一、單選題：本題共8個小題，每小題5分，共40分。在每個小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的。
1．已知全集U=R,集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）

A．B．C．D．
2．年巴黎奧運(yùn)會中國代表隊獲得金牌榜第一，獎牌榜第二的優(yōu)異成績.首金是中國組合黃雨婷和盛李豪在米氣步槍混合團(tuán)體賽中獲得，兩人在決賽中次射擊環(huán)數(shù)如圖，則（ ）

A．盛李豪的平均射擊環(huán)數(shù)超過
B．黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的第百分位數(shù)為
C．盛李豪射擊環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差小于黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差
D．黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的極差小于盛李豪射擊環(huán)數(shù)的極差
3．天上有三顆星星，地上有四個孩子．每個孩子向一顆星星許愿，如果一顆星星只收到一個孩子的愿望，那么該愿望成真，若一顆星星收到至少兩個孩子的愿望，那么向這顆星星許愿的所有孩子的愿望都無法成真，則至少有兩個孩子愿望成真的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，則（ ）
A．B．C．D．
5．已知函數(shù)，若正實數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A．B．7C．D．
6．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)（且）的圖象關(guān)于直線對稱，記
．若在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值
范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．已知正項等差數(shù)列的前項和為，則“”是“為等差數(shù)列”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
8．設(shè)定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和，若，
，且為奇函數(shù)，則下列說法中一定正確的是（ ）
A．是奇函數(shù) B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱
C．點（其中）是函數(shù)的對稱中心 D．
二、多選題：本題共3個小題，每小題6分，共18分。在每個小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選的得0分。
9．已知復(fù)數(shù)是的共軛復(fù)數(shù)，則（ ）
A． B．的虛部是
C．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限 D．復(fù)數(shù)是方程的一個根
10．函數(shù)相鄰兩個最高點之間的距離為為的對稱中心，
將函數(shù)的圖象向左平移后得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A．在上存在極值點
B．方程所有根的和為
C．若為偶函數(shù)，則正數(shù)的最小值為
D．若在上無零點，則正數(shù)的取值范圍為
11．已知函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點，，且，
則下列選項正確的是（ ）
A．的取值范圍是B．
C．D．
三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分。
12．已知雙曲線的一條漸近線的方程為，則C的離心率的值為 .
13．已知曲線與的公切線為，則實數(shù) .
14．若對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為__________.
四、解答題
15、（13分）?ABC的內(nèi)角的對邊分別為、已知.
(1)求角； (2)若，點滿足，且，求?ABC的面積；
16、（15分）已知橢圓C：的離心率為，且過點．
(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過C的左焦點且斜率為的直線l與C交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，
當(dāng)?shù)拿娣e為時，求k的值．
17、（15分）甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，賽前每人有3面小紅旗.一局比賽后輸者需給贏者一面小紅旗；若是平局就不需要給紅旗，當(dāng)其中一方無小紅旗時，比賽結(jié)束，有6面小紅旗者最終獲勝.根據(jù)以往兩人的比賽結(jié)果可知，在一局比賽中甲勝的概率為，乙勝的概率為
(1)設(shè)第一局比賽后甲的紅旗個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)求比賽共進(jìn)行五局且甲獲勝的概率；
