第23講平面向量基本定理和坐標(biāo)表示（精講）-【一輪復(fù)習(xí)講義】2025年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型目錄一覽
一、知識(shí)點(diǎn)梳理
知識(shí)點(diǎn)一平面向量相關(guān)知識(shí)點(diǎn)
(1)向量加法：(右側(cè)自主作圖)
平行四邊形法則： .
三角形法則： .
雞爪定理：（其中D為三角形ABC的BC邊中點(diǎn)）.
(2)向量減法：
三角形法則：（共起點(diǎn)，指向被減向量）.
向量數(shù)乘：
1.兩個(gè)向量共線定理
向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得．
若A,B,C三點(diǎn)共線，則存在 .
2.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝．（同時(shí)，如果me1 = ne2，則）其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．
3.平面向量的坐標(biāo)表示
在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底。由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(duì)(x,y)是一一對(duì)應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)。
(1) 若,則模為
(2)若則,
(3)表示相等向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)未必相同.
(4) 向量相等?坐標(biāo)相同。
4.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
若，則
若=(x,y)，則=( , )
若，則 .這兩個(gè)向量的夾角余弦值為： .
= . 幾何圖像為：

（變形公式）
5.設(shè)則：
向量共線: .
向量垂直: .
二、題型分類精講
題型一平面向量基本定理的應(yīng)用
策略方法平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路
(1)先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．
(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來(lái)方便．另外，要熟練運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)定理．
【典例1】在平行四邊形ABCD中，，.

(1)如圖1，如果E、F分別是BC，DC的中點(diǎn)，試用分別表示；
(2)如圖2，如果O是AC與BD的交點(diǎn)，G是DO的中點(diǎn)，試用表示.
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023春·重慶萬(wàn)州·高三重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，，E為AD中點(diǎn)，則（）
A．B．C．D．
2．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)D、E分別AC、BC的中點(diǎn)，設(shè)，，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，則（）
A．B．C．D．
3．（2023·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，M為的中點(diǎn)，，則（）
A．B．C．D．
4．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，M為AD中點(diǎn)，，則（）
A．B．C．1D．
5．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·赤峰二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，是中線的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交邊于點(diǎn)M，交邊于點(diǎn)N，且，，則（）
A．B．2C．D．4
6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F，若＝a，＝b，且＝λa＋μb，則λ＋μ等于（）

A．1B．C．D．
二、多選題
7．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）在中，記，，點(diǎn)在直線上，且.若，則的值可能為（）
A．B．C．D．2
8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在中，若點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，設(shè)，，交于一點(diǎn)，則下列結(jié)論中成立的是（）
A．B．
C．D．
三、填空題
9．（2023春·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）在中，若點(diǎn)滿足，設(shè)，則______.
10．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考三模）在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn).若存在實(shí)數(shù)使得，則__________（請(qǐng)用數(shù)字作答）.
11．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）已知，點(diǎn)D滿足，點(diǎn)E為線段CD上異于C，D的動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是_________.
四、解答題
12．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三校聯(lián)考期中）如圖在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，設(shè)＝，＝.
(1)用表示向量；
(2)若點(diǎn)F在AC上，且，求AF∶CF.
題型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
策略方法平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧
(1)利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．
(2)解題過(guò)程中，常利用“向量相等，則坐標(biāo)相同”這一結(jié)論，由此可列方程(組)進(jìn)行求解．
【典例1】如圖，平面上，，三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,.
(1)寫出向量，，的坐標(biāo)；
(2)如果四邊形是平行四邊形，求的坐標(biāo).
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，向量的坐標(biāo)是（）
A．B．C．D．
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）
A．B．C．D．
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）
A．(－2，3)B．(2，－3)
C．(－2，1)D．(2，－1)
4．（2023·浙江·二模）若，，則（）
A．B．C．D．
5．（2023·安徽滁州·校考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，，若，則（）
A．5B．6C．7D．8
6．（2023春·云南昆明·高三校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，，則與方向相反的單位向量是（）
A．B．C．D．
7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，半徑為1的扇形的圓心角為，點(diǎn)C在弧上，且，若，則（）
A．B．
C．D．
8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，向量，則的最小值為（）
A．1B．2C．D．
二、填空題
9．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）若，A點(diǎn)的坐標(biāo)為，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________.
10．（2023·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)_____.
11．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，且，則__________.
三、解答題
12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知,,，且，，求點(diǎn)及向量的坐標(biāo).
題型三向量共線的坐標(biāo)表示
策略方法平面向量共線的坐標(biāo)表示問(wèn)題的解題策略
(1)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”．
(2)在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)．
【典例1】已知，，．
(1)若，求的值；
(2)若，且，，三點(diǎn)共線，求的值．
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知向量，若，則實(shí)數(shù)（）
A．5B．4C．3D．2
2．（2023·廣東佛山·?？寄M預(yù)測(cè)）梯形中，，已知，則（）
A．B．C．D．
3．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，若與共線，則（）
A．4B．3C．2D．1
4．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，向量，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則的值為（）
A．B．C．D．
5．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知向量，，則“”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
6．（2023春·陜西榆林·高三綏德中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，點(diǎn)滿足與交于點(diǎn)，若，則（）
A．B．C．D．
二、填空題
7．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知向量，若，則實(shí)數(shù)______.
8．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開(kāi)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，若與平行，則實(shí)數(shù)______________．
9．（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┮阎蛄浚?，若與方向相反，則______．
10．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，若，則___________.
11．（2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知向量，，且，則等于______．
三、解答題
12．（2023春·四川遂寧·高三四川省射洪市柳樹(shù)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知.
（1）若三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值；
（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有成立.
①平面向量基本定理的應(yīng)用
②平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
③向量共線的坐標(biāo)表示

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