出題人：劉洪波 做題人：鄒代勇 審題人：黃 東
一、單選題：本題共8個小題，每小題5分，共40分。在每個小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的。
1．已知集合，，，則(CUA)∩B=（ ）
A． B． C． D．
2．設為虛數(shù)單位，，則復數(shù)的虛部是（ ）
A．B．C．D．
3．已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點（-3，1），則sin2θ=（ ）
A．B．C．D．
4．已知，且，則（ ）
A．B．C．4D．
5．已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
6．已知Sn是遞增的等比數(shù)列{an}的前n項和，其中S3＝，a32＝a4，則a5＝（ ）
A．B．C．8D．16
7．記函數(shù)的最小正周期為T．若，且，則（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)，，若，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題：本題共3個小題，每小題6分，共18分。在每個小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選的得0分。
9．已知函數(shù),下列結論中正確的是（ ）
A．函數(shù)的最小正周期是
B．函數(shù)的圖象關于直線對稱
C．函數(shù)的最小值是
D．函數(shù)的圖象關于點對稱
10．下列說法正確的的有（ ）
A．已知一組數(shù)據(jù)的方差為3，則的方差也為3
B．統(tǒng)計學中用線性相關系數(shù)r來衡量兩個變量的線性相關性強弱，若r越小，則兩個變量之間的線性相關性越弱.
C．已知隨機變量X服從正態(tài)分布，若，則
D．已知隨機變量X服從二項分布，若，則
11．已知函數(shù)，其中實數(shù)，則下列結論正確的是（ ）
A．必有兩個極值點
B．有且僅有3個零點時，的范圍是
C．當時，點是曲線的對稱中心
D．當時，過點可以作曲線的3條切線
三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分。
12．若的展開式中二項式系數(shù)之和為32，則展開式中的系數(shù)為 .
13．中國空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．假設中國空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排3人，問天實驗艙與夢天實驗艙各安排1人．
甲、乙兩人要在同一個艙內(nèi)，則不同的安排方案共有 。
14．若定義在上的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，，，
則 ．
解答題：本題共5個小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
15．本題13分
已知分別為?ABC的內(nèi)角的對邊，且.
(1)求角A；
(2)若，求出邊并求出.?ABC的面積
16．本題15分
ChatGPT是AI技術驅(qū)動的自然語言處理工具，引領了人工智能的新一輪創(chuàng)新浪潮.某數(shù)學興趣小組為了解使用ChatGPT人群中年齡與是否喜歡該程序的關系，從某社區(qū)使用過該程序的人群中隨機抽取了60名居民進行調(diào)查.整理如下列聯(lián)表：
注:本研究定義年齡不小于45周歲為“中老年人”，其余的稱為“青少年”.
(1)請完成上面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為年齡因素與是否喜歡該程序有關系;
(2)在抽取的60名居民中有5人經(jīng)常使用該程序輔助工作.以樣本頻率估計概率.若在全市范圍內(nèi)抽取20位居民，經(jīng)常使用該程序輔助工作的人數(shù)為，求的數(shù)學期望和方差;
(3)在抽取的60名居民中有10名高中生，其中有7名男生，3名女生.為進一步了解他們的對于AI的認知和看法，在10名高中生中，隨機抽取3人進行訪談，設抽取的3人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.
附:
17．本題15分
已知函數(shù)．
（Ⅰ）若，，求曲線在處的切線的方程
（Ⅱ）討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性
（Ⅲ）若，對任意兩個不同的，不等式
恒成立，求的最小值．
夏日天氣炎熱，學校為高三備考的同學準備了綠豆湯和銀耳羹兩種涼飲，某同學每天都會在兩種涼飲中選擇一種，已知該同學第1天選擇綠豆湯的概率是，若在前一天選擇綠豆湯的條件下，后一天繼續(xù)選擇綠豆湯的概率為，而在前一天選擇銀耳羹的條件下，后一天繼續(xù)選擇銀耳羹的概率為，如此往復．(提示：設表示第天選擇綠豆湯)
(1)求該同學第一天和第二天都選擇綠豆湯的概率
(2)求該同學第2天選擇綠豆湯的概率；
(3)記該同學第天選擇綠豆湯的概率為，求出的通項公式。
19．對于任意正整數(shù)n，進行如下操作：若n為偶數(shù)，則對n不斷地除以2，直到得到一個奇數(shù)，記這個奇數(shù)為；若n為奇數(shù)，則對不斷地除以2，直到得出一個奇數(shù)，記這個奇數(shù)為.若，則稱正整數(shù)n為“理想數(shù)”.
(1)求20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)“理想數(shù)”；
(2)已知.求m的值；
(3)將所有“理想數(shù)”從小至大依次排列，逐一取倒數(shù)后得到數(shù)列，記的前n項和為，
證明：.
威遠中學2024-2025學年高三上學期開學考試數(shù)學試卷
參考答案：
2．C【詳解】由得：，的虛部為.
4．C【詳解】因為，，則，，
則，故，故選：C.
5．D【詳解】因為在單調(diào)遞增，且,所以，即
因為，所以,即,
所以存在兩種情況：且，且，因此推不出,
同樣推不出,因此“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.
6．C【詳解】解：設遞增的等比數(shù)列{an}的公比為，且q1，∵S3＝，，
∴（1+q+q2）＝，q4＝q3，解得＝，q＝2；＝2，q＝（舍去）．
則＝＝8．故選：C．
7．C【詳解】根據(jù)最小正周期，可得，解得；
又，即是函數(shù)的一條對稱軸，
所以，解得.又，當時，.故選：C
8．A【詳解】因為函數(shù)、均為R上的增函數(shù)，所以，函數(shù)為R上的增函數(shù)，
，因為，其中，
所以，，故，
當且僅當時等號成立，故的最大值為.故選：A.
