新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測第02講平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用（七大題型）（講義）（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識點(diǎn)一．平面向量的數(shù)量積
（1）平面向量數(shù)量積的定義
已知兩個(gè)非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即=，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．
（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數(shù)量，當(dāng)為銳角時(shí)，它是正數(shù)；當(dāng)為鈍角時(shí)，它是負(fù)數(shù)；當(dāng)為直角時(shí)，它是0．
②的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上射影的乘積．
③設(shè)，是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．
知識點(diǎn)二．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算律
已知向量、、和實(shí)數(shù)，則：
①；
②；
③．
知識點(diǎn)三．?dāng)?shù)量積的性質(zhì)
設(shè)、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則
①．②．
③當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．
特別地，或．
④．⑤．
知識點(diǎn)四．?dāng)?shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算
已知非零向量，，為向量、的夾角．
知識點(diǎn)五、向量中的易錯點(diǎn)
（1）平面向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)、可為零，且．
（2）當(dāng)時(shí)，由不能推出一定是零向量，這是因?yàn)槿我慌c垂直的非零向量都有．
當(dāng)時(shí)，且時(shí)，也不能推出一定有，當(dāng)是與垂直的非零向量，是另一與垂直的非零向量時(shí)，有，但．
（3）數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即，這是因?yàn)槭且粋€(gè)與共線的向量，而是一個(gè)與共線的向量，而與不一定共線，所以不一定等于，即凡有數(shù)量積的結(jié)合律形式的選項(xiàng)，一般都是錯誤選項(xiàng)．
（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）．當(dāng)且僅當(dāng)且（或，且
【解題方法總結(jié)】
（1）在上的投影是一個(gè)數(shù)量，它可以為正，可以為負(fù)，也可以等于0．
（2）數(shù)量積的運(yùn)算要注意時(shí)，，但時(shí)不能得到或，因?yàn)闀r(shí)，也有．
（3）根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：，，等，所以平面向量數(shù)量積可以用來解決有關(guān)長度、角度、垂直的問題．
（4）若、、是實(shí)數(shù)，則（）；但對于向量，就沒有這樣的性質(zhì)，即若向量、、滿足（），則不一定有，即等式兩邊不能同時(shí)約去一個(gè)向量，但可以同時(shí)乘以一個(gè)向量．
（5）數(shù)量積運(yùn)算不適合結(jié)合律，即，這是由于表示一個(gè)與共線的向量，表示一個(gè)與共線的向量，而與不一定共線，因此與不一定相等．
題型一：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算
例1．（2023·吉林四平·高三四平市第一高級中學(xué)?？计谀┮阎蛄?，滿足，且與的夾角為，則（）
A．6B．8C．10D．14
【答案】B
【解析】`
由，且與的夾角為，
所以
.
故選：B.
例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，向量在方向上投影向量是，則為（）
A．12B．8C．-8D．2
【答案】A
【解析】在方向上投影向量為，
，.
故選：A
例3．（2023·湖南長沙·周南中學(xué)?？级＃┮阎庑蜛BCD的邊長為1，，G是菱形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若，則（）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【解析】在菱形ABCD，菱形ABCD的邊長為1，，
所以，
所以，則為等邊三角形，因?yàn)椋?br>所以，設(shè)點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，則，所以，
所以G，A，M三點(diǎn)共線，所以AM為BC的中線，
所以，
同理可得點(diǎn)AB，AC的中線過點(diǎn)G，
所以點(diǎn)G為的重心，故，
在等邊中，M為BC的中點(diǎn)，則，
所以.
故選：A

變式1．（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知單位向量，且，若，，則（）
A．1B．12C．或2D．或1
【答案】D
【解析】由題意單位向量，且，可知與的夾角為，
因?yàn)椋曰颍?br>故當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
故選：D.
變式2．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）將向量繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋裕?br>因?yàn)橄蛄坷@坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
所以向量與向量的夾角為，且，
所以
.
故選：B
變式3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）正方形的邊長是2，是的中點(diǎn)，則（）
A．B．3C．D．5
【答案】B
【解析】方法一：以為基底向量，可知，
則，
所以；
方法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
則，可得，
所以；
方法三：由題意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故選：B.
變式4．（2023·天津和平·高三耀華中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，且滿足，若，，則的值為（）.

