你還記得什么是圓嗎? 你學(xué)過哪些有關(guān)圓的知識(shí)?
思考下面的問題，并與同學(xué)交流： (1) 在一張半透明的紙片上畫一個(gè)圓，標(biāo)出它的圓心 O，再任意作出一條直徑AB將O沿直徑AB折疊，你發(fā)現(xiàn)了什么?
(2) 再任意作一條直徑，重復(fù) (1)中的操作，還有同樣的結(jié)論嗎?
圓是軸對(duì)稱圖形，每一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸.
連接OC，OD.因?yàn)镺C ＝ OD，OE ⊥ CD，所以CE ＝ DE.從而可知點(diǎn) C與點(diǎn)D關(guān)于直線AB對(duì)稱.
*垂徑定理 垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對(duì)的兩條弧.
如圖3-4，以△OAB的頂點(diǎn)O為圓心的⊙O交AB于點(diǎn) C，D，且AC＝BD. 求證：OA＝OB.
作OE⊥AB，垂足為點(diǎn)E .
由垂徑定理，得 CE＝DE.∵AC＝BD，∴ AC＋CE＝BD＋DE， 即 AE＝BE.∴ OE為線段AB的垂直平分線.∴ OA＝OB .
1400多年前，我國隋朝時(shí)期建造的趙州石拱橋的橋拱近似于圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦長)為37.02 m，拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離，也叫叫弓形的高)為7.23 m求橋拱所在圓的半徑(精確到0.1 m).
連接OP，過點(diǎn)P作OP的垂線AB，交⊙O于A，B兩點(diǎn)，則AB 就是所求作的⊙O的弦因?yàn)?OP⊥AB，根據(jù)垂徑定理，得點(diǎn)P為AB的中點(diǎn).
如圖3-8，P為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，你能用尺規(guī)作⊙O的一條弦AB，使點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn)嗎? 說明你的理由.
1. 如圖，AB是⊙O的直徑，弦 CD⊥AB垂足為點(diǎn)M， 求證：∠ACD＝∠ADC.
2. 如圖，⊙O是水平放置的輸油管道的橫 截面，其直徑為 650 mm，油面的寬度 AB＝600 mm. 求油的最大深度.
任意畫一個(gè)圓，思考下面的問題： (1) 如圖3-1，以圓心O為旋轉(zhuǎn)中心，將這個(gè)圓旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，你有什么發(fā)現(xiàn)?特別地，如果將⊙O繞圓心旋轉(zhuǎn) 180°，直徑AB 的兩個(gè)端點(diǎn)的位置會(huì)發(fā)生什么變化?
(2) 圓是中心對(duì)稱圖形嗎?如果是，哪個(gè)點(diǎn)是它的對(duì)稱中心?
圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn) 180°，能與原來的圖形重合.所以，
圓是中心對(duì)稱圖形，圓心是它的對(duì)稱中心.
如圖3-9，在⊙O上任取兩點(diǎn)A與B，連接OA，OB，得到∠AOB. 像∠AOB 這樣，頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角 .
(1) 如圖，任意畫一個(gè)⊙O，在⊙O內(nèi)畫圓心角∠AOB＝∠A′OB′. 連接AB，A′B′.
(3) 這時(shí)，AB與A′B′重合嗎?弦AB與A′B′重合嗎?由此你能得到什么結(jié)論?
這就是說，在同圓中，如果兩個(gè)圓心角相等，那么它們所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.
這樣，就得到下面的定理：
定理 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.
(2) BE ＝EC.
證明：∵∠AOD ＝∠BOE. ∴∠BOE＝∠COE. ∴ BE＝CE
(1) 把頂點(diǎn)在圓心的周角等分成360份，每一份圓心角的度數(shù)是多少?
(2) 把頂點(diǎn)在圓心的周角等分為 360 份時(shí)，整個(gè)被分成了多少份?每份的弧是否相等?為什么?
360 份，相等.在同圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等.
一般地，n°的圓心角所對(duì)的弧是n°的弧；反之，n°的弧所對(duì)的圓心角是n°的角.
由此可見，圓心角與它所對(duì)的弧有以下關(guān)系：
圓心角的度數(shù)與它所對(duì)弧的度數(shù)相等.
解：連接OD. 由已知∠AOB ＝ 90°，∠B ＝ 25°， 則 ∠A＝ 65°. ∵ OA ＝OD， ∴∠ODA＝∠A＝ 65°.
1. 判斷下列命題是真命題還是假命題： (1) 度數(shù)相等的弧所對(duì)的圓心角相等； (2) 相等的圓心角所對(duì)弧的度數(shù)相等； (3) 如果兩條弧的度數(shù)相等，那么這兩條弧也相等； (4) 長度相等的弧的度數(shù)相等.
解：如圖，連接 OA.
1. 如圖，⊙O的半徑OA與弦BC垂直， AD＝2cm，BC＝8cm.求⊙O的半徑.
2. 如圖，P是⊙O的弦BA延長線上的一點(diǎn)， BA＝AP＝2，OP＝5. 求⊙O的半徑.
4. 如圖，在半徑為5的⊙O中，AB，CD是 互相垂直的兩條弦，垂足為點(diǎn)P. 已知 AB＝CD＝8，求OP的長.
5. ⊙O上的兩點(diǎn)A，B將圓分成度數(shù)比為1∶3的兩條弧， 且點(diǎn)O到AB的距離等于1. 求⊙O的半徑.
證明：如圖，連接 OM，AM，ON.
10. 如圖，在⊙O中，AB與CD是兩 條 弦，OE⊥AB，OF ⊥CD，垂足分 別是點(diǎn)E，F(xiàn)，OE，OF分別叫做弦 AB，CD的弦心距.
(1)已知∠AOB＝∠COD，求證： OE＝OF；
(3) 你能用文字語言把上述結(jié)論表述出來嗎?
解：結(jié)論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦的弦心距中有一組量等量，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。

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3.1 圓的對(duì)稱性

版本： 青島版（2024）

年級(jí)： 九年級(jí)上冊(cè)

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