(3)若比賽一共進(jìn)行五局且第一局是乙勝，求此條件下甲最終獲勝的概率（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）
18、（17分）三角函數(shù)是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具.三倍角公式是三角學(xué)中的重要公式之一，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組研究得到了以下的三倍角公式：①；②.根據(jù)以上研究結(jié)論，回答：
(1)在①和②中任選一個進(jìn)行證明；
(2)已知函數(shù)有三個零點且.
（i）求的取值范圍；
（ii）若，證明：.
19、（17分）定義：從數(shù)列中隨機(jī)抽取m項按照項數(shù)從小到大的順序依次記為，將它們組成一個項數(shù)為m的新數(shù)列，其中，若數(shù)列為遞增數(shù)列，則稱數(shù)列是數(shù)列的“m項遞增衍生列”；
(1)已知數(shù)列滿足，數(shù)列是的“3項遞增衍生列”，寫出所有滿足條件的﹔
(2)已知數(shù)列是項數(shù)為m的等比數(shù)列，其中，若數(shù)列為1，16，81，求證：數(shù)列不是數(shù)列的“3項遞增衍生列”；
(3)已知首項為1的等差數(shù)列的項數(shù)為14，且，數(shù)列是數(shù)列的“m項遞增衍生列”，其中．若在數(shù)列中任意抽取3項，且均不構(gòu)成等差數(shù)列，求m的最大值．
威遠(yuǎn)中學(xué)校2025屆高三上期半期考試
數(shù)學(xué)試題參考答案
一：選擇題
二、填空題 12．；13．；14．
三、解答題
15、（1）由正弦定理可知，
，即，……2分
則，……4分
，
，且，……6分
所以，，所以；……7分
（2）由，
，……9分
，……11分
∴b=1 ……13分
（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意得，，……4分
解得，……6分
∴C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；……7分
（2）由（1）得，橢圓C的左焦點為，∴設(shè)直線l的方程為， ……8分
令，，聯(lián)立，……9分
整理得，……11分
∴，， ∴，……13分
∴，解得.……15分
【詳解】（1）的可能取值為，
其中，，，……3分
所以分布列為
數(shù)學(xué)期望為……5分
比賽共進(jìn)行五局且甲獲勝，則前4場甲贏2場，平局2場，最后一場甲贏，
……7分
前3場甲贏2場，輸1場，第4場和第5場最后一場甲均贏，
……9分
故概率為0.0075+0.075=0.0825，……10分
（3）設(shè)比賽一共進(jìn)行五局且甲最終獲勝為事件，
比賽一共進(jìn)行五局且第一局是乙勝為事件，故，……12分
事件包含三種情況，一共進(jìn)行五局，甲后4局獲勝，
第2場，第3場和第4場中乙勝1場，平局2場，第5場乙勝，
第2場或第3場甲勝，剩余3場乙勝，
，……14分
故比賽一共進(jìn)行五局且第一局是乙勝，此條件下甲最終獲勝的概率為
……15分
（1）若選①，證明如下：
……2分
Sin2θcsθ+cs2θsinθ=2sinθcs2θ+(1-2sin2θ)sinθ……5分
=2sinθ(1-sin2θ)+(1-2sin2θ)sinθ=3sinθ-4sin3θ……6分
若選②，證明如下：
.
（2）（i）解：，……7分
當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，至多有一個零點；……8分
當(dāng)時，令，得； 令，得，
令，得或， ……10分
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
若有三個零點，則，即，解得，……12分
（ii）證明：設(shè)，則.……13分
又，所以.此時，……14分
方程的三個根均在內(nèi)，方程變形為，……15分
令，則由三倍角公式.
因為，所以.
因為，所以，
所以
.……17分
19、（1）由題意得，數(shù)列an為1，8，3，4，5，2，若bn是數(shù)列an的“3項遞增衍生列”，且，
則bn為1，3，4或1，3，5或1，4，5或3，4，5﹒……5分
（2）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q．假設(shè)數(shù)列bn是數(shù)列an的“3項遞增衍生列”，
則存在，使，……6分
所以，則，……8分
所以．
因為，所以為有理數(shù)，但為無理數(shù)，
所以（*）式不可能成立．
綜上，數(shù)列bn不是數(shù)列an的“3項遞增衍生列”．……11分
（3）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d．
由，又，所以，
故數(shù)列an為1，2，3，4，5，，14﹒ ……14分
令，因為數(shù)列an中各項均為正整數(shù)，故﹔
（若，則，成等差數(shù)列）
同理，且，所以，
同理，且，所以，
這與已知條件矛盾，所以，
此時可以構(gòu)造數(shù)列bn為1，2，4，5，10，11，13，14，其中任意三項均不構(gòu)成等差數(shù)列．
綜上所述，m的最大值為8．……17分題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
C
C
D
D
D
C
C
AC
AC
BCD
2
3
4
0.4
0.1
0.5

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