出題人：第二小組 做題人：第二小組
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，全卷滿分150分，考試時間120分鐘.
第Ⅰ卷 （選擇題 共58分）
選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知一個水平放置的用斜二測畫法得到的直觀圖如圖所示，且，則其平面圖形的面積是（ ）
A．4B．C．D．8
2．設(shè)，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
3．下列命題中正確的是（ ）
A．點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是
B．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則
C．已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，若，則
D．若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為
4．如圖，在直三棱柱中，，點為側(cè)棱上的動點．當(dāng)最小時，三棱錐的體積為（ ）
A．1B．C．D．
5．黃地綠彩云龍紋盤是收藏于中國國家博物館的一件明代國寶級瓷器．該龍紋盤敞口，弧壁，廣底，圈足．器內(nèi)施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收．黃地綠彩云龍紋盤可近似看作是圓臺和圓柱的組合體，其口徑，足徑，高，其中底部圓柱高，則黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為（ ）（附：的值取3，）
A．B．C．D．
6．設(shè)直線l的方程為（），則直線l的傾斜角的取值范圍是 （ ）
A． B． C． D．
7．在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．如圖，已知四棱錐為陽馬，且，底面．若是線段上的點（不含端點），設(shè)與所成的角為，與底面所成的角為，二面角的平面角為，則（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，以為球心，為半徑作球，則球面與底面的交線長度的和為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本題共3個小題，每題6分，有多個選項，不分選對得部分分，共18分）
9．直線的圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
10．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面，則（ ）
A．B．
C．平面D．異面直線與夾角的余弦值為
11．如圖，一個漏斗形狀的幾何體上面部分是一個長方體，下面部分是一個四棱錐，四棱錐的四條側(cè)棱都相等，兩部分的高都是，公共面是一個邊長為1的正方形，則（ ）
A．該幾何體的體積
B．直線PD與平面ABCD所成角的正切值為
C．異面直線AP與CC1的夾角正弦值為
D．存在一個球，使得該幾何體所有頂點都在球面上
第II卷（非選擇題 共92分）
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，請把答案填在答題卡相應(yīng)位置上.
12．若直線：與直線：平行，則實數(shù) .
13．已知點均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則 ．
14．如圖，邊長為2的正方形沿對角線折疊，使，則三棱錐的體積為 .
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15．（13分）已知，，．求：
(1)BC邊上的中線所在的直線方程；
(2)AB邊垂直平分線方程；
16．（15分）如圖，PA⊥平面ABC，AB為圓O的直徑，E，F(xiàn)分別為棱PC，PB的中點．
(1)證明：EF平面ABC．
(2)證明：平面EFA⊥平面PAC．
17．（15分）已知一條動直線，
(1)求直線恒過的定點的坐標(biāo)；
(2)若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，的面積為6，求直線的方程.
18．（17分）圖，三棱臺中，是正三角形，平面ABC，，M，N分別為棱的中點.
(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成的角的正弦值.
19．（17分）已知兩個非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量的夾角，記作．定義與的“向量積”為：是一個向量，它與向量都垂直，它的模．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，
為線段上一點，．
(1)求的長；
(2)若為的中點，求二面角的正弦值；
(3)若為線段上一點，且滿足，求．
威遠中學(xué)2026屆高二上期半期考試參考答案（數(shù)學(xué)）
1．A 2．B
3．D【解】對于A，點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是，A選項錯誤；對于B，若直線l的方向向量為，平面的法向量為，，有，則或，B選項錯誤；對于D，若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為，C選項正確；對于C ，已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，若，則，解得，C選項錯誤.故選：D.
4．C【解】將直三棱柱展開成矩形，如下圖，連接，交于，此時最小，
∵，則，而，由且都在面，則面，
又，則面，即面，點為側(cè)棱上的動點，當(dāng)最小時，即，得，又為直角三角形，此時三棱錐的體積為：.故選：C
5．B【解】設(shè)該圓臺的母線長為，兩底面圓半徑分別為，（其中），則，，，
所以，故圓臺部分的側(cè)面積為，
圓柱部分的側(cè)面積為，故該黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為.故選：B.
