出取得最大值時，的值，再根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
【詳解】（1）由題意可知，，
在中，，
所以，
在中，，
所以出山高；
（2）由題意知，且，
則，
在中，，
在中，，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，
所以取得最大值時，，
又因為，所以此時最大，
所以當(dāng)時，最大.
高頻考點四：求平面幾何問題
典型例題
例題1．（22-23高一下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，平面四邊形A?B?C?D，己知，，，，則A?B兩點的距離是（）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正余弦定理計算即可.
【詳解】由題意可知在中，有，，
，所以，
由正弦定理可得，
而，
故，
又，
在中，，
由正弦定理可得，
在中，
由余弦定理可得.
故選：B
例題2．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）如圖，已知在平面四邊形中，，，．
(1)若該四邊形存在外接圓，且，求；
(2)若，求．
【答案】(1)；
(2)
【分析】
（1）根據(jù)外接圓得到，在中，有余弦定理得，在中，利用余弦定理求出；
（2）設(shè)，則，由正弦定理得到方程組，求出，由正弦定理求出答案.
【詳解】（1）
因為四邊形存在外接圓，則，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
解得；
（2）
設(shè)，則，
分別在、中用正弦定理可得
，則，
，則，
，則或（舍），
故.
例題3．（23-24高三上·浙江杭州·期中）已知四邊形內(nèi)接于，若，，．
(1)求線段的長．
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)．
【分析】
（1）根據(jù)余弦定理即可求解，
（2）根據(jù)余弦定理得，進(jìn)而根據(jù)基本不等式即可求解.
【詳解】（1）
由題知，，所以，
根據(jù)余弦定理，，
即，．
所以，所以．
所以．
（2）
因為
所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）
又,
所以．
練透核心考點
1．（2023高三上·全國·專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，．記的面積為，的面積為．，則S的最大值為．
【答案】/
【分析】利用余弦定理表示出，可得到，結(jié)合同角三角函數(shù)平方關(guān)系，代入三角形面積公式中，可得的表達(dá)式，由二次函數(shù)性質(zhì)可求得最大值.
【詳解】在和中，由余弦定理有
，
則，．
，
當(dāng)時，S取得最大值．
故答案為：.
2．（23-24高三上·廣東汕頭·期中）在凸四邊形中，對角線交于點，且.
(1)若，求的余弦值；
(2)若，求邊的長.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)，在與中，分別利用余弦定理建立方程求解，然后在中由余弦定理求解；
（2）在中由正弦定理得，從而求得，進(jìn)一步利用直角三角形的性質(zhì)得，，在中由余弦定理求解即可.
【詳解】（1）因為，所以，設(shè)，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，解得，所以，
在中，由余弦定理得；
（2）在中，由正弦定理得，
所以，又為三角形的內(nèi)角，所以，
所以，，且，
所以，又，
在中，由余弦定理得
，所以.
3．（2023·河南·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，的面積為．

(1)求；
(2)證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)面積得到方程，求出，在中，利用余弦定理求出，進(jìn)而求出，從而求出的值；
（2）在中，由正弦定理得，結(jié)合（1）中，由角的范圍得到.
【詳解】（1）設(shè)，
因為的面積為，
所以，解得，
所以．
在中，由余弦定理得，
所以．
在中，，所以，
所以；
（2）由（1）可得，
在中，由正弦定理得，
所以，且．
由（1）可得，又，
所以．
高頻考點五：三角函數(shù)與解三角形的交匯問題
典型例題
例題1．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)若方程在上有2個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；
(2)在中，若，內(nèi)角A的角平分線，，求AC的長度．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式、輔助角公式化簡函數(shù)，再探討在上的性質(zhì)，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合求解作答.
（2）由（1）求出B，由正弦定理求出，進(jìn)而求出，再利用等腰三角形性質(zhì)求解作答.
【詳解】（1）依題意，
，
當(dāng)時，，則當(dāng)時，單調(diào)遞增，函數(shù)值從增大到2，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，函數(shù)值從減小到，
方程在上有2個不同的實數(shù)根，即直線與函數(shù)在的圖象有兩個公共點，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)在的圖象，如圖，

