第02講兩條直線的位置關(guān)系（八大題型）（講義）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

\l "_Tc176520995" 01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 PAGEREF _Tc176520995 \h 2
\l "_Tc176520996" 02 知識導(dǎo)圖·思維引航 PAGEREF _Tc176520996 \h 3
\l "_Tc176520997" 03 考點(diǎn)突破·題型探究 PAGEREF _Tc176520997 \h 4
\l "_Tc176520998" 知識點(diǎn)1：直線平行與垂直的判定 PAGEREF _Tc176520998 \h 4
\l "_Tc176520999" 知識點(diǎn)2：三種距離 PAGEREF _Tc176520999 \h 5
\l "_Tc176521000" 解題方法總結(jié) PAGEREF _Tc176521000 \h 5
\l "_Tc176521001" 題型一：兩直線位置關(guān)系的判定 PAGEREF _Tc176521001 \h 7
\l "_Tc176521002" 題型二：兩直線的交點(diǎn)與距離問題 PAGEREF _Tc176521002 \h 9
\l "_Tc176521003" 題型三：有關(guān)距離的最值問題 PAGEREF _Tc176521003 \h 14
\l "_Tc176521004" 題型四：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱 PAGEREF _Tc176521004 \h 23
\l "_Tc176521005" 題型五：點(diǎn)關(guān)于線對稱 PAGEREF _Tc176521005 \h 25
\l "_Tc176521006" 題型六：線關(guān)于點(diǎn)對稱 PAGEREF _Tc176521006 \h 27
\l "_Tc176521007" 題型七：線關(guān)于線對稱 PAGEREF _Tc176521007 \h 29
\l "_Tc176521008" 題型八：直線系方程 PAGEREF _Tc176521008 \h 31
\l "_Tc176521009" 04真題練習(xí)·命題洞見 PAGEREF _Tc176521009 \h 33
\l "_Tc176521010" 05課本典例·高考素材 PAGEREF _Tc176521010 \h 34
\l "_Tc176521011" 06易錯(cuò)分析·答題模板 PAGEREF _Tc176521011 \h 37
\l "_Tc176521012" 易錯(cuò)點(diǎn)：兩平行直線間的距離公式應(yīng)用錯(cuò)誤 PAGEREF _Tc176521012 \h 37
\l "_Tc176521013" 答題模板：已知兩直線平行或垂直求參數(shù) PAGEREF _Tc176521013 \h 37
知識點(diǎn)1：直線平行與垂直的判定
兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現(xiàn)，如表所示．
【診斷自測】（多選題）已知兩條直線，的方程分別為與，下列結(jié)論正確的是（）
A．若，則B．若，則兩條平行直線之間的距離為
C．若，則D．若，則直線，一定相交
【答案】AD
【解析】兩條直線，的方程分別為與，它們不重合，
若，則，得，檢驗(yàn)符合，故A選項(xiàng)正確；
若，由A選項(xiàng)可知，：，直線的方程可化為，
故兩條平行直線之間的距離為，故B選項(xiàng)不正確；
若，則，得，故C選項(xiàng)不正確；
由A選項(xiàng)知，當(dāng)時(shí)，，所以若，則直線，一定相交，故D選項(xiàng)正確.
故選：AD.
知識點(diǎn)2：三種距離
1、兩點(diǎn)間的距離
平面上兩點(diǎn)的距離公式為．
特別地，原點(diǎn)O（0，0）與任一點(diǎn)P（x，y）的距離
2、點(diǎn)到直線的距離
點(diǎn)到直線的距離
特別地，若直線為l：x=m，則點(diǎn)到l的距離；若直線為l：y=n，則點(diǎn)到l的距離
3、兩條平行線間的距離
已知是兩條平行線，求間距離的方法：
（1）轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點(diǎn)到另一條直線的距離．
（2）設(shè)，則與之間的距離
注：兩平行直線方程中，x，y前面對應(yīng)系數(shù)要相等．
4、雙根式
雙根式型函數(shù)求解，首先想到兩點(diǎn)間的距離，或者利用單調(diào)性求解．
【診斷自測】（多選題）已知點(diǎn)到直線的距離為3，則實(shí)數(shù)等于（）
A．0B．C．3D．2
【答案】AB
【解析】依題意，即,解得或.