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，，
即且，
∴，
又C、P、D共線，有，即，
即，而，
∴
∴=.
故選：C
變式5．（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知向量，滿足同向共線，且，，則（）
A．3B．15C．或15D．3或15
【答案】D
【解析】因?yàn)橄蛄?，滿足同向共線，所以設(shè)，
又因?yàn)?，，所以?br>所以或，即或.
①當(dāng)時(shí)，；
②當(dāng)時(shí)，；
所以的值為3或15.
故選：D.
變式6．（2023·吉林長春·東北師大附中校考模擬預(yù)測）在矩形中，與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】建立如圖所示直角坐標(biāo)系：

則，
設(shè)，則
且，
，解得，
，
在矩形中，為的中點(diǎn)，
所以，由，
所以，
，
故選：D.
【解題方法總結(jié)】
（1）求平面向量的數(shù)量積是較為常規(guī)的題型，最重要的方法是緊扣數(shù)量積的定義找到解題思路．
（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)表示，分別突出了它的幾何特征和代數(shù)特征，因而平面向量數(shù)量積是中學(xué)數(shù)學(xué)較多知識的交匯處，因此它的應(yīng)用也就十分廣泛．
（3）平面向量的投影問題，是近幾年的高考熱點(diǎn)問題，應(yīng)熟練掌握其公式：向量在向量方向上的投影為．
（4）向量運(yùn)算與整式運(yùn)算的同與異（無坐標(biāo)的向量運(yùn)算）
同：；；公式都可通用
異：整式：，僅僅表示數(shù)；向量：（為與的夾角）
，使用范圍廣泛，通常是求?；蛘邐A角．
，通常是求最值的時(shí)候用．
題型二：平面向量的夾角
例4．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）若單位向量，滿足，則向量，夾角的余弦值為____________．
【答案】/
【解析】設(shè)向量，的夾角為，因?yàn)椋裕?br>又，所以，所以．
故答案為：
例5．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若是夾角為的兩個(gè)單位向量，則與的夾角大小為________.
【答案】/
【解析】是夾角為的兩個(gè)單位向量，則，
，
，
，，
，.
故答案為：
例6．（2023·重慶·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知向量和滿足：，，，則與的夾角為__________．
【答案】/
【解析】記向量和的夾角為，將平方得到：
或，
又因?yàn)?，即?br>故答案為：.
變式7．（2023·上海楊浦·復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測）若向量與不共線也不垂直，且，則向量夾角________.
【答案】
【解析】由題意可得：，
故：，即向量與的夾角為 .
故答案為：
變式8．（2023·上海長寧·上海市延安中學(xué)?？既＃┮阎峭粋€(gè)平面上的向量，若，且，則__________.
【答案】
【解析】設(shè)，則，，
故，
，
則，，，故，
設(shè)，，則，
又，解得，故.
故答案為：.
變式9．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量，滿足，，，則向量與的夾角大小為___________.
【答案】
【解析】由于，所以，
所以，
所以為銳角，所以.
故答案為：
變式10．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知向量，，，則向量與的夾角為______．
【答案】
【解析】，則，則，又，則
故答案為：.
變式11．（2023·湖南長沙·雅禮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知向量，，若非零向量與，的夾角均相等，則的坐標(biāo)為___（寫出一個(gè)符合要求的答案即可）
【答案】（1，1），答案不唯一，只需滿足橫縱坐標(biāo)相等即可.
【解析】設(shè)，因?yàn)?，?br>所以，
，
因?yàn)榕c，的夾角均相等，所以，
所以，
化簡得，所以，
因?yàn)闉榉橇阆蛄?，可取，此時(shí).
故答案為：（1，1），答案不唯一，只需滿足橫縱坐標(biāo)相等即可.
【解題方法總結(jié)】
求夾角，用數(shù)量積，由得，進(jìn)而求得向量的夾角．
題型三：平面向量的模長
例7．（2023·湖北·荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知平面向量，，滿足，，且.若，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，則，可得，
所以.
故選：A
例8．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影為，則________.
【答案】2
【解析】∵，∴，∴，
∵向量在向量方向上的投影為，∴，
∴，
∴，
∴.
故答案為：2
例9．（2023·海南·高三校聯(lián)考期末）已知向量，滿足，，，則__________．
【答案】
【解析】因?yàn)?，，，則，
所以，所以，解得：，
.
故答案為：.
變式12．（2023·四川南充·閬中中學(xué)?？级＃┮阎獮閱挝幌蛄浚覞M足，則______.
【答案】
【解析】為單位向量，且滿足，所以，
即，解得，
所以.
故答案為：.
變式13．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）已知平面向量滿足,且，則=_________________ ．
【答案】
【解析】由,得,
所以.
故答案為：
變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量滿足，，則______．
【答案】
【解析】由，得，即 ①．
又由，得，
即，代入①，得，
整理，得，所以．
故答案為：
變式15．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，點(diǎn)P在線段AB上，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______．
