1、函數(shù)的概念
（1）一般地，給定非空數(shù)集，，按照某個(gè)對應(yīng)法則，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對應(yīng)，那么從集合到集合的這個(gè)對應(yīng)，叫做從集合到集合的一個(gè)函數(shù)．記作：，．集合叫做函數(shù)的定義域，記為，集合，叫做值域，記為．
（2）函數(shù)的實(shí)質(zhì)是從一個(gè)非空集合到另一個(gè)非空集合的映射．
2、函數(shù)的三要素
（1）函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域．
（2）如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)．
3、函數(shù)的表示法
表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．
4、分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．
【解題方法總結(jié)】
1、基本的函數(shù)定義域限制
求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：
（1）分式的分母不為零；
（2）偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零：
（3）對數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；
（4）零次冪或負(fù)指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；
（5）三角函數(shù)中的正切的定義域是且；
（6）已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍； = 2 \* GB3 ②在同一對應(yīng)法則∫下，括號(hào)內(nèi)式子的范圍相同；
（7）對于實(shí)際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問題函數(shù)的定義域．
2、基本初等函數(shù)的值域
（1）的值域是．
（2）的值域是：當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，值域?yàn)椋?br>（3）的值域是．
（4）且的值域是．
（5）且的值域是．
題型一：函數(shù)的概念
例1．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）存在函數(shù)滿足：對任意都有（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·重慶·二模）任給，對應(yīng)關(guān)系使方程的解與對應(yīng)，則是函數(shù)的一個(gè)充分條件是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，可以表示函數(shù)的圖象的是（ ）
A．B．
C．D．
變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)y=f(x)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（ ）
A．至少1個(gè)B．至多1個(gè)C．僅有1個(gè)D．有0個(gè)、1個(gè)或多個(gè)
【解題方法總結(jié)】
利用函數(shù)概念判斷
題型二：同一函數(shù)的判斷
例4．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列四組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的一組是（ ）
A．B．
C．D．
例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（ ）
A．，
B．
C．，
D．，，0，，，，0，
【解題方法總結(jié)】
當(dāng)且僅當(dāng)給定兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則完全相同時(shí)，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù)．
題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域
例7．（2023·北京·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開_______.
例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則_________.
例9．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開_____．
變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)a，b滿足，則函數(shù)的定義域?yàn)開__________.
變式3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等腰三角形的周長為，底邊長是腰長的函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)? )
A．B．C．D．
【解題方法總結(jié)】
對求函數(shù)定義域問題的思路是：
（1）先列出使式子有意義的不等式或不等式組；
（2）解不等式組；
（3）將解集寫成集合或區(qū)間的形式．
題型四：抽象函數(shù)定義域
例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?則函數(shù)的定義域?yàn)開____
例11．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開_____．
例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開______.
變式4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____
變式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開_________．
【解題方法總結(jié)】
1、抽象函數(shù)的定義域求法：此類型題目最關(guān)鍵的就是法則下的定義域不變，若的定義域?yàn)?，求中的解的范圍，即為的定義域，口訣：定義域指的是的范圍，括號(hào)范圍相同．已知的定義域，求四則運(yùn)算型函數(shù)的定義域
2、若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的，其定義域?yàn)楦骰竞瘮?shù)定義域的交集，即先求出各個(gè)函數(shù)的定義域，再求交集．
題型五：函數(shù)定義域的應(yīng)用
例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．
例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的定義域?yàn)?，那么a的取值范圍為_________．
例15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.
變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域是R，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
【解題方法總結(jié)】對函數(shù)定義域的應(yīng)用，是逆向思維問題，常常轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解，必要時(shí)對參數(shù)進(jìn)行分類討論．
題型六：函數(shù)解析式的求法
例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的解析式：
(1)已知，求的解析式；
(2)已知，求的解析式；
(3)已知是一次函數(shù)且，求的解析式；
(4)已知滿足，求的解析式.
例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求的解析式
(1)已知滿足
(2)已知是一次函數(shù)，且滿足；
(3)已知滿足
例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式．
(1)已知，則的解析式為__________．
(2)已知滿足，求的解析式．
(3)已知，對任意的實(shí)數(shù)x，y都有，求的解析式．
變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，求的解析式.