6．C【解】設(shè)直線的斜率為，則，故，而，故，
7．A【解】四棱錐中，是線段上的點(不含端點)，過E作交CD于F，連接DE，SF，如圖，則是與所成的角，即，因底面，則是與底面所成的角，即，而底面， 則，又是長方形，即，而，平面，則平面，又平面，即有，于是得是二面角的平面角，，中，，中，，由底面，底面可得，而，則有，因，平面，則平面，又平面，
有，，因，即有，因此，，而正切函數(shù)在上遞增，所以.故選：A
8．B【解】由題意知三棱錐為正三棱錐，故頂點在底面的射影為的中心，連接，由，得，所以，因為球的半徑為，所以截面圓的半徑，所以球面與底面的交線是以為圓心，為半徑的圓在內(nèi)部部分，如圖所示易求，所以，易得，所以，
所以交線長度和為.故選：B.
9．BC【解】對于A，由可知，，此時與圖象不符，故A錯誤；對于B，由可知，，此時圖象可能，故B正確；對于C，由可知，，此時圖象可能，故C正確；對于D，由可知，，此時與圖象不符，故D錯誤.故選：BC.
10．ACD【解】因為平面平面，所以，
在正方形中，有，所以兩兩互相垂直，所以以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
而，從而A0,0,0，，，對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，平面的一個法向量為，故C正確；
對于D，，所以異面直線與夾角的余弦值為，故D正確．
11．ABD【解】對于A，該幾何體的體積為，故A正確；對于B，連接交于，連接，由題意可知四棱錐為正四棱錐，所以平面，所以為直線與平面所成角，因為正方形的邊長為1，所以，所以，故B正確；對于C，設(shè)，因為，所以或其補角為異面直線與的夾角,且，所以，所以異面直線與的夾角余弦值為，故C錯誤；對于D，設(shè)長方體的外接球的球心為，半徑為，
則為的中點，且，得，因為，
所以點長方體的外接球上，
所以存在一個球，使得該幾何體所有頂點都在球面上，故D正確.故選：ABD.
12．
13．2【解】如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為正三棱柱，設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，則，可得，設(shè)三棱錐的外接球球心為，連接，則，因為，即，解得.故答案為：2.
14．【解】取中點O，連接，可則,，因為且平面，所以平面，設(shè)，且，因為正方形的邊長為，可得且，又由，因為，可得，解得，所以，
所以，
所以三棱錐的體積為.故答案為：
15．【詳解】（1）由于，，則中點坐標(biāo)為，直線的斜率，
所以BC邊上的中線所在的直線方程為，整理得；
（2）由于，，所以直線的斜率，設(shè)其傾斜角為，故，
所求直線的傾斜角為直線的傾斜角的2倍，所求直線的斜率，
故所求的直線的方程為，整理得．
16．【詳解】（1）因為E，F(xiàn)分別為棱PC，PB的中點，所以EFBC，因為平面ABC，平面ABC，
所以EF平面ABC；
（2）因為AB為圓O的直徑，所以BC⊥AC．因為PA⊥平面ABC，平面ABC，所以BC⊥PA，
又，PA，平面PAC，所以BC⊥平面PAC，由（1）知，所以EF⊥平面PAC，又平面EFA，所以平面EFA⊥平面PAC．
17．【詳解】（1）由題意，整理得，所以不管取何值時，直線恒過定點的坐標(biāo)滿足方程組，解得，即
（2）設(shè)直線方程為，則，由直線恒過定點，得，
由整理得：，解得或，所以直線方程為：或，
即或，又直線的斜率，所以不合題意，則直線方程為.
18．【解】（1）因為是正三角形，M為AB中點，所以，因為平面平面ABC，所以，又平面所以平面又因為平面，所以，連接，易得，所以，所以，又因為，所以，因為，平面，所以平面.
（2）取AC中點O，連接，易知三條直線兩兩垂直，
以O(shè)為坐標(biāo)原點，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，由（1）知平面的一個法向量為，又，所以，因為直線與平面所成的角為直線與所成角的余角，所以直線與平面所成的角的正弦值為．
19．【解】（1）由題意，以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，由已知，則,則，則，且.
由題意知,所以有，
則，解得（舍去），故的長為.
（2）由（1）知，,又為的中點，則，，平面的一個法向量為，
設(shè)平面的法向量為，則，令，則.
故平面的一個法向量為，設(shè)二面角的平面角為，且，
則，故.故二面角的正弦值為.
（3）由（1）可得，由題意，設(shè)，，
則則，由可知，，且，由，則，解得；
則，則解得，，
則，又，解得.

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