3.2確定圓的條件（同步練習）（解析版） 一、單選題 1．已知⊙O的半徑為4cm，點P在⊙O上，則OP的長為（????） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 【答案】B 【分析】根據(jù)點在圓上，點到圓心的距離等于圓的半徑求解． 【詳解】∵⊙O的半徑為4cm，點P在⊙O上， ∴OP=4cm． 故選：B． 【點睛】本題考查了點與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有：點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d=r；點P在圓內(nèi)?d＜r． 2．已知的半徑是，點A在外，則的長可能是（????） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本題考查點與圓的位置關系，根據(jù)點在圓外，只需點到圓心的距離大于圓的半徑即可． 【詳解】解：∵的半徑是，點A在外， ∴，則選項D符合題意， 故選：D． 3．已知直角三角形的一條直角邊等于它的外接圓的半徑，則這個直角三角形的面積與其外接圓的面積的比為（　?。?A．：2π B．：4π C．：π D．2：π 【答案】A 【分析】根據(jù)直角三角形的外心在斜邊的中點，若直角三角形的一條直角邊等于它的外接圓的半徑，則這條直角邊是斜邊的一半．設該直角邊是1，則斜邊是2，另一條直角邊是，所以直角三角形的面積是，外接圓的面積是π，則比值是． 【詳解】解：設該直角邊是1，則斜邊是2，另一條直角邊是， ∴直角三角形的面積是， 外接圓的半徑為1，面積是， ∴這個直角三角形的面積與其外接圓的面積的比為， 故選：A． 【點睛】本題考查了三角形的外心性質，直角三角形的性質，勾股定理，根據(jù)直角三角形的性質進行計算． 4．對假命題“任何一個角的補角都不小于這個角”舉反例，正確的反例是（????） A．，的補角， B．，的補角， C．，的補角， D．，的補角， 【答案】B 【分析】根據(jù)“任何一個角的補角都不小于這個角” 反證法的假設是，至少有一個角的補角小于這個角，進行判斷作答即可． 【詳解】解：由題意知，“任何一個角的補角都不小于這個角” 反證法的假設是，至少有一個角的補角小于這個角， A中，的補角，，錯誤，故不符合要求； B中，的補角，，正確，故符合要求； C中，的補角，，錯誤，故不符合要求； D中，的補角，，錯誤，故不符合要求； 故選：B． 【點睛】本題考查了反證法．解題的關鍵在于掌握反證法的意義及步驟． 5．已知的半徑為5，若，則點P與的位置關系是（????） A．點P在內(nèi) B．點P在上 C．點P在外 D．無法判斷 【答案】A 【分析】本題考查了對點與圓的位置關系的判斷．若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當時，點在圓外；當時，點在圓上，當時，點在圓內(nèi)．判斷圓的半徑與的大小即可解答． 【詳解】解：圓的半徑，點P到O的距離， ∴， ∴點P在內(nèi)， 故選：A． 6．如圖，和都是等邊三角形，點M是的外心，那么的值為（　?。? A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延長交于點D，連接，根據(jù)是等邊三角形可知，設，則，利用銳角三角函數(shù)的定義用表示出的長，再根據(jù)相似三角形的性質即可得出結論． 【詳解】解：如圖，延長交于點D，連接， ∵是等邊三角形，點M是的外心， ∴， 設，則， ∴， ∴， ∵和都是等邊三角形， ∴， ∴， ∴． 故選：B． 【點睛】本題考查了三角形的外心，等邊三角形的性質，含角的直角三角形的性質，相似三角形的判定和性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵． 7．在平面直角坐標系中，將平行四邊形的頂點置于坐標原點，點坐標為，點坐標為，以為直徑畫圓，則頂點與這個圓的位置關系是(　　) A．