變式8．（2023·廣東深圳·高三深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）寫出一個(gè)滿足：的函數(shù)解析式為______.
變式9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在上的單調(diào)函數(shù)，若對任意都有，則方程的解集為_______．
【解題方法總結(jié)】求函數(shù)解析式的常用方法如下：
（1）當(dāng)已知函數(shù)的類型時(shí)，可用待定系數(shù)法求解．
（2）當(dāng)已知表達(dá)式為時(shí)，可考慮配湊法或換元法，若易將含的式子配成，用配湊法．若易換元后求出，用換元法．
（3）若求抽象函數(shù)的解析式，通常采用方程組法．
（4）求分段函數(shù)的解析式時(shí)，要注意符合變量的要求．
（5）當(dāng)出現(xiàn)大基團(tuán)換元轉(zhuǎn)換繁瑣時(shí)，可考慮配湊法求解．
（6）若已知成對出現(xiàn)，或，，類型的抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組法構(gòu)造另一個(gè)方程，消元的方法求出．
題型七：函數(shù)值域的求解
例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
（9）；
（10）.
例20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域?yàn)?__．
例21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開____
變式10．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的最大值為______.
變式11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開_____.
【解題方法總結(jié)】
函數(shù)值域的求法主要有以下幾種
（1）觀察法：根據(jù)最基本函數(shù)值域（如≥0，及函數(shù)的圖像、性質(zhì)、簡單的計(jì)算、推理，憑觀察能直接得到些簡單的復(fù)合函數(shù)的值域．
（2）配方法：對于形如的值域問題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域．
（3）圖像法：根據(jù)所給數(shù)學(xué)式子的特征，構(gòu)造合適的幾何模型．
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等．
（5）換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對于形的值城，可通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù)．
（6）分離常數(shù)法：對某些齊次分式型的函數(shù)進(jìn)行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡化內(nèi)便于分析．
（7）判別式法：把函數(shù)解析式化為關(guān)于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，形如，或的函數(shù)值域問題可運(yùn)用判別式法（注意x的取值范圍必須為實(shí)數(shù)集R）．
（8）單調(diào)性法：先確定函數(shù)在定義域（或它的子集）內(nèi)的單調(diào)性，再求出值域．對于形如或的函數(shù)，當(dāng)ac>0時(shí)可利用單調(diào)性法．
（9）有界性法：充分利用三角函數(shù)或一些代數(shù)表達(dá)式的有界性，求出值域．因?yàn)槌３霈F(xiàn)反解出y的表達(dá)式的過程，故又常稱此為反解有界性法．
（10）導(dǎo)數(shù)法：先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，再確定最大（?。┲?，從而求出函數(shù)的值域．
題型八：分段函數(shù)的應(yīng)用
例22．（2023·四川成都·成都七中統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則 （ ）
A．-6B．0C．4D．6
例23．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)且，則（ ）
A．-16B．16C．26D．27
例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
變式12．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則使的可以是（ ）
A．B．C．D．
變式13．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的值可能為（ ）
A．B．C．D．
【解題方法總結(jié)】
1、分段函數(shù)的求值問題，必須注意自變量的值位于哪一個(gè)區(qū)間，選定該區(qū)間對應(yīng)的解析式代入求值
2、函數(shù)區(qū)間分類討論問題，則需注意在計(jì)算之后進(jìn)行檢驗(yàn)所求是否在相應(yīng)的分段區(qū)間內(nèi)．
1．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的定義域是（ ）
A．B．C．D．
2．（2014·江西·高考真題）已知函數(shù)f(x)=(a∈R)，若，則a=（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)則________；若當(dāng)時(shí)，，則的最大值是_________．
考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
（1）了解函數(shù)的含義，會(huì)求簡單函數(shù)的定義域和值域．
（2）在實(shí)際情景中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)．
（3）了解簡單的分段函數(shù)，并會(huì)簡單的應(yīng)用．
2022年浙江卷第14題，5分
2021年浙江卷第12題，5分
高考對集合的考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．高考對本節(jié)的考查不會(huì)有大的變化，仍將以分段函數(shù)、定義域、值域及最值為主，綜合考查不等式與函數(shù)的性質(zhì)．

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