第05講古典概型與概率的基本性質(zhì)（八大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過(guò)解題來(lái)提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過(guò)后，總有同學(xué)抱怨沒(méi)考好，糾其原因是考試時(shí)沒(méi)有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問(wèn)題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
第05講古典概型與概率的基本性質(zhì)
目錄
知識(shí)點(diǎn)1、隨機(jī)事件的概率
對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量（數(shù)值）稱為事件的概率，事件的概率用表示．
知識(shí)點(diǎn)2、古典概型
（1）定義
一般地，若試驗(yàn)具有以下特征：
①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；
②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．
稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型．
（2）古典概型的概率公式
一般地，設(shè)試驗(yàn)是古典概型，樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn)，事件包含其中的個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件的概率．
知識(shí)點(diǎn)3、概率的基本性質(zhì)
（1）對(duì)于任意事件都有：．
（2）必然事件的概率為，即；不可能事概率為，即．
（3）概率的加法公式：若事件與事件互斥，則．
推廣：一般地，若事件，，…，彼此互斥，則事件發(fā)生（即，，…，中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：．
（4）對(duì)立事件的概率：若事件與事件互為對(duì)立事件，則，，且．
（5）概率的單調(diào)性：若，則．
（6）若，是一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則．
【解題方法總結(jié)】
1、解決古典概型的問(wèn)題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)與事件中所包含的基本事件數(shù)．
因此要注意清楚以下三個(gè)方面：
（1）本試驗(yàn)是否具有等可能性；
（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；
（3）事件是什么．
2、解題實(shí)現(xiàn)步驟：
（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；
（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件；
（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個(gè)數(shù)；
（4）利用公式求出事件的概率．
3、解題方法技巧：
（1）利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
①任一隨機(jī)事件的概率都等于構(gòu)成它的每一個(gè)基本事件概率的和．
②求試驗(yàn)的基本事件數(shù)及事件A包含的基本事件數(shù)的方法有列舉法、列表法和樹(shù)狀圖法．
題型一：簡(jiǎn)單的古典概型問(wèn)題
例1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列概率模型中，是古典概型的個(gè)數(shù)為（）
①?gòu)膮^(qū)間內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；②從1，2，3，…，10中任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；③在正方形ABCD內(nèi)畫(huà)一點(diǎn)P，求點(diǎn)P恰好為正方形中心的概率；④向上拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現(xiàn)反面朝上的概率.
A．1B．2C．3D．4
例2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列關(guān)于古典概型的說(shuō)法正確的是（）
①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等；
③每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等；④樣本點(diǎn)的總數(shù)為n，隨機(jī)事件A若包含k個(gè)樣本點(diǎn)，則.
A．②④B．②③④C．①②④D．①③④
例3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列有關(guān)古典概型的四種說(shuō)法：
①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；
②每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等；
③每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等；
④已知樣本點(diǎn)總數(shù)為，若隨機(jī)事件包含個(gè)樣本點(diǎn)，則事件發(fā)生的概率.
其中所正確說(shuō)法的序號(hào)是（）
A．①②④B．①③C．③④D．①③④
變式1．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選6只小白鼠，隨機(jī)地將其中3只分配到試驗(yàn)組且飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，另外3只分配到對(duì)照組且飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：）.則指定的兩只小鼠分配到不同組的概率為（）
A．B．C．D．
變式2．（2023·青海西寧·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）乒乓球是中國(guó)的國(guó)球，擁有廣泛的群眾基礎(chǔ)，老少皆宜，特別適合全民身體鍛煉．某小學(xué)體育課上，老師讓小李同學(xué)從7個(gè)乒乓球（其中3只黃色和4只白色）中隨機(jī)選取2個(gè)，則他選取的乒乓球恰為1黃1白的概率是（）
A．B．C．D．