點在圓內(nèi) B．點在圓上 C．點在圓外 D．不能確定 【答案】B 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質可確定點坐標為，易得的中點的坐標，再利用勾股定理計算出的長，然后根據(jù)點與圓的位置關系的判定方法進行判斷． 【詳解】解：設的中點為， ∵四邊形為平行四邊形，點坐標為，點坐標為，點坐標為， ∴點A到點B向左移動10個單位長度，點D到點C也向左移動10個單位長度， ∴點坐標為， 又∵的中點為， ∴點坐標為即， ∴， ∵點坐標為，點坐標為，以為直徑畫圓， ∴的半徑為， ∴點在上． 故選：B． 【點睛】本題考查點與圓的位置關系：設的半徑為，點到圓心的距離，則有：點在圓外；點在圓上；點在圓內(nèi)．也考查了坐標與圖形，中點坐標公式，平行四邊形的性質，兩點間的距離． 8．已知，⊙O半徑為5，圓心O為坐標原點，點P的坐標為（4，3），則點P與⊙O的位置關系是（??）． A．點在圓內(nèi) B．點在圓上 C．點在圓外 D．不能確定 【答案】B 【分析】根據(jù)兩點間的距離公式求出OP的長，再與半徑比較確定點P的位置． 【詳解】解：∵點P的坐標為（4，3） ∴OP==5 ∵⊙O半徑為5 所以點P在⊙O上． 故選B． 【點睛】本題考查的是點與圓的位置關系，知道O，P的坐標，求出OP的長，與圓的半徑進行比較，確定點P的位置． 9．下列四個命題中，正確的個數(shù)有（????） ①圓的對稱軸是直徑；②經(jīng)過三點可以確定一個圓；③平分弦的直徑垂直于弦；④三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等；⑤在同圓或等圓中，同弦或等弦所對的圓周角相等 A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】A 【分析】根據(jù)對稱軸的概念、過三點的圓、垂徑定理、三角形的外心的概念、圓的基本性質判斷即可． 【詳解】圓的對稱軸是直徑所在的直線，①錯誤； 經(jīng)過不在同一直線上的三點可以確定一個圓，②錯誤； 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，③錯誤； 三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等，④正確； 在同圓或等圓中，同弦或等弦所對的圓周角相等或互補，⑤錯誤． 故選A． 【點睛】本題考查了命題的真假，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題真假的關鍵是要熟悉課本中的性質定理． 10．如圖，在中，點是斜邊的中點，以為邊作正方形，下列三角形中，外心不是點的是（　?。? A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心，直角三角形的性質，勾股定理，正方形的性質，連接，根據(jù)點是斜邊的中點，得到，得到點是的外心，根據(jù)正方形的性質得到，求得，得到點是的外心，點是的外心，由于，得到點不是的外心，證得，是解題的關鍵． 【詳解】解：連接，如圖所示： 在中，點是斜邊的中點， ， 點是的外心， 四邊形是正方形， ， ， 點是的外心，點是的外心， 在等腰中，，則由勾股定理可得， ， 點不是的外心， 故選：C． 二、填空題 11．用反證法證明命題“三角形中至少有一個內(nèi)角大于或等于”，第一步應假設 ． 【答案】三角形的三個內(nèi)角都小于 【分析】熟記反證法的步驟，直接填空即可． 【詳解】解：第一步應假設結論不成立，即三角形的三個內(nèi)角都小于． 故答案為：三角形的三個內(nèi)角都小于． 【點睛】本題考查了反證法，反證法的步驟是：（1）假設結論不成立；（2）從假設出發(fā)推出矛盾；（3）假設不成立，則結論成立．