【答案】
【解析】由題知，，設(shè)，
，，，，
，，
，，則直線方程為，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，
，，
求解可得，，，即點(diǎn)坐標(biāo)為.
故答案為：
變式16．（2023·廣西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，若，則______．
【答案】
【解析】因?yàn)?，且?br>所以，解得，所以，
所以，
所以.
故答案為：
【解題方法總結(jié)】
求模長，用平方，．
題型四：平面向量的投影、投影向量
例10．（2023·上海寶山·高三上海交大附中?？计谥校┮阎蛄?，，則在方向上的數(shù)量投影為______.
【答案】
【解析】因?yàn)橄蛄?，?br>所以在方向上的數(shù)量投影為.
故答案為：.
例11．（2023·上海虹口·華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？既＃┮阎粝蛄吭谙蛄糠较蛏系臄?shù)量投影為，則實(shí)數(shù)_______．
【答案】3
【解析】由條件可知，向量在向量方向上的數(shù)量投影為，
解得：.
故答案為：3
例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，為單位向量，當(dāng)向量、的夾角等于時(shí)，則向量在向量上的投影向量是________．
【答案】
【解析】因?yàn)橄蛄?、的夾角等于，
所以向量在向量上的投影向量是，
故答案為：.
變式17．（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知向量，向量，則向量在向量方向上的投影為_________.
【答案】
【解析】.
故答案為：
變式18．（2023·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量，滿足，，，則向量在向量方向上的投影為______.
【答案】2
【解析】因?yàn)?，所以，又，?br>所以，所以，
所以向量在向量方向上的投影為.
故答案為：
變式19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知非零向量滿足，且向量在向量方向的投影向量是，則向量與的夾角是________.
【答案】
【解析】因?yàn)?，所以，即?
因?yàn)橄蛄吭谙蛄糠较虻耐队跋蛄渴牵?br>所以.所以②，
將①代入②得，，又，所以.
故答案為：
變式20．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知向量，則向量在向量上的投影向量為__________.
【答案】
【解析】設(shè)，因?yàn)?br>所以
所以
則向量在向量上的投影向量為：.
故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
設(shè)，是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．
題型五：平面向量的垂直問題
例13．（2023·四川巴中·南江中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知向量，若，則___________.
【答案】/
【解析】由題意可得，
因?yàn)椋?br>則，解得.
故答案為：
例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，，其中，為單位向量，且，若______，則.
注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形.
【答案】1（答案不唯一）
【解析】因?yàn)槭窍嗷ゴ怪钡膯挝幌蛄?，不妨設(shè)
，即，
，即，即向量的端點(diǎn)在圓心為，半徑為的圓周上，
故可以取，即；
故答案為：1.
例15．（2023·江西宜春·高三校聯(lián)考期末）設(shè)非零向量，的夾角為．若，且，則____________．
【答案】60°/
【解析】由題設(shè)，
所以，又，
所以.
故答案為：
變式21．（2023·江西南昌·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知兩單位向量的夾角為，若，且，則實(shí)數(shù)_________．
【答案】/-0.8
【解析】因?yàn)閱挝幌蛄康膴A角為，所以；
因?yàn)?，所?br>，所以．
故答案為：.
變式22．（2023·海南·校考模擬預(yù)測）已知為單位向量，向量在向量上的投影向量是，且，則實(shí)數(shù)的值為______．
【答案】/
【解析】因?yàn)橄蛄吭谏系耐队跋蛄繛椋裕?br>又為單位向量，所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，所以，
故，
故答案為：.
變式23．（2023·全國·模擬預(yù)測）向量，且，則實(shí)數(shù)_________．
【答案】
【解析】因?yàn)橄蛄?，所以?br>又，
所以，得，
解得．
故答案為：.
變式24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）非零向量，，若，則______.
【答案】/-0.5
【解析】因?yàn)?，所以?br>由題易知，，
所以.
故答案為：
變式25．（2023·河南開封·校考模擬預(yù)測）已知向量，若，則________．
【答案】
【解析】因?yàn)?，，所以?br>又，所以，解得.
故答案為：
變式26．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知向量，不共線，，，寫出一個(gè)符合條件的向量的坐標(biāo)：______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】由題意得，，則，設(shè)，
得，且，滿足條件的向量的坐標(biāo)可以為（答案不唯一或者）.
故答案為：（答案不唯一）
變式27．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知向量，，若，則______.
【答案】13
【解析】∵，，，
又∵，
∴，解得.
故答案為：13
【解題方法總結(jié)】

