第02講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（十大題型）（練習(xí)）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型一：等差數(shù)列的基本量運(yùn)算
1．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知首項(xiàng)的等差數(shù)列中，，若該數(shù)列的前項(xiàng)和，則等于（）
A．10B．11C．12D．13
2．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）
A．B．C．1D．2
3．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）
A．1B．2C．3D．4
4．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列滿足，且，則首項(xiàng)（）
A．1B．2C．3D．4
題型二：等差數(shù)列的判定與證明
5．已知數(shù)列滿足：，，.
(1)證明：是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，若數(shù)列是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
6．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，且，當(dāng)時(shí)，.
(1)計(jì)算：，；
(2)證明為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
7．（2024·高三·山東濟(jì)寧·開(kāi)學(xué)考試）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，為的前項(xiàng)和，．證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
8．（2024·高三·山東·開(kāi)學(xué)考試）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知．證明：；
題型三：等差數(shù)列的性質(zhì)
9．（2024·遼寧撫順·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則， .
10．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列中，，則 .
題型四：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
11．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，則．
12．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，且，則．
13．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則 .
題型五：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值
14．（2024·四川南充·三模）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知、、成等比數(shù)列，，當(dāng)取得最大值時(shí)，（）
A．6B．7C．8D．9
15．若是等差數(shù)列，表示的前n項(xiàng)和，，則中最小的項(xiàng)是（）
A．B．C．D．
16．（2024·四川自貢·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)若，，成等比數(shù)列，求的最大值．
17．在等差數(shù)列中，已知：，.
(1)求數(shù)列的公差及通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值，并指出此時(shí)正整數(shù)的值.
18．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求的最小值.
題型六：等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
19．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）干支紀(jì)年法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來(lái)，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開(kāi)始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新開(kāi)始，即“丙子”，…，依此類推．已知2024年是甲辰年，則2124年為（）
A．丁辰年B．癸未年C．甲午年D．甲申年
20．（2024·湖南·二模）張揚(yáng)的父親經(jīng)營(yíng)著一家童鞋店，該店提供從25碼到36.5碼的童鞋，尺寸之間按0.5碼為公差排列成等差數(shù)列．有一天，張揚(yáng)幫助他的父親整理某一型號(hào)的童鞋，以便確定哪些尺寸需要進(jìn)貨，張揚(yáng)在進(jìn)貨單上標(biāo)記了兩個(gè)缺貨尺寸．幾天后，張揚(yáng)的父親詢問(wèn)那些缺貨尺寸是哪些，但張揚(yáng)無(wú)法找到標(biāo)記缺貨尺寸的進(jìn)貨單，他只記得其中一個(gè)尺寸是28.5碼，并且在當(dāng)時(shí)將所有有貨尺寸加起來(lái)的總和是677碼．現(xiàn)在問(wèn)題是，另外一個(gè)缺貨尺寸是（）
A．28碼B．29.5碼C．32.5碼D．34碼
21．（2024·四川達(dá)州·一模）《孫子算經(jīng)》是我國(guó)南北朝時(shí)著名的數(shù)學(xué)著作，其中有物不知數(shù)問(wèn)題：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？意思是：有一些物品，不知道有多少個(gè)，只知道將它們?nèi)齻€(gè)三個(gè)地?cái)?shù)，會(huì)剩下2個(gè)；五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)，會(huì)剩下3個(gè)；七個(gè)七個(gè)地?cái)?shù)，也會(huì)剩下2個(gè).這些物品的數(shù)量是多少個(gè)？若一個(gè)正整數(shù)除以三余二，除以五余三，將這樣的正整數(shù)由小到大排列，則前5個(gè)數(shù)的和為（）
A．189B．190C．191D．192
22．（2024·高三·上海·開(kāi)學(xué)考試）天干地支紀(jì)年法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥．天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來(lái)，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開(kāi)始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新開(kāi)始，即“丙子”…，以此類推．2024年是甲辰年，高斯出生于1777年，該年是（）
A．丁酉年B．丁戌年C．戊酉年D．戊戌年
題型七：關(guān)于等差數(shù)列奇偶項(xiàng)問(wèn)題的討論
23．（2024·山東威?！ひ荒＃┮阎獢?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
24．（2024·黑龍江·三模）已知等差數(shù)列的公差，與的等差中項(xiàng)為5，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)求數(shù)列的前20項(xiàng)和.