變式3．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）三位同學(xué)參加某項(xiàng)體育測(cè)試，每人要從跑、引體向上、跳遠(yuǎn)、鉛球四個(gè)項(xiàng)目中選出兩個(gè)項(xiàng)目參加測(cè)試，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是（）
A．B．C．D．
變式4．（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）將2個(gè)不同的小球隨機(jī)放入甲、乙、丙3個(gè)盒子，則2個(gè)小球在同一個(gè)盒子的概率為（）
A．B．C．D．
題型二：古典概型與向量的交匯問(wèn)題
例4．（2023·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知正九邊形，從中任取兩個(gè)向量，則它們的數(shù)量積是正數(shù)的概率為（）
A．B．C．D．
例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若向量，，則向量與所成的角為銳角的概率是（）
A．B．C．D．
例6．（2023·甘肅武威·甘肅省武威第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）連擲兩次骰子分別得到點(diǎn)數(shù)m，n，則向量與向量的夾角的概率是（）
A．B．C．D．
變式5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，則向量與向量垂直的概率為（）
A．B．C．D．
變式6．（2023·云南楚雄·高三統(tǒng)考期末）從集合中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，從集合中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，則向量與向量垂直的概率為（）
A．B．C．D．
變式7．（2023·湖北·高考真題）連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，則的概率是（）
A．B．C．D．
題型三：古典概型與幾何的交匯問(wèn)題
例7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家在沙灘上面畫(huà)點(diǎn)或用小石子表示數(shù)，他們將1，3，6，10，15，…，，稱為三角形數(shù)；將1，4，9，16，25，…，，稱為正方形數(shù)．現(xiàn)從200以內(nèi)的正方形數(shù)中任取2個(gè)，則其中至少有1個(gè)也是三角形數(shù)的概率為（）
A．B．C．D．
例8．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）把腰底比為（比值約為，稱為黃金比）的等腰三角形叫黃金三角形，長(zhǎng)寬比為（比值約為，稱為和美比）的矩形叫和美矩形.樹(shù)葉、花瓣、向日葵、蝴蝶等都有黃金比.在中國(guó)唐、宋時(shí)期的單檐建筑中存在較多的的比例關(guān)系，常用的紙的長(zhǎng)寬比為和美比.圖一是正五角星（由正五邊形的五條對(duì)角線構(gòu)成的圖形），.圖二是長(zhǎng)方體，，.在圖一圖二所有三角形和矩形中隨機(jī)抽取兩個(gè)圖形，恰好一個(gè)是黃金三角形一個(gè)是和美矩形的概率為（）
A．B．C．D．
例9．（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，這是第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)的大致圖案，它是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的.現(xiàn)用紅色和藍(lán)色給這4個(gè)三角形區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，則相鄰的區(qū)域所涂顏色不同的概率是（）
A．B．C．D．
變式8．（2023·江西·校聯(lián)考二模）圓周上有8個(gè)等分點(diǎn)，任意選這8個(gè)點(diǎn)中的4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)四邊形，則四邊形為梯形的概率是（）
A．B．C．D．
變式9．（2023·廣東深圳·高三深圳市福田區(qū)福田中學(xué)?？茧A段練習(xí)）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)巨著，大約成書(shū)于公元前300年．漢語(yǔ)的最早譯本是由中國(guó)明代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家徐光啟和意大利傳教士利瑪竇合譯，成書(shū)于1607年.該書(shū)前6卷主要包括：基本概念、三角形、四邊形、多邊形、圓、比例線段、相似形這7章，幾乎包含現(xiàn)今平面幾何的所有內(nèi)容．某高校要求數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生從這7章里任選4章進(jìn)行選修，則學(xué)生李某所選的4章中，含有“基本概念”這一章的概率為（）
A．B．C．D．
變式10．（2023·河北張家口·張家口市宣化第一中學(xué)?？既＃┤鐖D，將正方體沿交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，如此共可截去八個(gè)三棱錐，截取后的剩余部分稱為“阿基米德多面體”，它是一個(gè)24等邊半正多面體．從它的棱中任取兩條，則這兩條棱所在的直線為異面直線的概率為（）
A．B．C．D．
變式11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)·商功》指出“斜解立方，得兩壍堵.斜解壍堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑.陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也.合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以棊，其形露矣.”意為將一個(gè)正方體斜切，可以得到兩個(gè)壍堵，將壍堵斜切，可得到一個(gè)陽(yáng)馬，一個(gè)鱉臑（四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐），如果從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選4個(gè)頂點(diǎn)得到三棱錐，則得到的三棱錐是鱉臑的概率為（）
A．B．C．D．
題型四：古典概型與函數(shù)的交匯問(wèn)題
例10．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考三模）已知，從這四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，使函數(shù)有兩不相等的實(shí)數(shù)根的概率為 .
