1. 掌握確定圓的條件. 2. 掌握三角形的外接圓、外心、內(nèi)接三角形等概念，知道不同三角形外心的位置.
(1) 已知點(diǎn)A，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A作圓，你能作出多少個(gè)圓?這些圓的圓心和半徑能確定嗎?
(2) 已知點(diǎn)A，B，經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)作圓，你能作出多少個(gè)圓?這此圓的圓心的位置有什么特點(diǎn)?這些圓的半徑能確定嗎?
經(jīng)過(guò)一點(diǎn)作圓，可作無(wú)數(shù)個(gè)圓； 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)作圓，也可作無(wú)數(shù)個(gè)圓，這些圓的圓心都在線段AB的垂直平分線上 . 在這兩種情況下，所作的圓的圓心和半徑都不能確定.
(3) 已知A，B，C是不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)能作圓嗎?如果能，怎樣作出過(guò)這三點(diǎn)的圓?
到點(diǎn)A，B，C距離相等的點(diǎn)既在線段 AB的垂直平分線上，也在線段BC的垂直平分線上，因此這個(gè)點(diǎn)是這兩條垂直平分線的交點(diǎn).
已知：如圖3-18，A，B，C是不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn). 求作：⊙O，使A，B，C三點(diǎn)都在⊙O上.
作法：(1) 連接AB，BC； (2) 分別作線段AB與BC的垂直平分線， l與相交于點(diǎn)O； (3) 以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A為半徑作O.
⊙O就是所求作的經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓.
在以上作圖的過(guò)程中，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上，從而直線l1與l2，有且只有一個(gè)交點(diǎn) O，所以，圓心 O的位置唯一確定. 由于點(diǎn)O到A，B，C三點(diǎn)的距離相等，于是點(diǎn)B，C都在以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓上，這就是說(shuō)，⊙O的半徑也就確定了.
所以過(guò)A，B，C三個(gè)點(diǎn)能作且只能作一個(gè)圓. 這樣，就得到
不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.
由此可知，三角形三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓. 經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形.
在圖3-18中，如果連接AC，那么⊙O是△ABC的外接圓，或者說(shuō)△ABC內(nèi)接于圓O. O是△ABC的外心.
三角形的外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.任何一個(gè)三角形都有且只有一個(gè)外心.
(4) 分別作一個(gè)銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，再作出每個(gè)三角形的外接圓.它們外心的位置與所在的三角形分別有怎樣的關(guān)系?
銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)鈍角三角形的外心在三角形的外部.
1. 如圖，已知直線a和直線外的兩點(diǎn) A，B(直線AB 與a不平行也不垂直). 求作經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B的圓，并使它的圓心在直線a上.
解：如圖，連接 AB，作線段 AB 的垂直平分線交直線a于點(diǎn)O，以點(diǎn) O 為圓心，以 OA 的長(zhǎng)為半徑作圓，⊙O就是所求作的圓.
2. 如圖，是一塊出土的殘破的古代 銅鏡片.怎樣測(cè)出它的半徑呢?
解：在鏡片的弧上任取不同的三點(diǎn) A，B，C，連接 AB，BC，分別作線段 AB，BC 的垂直平分線交于點(diǎn) O，連接OA，則 OA 便是⊙O的半徑(圖略).測(cè)量 OA 的長(zhǎng)即得古代銅鏡片的半徑.
我們知道，不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.思考下面的問(wèn)題： (1) 如果 A，B，C 三點(diǎn)在同一條直線上，經(jīng)過(guò)點(diǎn) A，B，C能作出一個(gè)圓嗎?試一試.
過(guò)同一條直線上的三點(diǎn)不能作圓.
(2) 為什么過(guò)同一條直線上的三點(diǎn)不能作圓?怎樣證明這個(gè)結(jié)論呢?與同學(xué)交流.
已知：A，B，C是直線l上的三點(diǎn).求證：過(guò)A，B，C三點(diǎn)不能作圓.
證明：假設(shè)過(guò)A，B，C三點(diǎn)可以作圓，設(shè)這個(gè)圓的圓心為O.