25．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，設(shè)．
(1)求的通項(xiàng)公式，并證明：；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
題型八：對(duì)于含絕對(duì)值的等差數(shù)列求和問(wèn)題
26．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列，記為的前項(xiàng)和，從下面①②③中再選取一個(gè)作為條件，解決下面問(wèn)題．①；②；③．
(1)求的最小值；
(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，求．
27．（2024·湖南·二模）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求的值．
28．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其中，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
題型九：利用等差數(shù)列的單調(diào)性求解
29．（2024·高三·山東淄博·期末）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，則“對(duì)，”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
30．（2024·吉林白山·模擬預(yù)測(cè)）若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，對(duì)任意正整數(shù)，都有，則的值為（）
A．2020B．2021C．2022D．2023
31．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）
A．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列B．
C．的最大值為D．
題型十：等差數(shù)列中的范圍與恒成立問(wèn)題
32．（多選題）（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期中）已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則下列選項(xiàng)正確的是（）
A．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列B．
C．的最大值為D．
33．（多選題）公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則下列選項(xiàng)正確的是（）
A．B．時(shí)，的最小值為2022
C．有最大值D．時(shí)，的最大值為4043
34．（多選題）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足對(duì)任意恒成立，則下列命題正確的是（）
A．B．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
C．D．的取值范圍為
1．（2024·陜西西安·三模）如圖，用相同的球堆成若干堆“正三棱錐”形的裝飾品，其中第1堆只有1層，且只有1個(gè)球；第2堆有2層4個(gè)球，其中第1層有1個(gè)球，第2層有3個(gè)球；…；第n堆有n層共個(gè)球，第1層有1個(gè)球，第2層有3個(gè)球，第3層有6個(gè)球，…．已知，則（）
A．2290B．2540C．2650D．2870
2．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列和等比數(shù)列都是各項(xiàng)為正實(shí)數(shù)的無(wú)窮數(shù)列，且，，的前n項(xiàng)和為，的前n項(xiàng)和為，下列判斷正確的是（）
A．是遞增數(shù)列B．是遞增數(shù)列
C．D．
3．（2024·山西陽(yáng)泉·三模）已知等差數(shù)列中，是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，則的值為（）
A．B．C．D．
4．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，若，，則d的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
5．（2024·浙江·三模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，“”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
6．（2024·青海海西·模擬預(yù)測(cè)）前項(xiàng)和為的等差數(shù)列中，若，則（）
A．6B．7C．8D．9
7．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知函數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）
A．1012B．2024C．3036D．4048
8．（2024·四川攀枝花·三模）數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，設(shè)，則數(shù)列的前51項(xiàng)之和為（）
A．B．C．49D．149
9．（多選題）（2024·山西呂梁·三模）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列說(shuō)法正確的是（）
A．當(dāng)最大
B．使得成立的最小自然數(shù)
C．
D．中最小項(xiàng)為
10．（多選題）（2024·湖南益陽(yáng)·三模）已知是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，滿足，則下列說(shuō)法正確的有（）
A．若是正項(xiàng)數(shù)列，則是單調(diào)遞增數(shù)列
B．一定是等比數(shù)列
C．若存在，使對(duì)都成立，則是等差數(shù)列
D．若，且，，則時(shí)取最小值
11．（多選題）（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列，，記，，若且則下列說(shuō)法正確的是（）
A．B．?dāng)?shù)列中的最大項(xiàng)為
C．D．
12．（2024·浙江紹興·三模）記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積，已知，則；．
13．（2024·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）蚊香具有悠久的歷史，我國(guó)蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān)，如圖為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上收長(zhǎng)度為1的線段，作一個(gè)等邊三角形，然后以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)（第一段圓?。僖渣c(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧……以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?5段圓弧時(shí)，“蚊香”的長(zhǎng)度為 .

14．（2024·上海·三模）已知兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，…，202和2，8，14，…，200，將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和為．
15．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前10項(xiàng)和.
16．（2024·重慶九龍坡·三模）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，數(shù)列是公比大于1的等比數(shù)列，且，.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求使取得最大值時(shí)的值.
17．（2024·貴州六盤水·三模）已知為等差數(shù)列，且，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
18．（2024·山東青島·二模）已知數(shù)列滿足，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求的最小值.
19．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)積為，數(shù)列滿足，（，）．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)將數(shù)列，中的公共項(xiàng)從小到大排列構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
20．（2024·浙江紹興·三模）已知函數(shù)的所有正零點(diǎn)構(gòu)成遞增數(shù)列．
(1)求函數(shù)的周期和最大值；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和．
1．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
2．（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
3．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）設(shè)是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
4．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)與是兩個(gè)不同的無(wú)窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個(gè)結(jié)論：
①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素；
②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個(gè)元素；
③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個(gè)元素；
④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是 .
5．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則 .
6．（2014年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（江西卷））在等差數(shù)列中，，公差為，前項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值，則的取值范圍．
7．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則；數(shù)列所有項(xiàng)的和為．
8．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則公差．
9．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
10．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．
(1)若，求的通項(xiàng)公式；
(2)若為等差數(shù)列，且，求．
11．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
12．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．
目錄
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc172445288" 01 模擬基礎(chǔ)練 PAGEREF _Tc172445288 \h 2
\l "_Tc172445289" 題型一：等差數(shù)列的基本量運(yùn)算 PAGEREF _Tc172445289 \h 2
\l "_Tc172445290" 題型二：等差數(shù)列的判定與證明 PAGEREF _Tc172445290 \h 2
\l "_Tc172445291" 題型三：等差數(shù)列的性質(zhì) PAGEREF _Tc172445291 \h 3
\l "_Tc172445292" 題型四：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) PAGEREF _Tc172445292 \h 3
\l "_Tc172445293" 題型五：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值 PAGEREF _Tc172445293 \h 4
\l "_Tc172445294" 題型六：等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 PAGEREF _Tc172445294 \h 4
\l "_Tc172445295" 題型七：關(guān)于等差數(shù)列奇偶項(xiàng)問(wèn)題的討論 PAGEREF _Tc172445295 \h 5
\l "_Tc172445296" 題型八：對(duì)于含絕對(duì)值的等差數(shù)列求和問(wèn)題 PAGEREF _Tc172445296 \h 6
\l "_Tc172445297" 題型九：利用等差數(shù)列的單調(diào)性求解 PAGEREF _Tc172445297 \h 7
\l "_Tc172445298" 題型十：等差數(shù)列中的范圍與恒成立問(wèn)題 PAGEREF _Tc172445298 \h 7
\l "_Tc172445299" 02 重難創(chuàng)新練 PAGEREF _Tc172445299 \h 8
\l "_Tc172445300" 03 真題實(shí)戰(zhàn)練 PAGEREF _Tc172445300 \h 12

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