故選：AB.
解題方法總結(jié)
1、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱
點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的本質(zhì)是中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有
可得對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為
2、點(diǎn)關(guān)于直線對稱
點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，連接，交于點(diǎn)，則垂直平分，所以，且為中點(diǎn)，又因?yàn)樵谥本€上，故可得，解出即可．
3、直線關(guān)于點(diǎn)對稱
法一：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；
法二：求出一個(gè)對稱點(diǎn)，再利用兩對稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程．
4、直線關(guān)于直線對稱
求直線，關(guān)于直線（兩直線不平行）的對稱直線
第一步：聯(lián)立算出交點(diǎn)
第二步：在上任找一點(diǎn)（非交點(diǎn)），利用點(diǎn)關(guān)于直線對稱的秒殺公式算出對稱點(diǎn)
第三步：利用兩點(diǎn)式寫出方程
5、常見的一些特殊的對稱
點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為．
點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．
點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．
點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為．
點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．
6、過定點(diǎn)直線系
過已知點(diǎn)的直線系方程（為參數(shù)）．
7、斜率為定值直線系
斜率為的直線系方程（是參數(shù)）．
8、平行直線系
與已知直線平行的直線系方程（為參數(shù)）．
9、垂直直線系
與已知直線垂直的直線系方程（為參數(shù)）．
10、過兩直線交點(diǎn)的直線系
過直線與的交點(diǎn)的直線系方程：（為參數(shù)）．

題型一：兩直線位置關(guān)系的判定
【典例1-1】（湖北省“宜荊荊恩”2024屆高三9月起點(diǎn)考試數(shù)學(xué)試題）已知兩條直線，則“”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】當(dāng)時(shí)，，則，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
【典例1-2】已知，，直線和垂直，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，直線，，且，
，即．
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
故的最小值為8，
故選：B．
【方法技巧】
【解題方法總結(jié)】
判斷兩直線的位置關(guān)系可以從斜率是否存在分類判斷，也可以按照以下方法判斷：一般地，設(shè)（不全為0），（不全為0），則：
當(dāng)時(shí)，直線相交；
當(dāng)時(shí)，直線平行或重合，代回檢驗(yàn)；
當(dāng)時(shí)，直線垂直，與向量的平行與垂直類比記憶．
【變式1-1】直線與直線相交，則實(shí)數(shù)的值為（）
A．或B．或
C．且D．且
【答案】D
【解析】由直線與直線相交，得，
即，解得且，
所以實(shí)數(shù)k的值為且.
故選：D
【變式1-2】點(diǎn)為直線上不同的兩點(diǎn)，則直線與直線的位置關(guān)系是（）
A．相交B．平行C．重合D．不確定
【答案】A
【解析】由點(diǎn)為直線上不同的兩點(diǎn)，
則直線與直線的斜率存在時(shí)一定為，
可以把這兩個(gè)斜率看成直線上兩點(diǎn)到原點(diǎn)的斜率的倒數(shù)，
由已知可得，則，即兩直線不可能平行與重合，則只能相交;
若直線與直線的斜率有一個(gè)不存在，則另一個(gè)斜率必存在，也能判定兩直線相交；
故選：A.
【變式1-3】（2024·高三·廣東·開學(xué)考試）已知直線，直線，則是的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】因?yàn)榛颍?br>所以是的充分不必要條件．
故選：A．
【變式1-4】（2024·高三·上海寶山·開學(xué)考試）已知集合，，則下列結(jié)論正確的是（）
A．存在，使得
B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，
D．對任意的，都有
【答案】D
【解析】對于A，表示過定點(diǎn)，且斜率不為的直線，
集合表示直線上所有的點(diǎn)，，A錯(cuò)誤；
對于B，當(dāng)時(shí)，，，
由得：，，B錯(cuò)誤；
對于C，當(dāng)時(shí)，，滿足；
當(dāng)，即時(shí)，直線與平行，
，解得：；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，或，C錯(cuò)誤；
對于D，若，則且直線與重合，
，方程組無解，，D正確.