例11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知四個(gè)函數(shù)：（1），（2），（3），（4），從中任選個(gè)，則事件“所選個(gè)函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”的概率為 .
例12．（2023·河南信陽(yáng)·河南省信陽(yáng)市第二高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考一模）在，，0，1，2的五個(gè)數(shù)字中，有放回地隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)字分別作為函數(shù)中a，b的值，則該函數(shù)圖像恰好經(jīng)過(guò)第一、三、四象限的概率為．
變式12．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考一模）若函數(shù)的定義域和值域分別為和，則滿足的函數(shù)概率是．
變式13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一個(gè)盒子中裝有六張卡片，上面分別寫(xiě)著如下六個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)：，，，，，．現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片并判函數(shù)的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一張寫(xiě)有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，設(shè)抽取次數(shù)為X，則的概率為．
變式14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)，若對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)都有，則稱函數(shù)為“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”，若函數(shù)的定義域，值域?yàn)?，則函數(shù)為“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”的概率是．
變式15．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）從3個(gè)函數(shù)：和中任取2個(gè)，其積函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是 .
題型五：古典概型與數(shù)列的交匯問(wèn)題
例13．（2023·江西鷹潭·統(tǒng)考一模）斐波那契數(shù)列因數(shù)學(xué)家萊昂納多?斐波那契（LenarddaFibnaci）以兔子繁殖為例而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.因n趨向于無(wú)窮大時(shí)，無(wú)限趨近于黃金分割數(shù)，也被稱為黃金分割數(shù)列.在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列由以下遞推方法定義：數(shù)列滿足，，若從該數(shù)列前10項(xiàng)中隨機(jī)抽取2項(xiàng)，則抽取的2項(xiàng)至少有1項(xiàng)是奇數(shù)的概率為（）
A．B．C．D．
例14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，也叫“兔子數(shù)列”，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列被以下遞推方法定義：數(shù)列滿足，，先從該數(shù)列前12項(xiàng)中隨機(jī)抽取1項(xiàng)，是質(zhì)數(shù)的概率是（）
A．B．C．D．
例15．（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┮阎吵楠?jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)率為，每次抽獎(jiǎng)互不影響．構(gòu)造數(shù)列，使得，記，則的概率為（）
A．B．C．D．
變式16．（2023·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）數(shù)列共有10項(xiàng)，且滿足：，，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為或，從滿足上述條件的所有數(shù)列中任取一個(gè)數(shù)列，則取到的數(shù)列滿足每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為的項(xiàng)都相鄰的概率為（）
A．B．C．D．
變式17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）斐波那契數(shù)列因數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契（LenarddaFibnaci）以兔子繁殖為例而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”．因n趨向于無(wú)窮大時(shí)，無(wú)限趨近于黃金分割數(shù)，也被稱為黃金分割數(shù)列．在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列由以下遞推方法定義：數(shù)列滿足，，若從該數(shù)列前10項(xiàng)中隨機(jī)抽取1項(xiàng)，則抽取項(xiàng)是奇數(shù)的概率為（）
A．B．C．D．
變式18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，在數(shù)集中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)作為，在數(shù)集中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)作為.在這些不同數(shù)列中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)列，則是遞增數(shù)列的概率為（）
A．B．C．D．
變式19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若數(shù)列滿足，從中任取兩個(gè)數(shù)，則至少一個(gè)數(shù)滿足的概率為（）
A．B．C．D．
變式20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為-2，在該數(shù)列的前六項(xiàng)中隨機(jī)抽取兩項(xiàng)，，則的概率為（）
A．B．C．D．
題型六：古典概率與統(tǒng)計(jì)的綜合
例16．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考二模）2022年中國(guó)新能源汽車(chē)銷量繼續(xù)蟬聯(lián)全球第一，以比亞迪為代表的中國(guó)汽車(chē)交出了一份漂亮的“成績(jī)單”，比亞迪新能源汽車(chē)成為2022年全球新能源汽車(chē)市場(chǎng)銷量冠軍，為了解中國(guó)新能源車(chē)的銷售價(jià)格情況，隨機(jī)調(diào)查了10000輛新能源車(chē)的銷售價(jià)格，得到如圖的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計(jì)一輛中國(guó)新能源車(chē)的銷售價(jià)格位于區(qū)間（單位：萬(wàn)元）的概率，以及中國(guó)新能源車(chē)的銷售價(jià)格的眾數(shù)；
(2)現(xiàn)有6輛新能源車(chē)，其中2輛為比亞迪新能源車(chē)，從這6輛新能源車(chē)中隨機(jī)抽取2輛，求至少有1輛比亞迪新能源車(chē)的概率.
