四川省內江市資中縣球溪高級中學2024-2025學年高三上學期期末數(shù)學試題（Word版附解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

考生注意：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題紙
上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用 2B 鉛筆把答題紙上對應題目的答案標號涂黑.如需改
動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.回答非選擇題時，將答案寫在
答題紙上.寫在本試卷上無效.
3.考試結束后，將本試卷與答題卡一并由監(jiān)考人員收回.
一、單項選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項中，只有一
項是符合題目要求.
1. 已知集合，集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求解分式不等式，再利用交集定義即可求得.
【詳解】由可得：，即，解得或，
故 ,因，則．
故選：C
2. 已知復數(shù) ，，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】計算兩復數(shù)?？傻么鸢?
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【詳解】虛數(shù)不能比較大小，，，故．
故選：B
3. 已知向量，，若，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量平行的坐標表示可得，然后可得答案.
【詳解】因為，所以，解得，所以．
故選：A
4. 設為數(shù)列前項和，若，則的值為（）
A. 8 B. 4 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】易知數(shù)列前和求出通項公式，再由等比數(shù)列的性質化簡求得結果.
【詳解】當時，，∴ ，
當時，，則，
∴ ，即數(shù)列是首項，公比的等比數(shù)列，
即，
∴
故選：D.
5. 為了配合調配水資源，某市欲了解全市居民的月用水量.若通過簡單隨機抽樣從中抽取了 1000 戶進行調
查，得到其月用水量的平均數(shù)為 9 噸，則可推測全市居民用戶月用水量的平均數(shù)（）
A. 一定為 9 噸 B. 高于 9 噸 C. 約為 9 噸 D. 低于 9 噸
【答案】C
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【解析】
【分析】由樣本估計總體相關知識即可求解.
【詳解】推測全市居民用戶月用水量的平均數(shù)是估計值，約為 9 噸.
故選：C.
6. 已知，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用輔助角公式、兩角和與差的正弦公式即可求解.
【詳解】因為
，
所以，
即 .
故選：A.
7. 如圖，一個三階魔方由 27 個單位正方體組成，把魔方的中間一層轉動了 45°之后，表面積增加了（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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【分析】結合圖形可得新增了 16 個全等的小三角形面積，結合題意可得小三角形為等腰直角三角形，設其
直角邊為 x，由可得 x，即可得答案.
【詳解】由題設分析如下圖，轉動了 45°后，此時魔方相對原來多出了 16 個小三角形的面積，
顯然小三角形為等腰直角三角形且周長為 3，設其直角邊為 x，
則斜邊為，則，解得．
由幾何關系得 1 個小三角形的面積為，
所以增加的面積為．
故選：A
8. 已知函數(shù) ，若關于的方程有 2 個不相等的實數(shù)解，
則實數(shù) 的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，轉化為與的圖象有 2 個交點，分、和，三種情
況討論，結合導數(shù)的幾何意義與函數(shù)的圖象，即可求解.
【詳解】由題意，關于的方程有 2 個不相等的實數(shù)解，
即與的圖象有 2 個交點，如圖所示，
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當，直線與的圖象交于點，
又當時，，故直線與（）的圖象無公共點，
故當時，與的圖象只有一個交點，不合題意；
當，直線與曲線（）相切時，
此時與的圖象有 2 個交點，
設切點，則，又由過點，
所以，解得，所以；
當時，若，則，由，可得，
所以當時，直線與的圖象相切，
由圖得當時，直線與的圖象有 2 個交點．
綜上所述，實數(shù) 的取值范圍是．
故選：C．
二、多項選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的四個選項中，有多項
符合題目要求，全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分.
9. 已知函數(shù) 的導函數(shù)為，若的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（
）
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A. 在上單調遞增 B. 在上單調遞減
C. 在處取得極小值 D. 在處取得極大值
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)導函數(shù)與函數(shù)的單調性和極值的關系求解.
【詳解】當時，單調遞增，
由圖可知時，，單調遞增，故 A 正確；
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減，故 B 錯誤；
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以在處取得極小值，故 C 正確；
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減，
所以在處取得極大值，故 D 正確.
故選：ACD.
10. 已知拋物線的焦點為 F，準線為 l 且與 x 軸交于點 Q，P 是 l 上一點，直線 PF 與拋物線交于 M
，N 兩點，若，則（）
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A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】先根據(jù)題意寫出直線方程，再將直線的方程與拋物線聯(lián)立，消去得到關于的二次方
程，最后利用根與系數(shù)的關系結合拋物線的定義即可求逐項判斷.