故選：D.
題型二：兩直線的交點(diǎn)與距離問題
【典例2-1】（2024·高三·江蘇蘇州·開學(xué)考試）已知直線與直線交于，則原點(diǎn)到直線距離的最大值為（）
A．2B．C．D．1
【答案】B
【解析】因?yàn)閮芍本€交于，
則，即，且，則；
由原點(diǎn)到直線的距離
由，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí).
即兩直線重合時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離最大.
故選：B.
【典例2-2】若直線與直線的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，即交點(diǎn)為，
因?yàn)榻稽c(diǎn)在第一象限，所以.
故選：A
【方法技巧】
兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離以及兩平行直線間的距離的計(jì)算，特別注意點(diǎn)到直線距離公式的結(jié)構(gòu)．
【變式2-1】已知點(diǎn)，，，則的面積為．
【答案】5
【解析】設(shè)邊上的高為，則就是點(diǎn)C到AB所在直線的距離．
易知．
由兩點(diǎn)式可得邊所在直線的方程為，即．
點(diǎn)到直線的距離，
所以的面積為．
故答案為：5
【變式2-2】已知平面上點(diǎn)和直線，點(diǎn)P到直線l的距離為d，則 .
【答案】/4.5
【解析】依題意，直線，而點(diǎn)，
所以.
故答案為：
【變式2-3】已知直線，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為 .
【答案】
【解析】直線，即，
由,解得，，所以直線恒過定點(diǎn)，
當(dāng)直線l與直線AP垂直時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的最大，
最大值為，
所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為，
故答案為：
【變式2-4】已知點(diǎn)，若直線l過點(diǎn)，且A、B到直線l的距離相等，則直線l的方程為 .
【答案】或
【解析】依題意，到直線的距離相等.
的中點(diǎn)為，
當(dāng)過以及時(shí)，
直線的方程為.
直線的斜率為，
當(dāng)直線過并與平行時(shí)，
直線的方程為.
綜上所述，直線的方程為或.
故答案為：或
【變式2-5】，與直線平行，則直線與的距離為 .
【答案】
【解析】因?yàn)?/，所以，解得，
，，
由兩平行直線的距離公式可得：，
故答案為：
【變式2-6】若恰有兩組的實(shí)數(shù)對滿足關(guān)系式，則符合題意的的值為 .
【答案】/
【解析】可以看成點(diǎn)到直線：的距離，
可以看成點(diǎn)到直線：的距離，
由已知可得，，：不過原點(diǎn)，
又由恰有兩組的實(shí)數(shù)對滿足關(guān)系式，
所以可以看成有且僅有兩條直線滿足，直線方程：，
所以滿足題意的直線：
第一條是線段的垂直平分線，當(dāng)：是的垂直平分線時(shí)，
因?yàn)?，所以，符合題意；
第二條只能取自與直線平行的兩條直線中的一條，且此時(shí)另一條直線過原點(diǎn)，
此時(shí)第二條直線的方程為，
所以此時(shí)，即，符合題意；
所以.
故答案為：.
【變式2-7】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知直線和與x軸圍成的三角形是等腰三角形，則k的取值不可能為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令直線的傾斜角分別為，則，
當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在x軸上時(shí)，，；
當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在直線上時(shí)，或，
因?yàn)?，且，解得?br>所以，或；
當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在直線上時(shí)，，則.
