請(qǐng)說(shuō)說(shuō)我們是如何給圓心角下定義的，試回答？
頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.
(1) 如圖3-22，點(diǎn)A，B，C是⊙O上的三個(gè)點(diǎn). 以A為端點(diǎn)作射線AB，AC，得到了一個(gè)怎樣的角?
(2) (1)中的∠BAC有什么特征?
∠BAC 的頂點(diǎn)在圓上，并且它的兩邊在圓內(nèi)的部分是圓的兩條弦，像這樣的角叫做圓周角 .
(3) 圓周角與心角有什么不同?
圓周角與圓心角的區(qū)別： ①頂點(diǎn)的位置不同：圓周角的頂點(diǎn)在圓上，圓心角的頂點(diǎn)在圓心； ②角的兩邊是圓的不同元素：圓周角的兩邊在圓內(nèi)的部分都是圓的弦，圓心角的兩邊在圓內(nèi)的部分都是圓的半徑.
(4) 觀察圖3-23 中的各角，其中哪些是圓周角?哪此是圓心角?
④中的∠A 是圓周角，⑤中的∠A，∠B，∠C 是圓周角，⑥中的∠A 是圓周角，④中的∠BOC 是圓心角，⑤中的∠AOB 是圓心角，⑥中的∠BOC，∠AOC，∠AOB 是圓心角.
任意畫(huà)一個(gè)⊙O，在圓上任意取三個(gè)點(diǎn)A，B，C，連接AB，AC. (1) 圓心O與∠BAC有幾種可能的位置關(guān)系? 與同學(xué)交流.
圓心與同圓上的圓周角的位置關(guān)系有三種情況： 圓心在周角的一邊上(圖3-24①)， 圓心在圓周角的內(nèi)部(圖3-24②)， 圓心在周角的外部(圖3-24 ③)
(2) 在圖3-24①中，AB是⊙O的直徑，連接OC，你發(fā)現(xiàn)∠BOC與∠BAC有什么位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系?
(3) 能將問(wèn)題(2)中的結(jié)論推廣到圖 3-24②③嗎?由此你猜想圓周角與它所對(duì)弧上的心角有怎樣的數(shù)量關(guān)系?怎樣證明你的結(jié)論?
在圖3-24②③中作出圓心角∠BOC及過(guò)A點(diǎn)的直徑，可利用圖3-24①中的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)∠BAC與∠BOC之間有同樣的關(guān)系.
對(duì)于②③兩種情況，通過(guò)作直徑AD，原來(lái)的圓周角就轉(zhuǎn)化為圓心 O在其一邊上的兩個(gè)圓周角的和或差，利用(1)的結(jié)論，就能推出 (2)和(3)的結(jié)論.
(3) 當(dāng)圓心O在∠BAC的外部時(shí)(圖3-25 ③)，你能給出證明嗎? 試一試，與同學(xué)交流.
歸納以上三種情況的結(jié)論，就得到
圓周角定理 圓周角等于它所對(duì)弧上的圓心角的一半.
因?yàn)閳A心角與它所對(duì)弧的度數(shù)相等，因而由圓周角定理可以直接得到
推論1 圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半.
解：點(diǎn)C在AB的位置有兩種情況：
1. 如圖，在⊙O中，∠AOB＝70°，OB⊥AC，垂足為點(diǎn)D，求∠OBC的度數(shù).
于是，便得到圓周角定理的另一個(gè)推論:
推論2 同弧或等弧上的圓周角相等; 在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等.
(3) 如圖 3-28，在⊙O中，AB 是圓的直徑，C是圓上異于A，B 的一點(diǎn). ∠ACB的度數(shù)是多少?為什么? 反過(guò)來(lái)，如果 ∠ACB是⊙O的圓周角，∠ACB＝ 90°，那么它所對(duì)的弦經(jīng)過(guò)圓心嗎? 為什么?
于是，得到圓周角定理的第3個(gè)推論：
推論3 直徑所對(duì)的圓周角是直角; 90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.
如圖3-30，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓直徑，點(diǎn)O為圓心. △ADC與△ABE相似嗎? 說(shuō)明理由
解：△ADC∽△ABE.
理由如下： ∵AE為⊙O的直徑 ∴∠ABE＝90°. ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°，∠ADC＝∠ABE. ∵∠ACD ＝∠AEB， ∴ △ADC∽△ABE.
如圖，延長(zhǎng) CD交 ⊙O 于點(diǎn)M.
(2) 你能找出圖中所有相等的圓周角嗎?
解：∠1＝∠4＝∠5＝∠8， ∠2＝∠7， ∠3＝∠6， ∠ADC＝∠BCD， ∠ABC＝∠BAD.
2. 某種工件有一個(gè)凹面，凹面的橫截面為半圓時(shí)為合格 品. 利用一個(gè)角尺可以檢驗(yàn)制作的工件是否合格. 下列 四種情況中，合格的工件是________，為什么?
因?yàn)橹挥?3)符合 90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.