9．AC【詳解】解:由題知,,
故選項A正確;令,解得: ,
令,令,故選項B錯誤;因為,
所以,故選項C正確;因為對稱中心縱坐標為1,故選項D錯誤.故選:AC
10．AC【詳解】對于A中，由一組數(shù)據(jù)的方差為，
根據(jù)方差的性質(zhì)，可得數(shù)據(jù)的方差也為，所以A正確；
對于B中，統(tǒng)計學中用線性相關系數(shù)r來衡量兩個變量的線性相關性強弱，當越趨向于，此時相關性越強，所以B不正確；對于C中，由隨機變量X服從正態(tài)分布，若，
則，所以C正確；對于D中，由隨機變量服從二項分布，可得，
若，則，所以D錯誤.故選：AC.
11．ABD【詳解】選項A：由題意可得，
令解得或，因為，所以令解得或，令解得，
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值，在處取得極小值，故A正確；
選項B：要使有且僅有3個零點，只需，即，
解得，故B正確；選項C：當時，，
，
，所以點不是曲線的對稱中心，C錯誤；
選項D：，設切點為，
所以在點處的切線方程為：，
又因為切線過點，所以，
解得，令，，
所以過點可以作曲線切線條數(shù)可轉(zhuǎn)化為與圖像的交點個數(shù)，
，
令解得或，因為，所以令解得或，
令解得，則在，上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，且，，圖像如圖所示，
所以當時，與圖像有3個交點，即過點可以作曲線的3條切線，故D正確；故選：ABD
12．80【詳解】二項式系數(shù)之和為32，即，解得，
所以展開式的通項為，令，得，
所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：80
13．10 14．【詳解】因為是奇函數(shù)，所以，
用替換上式中的，可得，
在中，用替換，可得，
所以，用替換該式中的，可得，
所以，所以函數(shù)的周期為，在中，令，得，
在中，令，得，
在中，令，得，所以，
所以.故答案為：.
【點睛】結論點睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問題，常見結論：
（1）關于對稱：若函數(shù)關于直線軸對稱，則，若函數(shù)關于點中心對稱，則，反之也成立；
（2）關于周期：若，或，或，可知函數(shù)的周期為.
15．【詳解】（1）因為， 5分
所以由正弦定理得，因為,所以，
所以，所以，因為，所以；
（2）在中，，所以由余弦定理得，
整理得，解得（舍去），或面積為5 13分
16.【詳解】（1）根據(jù)題意可得列聯(lián)表如下；
零假設為：年齡因素與是否喜歡該程序無關；
根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計算可得，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，
即年齡因素與喜歡該程序有關系，此推斷犯錯誤的概率不超過0.1． 5分
（2）由題意可知：隨機抽取一人為“經(jīng)常使用該程序輔助工作”的概率，
可知，所以，． 10分
（3）易知10名高中生有7名男生，3名女生，
則Y的所有可能取值為0，1，2，3，且Y服從超幾何分布：
，，，故所求分布列為
可得 15分
曲線在處的切線的方程為， 4分
（Ⅱ）省略 9分
（Ⅲ）因為， ，所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，不妨設，則，
可化為，設，則．
所以為上的減函數(shù)，即在上恒成立，
等價于在上恒成立，即在上恒成立，
又，所以，所以，而函數(shù)在上是增函數(shù)，
所以（當且僅當，時等號成立）．所以．即的最小值為. 15分
18、（1）答案為2/9 4分
設表示第1天選擇綠豆湯，表示第2天選擇綠豆湯，則表示第1天選擇銀耳羹，根據(jù)題意得，，所以．10分
（3）設表示第天選擇綠豆湯，則，根據(jù)題意得，，由全概率公式得，，即，整理得，，又，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
Pn= 17分
19．（1）以內(nèi)的質(zhì)數(shù)為，，故，所以為“理想數(shù)”；
，而，故不是“理想數(shù)”；，而，故是“理想數(shù)”；
，而，故不是“理想數(shù)”；，而，故不是“理想數(shù)”；
，而，故不是“理想數(shù)”；，而，故不是“理想數(shù)”；
，而，故不是“理想數(shù)”；和5為兩個質(zhì)數(shù)“理想數(shù)”； 4分
（2）由題設可知必為奇數(shù)，必為偶數(shù)，
存在正整數(shù)，使得，即：，且，
，或，或，解得，或，
，或，即的值為12或18． 8分
（3）顯然偶數(shù)"理想數(shù)"必為形如的整數(shù)，
下面探究奇數(shù)"理想數(shù)"，不妨設置如下區(qū)間：，
若奇數(shù)，不妨設，
若為"理想數(shù)"，則，且，即，且，
①當，且時，；
②當時，；，且，
又，即，易知為上述不等式的唯一整數(shù)解，
區(qū)間]存在唯一的奇數(shù)"理想數(shù)"，且，
顯然1為奇數(shù)"理想數(shù)"，所有的奇數(shù)"理想數(shù)"為，
所有的奇數(shù)"理想數(shù)"的倒數(shù)為，
，即． 17分年齡因素
對該程序的態(tài)度
合計
不喜歡該程序
喜歡該程序
青少年
7
中老年
16
30
合計
21
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
A
C
D
C
C
A
AC
AC
ABD
性別
不喜歡該程序
喜歡該程序
合計
青少年
7
23
30
中老年
14
16
30
合計
21
39
60
Y
0
1
2
3
P

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