題型六：建立坐標(biāo)系解決向量問題
例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)的夾角為，，，
，，，又，
不妨設(shè)，，
，所以，即，
，
由，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最小值．
故選：B
例17．（2023·安徽合肥·合肥市第七中學(xué)?？既＃┮赃呴L為2的等邊三角形ABC每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成曲邊三角形，已知P為弧AC上的一點(diǎn)，且，則的值為（）

A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如圖所示，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC為x軸，過點(diǎn)B且垂直于BC的直線為y軸，
建立平面直角坐標(biāo)系，則，，
由，得，
所以，，
所以．

故選：C.
例18．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中?？寄M預(yù)測）下圖是北京2022年冬奧會會徽的圖案，奧運(yùn)五環(huán)的大小和間距如圖所示．若圓半徑均為12，相鄰圓圓心水平路離為26，兩排圓圓心垂直距離為11．設(shè)五個(gè)圓的圓心分別為、、、、，則的值為（）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，做軸于點(diǎn)，所以，
由已知可得，，，
所以，，，
所以.
故選：B.

變式28．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，.若為的中點(diǎn)，則的值為（）
A．-3B．C．D．3
【答案】C
【解析】連接，由余弦定理知，所以.
由正弦定理得，所以為圓的直徑，
所以，所以，從而，
又，所以為等邊三角形，
以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.
則，
所以.
故選：C.
變式29．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，已知是面積為的等邊三角形，四邊形是面積為2的正方形，其各頂點(diǎn)均位于的內(nèi)部及三邊上，且恰好可在內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，則當(dāng)時(shí)，（）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)槭敲娣e為的等邊三角形，記邊長為，所以，解得，記內(nèi)切圓的半徑為，根據(jù)，
可得：，解得，因?yàn)檎叫蔚拿娣e為2，所以正方形邊長為，
記正方形外接圓半徑為，所以其外接圓直徑等于正方形的對角線2，即，
根據(jù)正方形的對稱性和等邊三角形的對稱性可知.正方形外接圓即為等邊三角形的內(nèi)切圓，
因?yàn)檎叫慰稍趦?nèi)任意旋轉(zhuǎn)，
可知正方形各個(gè)頂點(diǎn)均在該的內(nèi)切圓上，
以的底邊為軸，以的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示：
故可知，
圓的方程為，
故設(shè)，
即，，，