(1) 如圖3-32，四邊形ABCD的頂點(diǎn)與⊙O具有怎樣的關(guān)系?
像這樣，所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上的多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓. 在圖3-32 中，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O是四邊形ABCD的外接圓.
(2) ∠A與∠C是四邊形ABCD 的一組對(duì)角，也都是⊙O的圓周角，它們?cè)凇袿中所對(duì)的分別是哪兩條弧?這兩條弧有什么關(guān)系?從而∠A與∠C具有怎樣的數(shù)量關(guān)系? ∠B與∠D也具有這樣的數(shù)量關(guān)系嗎?
于是，得到圓周角定理的第4個(gè)推論：
推論4 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).
如圖，四邊形ABCD 內(nèi)接于⊙O，已知∠BOD＝140°，求∠C的度數(shù).
證明：∵ BF＝DA， ∴∠BAE＝∠ACD. ∴四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形， ∴∠ABC＋∠D＝180°. ∵∠ABC＋∠ABE＝180°， ∴ ∠ABE ＝∠D. ∴ △CDA∽△ABE. ∴∠CAD ＝∠E.
如圖3-35，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AB＝2，CD＝1，求BC的長(zhǎng).
如圖，設(shè)圓心為O，延長(zhǎng) AD，BC 交于點(diǎn)E.
∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∠B＝90°，∴∠ADC＝180°－∠B＝90°.∴∠CDE＝90°.∵∠A＝60°，∴∠E＝30°.
1. 如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BOD＝ 98°，求∠A與∠C的度數(shù).
2. 如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC平分BD，并且 AC ⊥BD，∠BAD＝70°，求四邊形ABCD其余各角的大小.
解：∵AC 平分BD，AC⊥BD， ∴AC 是弦 BD 的垂直平分線. ∴AC是⊙O 的直徑. ∴∠CBA ＝ ∠CDA ＝ 90°. ∵∠BAD＋∠BCD＝180°， ∠BAD＝70°， ∴∠BCD＝110°.
1. 如圖，A，B，C是⊙O上的三個(gè)點(diǎn)，∠ACB＝30°， 求∠BAO的度數(shù).
3. 如圖，在方格紙上有一個(gè)圓.你能用不帶刻度的直尺 確定它的圓心嗎? 說(shuō)明確定圓心的方法和理由.
解：能.方法：作兩個(gè) 90°的圓周角所對(duì)的弦，使它們交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)就是圓心.理由如下：90°的圓周角所對(duì)的弦是圓的直徑.
4. 如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，AD為⊙O的直徑. 求∠ADB和∠CBD的度數(shù).
6. 如圖，D是△ABC的外接圓上的一點(diǎn). AD平分△ABC的外角∠EAC， 求證：BD＝CD.
8. △ABC中，已知∠B＝ 60°，AC ＝ 3，求△ABC的 外接圓的半徑.
解：如圖，連接 AO并延長(zhǎng)交⊙O 于點(diǎn)B′，連接 B′C. ∵AB′是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90°
解：△APQ 是等腰三角形. 證明如下： 連接 AE，AF，如圖所示.
證明：如圖，連接AD.
解：△ADE 與△DOE 是等邊三角形.
解：△ADE 的形狀改變， △DOE 的形狀不變.
∵∠BDO＝∠B，∠CEO＝∠C， ∴∠B＋∠BDO＋∠C＋∠CEO＝240°. ∵∠B＋∠BDO＋∠BOD＋∠C＋∠CEO＋∠EOC＝360°， ∴∠BOD＋∠EOC＝120°， ∴∠DOE＝60°， ∴△DOE 是等邊三角形.
∵∠B＋∠DEC＝180°，∠DEC＋∠AED＝180°，∴∠AED＝∠B，同理 ∠ADE＝∠C.而∠B與∠C 都不一定為 60°，∴ ∠AED 與∠ ADE 都不一定等于 60°，∴△ADF 不一定是等邊二角形
解：△ABE≌△ADF.
證明如下： ∵四邊形ABCD 是正方形， ∴AB＝AD. ∵∠ABE＝∠ADF，BE＝DF. ∴△ABE≌△ADF(SAS)

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3.3 圓周角

版本： 青島版（2024）

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