因?yàn)镺A＝OB＝OC，所以點(diǎn)O既在線段AB的直平分線l1上，也在線段 BC的垂直平分線l2上，因此點(diǎn)O為l1與l2的交點(diǎn)(圖3-19 ). 這與基本事實(shí)“過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”矛盾.
這說(shuō)明過(guò)同一條直線上的三點(diǎn) A，B，C 可以作圓的假設(shè)是不對(duì)的，所以過(guò)同一條直線上的三點(diǎn) A，B，C不能作圓.
這種證明方法與我們以前學(xué)過(guò)的證明方法不同，它不是由已知條件出發(fā)直接證明命題的結(jié)論，而是先提出與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，推出矛盾，從而證明命題成立這種證明的方法叫做反證法.
當(dāng)一個(gè)命題不易用直接證法證明時(shí)，可以考慮用反證法.
用反證法證明一個(gè)命題，一般有三個(gè)步驟：
(1) 否定結(jié)論——假設(shè)命題的結(jié)論不成立； (2) 推出矛盾——從假設(shè)出發(fā)，根據(jù)已知條件，經(jīng)過(guò)推理論證，得出一個(gè)與命題的條件或已知的定義、基本事實(shí)、定理等相矛盾的結(jié)果； (3) 肯定結(jié)論——由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.
證明平行線的性質(zhì)定理1： 兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等. 已知：如圖3-20，直線AB//CD，直線EF與AB，CD分別相交于點(diǎn) G，H. 求證：∠1＝∠2.
證明：假設(shè)∠1≠∠2. 過(guò)點(diǎn) G作直線A′B′，使∠EGB′＝∠2. 根據(jù)基本事實(shí)“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行”，可得A′B′//CD. 這樣，過(guò)點(diǎn)G就有兩條直線AB與A′B′與直線CD平行這與基本事實(shí)“過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”矛盾. 這說(shuō)明∠1頭∠2的假設(shè)是不對(duì)的，所以∠1＝∠2.
證明：平行于同一條直線的兩條直線平行.已知：如圖3-21，直線a//c，b//c.求證：a//b.
證明：假設(shè)直線a，b不平行，那么它們相交，設(shè)交點(diǎn)為P. 由已知a//c，b//c，這樣過(guò)點(diǎn)P就有兩條直線a，b與直線c平行.這與基本事實(shí)“過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”矛盾. 這說(shuō)明a，b不平行的假設(shè)是不對(duì)的，所以a//b.
一個(gè)閃耀著智慧光輝的推理典范
關(guān)于不同重量的物體從同一高度下落的速度，古希臘學(xué)者亞里士多德 (Aristtle.公元前 384—公元前322年) 曾斷言：“快慢與其重量成正比”，這就是說(shuō)，重的物體要比輕的物體下落得快一些.
長(zhǎng)期以來(lái)，這個(gè)論斷一直統(tǒng)治著人們的頭腦.直到 1590 年意大利物理學(xué)家伽利略(Galile 1564 － 1642)才給予推翻.伽利略認(rèn)為：在真空中，輕重物體應(yīng)同時(shí)落地.他除了在比薩斜塔通過(guò)著名的實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證以外，還給出一個(gè)十分簡(jiǎn)單的推理證法，使反對(duì)者不得不接受事實(shí)：
設(shè)物體A比B 重，按照亞里士多德的說(shuō)法，A 應(yīng)比 B 先落地.現(xiàn)在把 A與B捆在一起成為物體A＋B.一方面，因A＋B比A重，它應(yīng)比A先落地；另一方面，由于A比B 落得快，B應(yīng)減慢A 的下落速度，所以A＋B又應(yīng)比A后落地. 這樣便得到了自相矛盾的結(jié)論：A＋B既應(yīng)比 A 先落地，又應(yīng)比 A 后落地這個(gè)矛盾來(lái)源于亞里士多德的錯(cuò)誤論斷.因此，重的物體應(yīng)當(dāng)和輕的物體同時(shí)落地.