例17．（2023·北京西城·高三北京市第三十五中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）為了解某中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，對(duì)高一年級(jí)的(1)班(8)班進(jìn)行了抽測(cè)，采取如下方式抽樣：每班隨機(jī)各抽10名學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)監(jiān)測(cè).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每班10名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)散點(diǎn)圖如下（軸表示對(duì)應(yīng)的班號(hào)，軸表示對(duì)應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）：

(1)若用散點(diǎn)圖預(yù)測(cè)高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級(jí)學(xué)生中任意抽測(cè)1人，求該生身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的概率；
(2)若從以上統(tǒng)計(jì)的高一（2）班和高一（4）班的學(xué)生中各抽出1人，設(shè)表示2人中身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；
(3)假設(shè)每個(gè)班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機(jī)抽到的10名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等.現(xiàn)在從每班中分別隨機(jī)抽取1名同學(xué)，用“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)優(yōu)秀，“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀（）．寫(xiě)出方差的大小關(guān)系（不必寫(xiě)出證明過(guò)程）．
例18．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某重點(diǎn)大學(xué)為了解準(zhǔn)備保研或者考研的本科生每天課余學(xué)習(xí)時(shí)間，隨機(jī)抽取了名這類大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將收集到的課余學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：）整理后得到如下表格：
(1)估計(jì)這名大學(xué)生每天課余學(xué)習(xí)時(shí)間的中位數(shù)；
(2)根據(jù)分層抽樣的方法從課余學(xué)習(xí)時(shí)間在和，這兩組中抽取人，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人，求抽到的人的課余學(xué)習(xí)時(shí)間都在的概率．
變式21．（2023·海南?？凇じ呷y(tǒng)考期中）為促進(jìn)全民健身更高水平發(fā)展，更好地滿足人民群眾的健身和健康需求，國(guó)家相關(guān)部門(mén)制定發(fā)布了《全民健身計(jì)劃（2021—2025年）》.相關(guān)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了我國(guó)2018年至2022年（2018年的年份序號(hào)為1，依此類推）健身人群數(shù)量（即有健身習(xí)慣的人數(shù)，單位：百萬(wàn)），所得數(shù)據(jù)如圖所示：

(1)若每年健身人群中放棄健身習(xí)慣的人數(shù)忽略不計(jì)，從2022年的健身人群中隨機(jī)抽取5人，設(shè)其中從2018年開(kāi)始就有健身習(xí)慣的人數(shù)為X，求；
(2)由圖可知，我國(guó)健身人群數(shù)量與年份序號(hào)線性相關(guān)，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明.
附：相關(guān)系數(shù).參考數(shù)據(jù)：，，，，.
變式22．（2023·江西宜春·高三江西省豐城拖船中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）某市教師進(jìn)城考試分筆試和面試兩部分，現(xiàn)把參加筆試的40名教師的成績(jī)分組：第1組[75，80），第2組[80，85），第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100].得到頻率分布直方圖如圖所示.