【詳解】對 C:拋物線的焦點為，，準線為，易知，則，C
正確；
對 D,設 , ， , ，，到準線的距離分別為，，
由拋物線的定義可知，，于是
．，則
直線的傾斜角為或，斜率為，因為，故，D 錯誤；
對 AB: , ，
直線的方程為，
將，代入方程，并化簡得，
，
于是． ,故 AB 正確；
故選：ABC．
11. 已知函數(shù) ，下列命題正確的是（）
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A. 函數(shù) 的初相位為
B. 若函數(shù) 的最小正周期為，則
C. 若，則函數(shù) 的圖象關于直線對稱
D. 若函數(shù) 的圖象關于直線對稱，則的最小值為 1
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)初相位的概念，可判斷 A 的正誤；根據(jù)最小正周期公式，可判斷 B 的正誤，根據(jù) 的對
稱性，代入計算，即可判斷 C、D 的正誤，即可得答案.
【詳解】對于 A，根據(jù)解析式，可得的初相位為，故 A 正確；
對于 B：若的最小正周期為，則，解得，故 B 正確；
對于 C：若，則，
當時，，，
所以函數(shù) 的圖象關于直線對稱，故 C 正確；
對于 D：若函數(shù) 的圖象關于直線對稱，則，
解得，又，所以的最小值為 1，故 D 正確.
故選：ACD
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，且它們的離心率互
為倒數(shù)，是與的一個公共點，則的面積為__________.
【答案】6
【解析】
【分析】根據(jù)題意和雙曲線標準方程可推出橢圓的值，根據(jù)橢圓與雙曲線定義可求出的值，
根據(jù)三邊關系即可求出面積.
【詳解】由題可知，的離心率為 2，則的離心率為，則 .
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根據(jù)對稱性，不妨設在第一象限，則，解得，
則，所以為直角三角形，
則的面積為 .
故答案為：6.
13. 已知函數(shù) ，若關于的方程恰有 5 個不同
的實數(shù)解，則實數(shù) 的取值范圍為__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用換元法結合函數(shù)圖象分析方程的根的情況即可.
【詳解】作出函數(shù) 的大致圖象，如圖所示，
令，則可化為，
則或，
則關于的方程恰有 5 個不同的實數(shù)解
等價于的圖象與直線的交點個數(shù)之和為 5 個，
由圖可得函數(shù) 的圖象與直線的交點個數(shù)為 2，
所以的圖象與直線的交點個數(shù)為 3 個，
即此時，解得 .
故答案為： .
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14. 某市政府決定派遣 8 名干部（5 男 3 女）分成兩個小組，到該市甲、乙兩個縣去檢查扶貧工作，若要求
每組至少 3 人，且女干部不能單獨成組，則不同的派遣方案共有_________種.（用數(shù)字作答）
【答案】180
【解析】
【分析】由派遣 8 名干部分成兩個小組，每組至少 3 人，可得分組的方案有 3、5 和 4、4 兩類，分別求得
兩類分法的種數(shù)，再由分類計數(shù)原理，即可求解．
【詳解】由題意，派遣 8 名干部分成兩個小組，每組至少 3 人，可得分組的方案有 3、5 和 4、4 兩類，第
一類有種；第二類有種，
由分類計數(shù)原理，可得共有種不同的方案.
【點睛】本題主要考查了分類計數(shù)原理，及排列、組合的應用，其中解答中根據(jù)題意合理分組，分別求得
兩組分法的種數(shù)，再由分類計數(shù)原理求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基
礎題．
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知的內角，，的對邊分別為，，，且滿足．
（1）求；
（2）若，，求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及三角恒等變換化簡得解；
（2）由余弦定理及三角形面積公式計算得解.
【小問 1 詳解】
因為，
所以由正弦定理得，
所以，，
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即．
因為，所以．
由于，所以．
【小問 2 詳解】
由余弦定理，
得，解得或（舍去）．
所以，
所以的面積．
16. 已知函數(shù) ，其中 .
（1）求函數(shù) 的單調區(qū)間；
（2）若在上單調遞增，求的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求導，分和兩種情況，結合導數(shù)符號判斷原函數(shù)的單調性；
（2）分析可知在上恒成立，令，利用導數(shù)求其最值，結合恒成
立問題分析求解.
【小問 1 詳解】
由題意可知：的定義域為，且，
當時，由于，所以恒成立，從而在上單調遞增；
當時，若則，；若，則；
可知在上單調遞增，在上單調遞減.
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綜上所述：當時，的單調遞增區(qū)間為，沒有單調遞減區(qū)間；
當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為 .
【小問 2 詳解】
因為，則，
若在上單調遞增，
可知在上恒成立，
即在上恒成立，
令，則，
若，當趨近于，可知趨近于；
若，當時，；當時，；
可知內單調遞減，在內單調遞增，
則的最小值為，
可得，解得，
所以實數(shù) 的取值范圍為 .
17. 如圖，在四棱錐中，底面 ABCD 是邊長為 2 的正方形，側面 PAD 為等腰直角三角形，且
，F(xiàn) 為棱 PC 上的點（異于端點），平面 ADF 與棱 PB 交于點 E．
（1）求證：平面 ABCD．
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（2）若，且平面平面 ABCD，求異面直線 PB 與 DF 所成角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由底面 ABCD 是正方形，可得，進而可得平面 PBC．然后由線面平行性質
可得，即可完成證明；
（2）以 A 為坐標原點，AB，AD，AP 所在的直線分別為 x 軸、y 軸、z 軸建立如圖所示的空間直角坐標系
，然后由，結合題意可得，對應坐標，即可得答案.