故選:A.
變式30．（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）已知正方形的邊長為為正方形的中心，是的中點(diǎn)，則（）
A．B．C．D．1
【答案】C
【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，所以
故選：C.
【解題方法總結(jié)】

邊長為的等邊三角形已知夾角的任意三角形正方形矩形
平行四邊形直角梯形等腰梯形圓
建系必備（1）三角函數(shù)知識；（2）向量三點(diǎn)共線知識．
設(shè)，是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．
題型七：平面向量的實(shí)際應(yīng)用
例19．（2023·江西宜春·高三校考階段練習(xí)）一質(zhì)點(diǎn)受到同一平面上的三個(gè)力，，（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)，已知，成120°角，且，的大小都為6牛頓，則的大小為______牛頓.
【答案】6
【解析】設(shè)三個(gè)力，，分別對于的向量為：
則由題知
所以
所以
又
所以
所以的大小為：6
故答案為：6
例20．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考三模）如圖所示，把一個(gè)物體放在傾斜角為的斜面上，物體處于平衡狀態(tài)，且受到三個(gè)力的作用，即重力，垂直斜面向上的彈力，沿著斜面向上的摩擦力.已知：，則的大小為___________.
【答案】N
【解析】由題設(shè)，N，
故答案為：N.
例21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，一個(gè)物體被兩根輕質(zhì)細(xì)繩拉住，且處于平衡狀態(tài).已知兩條繩上的拉力分別是，，且，與水平夾角均為，，則物體的重力大小為___________.
【答案】8
【解析】設(shè)，的合力為，則，
∵，的夾角為，
∴，
∴，
∵物體平衡狀態(tài).∴物體的重力大小為=8.
故答案為：8.
變式31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）兩同學(xué)合提一捆書，提起后書保持靜止，如圖所示，則與大小之比為___________．
【答案】
【解析】物體處于平衡狀態(tài)，所以水平方向的合力為0
所以，所以
故答案為：
變式32．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）一條漁船距對岸，以的速度向垂直于對岸的方向劃去，到達(dá)對岸時(shí)，船的實(shí)際行程為，則河水的流速是________．
【答案】
【解析】如圖，用表示河水的流速，表示船的速度，
則為船的實(shí)際航行速度．
由圖知，，，則．
又，
所以．
即河水的流速是．
故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
用向量方法解決實(shí)際問題的步驟
1．（2023?新高考Ⅰ）已知向量，．若，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，，
，，
由，得，
整理得：，即．
故選：．
2．（2022?新高考Ⅱ）已知向量，，，若，，，則
A．B．C．5D．6
【答案】
【解析】向量，，，
，
，，，
，，
解得實(shí)數(shù)．
故選：．
3．（2022?北京）在中，，，．為所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且，則的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【解析】在中，，，，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在的直線為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：
則，，，
設(shè)，
因?yàn)椋?br>所以，
又，，
所以，
設(shè)，，
所以，其中，
當(dāng)時(shí)，有最小值為，
當(dāng)時(shí)，有最大值為6，
所以，，
故選：．
考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
（1）理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義．
（2）掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義．
（3）了解平面向量基本定理及其意義
（4）會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算
2023年I卷第3題，5分
2023年II卷第13題，5分
2023年甲卷（理）第4題，5分
2022年II卷第4題，5分
平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、化簡、證明及數(shù)量積的應(yīng)用問題，如證明垂直、距離等是每年必考的內(nèi)容，單獨(dú)命題時(shí)，一般以選擇、填空形式出現(xiàn)．交匯命題時(shí)，向量一般與解析幾何、三角函數(shù)、平面幾何等相結(jié)合考查，而此時(shí)向量作為工具出現(xiàn)．向量的應(yīng)用是跨學(xué)科知識的一個(gè)交匯點(diǎn)，務(wù)必引起重視．
預(yù)測命題時(shí)考查平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)運(yùn)算，同時(shí)與三角函數(shù)及解析幾何相結(jié)合的解答題也是熱點(diǎn)．
結(jié)論
幾何表示
坐標(biāo)表示
模
數(shù)量積
夾角
的充要
條件
的充要
條件
與
的關(guān)系
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）

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