(1)分別求成績(jī)?cè)诘?，5組的教師人數(shù)；
(2)若考官?zèng)Q定在筆試成績(jī)較高的第3，4，5組中用分層抽樣抽取6名進(jìn)入面試，
①已知甲和乙的成績(jī)均在第3組，求甲和乙同時(shí)進(jìn)入面試的概率；
②若決定在這6名考生中隨機(jī)抽取2名教師接受考官D的面試，設(shè)第4組中有X名教師被考官D面試，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
變式23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）插花是一種高雅的審美藝術(shù)，是表現(xiàn)植物自然美的一種造型藝術(shù)，與建筑、盆景等藝術(shù)形式相似，是最優(yōu)美的空間造型藝術(shù)之一。為了通過(guò)插花藝術(shù)激發(fā)學(xué)生對(duì)美的追求，某校舉辦了以“魅力校園、花香溢校園”為主題的校園插花比賽。比賽按照百分制的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評(píng)分，評(píng)委由10名專業(yè)教師、10名非專業(yè)教師以及20名學(xué)生會(huì)代表組成，各參賽小組的最后得分為評(píng)委所打分?jǐn)?shù)的平均分.比賽結(jié)束后，得到甲組插花作品所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖和乙組插花作品所得分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表，如下所示：

定義評(píng)委對(duì)插花作品的“觀賞值”如下所示：
(1)估計(jì)甲組插花作品所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；
(2)若該校擬從甲、乙兩組插花作品中選出1個(gè)用于展覽，從這兩組插花作品的最后得分來(lái)看該校會(huì)選哪一組，請(qǐng)說(shuō)明理由（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
(3)從40名評(píng)委中隨機(jī)抽取1人進(jìn)行調(diào)查，試估計(jì)其對(duì)乙組插花作品的“觀賞值”比對(duì)甲組插花作品的“觀賞值”高的概率.
【解題方法總結(jié)】
求解古典概型的交匯問(wèn)題的步驟
（1）將題目條件中的相關(guān)知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件；
（2）判斷事件是否為古典概型；
（3）選用合適的方法確定樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（4）代入古典概型的概率公式求解．
題型七：有放回與無(wú)放回問(wèn)題的概率
例19．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)球，其中有3個(gè)紅色球，2個(gè)白色球，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則第2次摸到紅色球的概率為 .
例20．（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中校考模擬預(yù)測(cè)）已知紅箱內(nèi)有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，白箱內(nèi)有2個(gè)紅球、3個(gè)白球，所有小球大小、形狀完全相同．第一次從紅箱內(nèi)取出一球后再放回去，第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去，以此類推，第次從與第k次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去．則第3次取出的球是紅球的概率為．
例21．（2023·湖北·校聯(lián)考三模）袋中有形狀和大小相同的兩個(gè)紅球和三個(gè)白球，甲、乙兩人依次不放回地從袋中摸出一球，后摸球的人不知前面摸球的結(jié)果，則乙摸出紅球的概率是．
變式24．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）袋中有形狀大小相同的球5個(gè)，其中紅色3個(gè)，黃色2個(gè)，現(xiàn)從中隨機(jī)連續(xù)摸球，每次摸1個(gè)，當(dāng)有兩種顏色的球被摸到時(shí)停止摸球，記隨機(jī)變量為此時(shí)已摸球的次數(shù)，則 .
變式25．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）小穎和小星在玩抽卡游戲，規(guī)則如下：桌面上放有5張背面完全相同的卡牌，卡牌正面印有兩種顏色的圖案，其中一張為紫色，其余為藍(lán)色.現(xiàn)將這些卡牌背面朝上放置，小穎和小星輪流抽卡，每次抽一張卡，并且抽取后不放回，直至抽到印有紫色圖案的卡牌停止抽卡.若小穎先抽卡，則小星抽到紫卡的概率為 .
變式26．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）袋中有大小質(zhì)地均相同的1個(gè)黑球，2個(gè)白球，3個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中隨機(jī)取球，每次取一個(gè)，不放回，直到某種顏色的球全部取出為止，則最后一個(gè)球是白球的概率是．
題型八：概率的基本性質(zhì)
例22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)工廠共生產(chǎn)一精密儀器件，其中甲工廠生產(chǎn)了件，乙工廠生產(chǎn)了件，為了解這兩個(gè)工廠各自的生產(chǎn)水平，質(zhì)檢人員決定采用分層抽樣的方法從所生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件樣品，已知該精密儀器按照質(zhì)量可分為四個(gè)等級(jí)．若從所抽取的樣品中隨機(jī)抽取一件進(jìn)行檢測(cè)，恰好抽到甲工廠生產(chǎn)的等級(jí)產(chǎn)品的概率為，則抽取的三個(gè)等級(jí)中甲工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有件．
例23．（2023·上海徐匯·高三上海民辦南模中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知袋中有（為正整數(shù)）個(gè)大小相同的編號(hào)球，其中黃球8個(gè)，紅球個(gè)，從中任取兩個(gè)球，取出的兩球是一黃一紅的概率為，則的最大值為 .