觀察圖象，當(dāng)時，直線與函數(shù)在的圖象有兩個公共點，
所以實數(shù)m的取值范圍是.
（2）由（1）知，，即，
在中，，即，則，解得，

在中，，，由正弦定理得，
則，顯然，有，
于是，即有，則，是等腰三角形，
所以.
例題2．（23-24高一下·河南鄭州·階段練習(xí)）的內(nèi)角所對的邊分別為，且
(1)若，求在上的投影向量；（用向量表示）
(2)若，，為的平分線，為中線，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由化簡解得，再結(jié)合用正弦定理可得，進(jìn)而求在上的投影向量即可；
（2）先用三角形面積公式求，再利用求得，又為中線，所以由求得，從而計算的值.
【詳解】（1）
，解得，又，故.
因為在中，，而，即，
所以投影向量為.
（2），
由可得
，
，
所以.
練透核心考點
1．（23-24高一下·廣東湛江·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)在中，、、分別是角、、的對邊長，若，，的面積為，求的值.
【答案】(1)最小正周期為，遞增區(qū)間為,
(2)
【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式及輔助角公式化簡函數(shù)，即可求解；
（2）根據(jù)題意和角的范圍求出角，再由三角形面積公式求出，最后利用余弦定理求解.
【詳解】（1）
，
即，故最小正周期為，
令，
故，遞增區(qū)間為,.
（2）由得，
因為，故，故.
又，故.
故，故
2．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）已知，且的圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為.
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若的內(nèi)角的對邊分別為，且，求面積的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用三角公式變形，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求單調(diào)區(qū)間；
（2）先通過求出，然后利用正弦定理用角表示邊，再利用面積公式，將其中的邊化角后利用三角公式變形，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求最值.
【詳解】（1）由已知
，
又的圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為，
所以，解得，
所以，
令，
解得，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）因為，
所以，
又，所以，
所以，得，
由正弦定理，得，
所以
，
因為，所以，
所以當(dāng)，即時面積的最大為.
所以，，即，，
，，
因為，
又因為，所以，
所以，所以，令，，，
又在上單調(diào)遞增，所以，
所以.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題最后一問關(guān)鍵點在于借助“相伴函數(shù)”定義及輔助角公式求出，其中，，則可通過計算的范圍得到的范圍.
2．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）定義函數(shù)的“源向量”為，非零向量的“伴隨函數(shù)”為，其中為坐標(biāo)原點．
(1)若向量的“伴隨函數(shù)”為，求在的值域；
(2)若函數(shù)的“源向量”為，且以為圓心，為半徑的圓內(nèi)切于正（頂點恰好在軸的正半軸上），求證：為定值；
(3)在中，角的對邊分別為，若函數(shù)的“源向量”為，且已知，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)“伴隨函數(shù)”定義可得，可得值域；
（2）利用向量的坐標(biāo)運算即可求得；
（3）由余弦定理并利用二次函數(shù)性質(zhì)即可得的取值范圍.
【詳解】（1）函數(shù)的“源向量”為，
所以，，
則，則當(dāng)時，
則當(dāng)時，，
所以函數(shù)的值域為
（2）因為，則，則，
又，所以），
且，從而，
，
則
；
因此可得為定值.
（3）如下圖所示：
函數(shù)的“源向量”為，
則，則
則
則又，
即，
所以，
因為，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
又因為當(dāng)頂點無限接近頂點，邊無限接近0，即無限接近0，
綜上所述，
令，則
從而，其中，
所以，
即的取值范圍．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于理解“源向量”和“伴隨函數(shù)”的定義，并能寫出“源向量”的伴隨函數(shù)以及某函數(shù)的“源向量”，再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)、平面向量運算法則求得結(jié)果.

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