【小問 1 詳解】
因為底面 ABCD 是正方形，所以，
因為平面 PBC，平面 PBC，所以平面 PBC．
又因為平面 ADFE，平面平面，所以，
因為平面 ABCD，平面 ABCD，所以平面 ABCD．
【小問 2 詳解】
因為平面平面 ABCD，平面平面，，平面 PAD，
所以平面 ABCD，又由四邊形 ABCD 為正方形，得．
以 A 為坐標原點，AB，AD，AP 所在的直線分別為 x 軸、y 軸、z 軸建立如圖所示的空間直角坐標系
，則，，，．
由可得，
又，則，即，
又由（1），則，得
則，因
所以，所以，．
設異面直線 PB 與 DF 所成的角為，
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，
故異面直線 PB 與 DF 所成角的余弦值為．
18. 已知、是雙曲線的左、右焦點，直線經過雙曲線的左焦點，與雙曲線左、右兩支
分別相交于、兩點.
（1）求直線斜率的取值范圍；
（2）若，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設直線的方程為，將該直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)直線與雙曲線的位
置關系可得出關于實數(shù) 的不等式組，即可解得的取值范圍；
（2）設直線的方程為，設點、，由平面向量的坐標運算可得出，
將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，結合韋達定理求出的值，可得出的值，然后利用三角形的面積
公式可求得的面積.
【小問 1 詳解】
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解：在雙曲線中，，，則，
該雙曲線的左焦點為，若直線的斜率不存在，則直線與雙曲線交于左支上的兩點，不合乎題意，
設直線的方程為，設點、，
聯(lián)立可得，
因為直線與雙曲線左、右兩支分別相交于、兩點，
所以，，解得，
因此，直線的斜率的取值范圍是 .
【小問 2 詳解】
解：因為，，
由可得，則，
當直線與軸重合時，則點、，，，
此時，，不合乎題意，
設直線的方程為，聯(lián)立可得，
由（1）可得，則或，
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由韋達定理可得，則，
，即，解得，則，
所以， .
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的取值范圍問題的求解方法
（1）函數(shù)法：用其他變量作為參數(shù)，建立函數(shù)關系，利用求函數(shù)值域的方法求解．
（2）不等式法：根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等式，通過解不等式求參數(shù)的取值范圍．
（3）判別式法：建立關于某變量的一元二次方程，利用根的判別式求參數(shù)的取值范圍．
（4）數(shù)形結合法：研究參數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結合思想求解．
19. 定義：在一個有窮數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)
列的一次“和擴充”，例如：數(shù)列經過第一次“和擴充”后得到數(shù)列；第二次“和擴充”后得到數(shù)
列．設數(shù)列經過次“和擴充”后得到的數(shù)列的項數(shù)為，所有項的和為．
（1）若，求；
（2）求不等式的解集；
（3）是否存在數(shù)列，使得數(shù)列為等比數(shù)列？請說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意得到第二次“和擴充”后得到數(shù)列，從而計算出；
（2）數(shù)列經每一次“和擴充”后是在原數(shù)列的相鄰兩項中增加一項，數(shù)列經過次“和擴充”后得到的
數(shù)列的項數(shù)為，則經第次“和擴充”后增加的項數(shù)為，得到，構造等比數(shù)列，
求出，從而得到不等式，求出解集；
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（3）得到，從而利用累加法求和得到，從而得到
結論.
【小問 1 詳解】
，第一次“和擴充”后得到數(shù)列，
第二次“和擴充”后得到數(shù)列，
；
【小問 2 詳解】
數(shù)列經每一次“和擴充”后是在原數(shù)列的相鄰兩項中增加一項，
數(shù)列經過次“和擴充”后得到的數(shù)列的項數(shù)為，
則經第次“和擴充”后增加的項數(shù)為，
所以，所以，
其中數(shù)列經過 1 次“和擴充”后，得到，故，
，
故是首項為 4，公比為 2 的等比數(shù)列，
所以，故，
則，即，
又，解得，
【小問 3 詳解】
因為，
，，
依次類推，，
故
第 17頁/共 18頁
，
若使為等比數(shù)列，則或 .
【點睛】數(shù)列新定義問題，主要針對于等差，等比，遞推公式和求和公式等綜合運用，對常見的求通項公
式和求和公式要掌握牢固，同時涉及數(shù)列與函數(shù)，數(shù)列與解析幾何，數(shù)列與二項式定理，數(shù)列與排列組合
等知識的綜合，要將“新”性質有機地應用到“舊”性質上，創(chuàng)造性的解決問題.
第 18頁/共 18頁

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