例24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一個(gè)口袋里有大小相同的白球個(gè)，黑球個(gè)，現(xiàn)從中隨機(jī)一次性取出個(gè)球，若取出的兩個(gè)球都是白球的概率為，則黑球的個(gè)數(shù)為．
變式27．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）為舒緩高考?jí)毫?，射洪中學(xué)高三年級(jí)開(kāi)展了“葵花心語(yǔ)”活動(dòng)，每個(gè)同學(xué)選擇一顆葵花種子親自播種在花盆中，四個(gè)人為一互助組，每組四人的種子播種在同一花盆中，若盆中至少長(zhǎng)出三株花苗，則可評(píng)為“陽(yáng)光小組”．已知每顆種子發(fā)芽概率為0.8，全年級(jí)恰好共種了500盆，則大概有個(gè)小組能評(píng)為“陽(yáng)光小組”．（結(jié)果四舍五入法保留整數(shù)）
變式28．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在某次考試中，要從20道題中隨機(jī)地抽取6道題，若考生至少能答對(duì)其中的4道即可通過(guò)；若至少能答對(duì)其中的5道就獲得“優(yōu)秀”．已知某考生能答對(duì)其中10道題，并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過(guò)，則他獲得“優(yōu)秀”的概率為．
變式29．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）餃子是我國(guó)的傳統(tǒng)美食，不僅味道鮮美而且寓意美好.現(xiàn)鍋中煮有白菜餡餃子4個(gè)，韭菜餡餃子3個(gè)，這兩種餃子的外形完全相同.從中任意舀取3個(gè)餃子，則每種口味的餃子都至少舀取到1個(gè)的概率為 .
變式30．（2023·江西南昌·江西師大附中?？既＃┏鞘械罔F極大的方便了城市居民的出行，南昌地鐵1號(hào)線是南昌市最早建成并成功運(yùn)營(yíng)的一條地鐵線.已知1號(hào)地鐵線的每輛列車(chē)有6節(jié)車(chē)廂，從5月1日起實(shí)行“夏季運(yùn)行模式”，其中2節(jié)車(chē)廂開(kāi)啟強(qiáng)冷模式，2節(jié)車(chē)廂開(kāi)啟中冷模式，2節(jié)車(chē)廂開(kāi)啟弱冷模式.現(xiàn)在有甲、乙、丙3人同一時(shí)間同一地點(diǎn)乘坐同一趟地鐵列車(chē)，由于個(gè)人原因，甲不選擇強(qiáng)冷車(chē)廂，乙不選擇弱冷車(chē)廂，丙沒(méi)有限制，但他們都是獨(dú)立而隨機(jī)的選擇一節(jié)車(chē)廂乘坐，則甲、乙、丙3人中恰有2人在同一車(chē)廂的概率為．
【解題方法總結(jié)】
求復(fù)雜互斥事件的概率的兩種方法
（1）直接法
（2）間接法（正難則反，特別是“至多”“至少”型題目，用間接法求解簡(jiǎn)單）．
1．（2023?乙卷）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為
A．B．C．D．
2．（2023?甲卷）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為
A．B．C．D．
3．（2022?甲卷）從分別寫(xiě)有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為
A．B．C．D．
考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
（1）理解古典概型及其概率計(jì)算公式．
（2）會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的樣本點(diǎn)及事件發(fā)生的概率．
2023年乙卷（文）第9題，5分
2023年甲卷（文）第4題，5分
2022年I卷第5題，5分
2020年II卷第4題，5分
本節(jié)內(nèi)容是概率的基礎(chǔ)知識(shí)，考查形式可以是選擇填空題，也可以在解答題中出現(xiàn)．經(jīng)常出應(yīng)用型題目，與生活實(shí)際相結(jié)合，要善于尋找合理的數(shù)學(xué)語(yǔ)言簡(jiǎn)化語(yǔ)言描述，凸顯數(shù)學(xué)關(guān)系，通過(guò)分析隨機(jī)事件的關(guān)系，找到適合的公式計(jì)算概率．但整體而言，本節(jié)內(nèi)容在高考中的難度處于中等偏易．
課余學(xué)習(xí)時(shí)間
人數(shù)
分?jǐn)?shù)區(qū)間
頻數(shù)
1
5
12
14
4

3
1
分?jǐn)?shù)區(qū)間
觀賞值
1
2
3

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