請(qǐng)看，1 800 多年的錯(cuò)誤論斷竟被如此簡(jiǎn)單的推理所揭露，人們不能不佩服伽利略的思想是何等敏銳，推理的威力是多么強(qiáng)大啊!
用反證法證明下列命題： 1. 一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是鈍角. 2. 在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么它們所對(duì)的邊也不相等
1. 一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是鈍角.
證明：假設(shè) ∠A，∠B，∠C 中有兩個(gè)角是鈍角. 設(shè) 90°＜∠A＜180°，90°＜∠B＜180°， 則∠A＋∠B＋∠C ＞ 180°. 這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，這說(shuō)明∠A，∠B， ∠C中能有兩個(gè)角是鐘角的假設(shè)是不對(duì)的， 所以∠A，∠B， ∠C 中不能有兩個(gè)角是鈍角.
2. 在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么它們所對(duì)的邊也不相等
證明：假設(shè) AC＝BC根據(jù)“等邊對(duì)等角”得∠A＝∠B， 這與已知∠A≠∠B相矛盾。 這說(shuō)明 AC＝BC 的假設(shè)是不對(duì)的， 所以 AC≠BC.
1. 判斷下列命題是真命題還是假命題： (1) 經(jīng)過(guò)任意兩點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓； (2)任意一個(gè)三角形都有且只有一個(gè)外接圓； (3) 任意一個(gè)圓都有且只有一個(gè)內(nèi)接三角形； (4)三角形任意兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)是三角形的外心； (5)三角形的外心到三角形各邊的距離相等.
3. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5. 求△ABC的外接圓的半徑.
4. 用反證法證明：三角形的三個(gè)內(nèi)角中，至少有一個(gè)內(nèi) 角不小于60°.
5. 已知線段 PQ ＝ 5cm，以3 cm長(zhǎng)的線段為半徑畫(huà)圓，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)P和Q. 這樣的圓能畫(huà)幾個(gè)?如果PQ＝6cm呢?
解：當(dāng)PQ＝5 cm時(shí)，能畫(huà)2個(gè). 當(dāng)PQ＝6 cm時(shí)，能畫(huà)1個(gè).
6. 用反證法證明： 在△ABC中，如果D，E分別是邊AB， AC上的點(diǎn)，那么BE，CD不能互相平分.
證明：假設(shè)BE，CD能互相平分. 連接 DE(圖略)，則四邊形 DBCE 是平行四邊形，所以DB//EC，即AB//AC，這與 AB與AC 相交于點(diǎn)A矛盾. 這說(shuō)明 BE，CD 能互相平分的假設(shè)不對(duì)，所以 BE，CD不能互相平分
7. 在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0，4)，B(4，4)和C(6，2). (1)點(diǎn)A，B，C能確定一個(gè)圓嗎? 說(shuō)明理由；
解：點(diǎn)A，B，C能確定一個(gè)圓.理由如下： 因?yàn)辄c(diǎn) A，B，C 不在同一條直線上， 所以能確定一個(gè)圓.
(2) 如果能，用尺規(guī)作圖的方法，作出過(guò)這三點(diǎn)的圓的圓心P；
如圖，點(diǎn) P 即為過(guò) A，B，C 三點(diǎn)的圓的圓心.
(3)寫(xiě)出圓心P的坐標(biāo)，并求出⊙P的半徑.
8. 用反證法證明：圓內(nèi)不是直徑的兩條弦相交，不能互相平分.
解：已知：如圖，AB，CD 是⊙O的兩條弦，交點(diǎn)為 E.
求證：AB，CD 不互相平分證明：假設(shè)⊙O的兩條不是直徑的弦AB，CD 互相平分，那么它們的交點(diǎn) E 為兩弦的中點(diǎn). 因?yàn)锳B，CD不是直徑，所以點(diǎn) E 不是圓心連接OE(圖略)，由垂徑定理知OE⊥AB，OE⊥CD，這與基本事實(shí)“過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”矛盾.所以 AB，CD 不能互相平分.

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3.2 確定圓的條件

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