故選：D．
題型三：有關(guān)距離的最值問題
【典例3-1】我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實(shí)上有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，根據(jù)上述觀點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，實(shí)數(shù)的值為（）
A．B．3C．D．4
【答案】C
【解析】，
表示平面上點(diǎn)與點(diǎn)，的距離和，
連接，與軸交于，此時(shí)直線方程為，
令，則
的最小值為，此時(shí)
故選：C．
【典例3-2】設(shè)，其中.則的最小值為（）
A．8B．9C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，則表示：，
，則直線的方程為，令，則，
所以直線與軸相交于點(diǎn)，
所以，
所以，當(dāng)點(diǎn)P為時(shí)，等號成立，故的最小值為9.
故選：B.
【方法技巧】
數(shù)學(xué)結(jié)合，利用距離的幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
【變式3-1】已知，，，為四個(gè)實(shí)數(shù)，且，，，則的最小值為（）
A．B．C．D．5
【答案】D
【解析】設(shè)，則，
所以
，
而可看做軸上動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離和，如圖，
由圖可知當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，最小，最小值為，
所以的最小值為.
故選：D
【變式3-2】已知為直線上的一點(diǎn)，則的最小值為（）
A．B．C．4D．
【答案】A
【解析】如圖，為點(diǎn)到原點(diǎn)和到點(diǎn)的距離之和，
即．設(shè)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，則得，即．
易得，當(dāng)A，，三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，且最小值為．
故選：A．
【變式3-3】的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意知，
，
設(shè)，
則的幾何意義為的值，
如圖，作點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接，
與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，此時(shí)取得最小值，為.
而，
即的最小值為，
所以的最小值為.
故選：D
【變式3-4】已知實(shí)數(shù)，滿足，，，則的最小值是．
【答案】/
【解析】依題意，方程、分別表示以原點(diǎn)為圓心，2、3為半徑的圓，
令，即點(diǎn)分別在、上，如圖，
顯然，，即有，
，取線段中點(diǎn)，連接，則，
因此點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，
而，
即表示點(diǎn)到直線的距離和的倍，
過分別作直線的垂線，垂足分別為，過作垂直于直線于點(diǎn)，
于是，，
，原點(diǎn)到直線的距離，
顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上時(shí)取等號，
所以.
故答案為：
【變式3-5】已知點(diǎn)分別在直線與直線上，且，點(diǎn)，，則的最小值為 .
【答案】
【解析】易知，作出圖象如下，過點(diǎn)作直線，則，
直線，過作直線，與直線交于點(diǎn)，易知四邊形為平行四邊形，
故，且到直線的距離等于到的距離，
設(shè)，則，解得或（舍，所以，
而，且（定值），
故只需求出的最小值即可，顯然，
故的最小值為．
故答案為：．
【變式3-6】（多選題）已知兩點(diǎn)，點(diǎn)是直線：上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）
A．存在使最小B．存在使最小
C．存在使最小D．存在使最小
【答案】ABD
【解析】對于A：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，所以，所以，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)為與交點(diǎn)時(shí)滿足題意，
又因?yàn)?，即?br>所以，所以，所以，故A正確；
對于B：設(shè)，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有最小值，
此時(shí)，所以，故B正確；
對于C：如下圖，根據(jù)與的位置關(guān)系可判斷出有最大值，無最小值，故C錯(cuò)誤；
對于D：因?yàn)?，取等號時(shí)，即為垂直平分線與的交點(diǎn)，
因?yàn)榇怪逼椒志€方程為，即，
所以，所以，所以，故D正確；
故選：ABD.