在假設結論不成立時，要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定． 12．如圖，在平面直角坐標系中，，，．則的外心坐標為 ． 【答案】． 【分析】依據(jù)三角形的外心是邊的垂直平分線的交點，作和的垂直平分線，交點為所求． 【詳解】解：作和的垂直平分線，交點為所求， 所以的外心坐標為 ， 故答案為：． 【點睛】本題考查了三角形的外心和平面直角坐標系內(nèi)點的坐標；解題的關鍵是利用垂直平分線的交點找外心． 13．P是直線l上的任意一點，點A在圓O上，設OP的最小值為m，若直線l過點A，則m與OA的大小關系是 ． 【答案】m≤OA． 【分析】直接根據(jù)直線與圓的位置關系進行解答即可． 【詳解】解：因為點A在圓O上，直線l過點A， 可得：m≤OA． 故答案為m≤OA. 【點睛】本題考查的是直線與圓的位置關系，熟知設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，當d=r時，直線l和⊙O相切是解答此題的關鍵． 14．如圖，在正方形中，，是上一點，且，是上一動點，連接，若將沿翻折后，點落在點處，則到點的最短距離為 【答案】 【分析】由翻折的性質可知：點在上運動的過程中，點的軌跡是一段圓弧，由此可以求出的最小值； 【詳解】解：如圖，連接，以為圓心，的長為半徑畫?。? 在正方形中， 在中， 由翻折的性質可知： 點在上運動的過程中， ∴點的軌跡是以為圓心，半徑為的一段??； ∴當 三點共線時，有最小值 此時 故答案為： 【點睛】本題考查了正方形的性質、勾股定理、圓外一點到圓上的最短距離；其中找出點的運動軌跡是解題的關鍵． 15．一個直角三角形的兩邊長分別為和，則這個直角三角形的外接圓直徑為 ． 【答案】10cm或8cm/8cm或10cm 【分析】有兩種情況：（1）當兩直角邊是6 cm和8 cm時，求出斜邊長即可得到答案；（2）當一個直角邊是6cm，斜邊是8 cm時，即可得出答案． 【詳解】解：分兩種情況：（1）當兩直角邊是6 cm和8 cm時， 由勾股定理得：( cm)， 此時外接圓的半徑是5cm，直徑是10 cm； （2）當一個直角邊是6 cm，斜邊是8 cm時， 此時外接圓的半徑是4 cm，直徑是8 cm． 故答案為：10 cm或8 cm． 【點睛】本題主要考查了三角形的外接圓和外心，勾股定理等知識點，解此題的關鍵是知道直角三角形的外接圓的半徑等于斜邊的長，求出斜邊長即可，用的數(shù)學思想是分類討論思想． 三、解答題 16．以矩形ABCD的頂點A為圓心畫⊙A，使得B、C、D中至少有一點在⊙A內(nèi)，且至少有一點在⊙A外，若BC=12，CD=5.求⊙A的半徑r的取值范圍. 【答案】5＜r＜13． 【分析】先求出矩形對角線的長，然后由B，C，D與⊙A的位置，確定⊙A的半徑的取值范圍． 【詳解】解：根據(jù)題意畫出圖形如下所示： ∵AB=CD=5，AD=BC=12， 根據(jù)矩形的性質和勾股定理得到：AC==13． ∵AB=5，AD=12，AC=13， 而A，C，D中至少有一個點在⊙A內(nèi)，且至少有一個點在⊙A外， ∴點B在⊙A內(nèi)，點C在⊙A外． ∴5＜r＜13． 故答案為5＜r＜13． 【點睛】本題考查勾股定理，矩形的性質，能正確運用點和圓的位置關系分析問題是解題的關鍵． 17．如圖，在平面直角坐標系中，A、B、C是上的三個點、、． (1)寫出圓心M的坐標為___________； (2)這個圓的半徑為___________； (3)直接判斷點與的位置關系．點在__________（填內(nèi)、外、上）． 【答案】(1) (2) (3)內(nèi) 【分析】（1）利用網(wǎng)格特點，作和的垂直平分線，它們的交點為點，從而得到點的坐標； （2）利用兩點間的距離公式計算出即可； （3）先計算出，然后根據(jù)點與圓的位置關系的判定方法判斷點與的位置關系． 【詳解】（1）解：如圖，圓心的坐標為； （2），， 即的半徑為； （3）圓的半徑， 線段， 所以點在內(nèi)． 【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．也考查了垂徑定理和點與圓的位置關系． 18．反證法的思想也時常體現(xiàn)在人們的日常交流中，下面是有關的一個例子： 媽媽：小華，聽說鄰居小芳全家這兒天正在外地旅游． 小華：媽媽，不可能，我昨天和今天上午都還在學校碰到了她和她媽媽呢！ 上述對話中，小華要告訴媽媽的命題是什么？他是如何推斷該命題的正確性的？在你的日常生活中也有類似的例子嗎？請舉一至兩個例子． 【答案】見解析 【分析】小華要告訴媽媽的命題是：小芳全家這幾天正在外地旅游是不可能的．利用舉反例說明即可． 【詳解】解：小華要告訴媽媽的命題是：小芳全家這幾天正在外地旅游是不可能的． 他是舉反例說明的． 舉例：媽媽：小華，聽說小芳昨天去了北京． 小華：媽媽，不可能，我今天上午還在學校碰到了她呢! 【點睛】本題考查反證法，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題． 19．如圖，在平面直角坐標系中，已知A（2，0）、B（3，1）、C（1，3）． （1）將△ABC沿x軸負方向移動2個單位長度至△A1B1C1，畫圖并寫出點C1的坐標； （2）以點A1為旋轉中心，將△A1B1C1逆時針方向旋轉90°得到△A2B2C2，畫圖并寫出點C2的坐標； （3）以B、C1、C2為頂點的三角形是　 　三角形，其外接圓的半徑R＝　 ?。? 【答案】（1）C1的坐標為（﹣1，3）;（2）（﹣3，﹣1）；（3）直角,． 【分析】（1）將三個頂點分別向左平移2個單位得到其對應點，再順次連接即可得； （2）將三個頂點分別以點A1為旋轉中心，逆時針方向旋轉90°得到對應點，再順次連接即可得； （3）利用勾股定理及其逆定理（如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形）求解可得． 【詳解】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求，其中C1的坐標為（﹣1，3）． （2）如圖所示，△A2B2C2即為所求，其中點C2的坐標為（﹣3，﹣1）； （3）∵C1C22＝BC12＝22+42＝20，BC22＝22+62＝40， ∴C1C22+BC12＝BC22， ∴△BC1C2是直角三角形， 則外接圓的半徑R＝BC2＝×2＝． 故答案為直角，． 【點睛】本題主要考查作圖﹣平移變換、旋轉變換，解題的關鍵是掌握旋轉變換和平移變換的定義與性質，并據(jù)此得出變換后的對應點，也考查勾股定理及其逆定理． 20．如圖，有兩條公路相交成，沿公路方向離兩條公路的交叉處O點80米的A處有一所希望小學，當拖拉機沿方向行駛時，路兩旁50米內(nèi)會受到噪音影響，已知有兩臺相距30米的拖拉機正沿方向行駛，它們的速度均為5米/秒，問這兩臺拖拉機沿方向行駛時給小學帶來噪音影響的時間是多少？ 【答案】這兩臺拖拉機沿方向行駛給小學帶來噪音影響的時間是18秒 【分析】過點A作，求出的長，第一臺到B點時開始對學校有噪音影響，第一臺到C點時，第二臺到B點也開始有影響，第一臺到D點，第二臺到C點，直到第二臺到D點噪音才消失． 【詳解】解：如圖，過點A作， ∵米， ∴米， 當?shù)谝慌_拖拉機到B點時對學校產(chǎn)生噪音影響，此時， 由勾股定理得：， 第一臺拖拉機到D點時噪音消失， ∴． 由于兩臺拖拉機相距30米，則第一臺到D點時第二臺在C點，還須前行30米后才對學校沒有噪音影響． ∴影響時間應是：秒． 答：這兩臺拖拉機沿方向行駛給小學帶來噪音影響的時間是18秒． 【點睛】本題考查的是點與圓的位置關系，靈活運用所學知識求解是解決本題的關鍵．

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3.2 確定圓的條件

版本： 青島版（2024）

年級： 九年級上冊

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