【變式3-7】（多選題）已知直線和三點(diǎn)，，，過點(diǎn)C的直線與x軸、y軸的正半軸交于M，N兩點(diǎn)．下列結(jié)論正確的是（）
A．P在直線l上，則的最小值為
B．直線l上一點(diǎn)使最大
C．當(dāng)最小時(shí)的方程是
D．當(dāng)最小時(shí)的方程是
【答案】BC
【解析】對于A：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為，
則，解得
，
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最小值.A錯(cuò)誤；
對于B：，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最大值，
又，即，
聯(lián)立，解得，
即直線l上一點(diǎn)使最大，B正確；
對于C：設(shè)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
此時(shí)，即，C正確；
對于D：，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
此時(shí)，即，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
【變式3-8】已知點(diǎn)在直線，點(diǎn)在直線上，且，的最小值為（）
A．B．C．D．5
【答案】D
【解析】由已知表示點(diǎn)Mx1,y1到點(diǎn)的距離，
表示點(diǎn)Nx2,y2到點(diǎn)的距離，
所以，
過點(diǎn)作，垂足為，
因?yàn)橹本€的方程為，，
所以，
又直線與直線平行，，
所以，所以，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
所以，
又，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號成立，
所以當(dāng)點(diǎn)為線段與直線的交點(diǎn)時(shí)，
取最小值，最小值為，
因?yàn)檫^點(diǎn)與直線垂直的直線的方程為，
聯(lián)立，可得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，
所以的最小值為，
故選：D.
【變式3-9】過定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)M，則的最大值是（）
A．B．3C．D．
【答案】C
【解析】由題意知過定點(diǎn),
動(dòng)直線即過定點(diǎn)，
對于直線和動(dòng)直線滿足，
故兩直線垂直，
因此點(diǎn)M在以為直徑的圓上，，
則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
故的最大值為，
故選：C
【變式3-10】已知，為實(shí)數(shù)，代數(shù)式的最小值是 .
【答案】10
【解析】設(shè)點(diǎn)，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)分別為連線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)時(shí)，等號成立.
故答案為：10.
題型四：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱
【典例4-1】直線l經(jīng)過點(diǎn)，與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)， .
【答案】
【解析】設(shè)Aa,0，，
∵P為AB中點(diǎn)，∴，
解得，，
即，，
所以
故答案為：.
【典例4-2】已知，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則 .
【答案】
【解析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知：，，解得：，，.
故答案為：.
【方法技巧】
求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對稱的點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得
【變式4-1】已知點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則線段的長度為 .
【答案】
【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，，
則為直角三角形，且為斜邊，
故.
故答案為：
【變式4-2】設(shè)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，的中點(diǎn)是，則等于
【答案】
【解析】根據(jù)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，且的中點(diǎn)是，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到A，B的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，且的中點(diǎn)是，
所以，
所以，
故答案為：
【變式4-3】已知直線l與直線及直線分別交于點(diǎn)P，Q．若PQ的中點(diǎn)為點(diǎn)，則直線l的斜率為．
【答案】
【解析】設(shè)，則．由點(diǎn)Q在直線上，得，．故．
所以直線l的斜率為，所以
故答案為
【變式4-4】已知直線與直線和的交點(diǎn)分別為，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為 .
【答案】
【解析】因?yàn)橹本€與直線和的交點(diǎn)分別為，
設(shè)，
因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，由中點(diǎn)公式可得，
解得，所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，即.
故答案為：.
題型五：點(diǎn)關(guān)于線對稱
【典例5-1】將一張坐標(biāo)紙對折，如果點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)與點(diǎn) 重合.
【答案】
【解析】已知點(diǎn)與點(diǎn)，可知線段的中點(diǎn)為，
且，則線段的中垂線的斜率，
則線段的中垂線方程為，即，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
則，解得，
所以所求點(diǎn)為.
故答案為：.
【典例5-2】點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)所求對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，解得，
故點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故選：D.
【方法技巧】
求點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)
方法一：（一中一垂），即線段的中點(diǎn)M在對稱軸上，若直線的斜率存在，則直線的斜率與對稱軸的斜率之積為－1，兩個(gè)條件建立方程組解得點(diǎn)
方法二：先求經(jīng)過點(diǎn)且垂直于對稱軸的直線（法線），然后由得線段的中點(diǎn)，從而得
【變式5-1】若直線和直線關(guān)于直線對稱，則直線恒過定點(diǎn)（）
A．B． C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，
點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，
故直線恒過定點(diǎn).
故選：C
【變式5-2】一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線反射后經(jīng)過點(diǎn)，則反射光線所在直線的方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
則，化簡得，解得，
故反射光線過點(diǎn)，
則反射光線所在直線的方程為.
故選：B.
【變式5-3】在等腰直角三角形ABC中，，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)，光從點(diǎn)P出發(fā)經(jīng)反射后又回到點(diǎn)P，反射點(diǎn)為Q，R，若光線QR經(jīng)過的重心，則 .
【答案】
【解析】依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AB為x軸，直線AC為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，
則，，，的重心G的坐標(biāo)為，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，則點(diǎn)P關(guān)系y軸對稱點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線對稱點(diǎn)，顯然直線BC的方程為，
于是，解得，即點(diǎn)，
由光的反射定律知，光線過點(diǎn)，也過點(diǎn)，而光線經(jīng)過的重心，因此點(diǎn)共線，
則有，整理得，解得，
所以.
故答案為：
題型六：線關(guān)于點(diǎn)對稱
【典例6-1】直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程為．
【答案】
【解析】在直線上取點(diǎn)、，
點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，
直線的斜率為，
所以，所求直線方程為，即.
故答案為：.
【典例6-2】直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程為．
【答案】
【解析】在對稱直線上任取一點(diǎn),設(shè)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，由于在直線上，所以，即，
故答案為：
【方法技巧】
求直線l關(guān)于點(diǎn)中心對稱的直線
求解方法是：在已知直線l上取一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對稱得，再利用，由點(diǎn)斜式方程求得直線的方程（或者由，且點(diǎn)到直線l及的距離相等來求解）．
【變式6-1】直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線的方程為．
【答案】
【解析】設(shè)為上任意一點(diǎn)，則關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，
因?yàn)樵谥本€l上，所以，即直線的方程為．
故答案為：
【變式6-2】直線恒過定點(diǎn)，則直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程為．
【答案】
【解析】由得：，當(dāng)時(shí)，，；
設(shè)直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程為，
，解得：或（舍），
直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程為.
故答案為：.
【變式6-3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直線l沿x軸正方向平移3個(gè)單位長度，沿y軸正方向平移5個(gè)單位長度，得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個(gè)單位長度，沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長度，又與直線l重合.若直線l與直線l1關(guān)于點(diǎn)（2，3）對稱，則直線l的方程是 .
【答案】6x－8y＋1＝0
【解析】根據(jù)平移得到l1：y＝k（x－3）＋5＋b和直線：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝，再根據(jù)對稱解得b＝，計(jì)算得到答案.由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b，
則直線l1：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直線方程為y＝k（x－3－1）＋b＋5－2
即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝，
∴直線l的方程為y＝x＋b，直線l1為y＝x＋＋b
取直線l上的一點(diǎn) ，則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)（2，3）的對稱點(diǎn)為，
，解得b＝.
∴直線l的方程是，即6x－8y＋1＝0.
故答案為：6x－8y＋1＝0
題型七：線關(guān)于線對稱
【典例7-1】若直線與直線關(guān)于直線對稱，則直線的一般式方程為 .
【答案】
【解析】設(shè)直線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)，
因?yàn)橹本€與直線關(guān)于直線對稱，所以在直線上，
即，得到直線的一般式方程為
故答案為：
【典例7-2】直線與直線關(guān)于直線對稱，則直線的傾斜角是．
【答案】
【解析】直線，故直線的斜率等于，
設(shè)直線的傾斜角等于，則，
且，故，
同理直線的傾斜角為，
所以直線與直線關(guān)于直線對稱，則直線的傾斜角是．
故答案為：.
【方法技巧】
求直線l關(guān)于直線對稱的直線
若直線，則，且對稱軸與直線l及之間的距離相等．
此時(shí)分別為，由，求得，從而得．
若直線l與不平行，則．在直線l上取異于Q的一點(diǎn)，然后求得關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，再由兩點(diǎn)確定直線（其中）．
【變式7-1】已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對稱直線為，則直線的方程為．
【答案】.
【解析】由題意知，設(shè)直線，在直線上取點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
則，解得，即，
將代入的方程得，
所以直線的方程為.
故答案為：
【變式7-2】若直線l與直線的夾角平分線為，則直線l的方程為 .
【答案】
【解析】由題意可得直線l與直線關(guān)于直線對稱，
由于直線上的任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
因?yàn)橐阎本€，則的方程是，即，
故答案為：.
【變式7-3】直線：關(guān)于直線：的對稱直線方程為．
【答案】
【解析】設(shè)直線關(guān)于直線對稱的直線為，由，解得，
則點(diǎn)在直線上；
在直線上取一點(diǎn)，設(shè)其關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，
則，解得，即，
所以直線的方程為，即．
故答案為：
【變式7-4】直線關(guān)于直線的對稱直線的方程為 .
【答案】
【解析】設(shè)為所求直線上一點(diǎn)，它關(guān)于的對稱點(diǎn)為，
則可得，
由題可得在直線上，
所以，整理可得所求的對稱直線方程為.
故答案為：.
題型八：直線系方程
【典例8-1】過兩直線和的交點(diǎn)且過原點(diǎn)的直線方程為．
【答案】
【解析】令所求直線為，
又直線過原點(diǎn)，則，
所以所求直線為.
故答案為：
【典例8-2】經(jīng)過點(diǎn)和兩直線；交點(diǎn)的直線方程為 .
【答案】
【解析】設(shè)所求直線方程為，
點(diǎn)在直線上，
，
解得，
所求直線方程為，即．
故答案為：.
【方法技巧】
利用直線系方程求解．
【變式8-1】已知兩直線和的交點(diǎn)為，則過兩點(diǎn)的直線方程為 .
【答案】
【解析】依題意兩直線和的交點(diǎn)為，
所以在直線上，
所以過兩點(diǎn)所在直線方程為.
故答案為：
【變式8-2】設(shè)直線經(jīng)過和的交點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為 .
【答案】或
【解析】方法一：由，得，
所以兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（14，10）,
由題意可得直線的斜率為1或-1，
所以直線的方程為或，
即或.
方法二：設(shè)直線的方程為，整理得，
由題意，得，解得或，
所以直線的方程為或.
故答案為：或.
【變式8-3】已知直線的方程為，求坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離的最大值 .
【答案】
【解析】直線的方程為，即
令，解得：
所以直線恒過定點(diǎn)，
所以原點(diǎn)到直線的距離，即到直線的距離的最大值為.
故答案為：.
1．（2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則（）
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
其到直線的距離：，
解得：(舍去).
故選：B.
2．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：，即，
結(jié)合對稱性，不妨考慮點(diǎn)到直線的距離：.
故選：A.
3．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅲ））點(diǎn)(0，﹣1)到直線距離的最大值為（）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【解析】由可知直線過定點(diǎn)，設(shè)，
當(dāng)直線與垂直時(shí)，點(diǎn)到直線距離最大，
即為.
故選：B.
1．已知點(diǎn)和，點(diǎn)P在x軸上，且為直角，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】或.
【解析】設(shè)，因?yàn)椋?br>所以由勾股定理可得，
即，解得或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是或.
故答案為：或.
2．已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是，，，，求證：四邊形ABCD為矩形．
【解析】因?yàn)樗膫€(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)各不相等，所以四邊形四條邊所在直線的斜率都存在，
所以，，，，
所以，，，
所以四邊形四條邊兩兩垂直，所以四邊形四個(gè)內(nèi)角都為，
所以四邊形是矩形.
3．如圖，已知直線與直線，在上任取一點(diǎn)A，在上任取一點(diǎn)B，連接AB，取AB的靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)C，過點(diǎn)C作的平行線，求與間的距離．
【解析】過A做于D，交于E，如圖所示：
因?yàn)?，且由題意得，
所以，所以，
又直線與間的距離，
所以求與間的距離.
4．三條直線，與相交于一點(diǎn)，求a的值．
【解析】解方程組，得，
∴交點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，﹣2），
代入直線ax+2y+8＝0，得4a﹣4+8＝0，
∴a＝﹣1．
5．已知AO是邊BC的中線，用坐標(biāo)法證明．
【解析】取BC邊所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖
設(shè)，(其中)，則
，
所以，即證.
6．已知，．
（1）求證：，并求使等式成立的條件．
（2）說明上述不等式的幾何意義．
【解析】（1）證明：∵0＜x＜1，0＜y＜1，設(shè)P（x，y），A（1，0），B（1，1），C（0，1），如圖：
則|PO|，|PA|，|PB|，|PC|，
∵|PO|+|PB|≥|BO|，|PA|+|PC|≥|AC|
∴|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥ （當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為正方形的對角線AC與OB的交點(diǎn)是取等號），
即x＝y(tǒng)時(shí)取等號．
∴．
（2）對于（1）中不等式，它的幾何意義是：邊長為1的正方形內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離的和不小于兩條對角線的和.
7．已知為任意實(shí)數(shù)，當(dāng)變化時(shí)，方程表示什么圖形？圖形有何特點(diǎn)？
【解析】因?yàn)榉匠袒喌茫?br>為任意實(shí)數(shù)，方程表示直線.
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)，直線恒成立，
故直線過定點(diǎn).
易錯(cuò)點(diǎn)：兩平行直線間的距離公式應(yīng)用錯(cuò)誤
易錯(cuò)分析：應(yīng)用兩平行直線間的距離公式一定要注意兩平行直線的方程對應(yīng)x，y的系數(shù)相等時(shí)，才可利用兩平行線間的距離公式求解.
【易錯(cuò)題1】，與直線平行，則直線與的距離為 .
【答案】
【解析】因?yàn)?/，所以，解得，
，，
由兩平行直線的距離公式可得：，
故答案為：
【易錯(cuò)題2】兩平行直線與之間的距離為．
【答案】/
【解析】由，可得，
所以與之間的距離為.
故答案為：.
答題模板：已知兩直線平行或垂直求參數(shù)
1、模板解決思路
當(dāng)需要通過兩直線的平行或垂直關(guān)系來求解參數(shù)的值時(shí)，一般的做法是首先考察這兩條直線的斜率。
如果兩條直線平行，那么它們的斜率相等；如果兩條直線垂直，那么它們的斜率之積為-1。
這里需要特別注意，當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，斜率不存在，此時(shí)應(yīng)單獨(dú)考慮。
2、模板解決步驟
第一步：將兩條直線的方程均化成斜截式．
第二步：根據(jù)兩直線平行或垂直，列出方程（組）．
第三步：解方程（組），求出參數(shù)的值，由兩直線平行求參數(shù)后要檢驗(yàn)兩直線是否重合．
【典型例題1】已知直線，若，則．
【答案】0
【解析】①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，若，可得與重合，不合題意．故．
故答案為：.
【典型例題2】已知直線和垂直且，則的最小值為 .
【答案】
【解析】由題意得，故，
因?yàn)椋苫静坏仁降?br>，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.
故答案為：
考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
（1）兩條直線的平行與垂直
（2）兩直線的交點(diǎn)與距離問題
2022年上海卷第7題，5分
2020年III卷第8題，5分
2020年上海卷第7題，5分
高考對兩條直線的位置關(guān)系的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，備考時(shí)應(yīng)熟練掌握兩條直線的位置關(guān)系、距離公式、對稱問題等，特別要重視兩條直線的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離公式這兩個(gè)考點(diǎn)．
復(fù)習(xí)目標(biāo)：
（1）能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直．
（2）能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離．
兩直線方程
平行
垂直
（斜率存在）
（斜率不存在）
或
或中有一個(gè)為0，另一個(gè)不存在．

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